第二章 2-1面波勘探的基本原理

第二节瑞雷面波法

自1887年英国学者瑞雷从理论上证明了瑞雷面波的存在以来，人们曾对面波的形成和传播特征做过许多研究，但长期以来，它却一直被认为是地震勘探中的一种干扰波，没有利用价值。上世纪六十年代开始，国外有人开始研究瑞雷面波的有效利用问题。到上世纪八十年代，瑞雷面波的传播特性及利用方面的研究成为世界工程地球物理勘探同行们的研究热点。目前，瑞雷面波勘探法在我国已经得到广泛应用，现在几乎国内外所有的浅层地震勘探仪都配有瑞雷面波勘探的功能。尽管其应用已经如此广泛，但瑞雷面波勘探的理论问题、仪器问题和处理解释问题还并没有得到很好的解决。也就是说，瑞雷面波勘探在技术及理论方面还有大量的工作要做。

§2－1面波勘探的基本原理

2.1.1均匀半空间瑞雷面波的形成

地表震源不仅激发纵波和横波，同时由于纵波和横波的相互干涉叠加，会出现波形的转换，使地下介质质点按一定的轨迹运动，形成一种新的、能量很强且主要集中在地表附近的波动。由于这种波是1887年由瑞雷从数学上证明其存在的，故称为瑞雷面波。关于瑞雷波的推导如下：

条件：自由界面以下为半无限均匀弹性介质，介质的弹性常数为λ和μ，密度为ρ，x、y轴取在自由表面上，z轴垂直向下。设瑞雷波速为

V，在zox平面内沿x轴方向传播，在y轴方向的振幅和相位完R

全相同，及只讨论平面二维情况。令其势函数为：

)

()(t x k

i R e z f ω?-= )

()(t x k

i R e z f ωψ-=

? 和ψ分别满足下列波动方程：

2222

1t

V P ??=??

?

2222

1t

V S ??=?ψ

ψ

将?、ψ代入上式，可得：

0)(2

222=--f k k dz

f d P R

0)(2

22

2=--g k k dz

g d S R 其中，P

P V k ω

=

，S

S V k ω

=

，R

R V k ω

=

。

上式的解为：

z z Ce Ae f αα+=- z z De Be g ββ+=-

式中：2

2P

R k k -=α，22S R k k -=β。 由边界条件：0,→∞

→z ψ?得：0=C ，0=D 。

于是有：

)

(t x k

i z R e Ae ωα?--= z Be βψ-=)

(t x k

i R e ω-

在自由界面，其边界条件是正应力和切应力为零。即：

02)(=??+??+??=Z D

z D x D Z z x z zz μλσ 0)(

=??+??==x

D z D z

x z xz

μσ 其中，x D 、z D 是位移分量：

z x D x ??-

??=

ψ? x

z D z ??-

??=ψ

? 弹性常数λ、μ与介质密度及纵、横波的关系分别为： )2(22S P V V -=ρλ 2S V ρμ=

将这些代入边界条件方程,通过简化可得：

0)(20222

222=?????

???-???+?=z S P x z x V V ?ψ?

02

022222=???

?????-??+???=z z x

z x ψψ? 将?和ψ代入上两式化简可得：

0)(2)(2

2222=-+-βψ??αR R S R

P ik k V k V 022

=---ψβψα?R R k ik

根据α、β的定义，最后得到：

02)2(2

222=---B k k ik A k k S R R S R

0)2(22

2222=-+-B k k A k k ik S R P R R

若要A 、B 不为零，则上式的系数行列式应为零，即：

04)2(2

2222222=----S R P R R S R

k k k k k k k 上式即为瑞雷方程。令：

22S R k k x =; 22

S P

k k m ==22P

S V V

代入上式得：

014)12(2=----x m x x x 整理得：

018)32(8)1(1623=-+-+-x x m x m

令1=x ，上式左边＝－1＜0，令∞→x ，则上式左边∞→。因此，该方程在),1(+∞之间至少有一个x 得实根。也就是：

x k k S R

=22＞1

或： 2

R k ＞2S k

亦即：R V ＜S V 。由此可见，面波速度R V 既小于纵波速度P V ,也小 于横波速度S V 。

一般岩石的泊松比为0.25，此时μλ=，223S P V V =，3

1

=m ，代入上方程有：

0324563223=-+-x x x

或：

0)3128)(14(2=+--x x x

此方程的根为：4/11=x ；4332-=

x ；4

3

33+=x 这3个根中，只有3x 才满足x ＞1的要求，其它两个根应舍去。由4

3

3+=

x 有：

2

24

33S R

k k += 或： S R k k 087.1= S R V V 9194.0=

可见，在均匀弹性半空间存在的这个沿自由表面传播的波，其速度略小于横波速度，振幅随着离开自由表面的距离的增加而衰减，这就是面波。

2.1.2瑞雷面波的传播特征 1、瑞雷面波的质点振动

将式（）代入式（）并利用式（）消去B 可得：

???

????

-+-

=--

=------)(2

2)(2

2)22()22(t x k i z R S R z

R

R z t x k i z

S

R z R x R R e

e k k k e k A k D e e k k e A ik D ωβαωβαβα

αβ 取其实部：

)sin()22(2

2x k t e k k e Ak D R z

S

R z R x ---=--ωαββα )cos()22(22x k t e k k k e

k Ak D R z R

S R z

R

R z --+-

--ωβα

βα 上式为瑞雷面波的位移表达式。当∞→z 时，0→x D ，0→z D ，即在x 和z 方向的位移都为零，这说明瑞雷面波的分布深度是有限的。当介质为泊松体)25.0(=ν时，将式（）代入（）得：

)sin()5773.0(3933.08475.0x k t e e Ak D R z k z k R x R

R

--=--ω

)cos()4679.18475.0(3933.08475.0x k t e e Ak D R z k z k R z R

R

-+-=--ω

当0=z 时，即在自由表面上：

sin 42.00

D D z x ≈=)(x k t R -ω )cos(62.00

x k t D D R z z

-≈=ω

其中，R Ak D =。将上两式平方后相加并整理得： 1)(cos )(sin )62.0()42.0(

222

2=-+-=+x k t x k t D

D D D R R z x ωω 上式为椭圆方程。这表明在自由表面附近沿波传播方向得垂直平面内，瑞雷面波质点运动得轨迹是椭圆，椭圆的水平轴与垂直轴之比约为3:2，且质点的垂直位移比水平位移相位超前2

π

。

当介质的泊松比为0.25时，根据式（）可以计算出水平位移x D 和垂直位移z D 的振幅随深度的变化，如图（6－1）所示。从图中可以看出，当

z

R

λ＜0.193时，x D 和z D 的振幅的符号相同，两者合成之后

形成的质点运动轨迹为一逆时针方向转动的椭圆；当z

R

λ＞0.193时，

两者符号不同，质点运动轨迹为顺时针转动的椭圆。质点振动轨迹和振幅随单位波长深度的变化规律如图（6－2）所示。

2、瑞雷面波穿透深度与波长的关系

图（6－3）为根据式（）计算出的面波质点水平位移和垂直位移的振幅随深度变化的曲线。

从图中可以看到，当泊松比从0.1增大到0.5时，水平和垂直位移的振幅也随之增大。这说明介质的泊松比越大，则转换为面波的能量就越多；对于不同的介质，随着深度的增大，面波的水平和垂直位移的振幅达到极大值后迅速降低，其主要能量均集中在z

R

λ＜1的深度

范围内。由此认为，面波的穿透深度约为一个波长。

从图（6－3）还可以看到，当深度z 为波长R λ的一半时，面波的能量较强，当z 与R λ相当时，其能量迅速衰减。因此，某一波长的面波速度主要与深度小于R λ的地层物性有关，该特性为利用面波进行浅层勘探的定量解释提供了依据。通常认为，面波的勘探深度约为半个波长。

3、瑞雷面波与横波速度和泊松比ν的关系

式（）可以写为：

0114)2(2222

2

22=----R

S R P S R k k k k k k

或：

0114)2(22

22222=----S

R P R S R V V V V V V

横波和纵波的速度比为：

)

1(22122νν

--=P S V V

代入上式整理得：

011)(12)()(81246=----+-ν

ννS R S R S R V V V V V V 据此式可解出在均匀各向同性介质中传播的面波速度R V 、横波速度S V 与泊松比ν之间的关系为：

S R V V ν

ν

++=

112.187.0

当泊松比ν变化时，横波速度与面波速度之间的关系见下表，

纵波速度、横波速度随泊松比ν的变化如图（6－4）所示。

从图（6－4）中可以看出，随着ν接近0.5，R V 与S V 趋于同一值。一般来说，固结岩石的ν为0.25，土层的ν为0.45～0.49之间。因此对于土体而言，可认为R V 与S V 大致相等。从这一点出发，在进行土体勘探时，可根据面波速度得到横波速度，两者的误差约为5％左右。 4、瑞雷面波的衰减

纵波、横波的波前面相对激发点呈球面扩散，而瑞雷波的波前面呈柱面扩散。所以，其能量密度衰减较小。瑞雷波沿深度方向衰减快，仅存在于大约一个波长的深度内，而沿水平方向的能量密度随着传播距离r 按r

1

衰减，这比球面波扩散的体波能量密度按

21

r

衰减要小得多。 另外，研究证实，在弹性半空间表面上，通过圆形垫向下加一个垂向振动力，能量从震源向下辐射，约有2/3的能量会转化为瑞雷波，只有1/3的能量由体波携带，这是利用面波进行勘探的有利条件。 2.1.3层状介质中的瑞雷面波

在层状介质条件下，可以寻求一个面波的解析解。对于多层弹性

半空间而言，如均匀弹性半空间一样，瑞雷面波仍在zox 平面内传播。在这样的条件下，在自由表面上，仍有两个边界条件：垂直应力和水平应力为零；在两种介质的分界面处的边界条件为：垂直位移和水平位移连续，垂直应力和水平应力分量也连续，因此有四个边界条件。多于n 层介质，计算面波的传播问题共有24-n 个边界条件，即有24-n 个齐次联立方程。为简单计，现以一个简单的两层半空间问题为例。同样，取势函数为：

)

(t x k

i z R e Ae ωα?--= z Be βψ-=)

(t x k

i R e ω-

假设介质的自由表面之上有一非弹性覆盖层，并设覆盖层的厚度可以忽略，坐标取法如图（6－5）所示。在这样的条件下，由于覆盖

层的影响，该分界面上法向应力不再等于零，而是等于22t

D z

??ρ，切向

应力仍然等于零（因为覆盖层是非弹性物质）。这时的边界条件为：

2

22t

D z D z

z zz

??=??+=ρμλ?σ 0)(

=??+??=x

D z D z x xz μσ

z

D x D z

x ??+

??=

θ 边界条件进而可写成：

???

?

???

=????????-???+??????????-????=???+??-??+??+==02)()(2))(2(022

2220222222222z z x z x z x z t z x x z x ψ?ψψ?ρψ?μ??μλ 将?、ψ代入上式并化简得：

[][]

02)2(222222222=--+---B k k k k i A k k k k

R P R R P R S R ρωμρωμ

0)2(22

2222=--+--B k k k A k k ik S P R P R R

令这一方程组的系数行列式等于零，得：

[]

)2(2)2()2(222222222222=--------ρωμρωμS R R P R R P R S R S R k k k k k k k k k k k k 由上式可以看出，此时面波速度的解与频率有关，即面波速度具有频散。所谓速度频散，是指谐波传播的速度随频率的变化而变化。在瑞雷波的位移表达式中，有因子)()

(t V x ik t x k

i R R R e e --=ω，这假定瑞雷波是

谐波，而R V 是谐波同相面的传播速度，称之为相速度，用V 表示之。实际上，地震波是由许多不同频率、不同振幅的谐波叠加而成，各谐波按其各自的相速度传播，叠加而成的波列的包络线的传播速度称为群速度，用U 表示之。实际上，地震波的群速度就是地震波能量的传播速度。在物理学中，相速度和群速度的关系为：

λ

λ

d dV

V U -= 相速度和群速度的关系如图（6－6）所示。

由f

V R

R =

λ可知，不同的面波波长对应于不同的频率。因此，通过测量不同频率下介质的面波速度，便可以了解不同深度的介质的面波速度。

2.1.4面波的基阶模态和高阶模态

层状介质中的面波不仅有速度频散现象，还具有各种模态。因此，在层状介质条件下已不再是狭义的瑞雷面波。为简单起见，以乐甫面波为例来说明模态的概念。

乐甫面波是一种SH 型的面波，其质点振动方向与地表平行且垂直于波的传播方向，因此在界面上只有SH 型的应力。设在均匀弹性半空间上覆盖一弹性层，层厚度为H 。令x 、y 轴在自由表面上，z 轴垂直向下为正。乐甫面波为沿x 轴方向传播的平面波，质点的振动沿

y 轴方向，在y 轴方向的振幅和相位完全相同。乐甫面波的传播应满

足横波方程。仿照前面推导瑞雷面波表达式的方法，可得到两种介质中的位移为：

)(1)(1

1

t x k i z z L

e Be Ae D ωββ--+= 0＜z ＜H

)(22

t x k i z L

e Ce D ωβ--= z ＞H

其中，2121S L k k -=β；2222S L k k -=β；A 、B 、C 为待定系数。

边界条件：自由表面应力为零；分界面处应力和位移连续。即： 00

1

1

=??=z z

D μ

H

z H Z D D ===21

H

z H

z z

D z

D ==??=??22

11

μμ

将1D 、2D 代入此边界条件，化简后消去B 得： 0)(2

1

1

=-+--H H H Ce e e A βββ

H H H e C e e A 2

1

1

2211)(ββββμβμ--+-

上两式中，A 、C 不全为零，故其系数行列式必为零。解之得：

112211111)(βμβμβββββ-=+-=--H H H

H e

e e e H th

因为对所有的实数，)(x th 皆为正值，故上式成立的条件必须是取双曲正切的变量为虚数，将1β写成：

12

212121ββi k k i k k L S S L =-=-= （因为)()(x ith ix th =）

由此，上式化为： 1

12

21)(βμβμβ=

H th

或：

111)(21

22

2

221

2

--=

-S L S L

S L L V

V

V V V V H k th μ

μ

上式就是乐甫波得频散方程。它确定ω、L k 、L V 三者中任何两个之间的隐含关系，即说明乐甫面波的速度与频率有关，也就是说，乐甫面波同样具有频散效应。由于频散效应，使得脉冲型的波在传播一段距离之后会散成波列。

上述频散方程的解为：

))11(

(1121

22

2

21

21221

2πμ

μn V

V

V V V V arcth V

V

H k S L S S S L S L L +-?--=

Λ,2,1,0(=n )

图（6－7）是该解的图解。在图（）中，式（）的左端用实线表示，右端用虚线表示，两条曲线的交点即为式（）的解。从图（6－7）中可见，L V 的实根限定在1S V 与2S V 之间。即：

1S V ＜L V ＜2S V

在式（）中，每一个L k 对应一种乐甫面波，当0=n 时，称为基阶模态乐甫面波，对应的波数记为0L k ，当n ＞0时，称为高阶模态乐甫面波，对应的波数记为Ln k 。

对某一给定的ω，面波的模态为有限个。图（6－8）为基阶模态和紧邻的三个高阶模态的相速度随频率变化示意图。对于瑞雷面波，也同样存在多阶模态的问题。

图（6－9）为实测面波地震记录的波数－频率)

f 图，并标出

(k

某一频率（17.94赫兹）所对应的高阶面波和基阶面波的相速度。

图（6－10）是地面激发，在10～480米范围内接收的具有不同模态的面波记录。记录中A为部分折射波或反射波；B为高模波；C为基模波。

不同模态的面波，其能量的大小和地层的速度结构有关。将不同模态的面波分开的方法是在远离震源处布置检波器排列，因为不同模态的面波以不同的相速度传播，在远距离处有较大的到达时间差。

理论和试验研究表明，高模式面波具有很多有点，目前很多人还

没有注意到这一点。甚至有人认为，高模式面波的存在加大了基阶面波的提取难度，并使问题复杂化。他们在处理面波资料时，通常是将高模式面波当作干扰切除掉，这实际上是很可惜的。后面在面波资料的反演中还要提到，高模式面波在反演方面很有用。归纳起来，高模式面波具有以下优点：

1）比基阶模式面波更易得到。有时候，在高频范围内，高模式波比基模式波携带有更多的能量。也就是说，在高频范围内，有时可能无法得到基阶模式波的信息，此时高模式波是唯一的选择；

2）高模式波的穿透深度比基模波更大。在同样的频率条件下，高模波比基模波的穿透深度要大得多；

3）高模波对地层参数变化的敏感性较之基模波要大得多。在不同地层参数条件下所获得的基模波频散曲线有可能很相似，但相应的高模波频散曲线却有明显差别。这说明高模波在地层参数反演中具有重要的作用；

4）高模波的反演过程很稳定，并可使反演横波速度的精度得到提高；

5）反演过程中，利用高模波联合反演可以使反演更加稳定。

2.1.5面波频散曲线的图示方法

1、频率－波数)

f-法

(k

面波频散数据在k

f-坐标下的曲线如图（6－11）所示，图中纵

坐标为频率)(f ，正方向向下，横坐标为波数)(k 。图（6－11）中给出了各种模式的面波，其中基模对应的频散曲线是图中最上面的一条频散曲线。

2、频率－相速度)(R V f -)法

图（6－12）是面波频散数据在R V f -坐标下的图形。纵坐标是相速度R V ，正方向向上，横坐标是频率f 。图中最下面一条曲线为基模的曲线，从左至右表示从基模向高模变化。这是频散数据最基本的图示方式，表现了相速度随频率变化的趋势。

3、半波长－相速度R V -2/(λ)法

频散曲线在R V -2/λ坐标下的曲线如图（6－13）所示。

λ由频率和相速度根据f V R /=λ换算出。横坐标是相速度，纵坐

标是半波长，基阶模态频散数据表示为最左边的曲线，其余依次为各高阶模态的正演频散曲线，计算模型在图左下方给出。

由于面波由地表向下的波动影响深度与其半波长关系密切，因此利用半波长和相速度表示的绵薄的频散曲线能直观地反映出面波的相速度随深度的变化情况。据此，我们可以了解地层断面的分布特征。