第二章 2-1面波勘探的基本原理

第二节瑞雷面波法自1887年英国学者瑞雷从理论上证明了瑞雷面波的存在以来，人们曾对面波的形成和传播特征做过许多研究，但长期以来，它却一直被认为是地震勘探中的一种干扰波，没有利用价值。

上世纪六十年代开始，国外有人开始研究瑞雷面波的有效利用问题。

到上世纪八十年代，瑞雷面波的传播特性及利用方面的研究成为世界工程地球物理勘探同行们的研究热点。

目前，瑞雷面波勘探法在我国已经得到广泛应用，现在几乎国内外所有的浅层地震勘探仪都配有瑞雷面波勘探的功能。

尽管其应用已经如此广泛，但瑞雷面波勘探的理论问题、仪器问题和处理解释问题还并没有得到很好的解决。

也就是说，瑞雷面波勘探在技术及理论方面还有大量的工作要做。

§2－1面波勘探的基本原理2.1.1均匀半空间瑞雷面波的形成地表震源不仅激发纵波和横波，同时由于纵波和横波的相互干涉叠加，会出现波形的转换，使地下介质质点按一定的轨迹运动，形成一种新的、能量很强且主要集中在地表附近的波动。

由于这种波是1887年由瑞雷从数学上证明其存在的，故称为瑞雷面波。

关于瑞雷波的推导如下：条件：自由界面以下为半无限均匀弹性介质，介质的弹性常数为λ和μ，密度为ρ，x、y轴取在自由表面上，z轴垂直向下。

设瑞雷波速为V，在zox平面内沿x轴方向传播，在y轴方向的振幅和相位完R全相同，及只讨论平面二维情况。

令其势函数为：)()(t x ki R e z f ωϕ-= )()(t x ki R e z f ωψ-=ϕ 和ψ分别满足下列波动方程：22221tV P ∂∂=∇ϕϕ22221tV S ∂∂=∇ψψ将ϕ、ψ代入上式，可得：0)(2222=--f k k dzf d P R0)(2222=--g k k dzg d S R 其中，PP V k ω=，SS V k ω=，RR V k ω=。

上式的解为：z z Ce Ae f αα+=- z z De Be g ββ+=-式中：22PR k k -=α，22S R k k -=β。

由边界条件：0,→∞→z ψϕ得：0=C ，0=D 。

于是有：)(t x ki z R e Ae ωαϕ--= z Be βψ-=)(t x ki R e ω-在自由界面，其边界条件是正应力和切应力为零。

即：02)(=∂∂+∂∂+∂∂=Z Dz D x D Z z x z zz μλσ 0)(=∂∂+∂∂==xD z D zx z xzμσ 其中，x D 、z D 是位移分量：z x D x ∂∂-∂∂=ψϕ xz D z ∂∂-∂∂=ψϕ 弹性常数λ、μ与介质密度及纵、横波的关系分别为： )2(22S P V V -=ρλ 2S V ρμ=将这些代入边界条件方程,通过简化可得：0)(20222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂+∇=z S P x z x V V ϕψϕ02022222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂∂=z z xz x ψψϕ 将ϕ和ψ代入上两式化简可得：0)(2)(22222=-+-βψϕϕαR R S RP ik k V k V 022=---ψβψαϕR R k ik根据α、β的定义，最后得到：02)2(2222=---B k k ik A k k S R R S R0)2(222222=-+-B k k A k k ik S R P R R若要A 、B 不为零，则上式的系数行列式应为零，即：04)2(22222222=----S R P R R S Rk k k k k k k 上式即为瑞雷方程。

令：22S R k k x =; 22S Pk k m ==22PS V V代入上式得：014)12(2=----x m x x x 整理得：018)32(8)1(1623=-+-+-x x m x m令1=x ，上式左边＝－1＜0，令∞→x ，则上式左边∞→。

因此，该方程在),1(+∞之间至少有一个x 得实根。

也就是：x k k S R=22＞1或： 2R k ＞2S k亦即：R V ＜S V 。

由此可见，面波速度R V 既小于纵波速度P V ,也小 于横波速度S V 。

一般岩石的泊松比为0.25，此时μλ=，223S P V V =，31=m ，代入上方程有：0324563223=-+-x x x或：0)3128)(14(2=+--x x x此方程的根为：4/11=x ；4332-=x ；4333+=x 这3个根中，只有3x 才满足x ＞1的要求，其它两个根应舍去。

由433+=x 有：22433S Rk k += 或： S R k k 087.1= S R V V 9194.0=可见，在均匀弹性半空间存在的这个沿自由表面传播的波，其速度略小于横波速度，振幅随着离开自由表面的距离的增加而衰减，这就是面波。

2.1.2瑞雷面波的传播特征 1、瑞雷面波的质点振动将式（）代入式（）并利用式（）消去B 可得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+-=--=------)(22)(22)22()22(t x k i z R S R zRR z t x k i zSR z R x R R ee k k k e k A k D e e k k e A ik D ωβαωβαβααβ 取其实部：)sin()22(22x k t e k k e Ak D R zSR z R x ---=--ωαββα )cos()22(22x k t e k k k ek Ak D R z RS R zRR z --+---ωβαβα 上式为瑞雷面波的位移表达式。

当∞→z 时，0→x D ，0→z D ，即在x 和z 方向的位移都为零，这说明瑞雷面波的分布深度是有限的。

当介质为泊松体)25.0(=ν时，将式（）代入（）得：)sin()5773.0(3933.08475.0x k t e e Ak D R z k z k R x RR--=--ω)cos()4679.18475.0(3933.08475.0x k t e e Ak D R z k z k R z RR-+-=--ω当0=z 时，即在自由表面上：sin 42.00D D z x ≈=)(x k t R -ω )cos(62.00x k t D D R z z-≈=ω其中，R Ak D =。

将上两式平方后相加并整理得： 1)(cos )(sin )62.0()42.0(2222=-+-=+x k t x k t DD D D R R z x ωω 上式为椭圆方程。

这表明在自由表面附近沿波传播方向得垂直平面内，瑞雷面波质点运动得轨迹是椭圆，椭圆的水平轴与垂直轴之比约为3:2，且质点的垂直位移比水平位移相位超前2π。

当介质的泊松比为0.25时，根据式（）可以计算出水平位移x D 和垂直位移z D 的振幅随深度的变化，如图（6－1）所示。

从图中可以看出，当zRλ＜0.193时，x D 和z D 的振幅的符号相同，两者合成之后形成的质点运动轨迹为一逆时针方向转动的椭圆；当zRλ＞0.193时，两者符号不同，质点运动轨迹为顺时针转动的椭圆。

质点振动轨迹和振幅随单位波长深度的变化规律如图（6－2）所示。

2、瑞雷面波穿透深度与波长的关系图（6－3）为根据式（）计算出的面波质点水平位移和垂直位移的振幅随深度变化的曲线。

从图中可以看到，当泊松比从0.1增大到0.5时，水平和垂直位移的振幅也随之增大。

这说明介质的泊松比越大，则转换为面波的能量就越多；对于不同的介质，随着深度的增大，面波的水平和垂直位移的振幅达到极大值后迅速降低，其主要能量均集中在zRλ＜1的深度范围内。

由此认为，面波的穿透深度约为一个波长。

从图（6－3）还可以看到，当深度z 为波长R λ的一半时，面波的能量较强，当z 与R λ相当时，其能量迅速衰减。

因此，某一波长的面波速度主要与深度小于R λ的地层物性有关，该特性为利用面波进行浅层勘探的定量解释提供了依据。

通常认为，面波的勘探深度约为半个波长。

3、瑞雷面波与横波速度和泊松比ν的关系式（）可以写为：0114)2(2222222=----RS R P S R k k k k k k或：0114)2(2222222=----SR P R S R V V V V V V横波和纵波的速度比为：)1(22122νν--=P S V V代入上式整理得：011)(12)()(81246=----+-νννS R S R S R V V V V V V 据此式可解出在均匀各向同性介质中传播的面波速度R V 、横波速度S V 与泊松比ν之间的关系为：S R V V νν++=112.187.0当泊松比ν变化时，横波速度与面波速度之间的关系见下表，纵波速度、横波速度随泊松比ν的变化如图（6－4）所示。

从图（6－4）中可以看出，随着ν接近0.5，R V 与S V 趋于同一值。

一般来说，固结岩石的ν为0.25，土层的ν为0.45～0.49之间。

因此对于土体而言，可认为R V 与S V 大致相等。

从这一点出发，在进行土体勘探时，可根据面波速度得到横波速度，两者的误差约为5％左右。

4、瑞雷面波的衰减纵波、横波的波前面相对激发点呈球面扩散，而瑞雷波的波前面呈柱面扩散。

所以，其能量密度衰减较小。

瑞雷波沿深度方向衰减快，仅存在于大约一个波长的深度内，而沿水平方向的能量密度随着传播距离r 按r1衰减，这比球面波扩散的体波能量密度按21r衰减要小得多。

另外，研究证实，在弹性半空间表面上，通过圆形垫向下加一个垂向振动力，能量从震源向下辐射，约有2/3的能量会转化为瑞雷波，只有1/3的能量由体波携带，这是利用面波进行勘探的有利条件。

2.1.3层状介质中的瑞雷面波在层状介质条件下，可以寻求一个面波的解析解。

对于多层弹性半空间而言，如均匀弹性半空间一样，瑞雷面波仍在zox 平面内传播。

在这样的条件下，在自由表面上，仍有两个边界条件：垂直应力和水平应力为零；在两种介质的分界面处的边界条件为：垂直位移和水平位移连续，垂直应力和水平应力分量也连续，因此有四个边界条件。

多于n 层介质，计算面波的传播问题共有24-n 个边界条件，即有24-n 个齐次联立方程。

为简单计，现以一个简单的两层半空间问题为例。

同样，取势函数为：)(t x ki z R e Ae ωαϕ--= z Be βψ-=)(t x ki R e ω-假设介质的自由表面之上有一非弹性覆盖层，并设覆盖层的厚度可以忽略，坐标取法如图（6－5）所示。

在这样的条件下，由于覆盖层的影响，该分界面上法向应力不再等于零，而是等于22tD z∂∂ρ，切向应力仍然等于零（因为覆盖层是非弹性物质）。

这时的边界条件为：222tD z D zz zz∂∂=∂∂+=ρμλϑσ 0)(=∂∂+∂∂=xD z D z x xz μσzD x D zx ∂∂+∂∂=θ 边界条件进而可写成：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+==02)()(2))(2(0222220222222222z z x z x z x z t z x x z x ψϕψψϕρψϕμϕϕμλ 将ϕ、ψ代入上式并化简得：[][]02)2(222222222=--+---B k k k k i A k k k kR P R R P R S R ρωμρωμ0)2(222222=--+--B k k k A k k ik S P R P R R令这一方程组的系数行列式等于零，得：[])2(2)2()2(222222222222=--------ρωμρωμS R R P R R P R S R S R k k k k k k k k k k k k 由上式可以看出，此时面波速度的解与频率有关，即面波速度具有频散。