2013年全国初中数学联赛试题及答案

2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、若反比例函数x

k y =的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1， 则=k （ ）

A 、3-

B 、1-

C 、1

D 、3

解：由条件知)3,1(P ，于是13k =

，即3=k ．故答案选D ． 2、方程22012||20130x x -+=的所有实数解之和是（ ）

A 、2012-

B 、0

C 、2012

D 、2013 解：若0x 是方程22012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解． 所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B

3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足CF BE =． 则AEF ∆面积的最小值是（ ）

A 、8

B

C 、14

D 、38 解：设x B

E =，则x D

F CE -==1，x CF =，

)1(21)1(21211x x x x S AEF -----

=∆=83]43)21[(212≥+-x ，当2

1=x 时等号成立。 所以，AEF ∆面积的最小值是83．故答案选D ．

4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则b a 的值为（ ）

A 、14

B 、12

C 、1

D 、2 解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；

若2b ≠，则2

(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+ 101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1b a =． 故答案选C ．

5、在四边形ABCD 中，1AB BC ==，100ABC ∠=，130CDA ∠=，则BD 的长为（ ）

A B 、1 C D

解：如图，延长AB 至E ，使得BE BC =， 则1502AEC BCE ABC ∠=∠=∠=， 于是180AEC ADC ∠+∠=，故,,,A E C D 四点共圆，

且圆心为B ．

所以，1BD BA ==．故答案选B ．

6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P

是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线b kx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（ ）

A 、3

B 、72

C 、4

D 、92

解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，

则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．

二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）

1、若x 是整数，且满足不等式组10214

x x ->⎧⎨-<⎩，则x = ．

解：解不等式组10214

x x ->⎧⎨-<⎩得512x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2． 2、在等边ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD CE =，BE 与CD 相交于点F ，则BFC ∠的大小是 ．

解：由条件知ADC ∆≌CEB ∆(SAS ),故ACD CBE ∠=∠,

于是60EFC FBC FCB ECF FCB ∠=∠+∠=∠+∠=

所以120BFC =.故答案填120．

2013年初中数学联赛初三决赛解答 第3页；共5页

3、实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是 ． 解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程222()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式222()4(27)0y z y z yz ∆=+-+--≥，即2()36y z -≤，故||6y z -≤． 当||6y z -=，且2

y z x +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6． 法二：因为22222327[()]()24

y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+- 23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2

y z x +=时等号成立． 所以||y z -的最大值是6．故答案填6．

4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-．

记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++

++， 则S 能取到的最小正整数是 ．

解：令1(1,2,

,15)i i i y x x i +==，约定161x x =．则1i y =或者1-． 在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=．

又因为212

1512151(1)()1a b y y y x x x ⨯-===，所以b 为偶数． 又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．

另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =．

所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．

三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）

1、抛物线2

2y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >，

且221210x x +=． （1）求实数m 的值；

（2）设0(2,)M y 抛物线2

2y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P ，使得PA PM +的值最小，并求出P 的坐标．

解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．

于是22212121210()242x x x x x x m =+=+-=-，解得3m =-．