应力状态理论

第8章应力状态理论
§8-1 一点应力状态概念
1．凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。

因为受力构件内同一
截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。

例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；
图8-2通过轴向拉伸杆件同一点m的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。

应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。

如图8-3是通过轴向拉伸杆件内m点不同（方向）截面上的应力情况（集合）
３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。

如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

*平面应力状态的工程实例
１．薄壁圆筒压力容器
0D 为平均直径，δ为壁厚 由平衡条件04200=⋅-=∑D p D X L π
δπσ
得轴向应力： δ
σ40pD L = （8-1a ） 图8-5c （Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为B 的横截面，H-H 为水平径向面）
2．球形贮气罐（图8-6）
由平衡条件⎰=-=∑π
δσαα0002sin 2
B d D pB Y H 或δσB pBD H 20= 得环向应力： δ
σ20pD H = （8-1b ） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 a σ
对半球写平衡条件：p D D a ⋅=
⋅2004πδπσ
得 δ
σ40pD a =
（8-2） 3．
弯曲与扭转组合作用下的圆轴
4．
受横向载荷作用的深梁
§8-2平面一般应力状态分析——解析法
1．空间一般应力状态
如图8-9a 所示，共有9个应力分量：x 面上的xx σ，xy τ，xz τ；y 面上的yy σ，yx τ，yz τ；z 面上的zz σ，zx τ，zy τ 。

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。

由剪应力互等定理，有：
yx xy ττ=，zy yz ττ=，zx xz ττ=。

2）平面一般应力状态如图8-9b 所示，即空间应力状态中，z 方向的应力分量全部为零（0===zy zx zz ττσ）；或只存在作用于x-y 平面内的应力分量 x σ，y σ，xy τ，yx τ，其中x σ，y σ分别为xx σ，yy σ的简写，而 xy τ= yx τ。

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

2．平面一般应力状态斜截面上应力
如图8-10所示，斜截面平行于z 轴且与x 面成倾角α ，由力的平衡条件：
0=∑αn 和 0=∑αt
可求得斜截面上应力ασ，ατ：
αατασασσαc o s s i n 2s i n c o s 22⋅-+=xy y x
ατασσσσ2sin 2cos )(2
1)(21xy y x y x --++= （8-3a ）
)s i n (c o s c o s s i n )(22ααταασστ-+-=xy y x xy
ατασσ2cos 2sin )(2
1xy y x +-= (8-3b)
注意到：1）图8-10b 中应力均为正值，并规定倾角α 自x 轴开始逆时针转动者为正，反之为负。

2）式中xy τ均为x 面上剪应力，且已按剪应力互等定理将 yx τ换成xy τ。

3．正应力极值——主应力
根据（8-3a ）式，由求极值条件0=α
σαd d ，得 02cos 22sin )(=---ατασσxy y x
即有 y x xy
σστα--=22tan 0 （8-4a ）
0α为ασ取极值时的α角，应有0α，︒+900α两个解。

将相应值02sin α，02cos α分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：
224)(2
1)21xy y x y x τσσσσσ+-±
+=（极小极大， （8-4b ） 09000==︒
+ααττ (8-4c)
说明：
1）当倾角α转到0α和︒+900α面时，对应有0ασ，︒+900ασ，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时0ατ，︒+900ατ均为零。

可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a ）。

2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：极大σ，极小σ，故也称平面应力状态为二向应力状态。

4．剪应力极值——主剪应力
根据(8-3b)式及取极值条件0=α
ταd d ，可得： xy
y x τσσα22tan *0-= （8-5a ） *0α为ατ取极值时的α角，应有*0α，︒+90*0α两个解。

将相应值*0
2sin α，*02cos α分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：
）极小极大极小极大，σστσστ-±=+-±
=(2
14)(2122xy y x (8-5b) σσσσσαα=+==︒+）极小极大(2
190*0*0
说明：1）当倾角α转到*0α和0*090+α面时，对应有极大τ，极小τ，且二者大小均为
）极小极大σσ-(2
1，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值）极小极大σσ+(2
1（如图8-11b ）。

2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。

注意到：
12tan 2tan 0*0-=⋅αα
︒±=90220*0αα 或 ︒±=450*0αα
因而主剪平面与主平面成︒±45夹角。