高二上学期期中考试文科数学试卷
师大附中高二上学期期中考试文科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．在等差数列
}{
na中，若16,2512
aaa
，则公差d等于（ ）
A．4 B．314 C．6 D．14
2．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知
45,2,2Aba
，
则B（ ）
A．90° B．60° C．30°或150° D．30°
3．已知Ryx、，且0yx，则（ ）
A．
0
11
yx
B．
0)21()21(
yx
C．
0loglog
22
yx
D．
0sinsinyx
4．已知椭圆
1
21022mym
x
的焦点在x轴上，且焦距为4，则m等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．
8
5．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，．若
1,
3
bA
，ABC的
面积为23，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．
2
3
D．
3
6．下列命题中真命题的个数是（ ）
①函数xysin过点），（10；
①
”则“若
22
,yxyx
是真命题；
①
””是““022
2
xxx
成立的充要条件；
①命题
”，“01:
0200
xxRxp
，则命题p的否定为：”“01,2xxRx．
A．0 B．1 C．2 D．
3
7．设R，则
”“
12|12|是”“2
1
sin
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知等比数列
}{
na的各项均为正数，且865
aa
,则
1021221121
logloglogaaa
的值为（ ）
A. 15 B.15 C.3 D.3
9．已知yx,满足
22221yx
y
x
，则52yxz的最大值为（ ）
A．5 B．1 C．0 D．1
10．已知),0(,ba，且
122
1ba
，则ba121的最小值为（ ）
A．
2
23 B．2 C．22 D．2
3
11．已知
)0,1(
1F，)0,1(2F是椭圆C的两个焦点，过2
F
且垂直于x轴的直线交
于BA,两点,且3||AB，则椭圆C的方程为 ( )
A．1222yx B．12322yx C．13422yx D．
1
45
22
yx
12．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，且
abcBABC3,sinsin2cossin2
，则ab的最小值是（ ）
A．91 B．31 C．932 D．
9
32
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．等比数列
}{
na为正项数列，已知21annaa21，则数列}{n
a
的前4项和
4S
．
14．已知
21,FF是椭圆1361622yx的两个焦点，过1
F
的直线交椭圆于QP,两点，
则2PQF的周长等于 ．
15．已知A船在灯塔C北偏东
80
处，且A到C的距离为km2，B船在灯塔C北
偏西40，B、A两船的距离为km3，则B到C的距离为____________km．
16．在平面直角坐标系中，若不等式组
010101yax
x
yx
（a为常数）所表示的平
面区域的面积等于2，则a的值是____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(10分)在锐角ABC中，cba,,是角CBA,,的对边，且Acasin23.
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若7c，且ABC的面积为233，求ba．
18．(12分)已知数列
}{
na是等差数列，}{nb是等比数列，且9,332bb，11
ba
，
414
ba
．
（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；
（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和．
19．(12分)已知函数
2)(
2
abxaxxf
．
（Ⅰ）若关于x的不等式0)(xf的解集是3,1，求实数ba,的值；
（Ⅱ）若0,2ab，解关于x的不等式0)(xf．
20．(12分)已知命题p：方程
1
2122mym
x
表示焦点在x轴上的椭圆．
命题q：实数m满足03422aamm，其中0a．
（①）当1a且qp为真命题时，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知数列
}{
n
a
是首项为正数的等差数列，数列11nnaa的前n项和
为12nn．
（①）求数列}{na的通项公式；
（Ⅱ）设nannab21，求数列}{nb的前n项和nT．
22．(12分)已知椭圆C：
1
222
2
bya
x
过点1,0,0,2BA两点．
（①）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线
PB
与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
广昌一中、崇仁一中2012-2013学年度上学期高二文科数学期中联考试题
广昌一中、崇仁一中2012—2013学年度上学期高二年级数学(文科)期中联考试卷出卷学校：广昌一中 主命题：揭友祥 副命题：黄仲鸣一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 62．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 3. 如图1程序的功能是（ ）A ．计算1+2+3+4+5B ．计算1+2+3+4+5+6C ．计算1×2×3×4×5D ．计算1×2×3×4×5×6 4．已知焦点在y 轴上的椭圆方程为221259xykk +=-- ，则k 的取值范围为（ ）A ．()17,9B ．()9,25C ．()()25,1717,9⋃D ．()25,175．执行如图2的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是( ) A ．-2或2 B ．2 C ．-2或4 D ．2或－4 6.下列命题中，其“非”是真命题的是（ ） A ．对任意x ∈R ，x 2－22x + 2 ≥ 0 ； B ．存在x ∈R ，使x 3－x 2 + 1 = 0 ；C ．存在n ∈N *，使点 P n （n ，n 2-2）在直线y=2x +1上；D ．对任意R b a ∈,,方程ax=b 都有唯一解7. 在区间[－1，1]上随机地任取两个数x ，y ，则满足4122<+y x 的概率是（ ） A ．16π B ．8π C ．4πD ．2π8．为了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：①你的学号是奇数吗？②在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员掷一枚硬币，如果出现正面就回答第①个问题，否则回答第②个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，图22A =1B =D oB A B =*1A A =+5Loop WhileA ≤B输出 图1INPUT x IF x>=0 THENy=x ∧2 ELESy=x END IF PRINT y END因为只有被调查本人知道自己回答了哪个问题，所以都如实作了回答.结果被调查的600人中有180人回答了“是”。
2017-2018学年广东省汕头市龙湖区下蓬中学高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2017-2018学年广东省汕头市龙湖区下蓬中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱2．（5分）两条直线a，b满足a∥b，且a∥α，平面α，则b与平面α的位置关系是（）A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α3．（5分）若三点A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数m的值是（）A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．24．（5分）已知直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，则实数a的值为（）A．0 B．﹣4或2 C．0或6 D．﹣45．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32 B．32C．D．6．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π7．（5分）若直线x+by+9=0经过直线5x﹣6y﹣17=0与直线4x+3y+2=0的交点，则b等于（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）直线l经过点A（﹣3，4），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是（）A．2x+y+2=0 B．2x+y+2=0或4x+3y=0C．x﹣2y+11=0 D．x﹣2y+11=0或4x﹣3y=09．（5分）和直线5x﹣4y+1=0关于x轴对称的直线方程为（）A．5x+4y+1=0 B．5x+4y﹣1=0 C．﹣5x+4y﹣1=0 D．﹣5x+4y+1=010．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC11．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β12．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=．14．（5分）已知点A（﹣2，2），B（4，﹣2），则线段AB的垂直平分线的方程为．15．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16．（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为．三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（﹣2，5），C（﹣3，﹣5），点D为AC的中点．（1）求点D的坐标；（2）求直线BD的方程．（3）求△ABD的面积．18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形，又PD⊥平面ABCD，点M是棱AD的中点．（1）证明：PB⊥AC；（2）证明：MB⊥平面PAD．19．（14分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且btanA=2asinB．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．2017-2018学年广东省汕头市龙湖区下蓬中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．故选：B．2．（5分）两条直线a，b满足a∥b，且a∥α，平面α，则b与平面α的位置关系是（）A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α【解答】解：由题意两条直线a，b满足a∥b，且a∥α，则b与平面α的位置关系是平行或平面内；如图：正方体底面是平面α，A 1D1为a，则b可能是BC，也可以是B1C1．故选：D．3．（5分）若三点A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数m的值是（）A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．2【解答】解：由题意知，直线的斜率存在∴K AB=K AC即：，∴m=﹣6故选：C．4．（5分）已知直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，则实数a的值为（）A．0 B．﹣4或2 C．0或6 D．﹣4【解答】解：直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，a≠0时，它们的斜率之积等于﹣1，可得﹣×=﹣1，a=0时，直线y=和x=垂直，适合题意，故选：C．5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32 B．32C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为4，底面为一个等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4．∴该几何体的体积V=×4=32．故选：B．6．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．7．（5分）若直线x+by+9=0经过直线5x﹣6y﹣17=0与直线4x+3y+2=0的交点，则b等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：联立，解得x=1，y=﹣2，∴直线5x﹣6y﹣17=0与直线4x+3y+2=0的交点为（1，﹣2），∵直线x+by+9=0经过点（1，﹣2），∴1﹣2b+9=0，解得b=5．故选：D．8．（5分）直线l经过点A（﹣3，4），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是（）A．2x+y+2=0 B．2x+y+2=0或4x+3y=0C．x﹣2y+11=0 D．x﹣2y+11=0或4x﹣3y=0【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：y=﹣x即4x+3y=0，当直线不经过原点时，设直线方程为：+=1，把点A（﹣3，4）代入，得+=1，解得a=﹣1．∴直线方程为2x+y+2=0，故选：B．9．（5分）和直线5x﹣4y+1=0关于x轴对称的直线方程为（）A．5x+4y+1=0 B．5x+4y﹣1=0 C．﹣5x+4y﹣1=0 D．﹣5x+4y+1=0【解答】解：设点A（x，y）在所求的直线方程上，A（x，y）关于x轴对称的点为A′（x，﹣y），则：5x+4y+1=0即所求直线方程为5x+4y+1=0故选：A．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC 1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），∵•=﹣2，=2，=0，=6，∴A1E⊥BC1．故选：C．11．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选：B．12．（5分）直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=．【解答】解：点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离d==1，化简得：|a+1|=，解得a=﹣1或a=﹣﹣1，又a＞0，所以a=﹣﹣1不合题意，舍去，则a=﹣1．故答案为：﹣114．（5分）已知点A（﹣2，2），B（4，﹣2），则线段AB的垂直平分线的方程为3x﹣2y﹣3=0．【解答】解：两点A（﹣2，2），B（4，﹣2），则它们的中点坐标为（1，0），直线AB的斜率为：=，故AB垂线的斜率为，线段AB的垂直平分线方程是：y﹣0=（x﹣1）即：3x﹣2y﹣3=0．故答案为：3x﹣2y﹣3=0．15．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为28π．【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，圆锥S侧∴该几何体的表面积为28π．故答案为28π．16．（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为24．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：24三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（﹣2，5），C（﹣3，﹣5），点D为AC的中点．（1）求点D的坐标；（2）求直线BD的方程．（3）求△ABD的面积．【解答】解：（1）设D（x，y），则，，∴点D的坐标为（0，1）．…（4分）（2）∵直线BD的斜率为．∴直线BD的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣0），即2x+y﹣1=0．…（8分）（3）∵，…（10分）∴A到直线BD的距离为．…（12分）∴ABD的面积为．…（14分）18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形，又PD⊥平面ABCD，点M是棱AD的中点．（1）证明：PB⊥AC；（2）证明：MB⊥平面PAD．【解答】证明：（1）如图，连接BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，…（2分）又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD=D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，且PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．…（7分）（2）∵PD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴PD⊥BM．又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，且M为AD中点，∴AD⊥BM，…（11分）又AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，∴BM⊥平面PAD，…（14分）19．（14分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且btanA=2asinB．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵btanA=2asinB，由正弦定理得，sinBtanA=2sinAsinB，即sinBsinA=2sinAsinBcosA，…（2分）∵sinAsinB≠0，∴．…（4分）∵A∈（0，π），∴．…（6分）（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，且，得7=b2+c2﹣bc．…（8分）∵2b﹣c=4，∴c=2b﹣4，∴7=b2+（2b﹣4）2﹣b（2b﹣4），即b2﹣4b+3=0，解得b=1或b=3．…（11分）当b=1时，c=﹣2，矛盾，舍去，∴b=3，c=2，…（12分）∴△ABC的面积为．…（14分）20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，或d=﹣1，当d=2时，a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=2﹣（n﹣1）=﹣n+3（2）当d=﹣1时，当n=3时，a3=0，此时b n不存在，当d=2时，b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣21．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必过F，又E是PC中点，所以EF∥AP，∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD．证明：（2）∵平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD又AD⊂面PAD，∴CD⊥面PAD，又CD在面PCD内，∴面PCD⊥面PAD．解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．∵AD=2，∴PO=1，∴V=PO×AB×AD=．。
高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)
2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
2018-2019学年吉林省吉林市普通高中高二上学期期中考试 文科数学- 解析版
12018-2019学年吉林省吉林市普通高中高二上学期期中考试文科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·宣威五中]若0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b<B ．a b >C ．2a b ab +<D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．[2018·日照联考]设集合[]=1,2M ，{}2230 N x x x =∈--<Z ，M N =则（ ）A ．[]1,2B ．()1,3-C ．{}1D ．{}1,23．[2018·昆明黄冈实验]已知等差数列{}n a 中，39a =，93a =，则公差d 的值为（ ） A ．12B ．1C ．12-D ．1-4．[2018·舒城中学]若x ，y 满足1010 330x y x y x y +-≥--≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．8B ．7C ．2D ．15．[2018·安徽师大附中]在等比数列{}n a 中，3a ，9a 是方程231190x x -+=的两个根，则6a 等于（ ）A ．3B ．116C ．3±D ．以上皆不是6．[2018·黄冈实验学校]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab +=-，则C =（ ） A ．60°B ．120°C ．45°D ．30°7．[2018·人大附中]已知lg lg 0a b +=，则()lg a b +的最小值为（ ） A ．lg 2 B ．22 C ．lg 2- D ．28．[2018·南昌联考]已知数列{}n a 中第15项15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．49．[2018·正定县第三中学]已知ABC △中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，cos cos a A b B =，则ABC △为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．[2018·黄陵中学]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，2345620a a a a a ++++=-，则“n S 取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ） A ．5n =或6B ．5n =或6或7C ．6n =D ．11n =11．[2018·南昌联考]已知实数x ，y 满足：22102x x y y y -≤-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数z ax y =+（其中a 为常数）仅在11,22⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,0-C ．()0,1D ．{}1,1-12．[2018·衡水金卷]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC △外接圆的面积为（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．π2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·正定县第三中学]不等式210x ax ++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是____________． 14．[2018·西宁期末]若数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，则34a a +的值为__________．15．[2018·银川一中]已知ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1a =，45B ∠=︒，2ABC S =△，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2则b =______．16．[2018·黑龙江省实验中学]已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）[2018·银川一中]不等式2260kx x k +<- （1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．18．（12分）[2018·齐齐哈尔期末]已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2a ，5a 成等比数列，且416S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()321nn n b a -=-⋅，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）[2018·武邑中学]在ABC△中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设4a=，3c=，1cos8B=．（1）求b的值；（2）求ABC△的面积．20．（12分）[2018·季延中]某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在表中，如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润，最大利润是多少？3421．（12分）[2018·遂溪县第一中]已知ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-． （1）求角A ；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值．22．（12分）[2018·新疆期末]设数列{}n a 的前n 项为n S ，点,nSn n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()n ∈*N 均在函数32y x =-的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2018-2019学年上学期高二期中考试文科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】因为0a b >>，所以2a bab +>，这与选项C 显然矛盾，故C 选项错误． 2．【答案】D【解析】{}0,1,2N =，故{}1,2M N =，故选D ．3．【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，39a =，93a =，由等差数列的通项公式，可得()()11319913a d a d ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1111a d =⎧⎨=-⎩，即等差数列的公差1d =-．故选D ．4．【答案】B【解析】作出题设约束条件可行域，如图ABC △内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点()3,2B 时，3227z =+⨯=为最大值． 故选B ． 5．【答案】C【解析】因为3a ，9a 是方程231190x x -+=的两个根，所以393a a =，因此2639==3a a a ，6=3a ∴±，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，又∵(),0180C ∈︒︒，所以120C =︒，故选B ． 7．【答案】A【解析】由lg lg 0a b +=，可知0a >，0b >，则()lg 0ab =，即1ab =． 所以22a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时取等号，所以()lg lg2a b +≥． 故()lg a b +的最小值为lg 2，故选A ． 8．【答案】C【解析】由212221421214log log log log 7b b b b b b +++=⋅⋅⋅=，得712142b b b ⋅⋅⋅=，又1n n n a a b +=⋅，即1n n n ab a +=，有8315152141214121314112a a a a a b b b a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==，故12a =．故选C ． 9．【答案】D【解析】∵cos cos a A b B =，∴sin cos sin cos A A B B =，∴sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22180A B +=︒，∴A B =或90A B +=︒， ∴ABC △是等腰三角形或直角三角形．故选D ． 10．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，2345620a a a a a ++++=-，151520a d ∴+=-，110a =-，2d ∴=，()1021212n a n n ∴=-+-=-，令2120n a n =-=，解得6n =，故当5n =或6时，56S S =都是最小值，则满足题意“n S 取得最小值”的一个充分不必要条件是6n =，故选C ． 11．【答案】A【解析】构造二次函数()2ft t t =-单调性可知，()()f x f y ≤得到自变量离轴越远函数值越大， 故1122x y -≤-，且102y ≤≤得到可行域为如图所示，直线斜率为a -，由图像可得到满足11a -<-<即11a -<<．故答案选A ．12．【答案】D【解析】在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，既有222222cos 1bc A b c a b c =+-=+-，又由面积公式，得1sin 2S bc A =，即有42sin S bc A =，又2241S b c =+-，所以2cos 2sin bc A bc A =，所以tan 1A =． 因为0πA <<，所以π4A =，又由正弦定理，得2sin aR A=，其中R 为ABC △外接圆的半径， 由1a =及π4A =，得12sin 2222a R A ===⨯，所以外接圆的面积222πππ22S R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】[]2,2-【解析】不等式210x ax ++≥的解集为R ，由二次函数的图像知，图像开口向上，函数值大于等于0恒成立，则只需要2=40Δa -≤，2422a a ≤⇒-≤≤．故答案为[]2,2-． 14．【答案】24【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，所以22332232210a S S =-=⨯-⨯=，22443242314a S S =-=⨯-⨯=，3424a a ∴+=，故答案为24．15．【答案】5【解析】由三角形的面积公式得：1sin 22S ac B ==，由1a =，2sin 2B =，所以42c =，又1a =，2cos 2B =，根据余弦定理得：2132825b =+-=，解得5b =，故答案为5． 16．【答案】42m -<<【解析】由211x y +=，可得()2122444248x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 而222x y m m +>+恒成立()2min 22m m x y ⇔+<+， 所以228m m +<恒成立，即2280m m +-<恒成立， 解得42m -<<，故答案为42m -<<．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）25k =-；（2）66k <-．【解析】（1）不等式2260kx x k -+<的解集是{}32x x x <->-或∴方程2260kx x k -+=的两个根为3-，2-，()2325k ∴=-+-=-，25k ∴=-． （2）①0k =时，显然不满足题意，②0k ≠时204240k Δk <⎧∴⎨=-<⎩，解得66k <-，综上66k <-． 18．【答案】（1）21n a n =-；（2）30．【解析】（1）由题意知，2215a a a =⋅，()()21114a d a a d +=⋅+即，由于0d ≠，整理得12d a =，代入414616S a d =+=，解得：11a =，2d =，所以21n a n =-． （2）解法一：由()321nn n b a -=-可知，121014728b b b a a a a +++=-+-++，即12105330b b b d +++=⨯=．解法二：由()()()321165nnn n b a n -=-=--可知，12101713495530b b b +++=-+-+-+=．19．【答案】（1）22；（2）974． 【解析】（1）∵4a =，3c =，1cos 8B =．∴由余弦定理可得222212cos 43243228b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=．故b 的值22． （2）∵1cos 8B =，B 为三角形的内角，∴22137sin 1cos 188B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又4a =，3c =，∴113797sin 432284ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△．20．【答案】当托运甲4箱，乙1箱时利润最大，最大利润为9000元． 【解析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则54242513 0,0,x y x y x x y x +≤+≤≥∈≥⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩N N， 目标函数2010z x y =+，画出可行域如图．由25135424x y x y +=+=⎧⎨⎩，得()4,1A ．易知当直线20x y +=平移经过点()4,1A 时，z 取得最大值．且2041090⨯+=（百元）即9000元， 答：当托运甲4箱，乙1箱时利润最大，最大利润为9000元． 21．【答案】（1）π3A =；（2）334．【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+- 可得222a b c b a b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===． 又因为0πA <<，所以π3A =．（2）由π22sin 2sin 3sin 3a R a R A A =⇒===，所以2232bc bc bc bc bc =+-≥-=． 所以11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）22．【答案】（1）65n a n =-；（2）361nn +． 【解析】（1）∵点,nSn n⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数32y x =-的图象上，32n S n n ∴=-，232n S n n =-即，∴111a S ==，当2n ≥时，()()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，经检验：1n =时满足上式，65n a n ∴=-，n ∈*N ， （2）()()133111656126561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，123n n T b b b b =++++11111111121771313196561n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113126161nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．。
2014-2015年山东省德州市乐陵一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2 C．2 D．2．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2﹣ab，则∠C=（）A．30°B．45°C．150° D．135°3．（5分）﹣1与+1的等比中项是（）A．1 B．±1C．﹣1 D．以上选项都不对4．（5分）若集合A={x|x2﹣7x+10＜0}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，5）C．（2，5） D．（2，3）5．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项的和，已知a3+a4+a5=15，求S7=（）A．25 B．30 C．35 D．1056．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．1：：27．（5分）已知0＜x＜1，a=2，b=1+x，c=，则其中最大的是（）A．a B．b C．c D．不确定8．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形9．（5分）若直线ax+2by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1 B．3+2C．5 D．10．（5分）已知方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根是x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是（）A．（﹣2，﹣）B．[﹣2，﹣）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11．（5分）在△ABC中，已知c=1，A=60°，a=，则B=．12．（5分）不等式x+≥2的解集是．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n+2，则a n=．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且4x+2y﹣xy=0，则x+y的最小值为．15．（5分）若对任意的正数x使2x（x﹣a）≥1成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．18．（12分）求函数y=（x≠﹣1）的值域．19．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=2，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin的值．20．（13分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n=1，2，3…），数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求满足T n＜55的最大正整数n．2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴q=．∴等比数列{a n}的公比为．故选：D．2．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2﹣ab，则∠C=（）A．30°B．45°C．150° D．135°【解答】解：∵在△ABC中，a2+b2=c2﹣ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，则∠C=135°．故选：D．3．（5分）﹣1与+1的等比中项是（）A．1 B．±1C．﹣1 D．以上选项都不对【解答】解：设两数﹣1与+1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=（﹣1）（+1）=1，∴x=±1，故选：B．4．（5分）若集合A={x|x2﹣7x+10＜0}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，5）C．（2，5） D．（2，3）【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得：2＜x＜5，即A=（2，5），由B中不等式变形得：2﹣1=＜2x＜8=23，得到﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），则A∩B=（2，3）．故选：D．5．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项的和，已知a3+a4+a5=15，求S7=（）A．25 B．30 C．35 D．105【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a4+a5=3a4=15∴a4=5=7a4=35故选：C．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．1：：2【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，又A+B+C=π，∴A=，B=，C=．由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC==1：：2．故选：D．7．（5分）已知0＜x＜1，a=2，b=1+x，c=，则其中最大的是（）A．a B．b C．c D．不确定【解答】解：∵0＜x＜1，a=2，b=1+x，c=，∴，1﹣x2＜1，即．∴a＜b＜c．故选：C．8．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，∴由正弦定理得：，在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，∴，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，则sin2B=sin2A，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．9．（5分）若直线ax+2by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1 B．3+2C．5 D．【解答】解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b=1．∴，当且仅当=时，等号成立，故选：B．10．（5分）已知方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根是x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是（）A．（﹣2，﹣）B．[﹣2，﹣）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根是x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，∴即，作出其平面区域如下：相当于阴影内的点与（0，0）两点连线的斜率，又由解得，a=﹣3，b=2，则K OA=﹣，则﹣2＜＜﹣，故选：A．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11．（5分）在△ABC中，已知c=1，A=60°，a=，则B=90°．【解答】解：∵在△ABC中，已知c=1，A=60°，a=，∴由正弦定理=得：sinC===，∵c＜a，∴C＜A，∴C=30°，则B=90°．故答案为：90°12．（5分）不等式x+≥2的解集是（﹣1，0]∪[1，+∞）．【解答】解：不等式x+≥2即为，即有或，即有或，则x≥1或﹣1＜x≤0或x∈∅，则有x≥1或﹣1＜x≤0．故解集为（﹣1，0]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣1，0]∪[1，+∞）．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n+2，则a n=．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+2+2=5．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n+2﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+2]=2n+1．∴．故答案为：．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且4x+2y﹣xy=0，则x+y的最小值为．【解答】解：已知x＞0，y＞0，且4x+2y﹣xy=0，可得．利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=6+≥，当且仅当=时成立．则x+y的最小值为．故答案为．15．（5分）若对任意的正数x使2x（x﹣a）≥1成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：不等式2x（x﹣a）≥1等价为x﹣a≥2﹣x，即a≤x﹣2﹣x，在x＞0上恒成立，设f（x）=x﹣2﹣x=x﹣（）x在x≥0时为增函数，∴f（x）＞f（0）=﹣1，即x﹣2﹣x＞﹣1，∴要使a≤x﹣2﹣x，在x＞0上恒成立，则a≤﹣1，故a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵（b﹣2a）cosC+c cosB=0，∴由正弦定理得（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，又∵C∈（0，π），∴C=；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴解得：a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×=．18．（12分）求函数y=（x≠﹣1）的值域．【解答】解：由已知：，（i）当x+1＞0即x＞﹣1时，，当且仅当即x=1y≥1时，y min=1，此时；（ii）当x+1＜0即x＜﹣1时，，当且仅当即x=﹣3时，y min=1，此时y≤﹣7；综上所述，所求函数的值域为y∈（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）19．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=2，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin的值．【解答】解：（1）因为A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，由余弦定理得cosB==，所以由正弦定理可得a=2b•，因为b=4，c=2，所以a2=24，即a=2；（2）由余弦定理得cosA==，因为0＜A＜π，所以sinA==．故sin=sinAcos+cosAsin=×+（）×=．20．（13分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．【解答】解：设矩形休闲广场的长为x米，∵矩形休闲广场的占地面积为2400平方米故矩形休闲广场的宽为米由于道路的宽度均为2米故绿化区域的面积y=（x﹣6）（﹣4）=2424﹣（4x+）≤2424﹣2=2424﹣480=1944当且仅当4x=，即x=60时取等，此时=40即矩形休闲广场的长和宽分别为60米和40米时，才能使绿化区域的总面积最大，最大面积为1944平方米．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n=1，2，3…），数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求满足T n＜55的最大正整数n．【解答】解：（1）①当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．∵S n=2a n﹣2，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2．∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，化为．∴数列{a n}是等比数列．∴=2×2n﹣1=2n．②数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．∴b n﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n=2．∴数列{b n}是等差数列，∴b n=b1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n，∴T n=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，2T n=1×22+3×22+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1==（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴．由T n＜55可得（2n﹣3）•2n+1+6＜55，化为（2n﹣3）•2n+1＜49．当n=3时，左边=（2×3﹣3）×24=48＜49=右边，而当n=4时，左边=（2×4﹣3）×25=5×32＞49=右边．因此满足T n＜55的最大正整数n=3．。
【精品】2018最新学年贵州省铜仁市印江县智成中学高二上学期期中数学试卷和解析文科
2018学年贵州省铜仁市印江县智成中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）算法的三要素不包括以下（）
A．明确性B．有限性C．有序性D．模糊性
2．（5分）处理框的作用是（）
A．表示一个算法的开始B．表示一个算法输入
C．赋值计算D．判断条件是否成立
3．（5分）下面程序框图有两个出口的是（）
A．输出框B．处理框C．判断框D．起止框
4．（5分）算法的三种基本结构是（）
A．顺序结构，条件分支结构，重复结构
B．逻辑结构，模块结构，分支结构
C．矩形结构，菱形结构，平行四边形结构
D．顺序结构，条件结构，循环结构
5．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．（5分）下面一段程序执行后输出结果是（）
A．2B．8C．10D．18
7．（5分）①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为（）
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样。
重庆市第一中学2014_2015学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)
重庆一中2014-201 5学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．C．D．135°2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜04．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y ﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=28．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．310．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|PM|+|PF|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．C．60°D．135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的方程为斜截式可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．解答：解：直线方程可化为：y=x+1，∴直线的斜率为1，设其倾斜角为α，0°≤α＜180°，则可得tanα=1，∴α=45°故选：B点评：本题考查直线的倾斜角，涉及斜率和倾斜角的关系，属基础题．2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q为真命题的定义即可找出正确选项．解答：解：根据p∨q为真命题的定义即可知道：A正确．故选A．点评：考查真假命题的概念，以及p∨q真假和p，q真假的关系．3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜0考点：全称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．解答：解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+3≥0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+3＜0故选项为：D．点评：本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题4．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线考点：异面直线的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：利用正方体的空间结构求解．解答：解：如图，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB与DD1异面，AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB与AD相交，∴若m∥n，n∩l=P，则l与m的位置关系：相交或异面．故选D．点评：本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为R，利用侧面展开图的中心角为，求得R，再根据圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算．解答：解：设圆锥的底面半径为R，∵侧面展开图的中心角为，∴×π×4=2πR，∴R=1，圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=×π×12×=．故选：A．点评：本题考查了圆锥的体积公式及圆锥的侧面展开图，解答的关键是利用圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高．7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y ﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的交点坐标，然后求出圆的半径，即可求出圆的方程．解答：解：由题意，直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0联立，解得x=2，y=1，∴两条直线的交点为：（2，1）．所求圆的半径为：1，∴所求圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．8．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n考点：四种命题的真假关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解．解答：解：A、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，若n⊥m，则n⊥α，故A错误；B、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，可知n与α也可以平行，故B错误；C、∵m⊂α，n∥α，m、n共面，⇒m∥n，故C正确；D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C．点评：此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．10．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得直线PF2的斜率，即可得到直线方程，直线方程分别与渐近线方程联立即可得出点P，Q的坐标，再利用向量共线即可得出a，b，c的关系，利用离心率计算公式即可．解答：解：如图所示，∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率为．∴直线PF2的直线方程为．联立解得．∴P．联立，解得．∴Q．∴=，=．∵，∴c2=4a2．∴=2．故选A．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线相交问题、向量的运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是20π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为2，高为5的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．解答：解：由已知可得该几何体为圆柱且圆柱的底面直径为4，高h=5即圆柱的底面半径r=2故该几何体的侧面积S=2πrh=20π．故答案为：20π．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是4π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：运用体积公式求解半径，再运用圆的面积公式求解．解答：解：∵球的体积为，∴R=2，∴球的大圆面积是πR2=4π故答案为：4π点评：本题考查了球的体积公式，面积公式，属于计算题．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式求出圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d，减去半径即可得到最短距离．解答：解：由圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，得到圆心M（5，3），半径r=3，∵圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d==5，∴M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为5﹣3=2．故答案为：2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，根据题意得出d﹣r 为最短距离是解本题的关键．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．点评：本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|P M|+|PF|的最小值是13．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先根据双曲线方程求得a，b，进而求得c，则双曲线的离心率和右准线方程可得，进而根据双曲线的第二定义可知|MP|=e•d，进而推断出当MA垂直于右准线时，d+|PM|取得最小值进而推断3|PM|+|PF|的最小值．解答：解：由题意可知，a=，b=2，c=3，∴e=，右准线方程为x=，且点P在双曲线右支上，则|PF|=e•d=d（d为点P到右准线的距离）．∴3|PM|+|PF|=3（d+|PA|），当PM垂直于右准线时，d+|MA|取得最小值，最小值为6﹣=，故3|MF|+|MA|的最小值为13．故答案为：13点评：本题主要考查了双曲线的性质．考查了学生数形结合和转化和化归的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用平面与平面平行的判定定理可得结论；（2）证明CF⊥平面ABB1A1，即可证明CF⊥BA1．解答：证明：（1）∵B1M∥CE，且B1M=CE，∴四边形CEB1M是平行四边形，∴CE∥EB1又∵FM∥AB1，CF∩FM=M，EB1∩AB1=B1，∴平面AEB1∥平面CFM；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CF，∵AC=BC，AF=FB，∴CF⊥AB，BB1∩AB=B，∴CF⊥平面ABB1A1，∴CF⊥BA1．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m ＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意求出命题p、q为真时m的范围，由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．解答：解：命题p为真命题时，将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，若命题q为真命题时，0＜m＜15，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中有一真一假；当p真q假时，无解；当p假q真时，，解得综上：m的取值范围为点评：解决问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解答：解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，联立即可解出．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3﹣4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．解答：解：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，解得：，∴椭圆方程为：．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，∴．解得k=±2，∴直线AB方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．考点：平面与平面垂直的判定；球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性质可得BC⊥面ABG，则BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由线面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC（2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB，利用等积法可得三棱锥D﹣ACG的体积；（3）利用等体积求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．解答：（1）证明：过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，则∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∵面ABCD⊥面ABG，∴BC⊥面ABG，∵AG⊂面ABG，∴BC⊥AG，又BH⊥面AGC，∴BH⊥AG，又∵BC∩BH=B，∴AG⊥面AGD，∴面AGD⊥面BGC；（2）解：由（1）知AG⊥面BGC，∴AG⊥BG，又AG=BG，∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB∴GE⊥面ABCD∴V D﹣ACG=V G﹣ACD=GE•S△ACD=••2a•（2a）2=；（3）解：记三棱锥内切球的半径为r，，△DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=，△ACG中，AC=2a，GC=a，AG=a，S△ACG=，△DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=，△ADC中，S△DAC=2a2由，可得r=．点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积，其中（1）要熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，属于中档题．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法．分析：（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程．（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）则，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分）则△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分）…（9分）解得.，满足（*）∴．…（10分）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，由，得A，…（11分）∴，…（12分）用代替上式中的k，得，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）∵k＜0，∴解得：k=﹣1或，故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．。
2016-2017学年北京市通州潞河中学高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版
潞河中学2016-2017-1期中高二年级数学文科试题一、选择题（共8道题，每个题5分，每题有且只有一个正确选项） 1．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20a a a >⇔<或1a >，所以“2a a >”是“1a >”的必要而不充分条件，故选B ．2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）． A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(0,1) D ．(1,0)【答案】D【解析】∵抛物线方程22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴抛物线24y x =的焦点坐标是(1,0)．故选D ．3．命题“若a b >，则1a b +>”的逆命题是（ ）． A ．若1a b +≤，则a b > B ．若1a b +<，则a b > C ．若1a b +≤，则a b ≤D ．若1a b +<，则a b <【答案】C【解析】命题若“p ”则“q ”的逆命题是“q ⌝”则“p ⌝”，所以“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是：“若1a b +≤，则a b ≤”，故选C ．4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为（ ）． A ．15B ．14C ．7D ．6【答案】A【解析】根据框图的循环结构，依次：212a =⨯=，123S =+=； 224a =⨯=，347S =+=；248a =⨯=，8715S =+=；跳出循环，∴输出结果15S =，故选A ．5．命题:p x ∀∈R ，220x ax a ++≥，命题:q x +∃∈R ，使得12x x+<，则下列命题中为真命题的是（ ）． A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨【答案】C【解析】:p x ∀∈R ，220x ax a ++≥， 令22y x ax a =++，222430a a a ∆=--<=，∴p 是真命题，:q x +∃∈R ，12x x+<，∵0x >，∴12x x +≥，∴q 是假命题，∴p q ∨是真命题．故选C ．6．“8m <”是“方程221108x y m x -=--表示双曲线”的是（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程221108x y m m -=--表示双曲线等价于(10)(8)0m m -->， 即8n <或10m >，所以“8n <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线” 的充分而不必要条件．故选A ．7．下列命题：①x ∀∈R ，2≥x x ；②x ∃∈R ，2≥x x ；③43≥；④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠且1x ≠-”中，其中正确命题的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】20x x x ⇔≥≤或1x ≥，所以①错误，②正确；4343⇔>≥或43=，所以③正确；211x x ≠⇔≠且1x ≠-，所以④正确；综上，正确命题的个数是3．故选D ． 8．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（ ）． A ．(1)(01)≤≤y x x x =- B ．(1)(01)≤≤x y y y =- C ．2(01)≤≤y x x = D ．21(01)≤≤y x x =-【答案】A【解析】设(0,)(01)D m m ≤≤，则(1,1)E m -，所以直线AD 的方程为1yx m+=， 直线DE 的方程为：(1)y m x =-，设(,)G x y ，则由1(1)y x m y m x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得(1)x m y m m =⎧⎨=-⎩，消去m 可得(1)(01)y x x m =-≤≤．故选A ．二、填空题（共6道题，每个题5分，请把答案直接填在答题纸上）9．命题“若0m =，则22:20C x y x m +++=过原点”的否命题．．．是___________． 【答案】若0m ≠，则圆22:20C x y x m +++=不过原点 【解析】∵若P 则q 的否命题若p ⌝则q ⌝，所以“若0m =，则圆22:20C x y x m +++=过原点的否命题”是“若0m ≠， 则圆22:20C x y x m +++=不过原点”．10．椭圆2244x y +=的离心率是___________． 【答案】 【解析】11．已知点F ，B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为___________．【解析】将2244x y +=化为标准方程2214x y +=，∴2a =，1b =，c =，∴离心率c e a ==．12．已知M 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为抛物线焦点，过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ．若EO MF =，点M 的横坐标为3，则p =___________． 【答案】3【解析】根据题意，可知(3,M，(.2pE -，∵||||OE MF =，32p +，∴2269344p p p p +=++，解得：3p =．13．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号，，196~200号），若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__________人．【答案】37；20【解析】因为每小组有5个人，第5组抽出的号码为22， 所以第8组应抽出的号码为221537+=， 又因为40岁以下人数占50%，所以样本中也应点50%，故40岁以下年龄段应抽取20人． 14．定义：如果对于实数m ，使得命题“P ∃∈曲线C ，点P 到直线l 的距离≤d m ”为真命题，就把满足条件的m 的最小值对称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =___________．【答案】94【解析】圆22(4)2x y ++=的圆心为(0,4)-圆心到直线y x ==，∴曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离为 则曲线21:C y a α=+到直线:l y x =令121y x ==解得12x =，故切点为11,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，切点到直线y x ==94a =或74a =-．∵当74a =-时，直线y x =与曲线21:C y x a =+相交，故不符合题意．综上所述，94a =．三、解答题（共6道题，每道题都要写出必要、规范的解答过程）15．（本题满分13分）已知椭圆2244x y +=上每一点的横坐标构成集合A ，双曲线2222(0)x y m m -=≠实轴上任一点的横坐标构成集合B ．命题:p x A ∈，命题:q x B ∈．（Ⅰ）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）当4m =时，若命题p q ∧为假命题，命题p q ∨为真命题，求实数x 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）{|22}A x x -≤≤，{|||B x x m =-≤或||}x m ≥， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü， 则：||2m -≤或||2m -≥，m 无解， 故m φ∈．（Ⅱ）当4m =时，{|22}A x x -≤≤，{|4B x x =-≤或4}x ≥， 若命题p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，(){|22}{|44}x A B x x x x ∈=--<<R ≤≤ð， {|22}x x =-≤≤，当p 假q 真时，(){|2x A B x x ∈=<-R ð或2}{|4x x x >-≤或4}x ≥{|4x x =-≤或4}x ≥．综上所述，实数x 的取值范围是(][][),42,22,-∞--+∞．16．（本题满分13分）已知直线:4l x y +=与x 、y 轴交于A 、B 两点．（Ⅰ）若点A 、B 分别是双曲线E 的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点C 、D ，使得双曲线E 上任意一点到C 、D 这两点距离差的绝对值是定值．（Ⅱ）若以原点O 为圆心的圆O 截直线l 所得弦长是2，求圆O 的方程以及这条弦的中点． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵直线l 与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴(4,0)A ，(0,4)B ， 又A 、B 分别是双曲线E 的虚轴，实轴的一个端点， ∴双曲线中4a =，4b =，c = 由题可知C ，D 是双曲线的焦点，∴(C -，D或(0,C -，D ． （Ⅱ）圆心(0,0)到直线:4l x y +=的距离d =，∴3r ==，∴圆O 的方程为229x y +=， 设AB 的中点为(,)m n 则： 14mnm n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解22m n =⎧⎨=⎩， 即弦AB 的中点为(2,2)．17．（本题满分13分）如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，0,3)C ． （Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，设直线l 过点A 且斜率是1，求直线l 与这个椭圆的公共点的坐标．（Ⅱ）若该曲线表示一段抛物线，求该抛物线的方程．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，则椭圆方程为22194y x +=， ∵直线l 过(2,0)A -且斜率为l ，∴直线l 的方程为：2y x =+，将2y x =+，代入22194y x +=，得22(2)194x x ++=， 化简得：21316200x x +-=，解得2x =-或1013x =，将1013x =代入2y x =+，得3613y =， 故直线l 与椭圆的公共点的坐标为(2,0)-，1036,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）若该曲线是一段抛物线，则可设抛物线方程为：(2)(2)y a x x =+-，将(0,3)代入得43a -=，解得：34a =-，∴抛物线的方程为3(2)(2)4y x x =-+-，即2334y x =-+．18．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为l 的斜率是1，且l 与椭圆G 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ，求实数m 的取值范围．（Ⅲ）以AB 为底作等腰三角形，顶点为(3,2)P -，求△PAB 的面积． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知得c =c a =解得：a =2224b a c =-=， ∴椭圆的标准方程为221124x y +=． （Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ， 则可设直线l 的方程为y x m =+， 将y x m =+代入221124x y +=得： 22463120x mx m ++-=，223616(312)0m m ∆=-->，解得：44m -<<， 故实数m 的取值范围是：(4,4)-．（Ⅲ）设A 、B 的坐标分别为1122(,)(,)x y x y ，AB 的中点为00(,)E x y ， 则1232m x x +=-，122my y +=， 034m x =-，04m y =，因为AB 是等腰PAB △的底边，所以PE AB ⊥，∴1KPE =-，∴241334mm -=--+，解得：2m =，∴||AB =||PE ，∴119||||222PAB S AB PE ==⨯=△．19．（本题满分13分）已知曲线222:E x ny n +=，直线:l y kx m =+（其中k E 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若n ∈R ，试判断曲线E 的形状．（Ⅱ）若2n =，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在曲线E 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当0n =时，20x =，0x =，曲线E 的形状为直线0x =， 当0n <时，2221x y n n-=-，表示以焦点在x 轴上，以2n 为实轴，以 当0n >时，2221x y n n+=，当2n n >，即1n >时，表示焦点在x 轴上，以2n为长轴，以 当2n n <，即01n <<时，表示焦点在y 轴上，以2n为长轴，以 当2n n =，即1n =时，表示圆心在原点，以1为半径的圆． （Ⅱ）当2n =时，曲线方程为：22142x y +=， 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，计算得出m =∴||OP =当0k ≠时，则22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简整理得：222(12)4240k x kmx m +++-=，222222164(12)(24)8(42)0k m k m k m ∆=-+-=-->①，设A ，B ，P 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，00(,)x y ， 则0122412km x x x k =+=-+，0121222()212my y y k x x m k =+=++=+， 因为点P 在椭圆C 上，所以2200142x y +=， 从而2222222421(12)(12)k m m k k +=++，化简得：22212m k =+， 经检验满足①式，又||OP ==∵0||k <<，∴21122k <+≤， ∴221212k<+≤，||OP综上，||OP的取值范围是．20．（本题满分14分）已知椭圆222:1x C y m+=（m 是大于1的常数）的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线PA 、PB 与直线2:l x m =分别交于M 、N 两点（设直线PA 的斜率为正数）．（Ⅰ）设直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k ⋅为定值． （Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．（Ⅲ）判断“2m =”是“存在点P ，使得△PMN 是等边三角形”的什么条件？（直接写出结果）【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设00(,)P x y ，则220021x y m+=，即222200x m y m +=， ∴直线PA 的斜率010y k x m =+，直线PB 的斜率020y k x m=-， ∴220000122222200001y y y y k k x m x m x m m y m =⋅===-+---， 故12k k 为定值21m -． （Ⅱ）直线PA 方程为1()y k x m =+，∴M 点坐标221(,())m k m m +， 直线PB 方程为2()y k x m =-，∴N 点坐标222(,())m k m m -， ∴2212()()MN k m m k m m =+--，∴221211()()MN k m m m m k m=++-21111()1k m m k m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭≥ 故线段MN长度的最小值为．（Ⅲ）“2m =”是“存在点P ，使得PMN △是等边三角形”的既不充分也不必要条件．。
安徽省亳州市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试文科数学答案
‴ 12 时，取“‴”，
22 解： （Ⅰ）∵ ∴
∴数列｛ an ｝是首项为
1 an ( ) n (n N * ) . 4
……………………
………3 分
第 2页，共 3页
（Ⅱ）∵
bn 3 log 1 a n 2
4
………………………… 4
分 ∴
1 bn 3 log 1 ( ) n 2 3n 2 . 4 2
1
Ⅱㄷ由余弦定理得 7 ‴ ㄷ2 3
‴ 7，
2
2
2
1 2
，
第 1页，共 3页
‴
1 2
‴ 6，
sinh ‴
4
3
‴
3 3 2
，
ㄷ2 18 ‴ 7， ‴ 5， th 的周长为 5 7．
2
18、 Ⅰㄷ已知 ‴ 60 ， 由余弦定理得 t 2 ‴ t2 解得 t ‴ 7， 由正弦定理，sin 所以 sin Ⅱㄷ在 t ‴ 4
…………………………
……8 分 ∴ S n 1 4 ( ) 2 7 ( ) 3 (3n 5) ( ) n 1 (3n 2) ( ) n ， 于是 S n 1 ( ) 2 4 ( ) 3 7 ( ) 4 (3n 5) ( ) n (3n 2) ( ) n 1 ……… 9 分 两式①-②相减得 S n =
21 解： Ⅰㄷ依题意有： ‴ 100
2 ，其中 2 ‴ 100
t 2．
144
2 ‴ 2200， 当且仅当 综上：当
144
Ⅱㄷ由均值不等式可得： ‴ 100 ‴ ，即
2
100 2 144
‴ 12 时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为 2200
高二年级第一学期末数学文科试卷
泗阳县2013—2014学年度第二学期期中调研测试高二数学（文科）注意事项：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡上交．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知复数2(2i)z =-，则复数z 在复平面内所对应的点位于第 ▲ 象限.2. 已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为 ▲ 2/s m ；3．函数()sin cos f x x x =的导数()f x '= ▲ . 4．复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z 为 ▲ .5．试将平面上的圆与空间中的球进行类比，则根据圆的性质“与圆心距离相等的两弦长相等”，可以猜测球对应的性质是： ▲ . 6．设函数21()4ln (0)2f x x x x =->，则函数()f x 的减区间为 ▲ . 7．函数()x f x ex e =-，[0,2]x ∈的值域为 ▲ .8．已知二次函数y f x =()的图象过原点，且它的导函数 ()y f x '=的图象 是如右图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 ▲ 象限．9．直线y t =与函数31()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则实数t 的取值范围为▲. 10．已知12,z z ∈C ，1212||||1,||z z z z ==-12||z z +的值为 ▲ . 11．观察直线上的n 个点，发现2个点可以确定1条线段，3个点可以确定3条线段，4个点可以确定6条线段，5个点可以确定10条线段，由此可以归纳出n 个点可以确定 ▲ 条线段.12.已知函数3()41f x x ax =--，)0,1(-∈x 的图象恒在x 轴下方，则实数a 的取值范围为▲ .13．设2222222220131201211413113121121111++++++++++++= S ，则不大于S 的最大整数[]S 等于 ▲ .14．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且最小正周期为2π；当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()()02x f x π'-<.则函数()|cos |y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本题满分14分）已知复数1124i z z =+（－），22i()z a a =-∈R . （Ⅰ）求复数1z ； （Ⅱ）若复数12z z 为纯虚数，求实数a 的值. 16．（本题满分14分）已知函数22()(0)1x f x x x=≠+. （Ⅰ）计算1()(2)2f f +、1()(3)3f f +、1()(4)4f f +的值；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结果，请猜想函数()f x 具备的一个性质，并证明你的猜想.17．（本题满分14分）定义在R 上的函数32()3f x x x ax =-+，且(1)1f '=-. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设直线y x b =-+是曲线()y f x =的一条切线,求实数b 的值； （Ⅲ）求过原点且与曲线()y f x =相切的直线l 的方程. 18．（本题满分16分）如图所示为一块废铁皮ABCD ，已知AD AB ⊥，AD CD ⊥，24AB CD ==，右边缘BC 是以A 为圆心AB 为半径的一段圆弧.现要用这块铁皮裁剪出一个矩形AFEG (其中E 在圆弧BC 上，F 在线段AB 上，G 在线段AD 上).以EF 为母线把矩形EFAG 卷成一个圆柱的侧面，设EF x =. （1）写出圆柱体积V 与母线长x 的函数关系式； （2）当x 为何值时圆柱的体积V 最大？其最大值是多少？GD19．（本题满分16分）已知函数()2ln b f x ax x x=-+，在1x =与12x =处取得极值.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）设()ln g x x x c =-+，若对任意的11[,2]2x ∈总存在2[2,4]x ∈使得12()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围.20.（本题满分16分）已知函数()ln f x a x = ()a ∈R ，21()2g x x =-. （Ⅰ）若对任意的[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设0a >，点11(,)A x y 、22(,)B x y 为曲线()y f x =上的两个不同点，若120x x <<，且存在312(,)x x x ∈，使得曲线()y f x =在点33(,())P x f x 处的切线与直线AB 平行.试判断3x 与122x x +的大小关系，并证明你的结论.。