福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案
2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。
福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题含答案
莆田第二十五中学2020-2021学年上学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知命题:p “2,20x R x x ∀∈-+≥”，则p ⌝是 （ ）A ．x ∀∉R 2,20x x -+>B ．x ∀∉R 200,20x x -+≤C ．0x ∃∈R 200,20x x -+<D ．0x ∀∉R 200,20x x -+≤2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222+a c b c b -=，则∠A ＝（ ）A ．23πB ．3πC ．56πD ．6π 3．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( )A ．36B ．30C ．24D ．14．不等式ax 2+bx +1＞0的解集是1123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a +b 的值是（ ） A ．5B ．5-C ．7-D ．75．已知斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13 7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，112AB A A ==，M 、N 分别是1BB 和11B C 的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）A B ．2C ．25D ．35 8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，n *∈N ，则n n a b >B ．若a b >，c d <，则a c b d ->-C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则11a b< 10．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--．对于结论：① AP AB ⊥；② AP AD ⊥；③ AP 是平面ABCD 的法向量；④ //AP BD ．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知曲线22:1C mx ny +=（ ）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线12．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．∆ABC 中,已知tan sin 2A B C +=,则∆ABC 的形状为____ 14．已知集合{}260A x x x =+-≤，{}35B x m x m =-≤≤+,若“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件，求m 的范围为__________.15．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________. 16．设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是抛物线24y x =的焦点，若()3,2B ，则PB PF +的最小值为______．四、解答题（本大题共6道小题，共70分，请写出必要的解答过程）17．（满分10分）在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P 为平面ABC 外一点，其中110()23,)0(A B ，，，，，若平面ABC 的一个法向量为(1,),1m ，求点P 到平面ABC 的距离.18．（满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，且asinB=3bcosA ． （1）求A ；（2）若S=23，b ﹣c=2，求a 的值．19．（满分12分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）221n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .20．（满分12分）已知椭圆C ：22416+=x y .（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）求通过()2,1M 点且被点()2,1M 平分的弦所在的直线方程.21．（满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证：PA EF ⊥；(2)求二面角D-FG-E 的余弦值.22．（满分12分）.已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.。
福建省厦门市杏南中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试题
福建省厦门市杏南中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试题一、单选题1．直线20x -=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π62．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c =，12PE PD = ，则BE = （）A ．131222a b c-+ B ．111222a b c-+C ．131222a b c++ D ．113222a b c-+ 3．已知椭圆22:193x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为E 上一点，若12PF PF ⊥，则12F PF 的面积为（）A ．32B ．52C ．3D ．54．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与椭圆221305x y +=有相同的焦点，且离心率为53，则双曲线C 的方程为（）A ．2213218x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=5．若直线l 过点(3,2)--，且与双曲线2214x y -=过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l 的方程为（）A ．280x y +-=B ．280x y ++=C ．280x y -+=D ．260x y --=6．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（）A B C D ．37．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点(1,0)A -和(2,1)B ，且该平面内的点P 满足PA =，若点P 的轨迹关于直线20+-=mx ny 对称，则52m n +的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，）的右焦点为F ，c 是双曲线C 的半焦距，点A 是圆²²²x y c +=上一点，线段FA 与双曲线C 的右支交于点B .若,2FA a FA FB ==，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．332CD ．372二、多选题9．已知直线0x y +=与圆()222:2M x y r +-=相切，则下列说法正确的有（）A ．r =B ．过()0,5作圆MC ．圆M 与圆22480x y x ++-=的位置关系为内含D ．圆M 与圆22(3)(1)10x y +++=与圆M 的公共弦所在直线的方程为3310x y +-=.10．已知椭圆22:1364y x C +=，下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的长半轴长是12B ．椭圆C 的短半轴长是2C ．椭圆C 的焦点坐标分别是()()120,2,0,2F F -D ．经过椭圆C 焦点的最短弦长是4311．已知空间四个点ABCD ，其坐标分别为(0,0,0),(2,1,4),(4,2,0),(1,1,1)A B C P -，则下列结论正确的有（）A ．⊥AP AB B ．AP BP⊥C ．//AP BCD ．点P 到直线AC 的距离为305.三、填空题12．在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足24OM OA OB OC λ=+-．若M ，A ，B ，C四点共面，则λ=．13．已知直线340x y m +-=和610x my ++=互相平行，则实数m =，两直线之间的距离是．14．已知经过点(2,1)P 且斜率为1-的直线l 与椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>交于,A B 两点，若P 恰为弦AB 的中点，且椭圆的上顶点为()0,2，则椭圆的方程为四、解答题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，E ，F ，G 分别是111,,BB D B AB 的中点．(1)求证：1EF A D ⊥：(2)求证：//EF 面1A DG ；16．已知圆22:24100M x x y y -++-=．(1)求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：(2)若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B 两点，且AB =C 的值．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点P 到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)存在一组平行直线:l y x t =+，①直线l 与椭圆C 相交时，求t 的取值范围;②当1t =，直线l 与椭圆相交于AB 两点，求AB .18．已知动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45．(1)求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)在E 上是否存在一点使得它到直线45400x y -+=的距离最小？若存在，请求出最小距离而对应点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成角为45︒，底面ABCD 为直角梯形，90,2,1ABC BAD AD PA BC ︒∠=∠====.(1)求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2)求平面PCD 与平面PBA 所成角的余弦值；(3)N 为AD 中点，线段PC 上是否存在动点M （不包括端点），使得点P 到平面BMN 距离为13.若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.。
2020-2021学年福建省龙岩市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年福建省龙岩市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知命题P ：∀x ∈R ，x 2+x −1<0，则命题￢P 是( )A. ∀x ∈R ，x 2+x −1≥0B. ∃x ∈R ，x 2+x −1≥0C. ∀x ∈R ，x 2+x −1>0D. ∃x ∈R ，x 2+x −1<0 2. 已知椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为F(−√3,0)，则这个椭圆的方程是( )A.x 23+y 22=1B.x 24+y 22=1C.x 25+y 22=1D.x 26+y 22=13. 已知向量a ⃗ =(−1,m ，2)，向量b ⃗ =(3,1，n)，满足a ⃗ //b ⃗ ，则m +n =( )A. 196B. −196C. 193D. −1934. 下列命题中正确的是( )A. 事件A 发生的概率P(A)等于事件A 发生的频率f n (A)B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点 C. 掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则P(A)=2P(B)D. 对于两个事件A 、B ，若P(A ∪B)=P(A)+P(B)，则事件A 与事件B 互斥 5. “−1<m <1”是“方程x 2m+1+y 2m−2=1表示双曲线”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =−√2x 无交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A. (1,√3] B. [√3,+∞) C. (1,√5] D. [√5,+∞)7. 在等边三角形ABC 中，连接三角形的三边中点，将它分成4个小三角形，并将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图形，现向三角形ABC 内随机投入16000个小图钉(大小忽略不计)，则落在白色部分内的图钉个数大约有( ) A. 7000个 B. 8000个 C. 9000个 D. 9600个8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(1,2,√2),D(2,0,√2),E(0,2,√2)，动点M 在线段DE 上，P 为AB 的中点.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ，则cosθ的最大值为( ) A. 2√37B. 67C. √137D. 3√10535二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A. AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗10. 甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为( )A. s 1>s 2B. s 1>s 3C. s 2>s 3D. s 2>s 111. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22.则下列结论中正确的有( )A. 当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 总成立B. 当E 向D 1运动时，二面角A −EF −B 逐渐变小C. 二面角E −AB −C 的最小值为45°D. 三棱锥A −BEF 的体积为定值12. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为k 的直线交抛物线C 于A ，B两点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N.则下列结论中正确的有( )A. |NP|=|MQ|B. P ，Q 是线段MN 的三等分点C. 以FB 为直径的圆一定与y 轴相切D. △AOB 的面积等于p 2√1+k 2|k|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 甲、乙两名同学在一个学期内各次数学测试成绩的茎叶图如图(单位：分)，则甲同学得分的中位数与乙同学得分的平均数之差为______ 分.14. 过点P(1,1)的直线l 与双曲线y 22−x 2=1交于M ，N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为______ ．15. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,z)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y ，−1).若BP ⊥平面ABC ，则|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______ ． 16. 已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点F 恰好是双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，且C 1与C 2的交点的连线过点F ，设双曲线C 2的渐近线的斜率为k ，则k 2的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行追加投资以提高产品销售量，现对某农产品的追加投资额与追加投资额x(万元) 1 2 3 4 5 销售量y(吨)16 20 23 25 26数据显示追加投资额万元与对应的销售量y(吨)满足线性相关关系． (1)求销售量y(吨)关于追加投资额x(万元)的线性回归方程y ^=b ^x +a ^；(2)若追加投资额为10万元，预计该产品的销售量为多少吨？ 参考公式：线性回归方程y ^=b ^x +a ^中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．18. 设命题p ：方程x 2a+y 23=1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2a,a),n ⃗ =(−4,1，a −1)满足m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0． (1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ，q 有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．19. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)记事件A 为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求P(A)；(2)记事件B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：P(C)−P(B)=15P(A)．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M(−1,0)，N(1,0)，动点Q 到点M 的距离为2√2，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)已知点P(2,0)，设直线l ：x +my −1=0与曲线E 交于A ，B 两点，求证：∠OPA =∠OPB ．21.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，点Q为底面ABCD的中心，点F为线段BB1的中点．(1)求二面角Q−D1F−C1的正弦值；(2)已知点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，且QD1⊥QP，求△D1C1P面积的最小值．22.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，椭圆C1的一个短轴端点恰好是抛物线C2：x2=4y的焦点F．(1)求椭圆C1的方程；(2)过点F的直线交抛物线C2于M，N两点，连接NO，MO，线段NO，MO的延长线分别交椭圆C1于A，B两点，记△OMN与△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB，设λ=S△OMN−S△OAB，求λ的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题是个基础题．对命题“∃x∈A，P(X)”的否定是：“∀x∈A，¬P(X)”；对命题“∀x∈A，P(X)”的否定是：“∃x∈A，¬P(X)”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题．对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，由此不难得到对命题“∃x<0，有x2>0”的否定．【解答】解：∵对命题：“∀x∈A，¬P(X)”否定是“∃x∈A，P(X)”∴对命题“∀x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”故选B．2.【答案】C【解析】解：∵椭圆x2a2+y22=1的一个焦点为F(−√3,0)，∴b2=2，c=√3，∴a2=b2+c2=3+2=5，∴椭圆方程为x25+y22=1．故选：C．利用椭圆的简单性质求解．本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．3.【答案】D【解析】解：向量a⃗=(−1,m，2)，向量b⃗ =(3,1，n)，若a⃗//b⃗ ，设a⃗=k b⃗则有{−1=3km=k2=kn，则k=−13，则有m=−13，n=−6，则m+n=−13−6=−193，故选：D．根据题意，设a⃗=k b⃗ ，有{−1=3km=k2=kn，求出m、n的值，计算可得答案．本题考查空间向量平行的判断，涉及空间向量的坐标表，数基础题．4.【答案】D【解析】解：频率与试验次数有关，总在概率附近摆动，故选项A错误；概率是指这件事发生的可能性，故选项B错误；P(A)=12×12=14，P(B)=12×12=14，所以P(A)≠2P(B)，故选项C错误；因为P(A∪B)=P(A)+P(B)，则P(A∩B)=0，故事件A与事件B互斥，故选项D正确．故选：D．利用频率与概率的定义判断选项A，B，直接求解即可判断选项C，利用事件互斥的概率判断选项D．本题考查了概率知识的理解和应用，涉及了频率与概率的关系，互斥事件的概率，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：若方程x2m+1+y2m−2=1表示双曲线，则(m+1)(m−2)<0，得−1<m<2，则“−1<m<1”是“方程x2m+1+y2m−2=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．根据方程是双曲线求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的等价条件求出m的范围是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=−√2x无交点，∴由题意可得，ba≤√2，∴e=√1+b2a2≤√3，又∵e>1，∴离心率e的取值范围是(1,√3].故选：A．由题意可得，ba≤√2，由此能求出离心率e的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7.【答案】A【解析】解：由图可知：黑色部分有9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P(A)=7S小三角形16S小三角形=716，∴向三角形ABC内随机投入16000个小图钉，则落在白色部分内的图钉个数大约有16000×716=7000个．故选：A．观察图象，由几何概型概率公式可得图钉落在白色区域的概率，乘以16000得答案．本题考查几何概型及其概率的求法，考查运算能力与求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：因为P 为AB 的中点，根据中点坐标公式可得P(2,1，0)， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√2),PE −=(−2,1,√2)， 因为M 在线段DE 上，设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ−1,√2)，λ∈[0,1]， 所以cosθ=PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2λ+4λ−2+2√4λ2+(2λ−1)2+√22⋅√1+4+2=√8λ2−4λ+3⋅√7=√8+3λ2−4λ⋅√7(λ≠0)，当λ=0时，cosθ=0， 8+3λ2−4λ=3(1λ−23)2+203，因为λ∈(0,1]， 所以1λ≥1，故当1λ=1，即λ=1时，8+3λ2−4λ=3(1λ−23)2+203取得最小值7，所以cosθ的最大值为√7×√7=67．故选：B ．利用M 在线段DE 上，设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ−1,√2)，λ∈[0,1]，再利用两个向量的夹角公式表示cosθ，然后再利用二次函数的性质求解最值即可．本题考查了空间角的求解，主要考查了异面直线所成的角的求解，涉及了向量夹角公式的应用、二次函数最值的应用，解题的关键是将cosθ表示出来，属于中档题． 9.【答案】BCD【解析】解：AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选项A 错误；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1−，故选项B 正确； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选项C 正确； AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选项D 正确．故选：BCD ．利用空间向量的加法和减法的三角形法则对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了空间向量及其线性运算，解题的关键是掌握空间向量加法和减法的三角形法则，属于基础题． 10.【答案】AB【解析】解：根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大； 第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小； 第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，比第二组数据方差大； 综上可知s 1>s 3>s 2．故选：AB ．根据三个频率分布直方图，结合方差的定义，对三组数据的方差大小作出大小判断．本题利用频率分布直方图，考查了三组数据的方差与标准差的应用问题，也考查了读图能力，是基础题． 11.【答案】CD【解析】解：以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系如图所示， 设D 1E =a(0≤a ≤√22)，则A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，E(√22a,√22a,1)，F(√22a +12,√22a +12,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1,√22a,1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a +12,√22a −12,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1)(√22a +12)+√22a(√22a −12)+1=a 2−√22a +12≠0， 所以当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 不成立，故A 错误；二面角A −EF −B 的平面角即为二面角A −B 1D 1−B 的平面角相等， 即二面角A −EF −B 为定值，故B 错误；设平面EAB 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1=0(√22a −1)x 1+√22ay 1+z 1=0，可取n ⃗ =(1,0，1−√22a)， 平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1−√22a 1+(1−√22a)=1√1+1(1−√22a)，由0≤a ≤√22，可得14≤(1−√22a)2≤1，则√5≤cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >≤√2， 可得a =0时，即E ，D 1重合时，二倍角E −AB −C 的平面角取得最小值45°，故C 正确； ∵V A−BEF =13S △BEF ⋅12AC =13×12×√22×1×√22=112，∴三棱锥E −ABF 的体积为定值，故D 正确． 故选：CD ．以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设D 1E =a(0≤a ≤√22)，分别求得A ，B ，C ，E ，F ，的坐标，向量AE ，CF ，AB 的坐标，由向量的难道坐标表示可判断A ；由二面角A −EF −B 的平面角即为二面角A −B 1D 1−B 的平面角相等，可判断B ；运用法向量求出二面角E −AB −C 的平面角的范围，可判断C ；由棱锥的体积公式，可判断D ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 12.【答案】AC【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线为l：x=−p2，直线AB的方程为y=k(x−p2)，与抛物线的方程联立，可得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=p+2pk2，x1x2=p24，y1+y2=k(x1+x2−p)=2pk，y1y2=−2p√x1x2=−p2，线段AB的中点M的坐标为(p2+pk2,pk)，N(−p2,pk)，直线OA的方程为y=y1x1x即y=2py1x，可得P(y12k,pk)，同理可得Q(y22k ,pk )，则|NP|=y12k +p2，|MQ|=p2+pk2−y22k，由y1+y22k =pk2，可得|NP|=|MQ|，故A正确；又|PQ|=|y1−y22k |=√(y1+y2)2−4y1y2|2k|=√4p2k2+4p2|2k|=p√1+k2k2，|MN|=|p+pk2|=p(1+k2)k2，可得|MN|≠3|PQ|，故B错误；又FB的中点T的横坐标为p4+x22，可得T到y轴的距离为p4+x22，|FB|=x2+p2，可得|FB|=2(p4+x22)，则以FB为直径的圆一定与y轴相切，故C正确；由S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|=p4√(y1−y2)2−4y1y2=p4√4p2k2+4p2=p22⋅√1+k2|k|，故D错误．故选：AC．求得抛物线的焦点和准线方程，设直线AB的方程为y=k(x−p2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，分别求得M，N，P，Q的坐标，计算可判断A，B；由FB的中点和直线和圆的位置关系可判断C；由三角形的面积公式和韦达定理，计算可判断D．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由茎叶图中数据知，甲同学得分的中位数为85， 乙同学得分的平均数为17×(70+81+83+96+87+88+93)=84， 所以甲的中位数与乙的平均数之差为85−84=1(分)． 故答案为：1．根据茎叶图中数据求出甲的中位数和乙的平均数，再求差即可．本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数和平均数的应用问题，是基础题． 14.【答案】y =2x −1【解析】解：过点P(1,1)作直线l 与该双曲线交于M ，N 两点， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，∴{y 122−x 12=1y 222−x 22=1，两式相减可得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)=12(y 1+y 2)(y 1−y 2)， 由P 为MN 的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， ∴2(x 1−x 2)=y 1−y 2，则k MN =y 1−y2x 1−x 2=2，所以直线l 的方程为y −1=2(x −1)，即为y =2x −1． 故答案为：y =2x −1．由题意可知设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用平方差法求得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)−12(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，代入求得直线MN 的斜率，即可点到所求直线方程． 本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题． 15.【答案】√5【解析】解：因为BP ⊥平面ABC ， 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有{BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)+y +2=0BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)−y −z =0，解得y =x −1，2x =z所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y +1,−1−z)， 所以|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x −2)2+(y +1)2+(−1−z)2 =(x −2)2+(−x)2+(1−2x)2=6x 2+5≥5，所以|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√5． 利用BP ⊥平面ABC ，转化得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．本题考查了空间向量的坐标运算，涉及了空间向量垂直的额坐标表示、空间向量模的表示，解题的关键是得到x ，y ，z 之间的关系，属于中档题．16.【答案】2+2√2【解析】解：由题意知，F(p2,0)，a 2+b 2=(p2)2，即p 2=4(a 2+b 2)①，设C 1与C 2的交点为A ，B ，则x A =x B =p2， 不妨取点A 在第一象限，则y A =√2p ⋅x A =p ，把点A(p2,p)代入双曲线C 2的方程中，有p 24a2−p2b2=1②，由①②可得，(ba )2=2±2√2(舍负)， ∵双曲线C 2的渐近线方程为y =±ba x ， ∴k 2=(ba )2=2+2√2．故答案为：2+2√2．由题意知，a 2+b 2=(p2)2①，设C 1与C 2的交点为A ，B ，不妨取点A 在第一象限，利用抛物线的方程求出点A 的坐标后，将其代入双曲线C 2的方程中，有p 24a 2−p 2b2=1②，然后由①②解出(ba )2的值，而k 2=(ba )2，得解．本题考查双曲线和抛物线的几何性质，主要包含双曲线的焦点、渐近线方程和抛物线的焦点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)x −=15(1+2+3+4+5)=3，y −=15(16+20+23+25+26)=22，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−2)×(−6)+(−1)×(−2)+0×1+1×3+2×4=25，∑(5i=1x i −x −)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10， ∴b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2510=2.5，a ̂=y −−b ̂x −=22−2.5×3=14.5， 则y 关于x 的线性回归方程为y ̂=2.5x +14.5；(2)在y ̂=2.5x +14.5中，其x =10，得y ̂=2.5×10+14.5=39.5．故追加投资额为10万元，预计该产品的销售量为39.5吨．【解析】(1)由已知数据求得b ^与a ^的值，可得y 关于x 的线性回归方程； (2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x =10求得y ^的值即可．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：由椭圆性质知，p 为真⇔x ∈(0,1)；由空间向量内积公式知，q 为真⇔1⋅(−4)+(−2a)⋅1+a(a −1)<0⇔a 2−3a −4<0 ⇔(a +1)(a −4)<0⇔a ∈(−1,4)； (1)p 为真，则a 的取值范围是x ∈(0,1)； 故答案为：x ∈(0,1)．(2)因为，q 为真⇔a ∈(−1,4)，p 为真⇔x ∈(0,1)，并且(0,1)⊂(−1,4)，所以使p ，q 有且仅有一个为真命题， a 的取值范围是a ∈(−1,]∪[3,4)． 故答案为：a ∈(−1,]∪[3,4)．【解析】(1)根据椭圆性质求解．(2)根据向量内积公式求解不等式，结合命题逻辑关系求解．本题以命题的真假判断为载体，考查了椭圆的基本概念，空间向量内积，难度不大，属于基础题．19.【答案】解：(1)一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．记事件A 为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”．一次摸出2个球基本事件总数n =C 52=10，其中摸出的球为一个红球，一个白球包含的基本事件个数m =C 31C 21=6， ∴P(A)=m n=610=35．(2)证明：记事件B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”， P(B)=3×2+2×35×5=1225，记事件C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”， P(C)=3×2+2×35×4=1220=35， ∴P(C)−P(B)=15P(A)．【解析】(1)一次摸出2个球基本事件总数n =C 52=10，其中摸出的球为一个红球，一个白球包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，由此能求出P(A)． (2)利用古典概型概率计算公式先分别求出P(B)，P(C)，由此能证明P(C)−P(B)=15P(A)． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：(1)因为线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，所以KN =KQ ， 又KQ =QM −KM ，所以KM +KN =QM =2√2>MN =2，故点K 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a =2√2，2c =2， 所以a =√2，c =1， 故b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线E 的方程为x 22+y 2=1；(2)因为点P(2,0)在椭圆外，所以∠OPA ，∠OPB 都是锐角，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨取y 1>0>y 2， 联立方程组{x +my +1=0x 22+y 2=1，可得(m 2+2)y 2−2my −1=0， 所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，故tan∠OPA =−k PA =y 12−x 1=y1my 1+1，tan∠OPB =k PB =−y22−x 2=−y 2my2+1，所以tan∠OPA −tan∠OPB =y1my 1+1+y2my 2+1=2my 1y 2+y 1+y 2m 2y1y 2+m(y 1+y 2)+1，又2my 1y 2+y 1+y 2=2m ⋅(−1m 2+2)+2mm 2+2=0，所以tan∠OPA −tan∠OPB =0，即tan∠OPA =tan∠OPB ， 故∠OPA =∠OPB ．【解析】(1)利用中垂线的性质可得KN =KQ ，从而得到KM +KN =QM =2√2>MN =2，利用椭圆的定义进行分析求解即可；(2)根据点P 的位置，确定∠OPA ，∠OPB 都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明．本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了椭圆定义的应用、椭圆标准方程的求解，同时考查了直线与椭圆位置关系的应用，对于此类问题，一般会联立方程组，利用韦达定理进行研究，属于中档题． 21.【答案】解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则Q(12,12,0)，D 1(0,0，2)，F(1,1，1)，C 1(0,1，2)， D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，D 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,−2)， 设平面QD 1F 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1−z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x 1+12y 1−2z 1=0，可取x 1=1，则m⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面D 1FC 1的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ⃗ ⋅D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2=0n ⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−z 2=0，可取x 2=1，则n⃗ =(1,0，1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√2=12， 则二面角Q −D 1F −C 1的正弦值为√1−14=√32；(2)可设P(x,1，z)，0≤x ≤1，0≤z ≤1，则QP ⃗⃗⃗⃗⃗=(x −12,12,z)， 又D 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,−2)，QD 1⊥QP 即QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以12(x −12)+12×12−2z =0，化为x =4z ， 由D 1C 1⊥CP ，所以S △D 1C 1P =12|D 1C 1|⋅|PC 1|=12√(x −0)2+(1−1)2+(z −2)2=12√x 2+z 2−4z +4 =12√17z 2−4z +4=12√17(z −217)2+6417，当z =217时，△D 1C 1P 面积取得最小值4√1717．【解析】(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得Q ，D 1，F ，C 1的坐标，分别设出平面D 1FC 1和面QD 1F 的法向量，运用向量数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值；(2)设P(x,1，z)，0≤x ≤1，0≤z ≤1，由向量垂直的条件计算可得x =4z ，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值．本题考查空间二面角的求法，以及线线、线面和面面的位置关系，考查坐标法的运用，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率e =√32， 所以c 2a 2=34，①又因为椭圆C 1的一个短轴端点恰好是抛物线C 2：x 2=4y 的焦点F ． 所以F(0,1)，即b =1， 又因为a 2=b 2+c 2， 所以a 2=1+c 2，②由①②解得a 2=4，c 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线MN 的方程为y =kx +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =kx +1x 2=4y ，得x 2−4kx −4=0，所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4， k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=x 1x 216=−14，设直线OM 的方程为y =mx (m >0)，联立{y =mx x 2=4y ，解得x =4m ，y =4m 2，即M(4m,4m 2)，所以|OM|=√(4m −0)2+(4m 2−0)2=4m√1+m 2， 用−14m 代替m ，同理得|ON|=1m√1+116m2，则|OM|⋅|ON|=√(16m 2+1)(m 2+1)m，联立{y =mx x 24+y 2=1，解得x =√4m 2+1，y =√4m 2+1，B 点坐标为(√4m 2+1√4m 2+1)，所以|OB|=√(√4m 2+1)2+(√4m 2+1)2=2√1+m 2√4m 2+1，用−14m 代替m ，同理得|OA|=√16m2+11+4m 2，则|OA|⋅|OB|=2√(16m 2+1)(m 2+1)4m 2+1，设∠MON =∠AOB =θ，tanθ=|KOM−K ON1+KOM ⋅K ON|=|m+14m 1−14|=4m 2+13m，所以sinθ=√1+tan 2θ=4m 2+13m √1+(23m)2=2222，λ=12|OM|⋅|ON|sinθ|−12|OA|⋅|OB|sinθ， =12(√(16m 2+1)(m 2+1)m−2√(16m 2+1)(m 2+1)4m 2+1)2√(4m 2+1)2+(3m)2=2m +12m −1≥2√2m ⋅12m −1=1，当t =12时，“=”成立．故答案为：(1)椭圆的方程为x 24+y 2=1，(2)λ的取值范围为λ≥1．【解析】(1)根据椭圆与抛物线参数基本关系求解即可，(2)根据直线与椭圆、直线与抛物线位置关系，运用解方程思想求解即可．本题考查了用待定参数法求椭圆方程，考查了直线与抛物线位置关系，考查了直线与椭圆位置关系，考查计算能力，属较难题．。
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
集合 A 是由小于 3 的自然数组成，0 A ， 1 A，只有 C 正确，
故选：C．
2．D
【分析】
利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题 p 为特称命题，该命题的否定为： x 0， x ex .
故选：D.
3．A
【分析】
利用对数函数的单调性得出 c 0 ，利用指数函数单调性可得出 a 、b 、 0 的大小关系，综合
绝密★启用前
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A x N x 3 ，则（ ）
A． 0 A
B． 1 A
C．0 A
D．1 A
2．设命题 p ： x 0 ， x ex ，则 p 的否定为（ ）
主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比
答案第 3 页，共 14 页
商
9．ABD
【分析】
由诱导公式和商数关系可得．
【详解】
∵ tan 3sin ，∴ sin 3sin ，
cos 若 sin 0 ，则 cos 1或 1， 若 sin 0 ，则 cos 1 ．
p2
2 p1 p2 p1 p2
p1 p2 2 4 p1 p2 2 p1 p2
p1 p2 2 2 p1 p2
0 ，所以，
p1 2
p2
2 p1 p2 p1 p2
.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的
福建省厦门外国语学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
【全国百强校】福建省厦门外国语学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,4,1,3,5,7U A B ===，则()U A C B ⋂等于（ ） A ．{}2,4,6 B ．{}1,3,5 C ．{}2,4,5 D ．{}2,4 2．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥ 3．已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y -=B ．230x y +-=C ．240x y --=D ．250x y --= 4．0000sin110cos 40cos70sin 40-⋅=A ．12BC ．12-D ． 5．直线l 经过点(1,2)，且倾斜角是直线y x =倾斜角的2倍，则以下各点在直线l 上的是A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(2,1)D ．(2,0) 6．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=（ ）A B C ．3 D 7．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列判断正确的是（ ）A ．若//m α，//αβ,则//m β B ．若,,m n αα⊂⊂//,m β//n β，则//αβC ．若//,m n ,m α⊥//αβ，则n β⊥D ．若,,m ααβ⊂⊥则m β⊥ 8．在ABC ∆中，090BAC ∠=，2AB AC ==，E 是边BC 的中点，D 是边AC 上一动点，则AE BD ⋅的取值范围是A ．[0,2]B ．[2,0]-C ．[0,D ．[- 9．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是A ．.60x y +-=B ．60x y ++=C ．20x y --=D ．20x y -+=10．某几何体的三视图如右所示，则该几何体的表面积为A ．362π+B ．372π+C ．12π+D ．26π+ 11．已知直线20x y n -+=与圆22:4O x y +=交于,A B 两点，若60AOB ︒∠=，则实数n 的值为AB ．C ．D ．±12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别(1,1,2),(3,3,2),S A (3,3,0),(1,3,2)B C ，则该四面体外接球的表面积是A ．16πB ．12πC ．D ．6π二、填空题13．已知向量(0,1),(1,),(1,2)a b m c ==-=，且()//a b c +，则m =_______.14．把0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =从大到小的顺序排列_____________________15．已知tan()3αβ-=，tan 4β=，则tan α=________．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）三、解答题17．已知点(,3)A m 和(5,)B m -，直线AB 的斜率为3-．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线0x y +=上，且APB ∠为直角，求点P 的坐标.18．已知关于,x y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若方程C 表示圆，求m 的取值范围；（2）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（3）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且5MN =，求m 的值． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边作两个锐角α , β，它们的终边分别与单位圆交于A , B 两点．已知A , B 的横坐标分别为√210，35．（Ⅰ）求sin 2α+sinαcosαsinαcosα−6cos 2α的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．已知向量(cos ,2sin cos )222x x x a =-，(1,1)b =-，()f x =⋅a b . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若(2)3f α=，求cos 2(1tan )1tan ααα-+的值. 21．已知函数2()cos 2cos f x x x =+．（Ⅰ）求()24f π的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两个实数根1212,()x x x x <，分别求实数a 与1211+x x 的取值范围． 22．已知圆P过点(0,2),M N ，且圆心P 在直线:0l x y -=上，过点(1,1)Q -的直线交圆P 于,A B 两点，过点,A B 分别做圆P 的切线，记为12,l l .（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）求证：直线12,l l 的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.参考答案1．D【解析】由题意可得：{}2,4,6U C B =，结合交集的定义，则(){}2,4U A C B ⋂=.本题选择D 选项.2．A【分析】根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出a 的取值范围．【详解】2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)12a x a -=-=- ， 又2()2(1)2f x x a x =+-+开口向上，即在(,1]a -∞-上单调递减即(],4-∞(,1]a ⊆-∞-即413a a ≤-⇒≤-故选A【点睛】本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间，主要注意区分函数在(,)a b 上是减函数与函数的单调递减区间为(,)a b ，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据题意设出直线l 的方程，把点()2,1P -代入方程求出直线l 的方程．【详解】根据直线l 过点()2,1P -，且与直线210x y +-=互相垂直，，设直线l 为20x y m -+= ， 把点()2,1P -代入方程，2210m ∴-⨯-+=（） ，解得4m =- ，∴直线l 的方程为240x y --=．故选：c ．【点睛】本题考查了利用直线互相垂直求直线方程，是基础题．4．A【解析】0000sin110cos40cos70sin40-⋅=00000001cos 20cos 40sin 20sin 40cos(2040)cos602-=+==，选A. 5．A【分析】 由已知得到直线y x =倾斜角为45︒，得直线l 倾斜角为90︒ ，由此得到直线方程．【详解】因为直线l 经过点()1,2，且倾斜角是直线y x =倾斜角的2倍，而直线y x =倾斜角为45︒，所以直线l 倾斜角为90︒，又直线l 经过点()1,2，所以直线l 的方程为1x = ；故选A ．【点睛】本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为90︒，直线斜率不存在． 6．D【分析】 由()22a b a b +=+得出32a b ⋅=，再由()22a b a b -=-化简得出答案. 【详解】()223,2,4,a b a b a b a b==+=∴+=+22=2a a b b +⋅+ 即316=9+24,2a b a b ⋅+∴⋅=，()22223292410,102a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=-⨯+=∴-= 故选D.【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，属于基础题.7．C【分析】利用线面平行、面面平行、面面平行，面面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【详解】对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或者m⊂β；故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，如果m，n不相交，则α与β可能相交；故B 错误；对于C，若m∥n，m⊥α，得到n⊥α，又α∥β，则n⊥β；故C正确；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m与β位置关系不确定；故D错误；故选C．【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、面面平行，面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握、运用定理是关键．8．B【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系得A EB D m m∈，因此AE BD(0,0),(1,1),(2,0),(0,),[0,2]⋅m m=⋅-=-+∈-，选B.(1,1)(2,)2[2,0]点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.9．A【分析】设出Q（x，y），P点坐标为（x1，y1），利用中点坐标公式把P点坐标用Q点坐标表示，然后代入直线x+y-2=0整理后即可得到点Q 的轨迹方程．【详解】设Q （x ，y ），P 点坐标为（x 1，y 1），∵线段PQ 的中点为M （0，4），∴x 1=-x ，y 1=8-y ，∵点P 在直线x+y-2=0上运动，∴x 1+y 1-2=0，∴-x+8-y-2=0，即x+y-6=0，故选A ．【点睛】本题考查轨迹方程，考查了代入法求曲线方程，是中档题．10．C【解析】几何体为一个长方体内接一个半圆柱，表面积为2212π122+221=π+122⨯⨯+⨯⨯⨯ ，选C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．11．C【分析】确定圆心到直线的距离为利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数n 的值．【详解】由题意，圆心到直线的距离为n =∴=故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础． 12．B【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积．【详解】由题意计算可得222AB AC SC BC ====，，，()()()002.200020AB AC CS ---＝，，＝，，，＝，， ，00AB CS CS ABC AC CS ⎧⋅∴⇒⊥⎨⋅⎩＝平面，＝故四面体SABC 是底面为等腰直角三角形，侧棱SC 垂直底面SABC 的几何体，∴四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线∴则该四面体外接球的表面积是：2412.ππ⋅=故选：B ．【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确转化是关键13．3-利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【详解】11a b m +=-+（，），//a b c +， 120m ∴++=，解得3m =- ． 即答案为-3.【点睛】本题考查了向量的坐标运算性质、向量公式定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．a,b,c;【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】0.50221a ==＞，0131log b log log ππππ===＜＜，220.310c log log ==＜，a b c ∴＞＞ ．即答案为a b c ＞＞.【点睛】本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．15．711- 【分析】根据tan tanααββ=-+（） ，利用两角和与差的正切函数来求得答案． 【详解】()347.1()13411tan tan tan tan tan tan αββααββαββ-++=-+===----⨯（）故答案为711- 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．基础性较强． 16．②③ 【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案． 【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 则：2543124T πππ-＝＝ ， 所以T π=： ，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）．进一步解得：223A πωπ=＝＝， 由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（）， 解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝ ，由于0ϕπ<<， 所以：当1k = 时，6πϕ＝．所以：①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝． 则3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数，故正确．③由于：351212x ππ-≤≤， 则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、， 根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确． 故答案为②③ 【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型． 17．（Ⅰ）3120x y +-=;（Ⅱ）(1,1)P -或(3,3)P - 【分析】（Ⅰ）根据直线斜率公式可求得m ，再利用点斜式可得直线AB 的方程； （Ⅱ）设(),P a a -,由（Ⅰ）可得()3,3PA a a =-+，()5,3PB a a =--+由APB ∠为直角可得0PA PB ⋅= ，由此求得a ，即可得到点P 的坐标 【详解】（Ⅰ）∵直线AB 的斜率()335AB m k m --==--,∴3m =，∴()3,3A ,∴直线AB 的方程为()333y x -=--即3120x y +-=.（或312y x =-+）（Ⅱ）设(),P a a -,由（Ⅰ）得()3,3A ，()5,3B - ∴()3,3PA a a =-+，()5,3PB a a =--+又APB ∠为直角∴()()()()35330PA PB a a a a ⋅=--++-+= ∴1a =或3a = ∴()1,1P -或()3,3P -. 【点睛】本题考查直线方程的求法以及直线垂直的向量表示，属基础题. 18．（1）5m <； （2）4 ； （3）4. 【分析】（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出m 的范围； （Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出m 的值．（Ⅲ）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m 的值． 【详解】（1）方程C 可化为 ()()22125x y m -+-=-， 显然 50,5m m -><时即时方程C 表示圆．（2）由（1）知圆C 的圆心为()1,222812360x y x y +--+=可化为()()224616x y -+-=，故圆心为()4,6，半径为4． 又两圆外切，4=，即54=，可得4m =．（3）圆C 的圆心()1,2到直线:240l x y +-=的距离为d ==，由MN =则12MN =， 又 22212r d MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以225,m -=+⎝⎭⎝⎭得 4m =． 【点睛】本题考查圆的标准方程的特征，圆与圆外切的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．属于基础题．19．（Ⅰ）56; （Ⅱ）∴α+β=3π4【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设条件运用两角和的正切公式求解. 试题解析：解法一：（1）由题意得，A(√210,7√210)，∴tanα=7∴sin 2α+sinαcosαsinαcosα−6cos 2α=tan 2α+tanαtanα−6=72+77−6=56（2）由题意得，B(35,45),tanβ=43∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα·tanβ=7+431−7×43=−1又∵α,β是锐角，∴0<α+β<π， ∴α+β=3π4考点：同角三角函数的关系及两角和的正切公式等有关知识的综合运用． 20．（Ⅰ）3[4,4]22k k ππππ-+k Z ∈; （Ⅱ）29【解析】试题分析:（1）先根据向量数量积得()2(sincos 22x xf x =-，再利用配角公式化简得()24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数性质单调增区间（2）先根据二倍角余弦公式、同角三角函数关系化简()cos21tan 1tan ααα-+得()2cos sin αα-，而由条件()23f α=可得sin cos 3αα-=，代入即得结果 试题解析：解法一：（Ⅰ）∵()cos2sin cos 222x x xf x =-+- 2sin cos 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由222242x k k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 解得34422k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈∴ 函数的单调递增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()22sin cos 3f ααα=-=.sin cos 3αα∴-=. ()()()22cos sin cos sin cos21tan 1tan cos sin ααααααααα---=++ ()2cos sin αα=- 29=解法二：（Ⅰ）同法一； （Ⅱ）()243f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭. ∴()()()22cos sin cos sin cos21tan 1tan cos sin ααααααααα---=++ ()2cos sin αα=-24πα⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦ 29=21．（Ⅰ1;（Ⅱ）6π;（Ⅲ）(2,3),12(,)π+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入x 24π=即可．（Ⅱ）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围．（Ⅲ）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出1211x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．【详解】（Ⅰ）∵()2cos21f x x x =++122cos2122sin x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭2216sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴212sin 11241264f sin ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 在区间(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数∴当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数若函数()f x 在区间[],m m -上是单调递增函数，则[],,36m m ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦ ∴630m m m ππ⎧≤⎪⎪⎪-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩， 解得06m π<≤∴m 的最大值是6π（Ⅲ）方程()0f x a -=在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有两实数根1212,()x x x x <等价于 直线y a =与曲线()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（02x π<<）有两个交点. ∵当02x π<<时， 由（Ⅱ）知()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， 且()02,3,0,62f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 23a <<即实数a 的取值范围是()2,3 ∵函数()f x 的图象关于6x π=对称∴123x x π+=.∵12x x <，∴106x π<<.∴12212121211111133333x x x x x x x x x x x x πππππ++====⋅⋅⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭.∵函数23y x x π=-+在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭内递增 ∴22110,336x x ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭∴121112,x x π⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭ 1211x x +的取值范围为12,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重对学生推理能力的考查．22．（Ⅰ）224x y +=;（Ⅱ）直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=.【解析】 【分析】（Ⅰ）设圆E 的方程为()()222x a y b r -+-=则弦MN的中点32C ⎫⎪⎪⎝⎭，又MN k == ，故 M N的垂直平分线的方程0y -=因为圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l的交点，由0a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心()0,0P又半径2r PM ==，即可得到圆P 的方程；（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，直线12,l l 的交点()00,F x y若(),E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅=,得 22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y += 同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += 由直线12,l l 过点00(,F x y 可推出点,A B 满足方程004x x y y += 即直线AB 的方程为004x x y y += ，又直线AB 过点()1,1Q -即0040x y -+=由此可得到直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. 【详解】（Ⅰ）设圆E 的方程为()()222x a y b r -+-=弦MN的中点32C ⎫⎪⎪⎝⎭又30MN k ==--∴MN 的垂直平分线的方程：322y x -=-⎭即0y -=圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l 的交点∴由0a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心()0,0P又半径2r PM ==∴圆P 的方程为224x y +=（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，直线12,l l 的交点()00,F x y 若(),E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅=,得()()11110x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y += 同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += 由直线12,l l 过点()00,F x y∴10104x x y y +=,20204x x y y +=, ∴点,A B 满足方程004x x y y += 即直线AB 的方程为004x x y y += ，又直线AB 过点()1,1Q -∴004x y -+=，即0040x y -+=∴直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. 【点睛】本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键，是中档题．。
2023-2024学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√32．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√33．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ）A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√17174．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．16．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63D ．√327．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．678．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ）A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}，N ＝{（x ，y ）|（x ﹣a ）2+y 2≤1}．若N ⊆M ，则实数a 可以为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．210．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是DD 1和BD 1的中点，则（ ）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√7311．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ ． 15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 ．16．已知直线l 1：y ＝2x 与直线l 2：y ＝x ﹣1，点P 1是l 2与x 轴的交点．过P 1作x 轴的垂线交l 1于点Q 1，过Q 1作y 轴的垂线交l 2于点P 2，过P 2作x 轴的垂线交l 1于点Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交l 2于点P 3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n ，Q n ，则|P 3Q 3|＝ ；设P n 的坐标为（x n ，y n ），则数列{x n +1x n+1⋅y n+1}的前n 项和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝4S 2，a 3n =3a n +2(n ∈N ∗)． （1）求a n ；（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣4，0），B （﹣1，0），动点P 满足|P A |＝2|PB |． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，∠MON ＝120°，求l 的方程． 19．（12分）已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A ，P 为C 上（异于A ）一点． （1）已知点M （6，0），求当|PM |取得最小值时直线PM 的方程； （2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和．2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√3解：因为等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，所以（a 5）2＝a 3•a 7＝9． 又因为a 5＝a 3•q 2，即a 5与a 3同号， 故a 5＝3． 故选：C ．2．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√3解：l 1的倾斜角为π3，其斜率为k ＝tan π3=√3，则直线l 2的方程为：y −√3=√3（x +1），令x ＝0，得y =2√3． 故选：D ．3．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ） A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√1717解：∵双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线方程为：y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， ∴点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离d =|0±2|√2+(±1)=2√55． 故选：A ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →解：∵CE →=2EP →，∴CE →=23CP →，∴AE →=AC →+CE →=AB →+AD →+23CP →=AB →+AD →+23(AP →−AC →)=AB →+AD →+23AP →−23(AB →+AD →)=13AB →+13AD →+23AP →．故选：C ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：3S n ＝a n ﹣2，当n ＝1时，3a 1＝a 1﹣2，∴a 1＝﹣1， 当n ≥2时，3S n ﹣1＝a n ﹣1﹣2，两式相减得，3（S n ﹣S n ﹣1）＝a n ﹣a n ﹣1， ∴3a n ＝a n ﹣a n ﹣1， ∴a n a n−1=−12（n ≥2），∴数列{a n }是首项为﹣1，公比为−12的等比数列，∴a n ＝﹣1×(−12)n−1=（﹣1）n ×(12)n−1，∵（12）n ﹣1的值随着n 的增大而减小，∴当n ＝2时，a n 的值最大，最大值为a 2=12．故选：C ．6．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63 D ．√32解：因为△APF 1的周长为72a ，所以|AP|+|AF 1|+|PF 1|=7a2，因为A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，所以|AP |＝|AF 2|，所以|AF 2|+|AF 1|+|PF 1|=7a2， 由因为|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 所以|PF 1|=7a 2−2a =3a 2， 所以|PF 2|=2a −3a 2=a2，又因为PF 1⊥PF 2，|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2， 所以(3a 2)2+(a2)2=4c 2， 即5a 2＝8c 2，即c 2a 2=58，所以e =c a =√104．故选：B ．7．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67解：因为AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，所以∠BDC ＝120°，因为A ′C →=A ′B →+BD →+DC →，所以|A ′C →|2=A′B →2+BD →2+DC →2+2A ′B →⋅BD →+2BD →⋅DC →+2A ′B →⋅DC →，所以27＝9+4+1+2×3×2×cos60°+2×2×1×cos60°+2×3×1×cos ＜A′B →，DC →＞， 解得cos ＜A′B →，DC →＞=56，因为异面直线夹角的范围为（0°，90°]， 所以异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为56．故选：C ．8．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）解：抛物线C ：x 2＝8y 的焦点F （0，2）， 由题意可设P （x 0，x 028），x 0≠0，由x 2＝8y ，得y =18x 2，则y ′=14x ，所以k OQ＝k l=x0 4，所以l OQ：y=x04x，l FP：y=x02−168x0x+2，联立方程可得Q（16x0x02+16，4x o2x02+16），所以|OQ|2=16x02(16+x02)(x02+16)2=16x02x02+16=161+16x02∈（0，16），即|OQ|∈（0，4）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M＝{（x，y）|x2+y2≤4}，N＝{（x，y）|（x﹣a）2+y2≤1}．若N⊆M，则实数a可以为（）A．0B．12C．1D．2解：∵N⊆M，∴圆（x﹣a）2+y2＝1在圆x2+y2＝4内部，如图所示：∴﹣1≤a≤1，观察四个选项可知，A，B，C正确，D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则（）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√73解：建系如图，则根据题意可得C 1（2，2，2），F （1，1，1），A （0，0，0）， E （0，2，1），A 1（0，0，2），D （0，2，0），C （2，2，0）， ∴C 1F →=(−1，−1，−1)，AE →=(0，2，1)，A 1D →=(0，2，−2)， AF →=(1，1，1)，AC →=(2，2，0)，∴C 1F →与AE →不共线，∴C 1F 与AE 不平行，∴A 选项错误； ∵C 1F →⋅A 1D →=0，∴C 1F ⊥A 1D ，∴B 选项正确；设平面EAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=2y +z =0n →⋅AC →=2x +2y =0，取n →=(1，−1，2)，∴点F 到平面EAC 的距离为|AF →⋅n →||n →|=√6=√63，∴C 选项正确； ∴直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为： |cos ＜C 1F →，n →＞|=|C 1F →⋅n →||C 1F →||n →|=2√3×√6=√23，∴D 选项错误． 故选：BC ．11．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大解：由α∈[0，π]，得sin α∈[0，1]，cos α∈[﹣1，1]， 对于A ，当α=3π4时，sin α=√22，cos α=−√22，曲线C 可化为√22x 2+√22y 2=1，即x 2+y 2=√2，表示圆，即A 正确；对于B ，当α=π2时，sin α＝1，cos α＝0，曲线C 可化为x 2＝1，即x ＝1或x ＝﹣1，表示两条直线，即B 正确；对于C ，当α∈（0，π2）时，曲线C 为双曲线，离心率e =√1+1cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（0，π2）上单调递增，所以α越大，C 的离心率越大，即C 正确；对于D ，当α∈（π2，3π4）∪（3π4，π）时，曲线C 为椭圆，若焦点在x 轴上，则α∈（3π4，π），离心率e =√1−1−cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（3π4，π）上单调递增，若焦点在y 轴上，则α∈（π2，3π4），离心率e =√1−1sinα1−cosα=√1+1tanα，在α∈（π2，3π4）上单调递减， 所以α越大，C 的离心率不是越大，即D 错误． 故选：ABC ．12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024解：选项A ：由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可知当a 1＝0，a 2＝0时，满足递推式，但此时数列{a n }不是等比数列，故选项A 错误； 当a n ≠0时，(a n+1a n )2+2an+1a n −2=0，则a n+1a n=−1−√3或a n+1a n=−1+√3，所以a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋯⋯an a n−1=a 1⋅(−1−√3)k ⋅(−1+√3)n−1−k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1， 化简可得：a n =a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−1−3−1+√3)k=a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1，当a 1＝1时，a n 的取值共有n 种，其和A n =∑ n−1k=0(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k =(−1+√3)n−1∑ n−1k=0(−2−√3)k，故选项B ，C 正确； 由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可得a n+12+2a n a n+1=2a n 2⇔1a n+1(2a n +a n+1)=12a n2⇔2a n a n+1(2a n +a n+1)=1a n，即1a n=a n+1+2a n −a n+1a n+1(2a n +a n+1)=1a n+1−12a n +a n+1，所以1a n+1+2a n=1a n+1−1a n，累加可得12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a n +a n+1=1a n+1−1a 1， 故当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024，故选项D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ 1 ． 解：因为A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）， 所以a →=AB →=（0，﹣1，﹣1），b →=AC →=（0，x +1，2x ）， 因为A ，B ，C 三点共线，所以a →与b →共线，所以存在实数λ，使a →=λb →，即（0，﹣1，﹣1）＝（0，λ（x +1），2λx ）， 所以λ（x +1）＝﹣1，2λx ＝﹣1，解得λ=−12，x ＝1．故答案为：1．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ 5 ． 解：由题意知，F （1，0），p ＝2，因为△MOF 的面积为2，所以2=12•|OF |•|y M |=12⋅1⋅|y M |，即|y M |＝4，所以x M =y M 24=164=4，由抛物线的定义知，|MF |＝x M +p2=4+1＝5．故答案为：5．15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 √15 ． 解：根据题意，设P 的坐标为（m ，n ），圆O ：x 2+y 2＝1，其圆心为（0，0），半径为r 1＝1， P A 为圆O 的切线，则|PO |2＝|P A |2+1，则有m 2+n 2＝|P A |2+1， 圆O 1：(x −2)2+y 2=1，其圆心O 1为（2，0），半径为r 2＝1，PB为圆O1的切线，则|PO1|2＝|P A|2+1，则有（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，又由|P A|2+|PB|2＝18，则有（m2+n2）+[（m﹣2）2+n2]＝20，变形可得：（m﹣1）2+n2＝9，则P的轨迹是以（1，0）为圆心，半径为R＝3的圆，设M为（1，0），则|MO|的最大值为3+1＝4，故|P A|的最大值为√16−1=√15．故答案为：√15．16．已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝x﹣1，点P1是l2与x轴的交点．过P1作x轴的垂线交l1于点Q1，过Q1作y轴的垂线交l2于点P2，过P2作x轴的垂线交l1于点Q2，过Q2作y轴的垂线交l2于点P3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n，Q n，则|P3Q3|＝8；设P n的坐标为（x n，y n），则数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为2n−12n+1−1．解：根据题意可得y n＝x n﹣1，P n（x n，x n﹣1），则Q n（x n，2x n），P n+1（x n+1，2x n），∴y n+1＝2x n，即x n+1﹣1＝2x n，∴x n+1+1＝2（x n+1），又x1+1＝2，∴x n+1=2n，∴x n=2n−1，∴|P n Q n|＝2x n﹣（x n﹣1）＝x n+1＝2n，∴|P3Q3|＝23＝8；∴x n+1x n+1⋅y n+1=2n(2n+1−1)(2n+1−2)=2n−1(2n+1−1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1−1)，∴数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为：1 2[(1−13)+(13−17)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1−1)]=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．故答案为：8；2n−12n+1−1．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝4S2，a3n=3a n+2(n∈N∗)．（1）求a n；（2）设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1+6d＝4（2a1+d），即d＝2a1①，因为a3n＝3a n+2，所以a1+（3n﹣1）d＝3[a1+（n﹣1）d]+2，即d＝a1+1②，联立①②解得d＝2，a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n=2a n=22n−1=2•4n﹣1，所以数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）过点A的直线l与Γ交于M，N两点，∠MON＝120°，求l的方程．解：（1）设P（x，y），因为|P A|＝2|PB|，所以√(x+4)2+y2=2√(x+1)2+y2，化简得x2+y2＝4，所以点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4．（2）因为∠MON＝120°，|OM|＝|ON|＝2，所以圆心O到直线l的距离d＝2sin30°＝1，①当直线l的斜率不存在时，l与圆无交点，舍去；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，所以d=|4k|√k+1=1，解得k=±√1515，所以l的方程为x+√15y+4=0或x−√15y+4=0．19．（12分）已知双曲线C：x2﹣y2＝4的左顶点为A，P为C上（异于A）一点．（1）已知点M（6，0），求当|PM|取得最小值时直线PM的方程；（2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．（1）解：设P （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，x 0＜﹣2或x 0＞2，|PM |=√(x 0−6)2+y 02=√x 02−12x 0+36+x 02−4=√2(x 0−3)2+14≥√14， 当x 0＝3时，|PM |取得最小值√14，此时y 0=±√5， 即P （3，√5），或P （3，−√5）， 所以直线PM 的方程y =√53−6(x −6)，或y =−√53−6(x −6)，即直线PM 的方程√5x +3y ﹣6√5=0，或√5x −3y ﹣6√5=0． （2）证明：双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0）， 依题意设AP ：x ＝my ﹣2（m ≠0且m ≠±1）， 令x ＝﹣1，则y =1m ，即Q （﹣1，1m）， 所以OQ →=(−1，1m)，联立{x 2−y 2=4x =my −2，消x 得（m 2﹣1）y 2﹣4my ＝0，解得y P =4mm 2−1，y A ＝0，所以x P =4m 2m 2−1−2=2m 2+2m 2−1，即P （2m 2+2m 2−1，4m m 2−1），所以OP →=（2m 2+2m 2−1，4mm 2−1），所以OP →⋅OQ →=−2m 2+2m 2−1+4m m 2−1×1m =−2m 2+2m 2−1=−2，故OP →⋅OQ →为定值﹣2．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．解：（1）记从今年1月起，第n 月的产量为a n ，第n 月的产品合格率为b n ， 由题可知，数列{a n }为等比数列，首项a 1＝1000，公比q ＝1+10%＝1.1， 数列{b n }为等差数列，首项b 1＝0.85，公差d ＝0.01，所以a n ＝1000×1.1n ﹣1，b n ＝0.85+（n ﹣1）×0.01＝0.0ln +0.84，所以今年2月份生产的不合格产品数为a 2（1﹣b 2）＝1000×1.1×（1﹣0.86）＝154， 设第n 月生产的不合格产品数为c n ，则c n =a n (1−b n )=10×1．1n−1×(16−n)，所以c n+1c n=10×1．1n ×(15−n)10×1．1n−1×(16−n)=16.5−1.1n16−n ，当n ＜5时，c n+1c n ＞1；当n ＝5时，c n+1c n =1；当n ＞5时，c n+1c n＜1，所以c 1＜c 2＜••＜c 5＝c 6＞c 7＞••＞c 12，即5月或6月生产的不合格产品数最多； （2）设今年前n 个月生产的合格产品总数为S n ，则S n ＝a 1b 1+a 2b 2+•+a n b n ， 所以S 12＝850×1.10+860×1.11+870×1.12+…+950×1.110+960×1.111①， 所以1.1S 12＝850×1.11+860×1.12+870×1.13+…+950×1.111+960×1.112②， ①﹣②得﹣0.1S 12＝850+10×（1.1+1.12+…+1.111）﹣960×1.112 ＝850+10×1.1(1−1．111)1−1.1−960×1.112＝740﹣840×1.112，所以S 12=10×(860×1．112−740)≈19604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DA ，所以DD 1→⋅DA →=0， 因为DC 1⊥D 1B ，所以DC 1→⋅D 1B →=0，又因为DC 1→=DC →+DD 1→，D 1B →=DB →−DD 1→=DA →+DC →−DD 1→， 所以(DC →+DD 1→)⋅(DA →+DC →−DD 1→)=0，化简得DA →⋅DC →=−4，所以DA →⋅DB →=DA →⋅(DA →+DC →)=DA →2+DA →⋅DC →=4−4=0，所以DA ⊥DB ． （2）解：假设存在E 点满足条件．因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊥DB ， 以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），B(0，2√3，0)，C(−2，2√3，0)，D 1(0，0，2√3)，C 1(−2，2√3，2√3)，DB →=(0，2√3，0)，AA 1→=(0，0，2√3)，D 1C 1→=(−2，2√3，0)， 设D 1E →=λD 1C 1→(0≤λ≤1)，则DE →=DD 1→+D 1E →=（﹣2λ，2√5λ，2，5），设平面EBD 的一个法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅DB →=2√3y 1=0n 1→⋅DE →=−2λx 1+2√3λy 1+2√3z 1=0，令x 1=√3，得z 1＝λ，所以 n 1→=(√3，0，λ)，设平面ABB 1A 1的一个法向量n 2→=(x 2，y 2，z 2)，可得{n 2→⋅AA 1→=2√3z 2=0n 2→⋅AB →=−2x 2+2√3y 2=0，令x 2=√3，得y 2＝1，所以n 2→=(√3，1，0)，所以cos〈n 1→，n 2→〉=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=32√3+λ，因为平面EBD 与平面D 1BD 的夹角为π4，即2√3+λ2=√22，解得λ=±√62，又因为0≤λ≤1，所以λ=±√62（舍去），所以线段C 1D 1上不存在点E 使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和． 解：（1）当λ＝1时，F 1A →=F 2B →，则四边形F 1F 2BA 为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形F 1F 2BA 为矩形，即F 1A ⊥x 轴，所以|F 1A|=b 2a ，所以{b 2a 2=83a 2−b 2=1，解得{a =3b =2√2，所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1．（2）因为F 1A →=λF 2B →，所以|F 1P||PB|=|AP||PF 2|=|F 1A||F 2B|=λ，由对称性，不妨设P （x 0，y 0），y 0＞0， 由S △PAB =S △PFF 1=1，可得y 0＝1，又S △PAF 1=λS △PAB =λ，S △PBF =1λS △PAB =1λ，所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ，延长AF 1交C 于点D ，易知B ，D 关于原点对称，设直线F 1A ：x ＝ty ﹣1，t 显然存在，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （﹣x 2，﹣y 2）， 联立方程组{x =ty −18x 2+9y 2=72，化简可得：（8t 2+9）y 2﹣16ty ﹣64＝0， 所以Δ＝256t 2+256（8t 2+9）＞0，y 1+y 2=16t 8t 2+9，y 1y 2=−648t 2+9， 直线F 1B ：x +1=−x 2+1−y 2y ，直线F 2A ：x −1=x 1−1y 1y ， 所以{x 0+1=x 2−1y 2x 0−1=x 1−1y 1，即x 2−1y 2−x 1−1y 1=2，所以x 2−1y 2−x 1−1y 1=ty 2−2y 2−ty 1−2y 1=2(y 2−y 1)y 1y 2=2，即y 2﹣y 1＝y 1y 2，所以(y 2−y 1)2=y 12y 22，(y 2+y 1)2=y 12y 22+4y 1y 2，代入韦达定理可得：(16t 8t 2+9)2=(648t 2+9)2−2548t 2+9，解得t 2=79，由F 1A →=λF 2B →，可得y 1＝﹣λy 2， 所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ=−y 1y 2−y 2y 1=−y 12+y 22y 1y 2=−(y 1−y 2)2+2y 1y 2y 1y 2=−y 1y 2−2=648t 2+9−2=302137．。
福建省厦门市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
福建省厦门市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1B ．1-5．已知三条直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为则下列关系不可能成立的是（A ．312k k k <<B ．1k <6．空间直角坐标系中()0,0,0A C β∈，D β∈，已知平面//α平面A ．2626B ．13137．阅读材料：空间直角坐标系A ．若12x =，则MN C ．当MN 最小时，12．如图，正三棱柱ABC 中点，先将底面ABC A ．设向量OE 旋转后的向量为B ．点E 的轨迹是以C ．设向量OE 旋转后的向量为是15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线OE 在平面三、填空题13．已知空间三点(A 为．14．将直线l 向右平移则直线l 的倾斜角为15．如图，在四棱台ABCD ()(AC xAB y AD'-+16．若恰有三组不全为0的实数对则实数t 的所有可能的值为四、解答题17．四棱柱ABCD A B C D -''''的六个面都是平行四边形，点12A M MB '=，点N 在对角线A (1)设向量AB a = ，AD b =，AA 'uuu r (2)若M 、N 、D ¢三点共线，求实数18．已知坐标平面内三点(2,A --(1)若A ，B ，C ，D 可以构成平行四边形，且点(2)若(),E m n 是线段AC 上一动点，求19．如图，在底面为菱形的四棱锥(1)求证：平面MAD ⊥平面ABCD (2)已知2MN NB =，求直线BN 20．已知椭圆:C (22221x y a a b+=坐标原点，且124F F =．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()2,0的直线l 与椭圆21．如图①所示，长方形ABCD 沿AM 翻折到PAM △，连接(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面小值．22．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离规定：若0b ≠，0022||||(,)b ax by c d P l b a b ++=+，若0b =，(,d P l (1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足(1,d F 求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．。
福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测英语试题(含答案)
福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测检英语试题一、第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置,听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题,每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A.£19.15.B.£9.18.C.£9.15.答案是C。
1.Where are the speakers?A.In a furniture store.B.In a restaurant.C.At Ann's house.2.What is the woman probably going to do?A.Repair her computer.B.Go to the doctor.C.Download software.3.What is the relationship between the speakers?A.Boss and employee.B.Husband and wife.C.Salesman and customer.4.Why did Dave miss school yesterday?A.He had a stomachache.B.He felt upset.C.He caught a cold.5.What will the speakers do together?A.Take a trip.B.Do part-time jobs.C.Read some books.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分〉听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置.听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间.每段对话或独白读两遍。
2021年福建省厦门市第一中学附属学校高二数学理期末试卷含解析
2021年福建省厦门市第一中学附属学校高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线l1，l2分别过点P( – 2，– 2 )，Q( 1，3 )，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（）（A）( –∞，] （B）( 0，+ ∞ )（C）(，+ ∞ )（D）[，+ ∞ )参考答案：A2. 已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．3. 抛物线的准线方程为（）参考答案：C4. 若复数（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵ =，∴．故选：D．5. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，即可求出p的值．【解答】解：由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，∴p=2，故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查圆与抛物线的位置关系，比较基础．6. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)=（）A． B． C．D．参考答案：B略7. 已知点在平面上的射影是点，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36参考答案：B【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．9. 实数满足，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．参考答案：A10. 已知集合A{0，1，2}，B＝{5,6,7,8},映射:A B满足，则这样的映射共有几个? ( )A. B. C. D.参考答案：B 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足则x＋y的最大值是________；参考答案：312. 若命题“?t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．参考答案：(0,+∞)命题“”是真命题，．则实数的取值范围是故答案为．13. 某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于▲；表面积等于▲．参考答案：，由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD 图中长方体中P 为棱的中点，到BC 的距离为，∴四棱锥体积为，四棱锥的表面积为，故答案为， (2).14. 已知、都是锐角，，则的值为.参考答案：略15. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则三角形的面积S=（a+b+c ）r ，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V= ．参考答案：R （S 1+S 2+S 3+S 4） 【考点】F3：类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 故答案为：R （S 1+S 2+S 3+S 4）．16. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4， ， ，成等比数列．参考答案：,.【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4=b 14q 6，T 8=b 18q 1+2++7=b 18q 28， T 12=b 112q1+2++11=b 112q 66，∴=b 14q 22， =b 14q 38，即（）2=?T 4，故T 4，，成等比数列．故答案为： ,.17. 如图所示，流程图中输出的含义是 ．参考答案：点到直线的距离略三、解答题：本大题共5小题，共72分。