一点应力状态概念及其表示方法
工程力学第1节 应力状态的概念
单元体的上、下侧面和前、后侧面均无应力。
圆杆在扭转时 如图所示，对于其表面 上的 B 点，可以围绕该点以 杆的横截面和径向、周向纵 截面截取代表它的单元体进 行研究。横截面上在 B 点处 的切应力： 杆在周向截面上没有应力。 式中： 又由切应力互等定理可知， MT — 横截面上的扭矩； 杆在径向截面上 B 点处应该 WP — 抗扭截面系数， 有与相等的切应力。于是此 单元体各侧面上的应力如图 T — 扭矩。
工 字
钢
实 例
如图所示，设拉杆的任一斜截面m-m与其横截面 相交成 角。采用截面法研究此斜截面上的应力，取 左边部分研究，由平衡方程可得到斜截面上的内力为
F Fห้องสมุดไป่ตู้
设杆由许多纵向 纤维组成，杆拉伸时 伸长变形是均匀的， 因此斜截面上的分布 内力必然是均匀分布 的，即各点处的应力 相等，于是
MT T B max WP WP
三、主平面、主应力、应力状态的分类 主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的 应力单元体在其各个表面上同时存在有正应力和切 应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的 各个单元体中，必有一个特殊的单元体，在这个单 元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的单 元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
F F p A A
式中：p—斜截面上任一点处的 总应力，其方向沿x 轴正向；
根据斜截面面积A与横截面面积A的几何关系得到：
F p 0 cos A / cos
杆横截面上的正应力 为研究方便，将分解为沿斜 截面m-m的法线分量和切线分 量，如图c所示。分解得：
0 F / A
1）单向应力状态 2）二向应力状态
描述空间一点的应力状态需要的应力分量
描述空间一点的应力状态需要的应力分量应力是描述物体内部受力状态的物理量，空间一点的应力状态包括三个主要应力分量：正应力、剪应力和法向应力。
正应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，正应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为x方向正应力、y方向正应力和z方向正应力。
这三个应力分量分别用σx、σy和σz表示。
正应力由两部分组成：一部分来自于物体外部对其的作用力，称为外应力或受载应力；另一部分来自于物体内部的分子间作用力，称为内应力或静力应力。
正应力可以使物体沿着这个方向产生形变，例如拉伸、压缩等。
剪应力是指作用于物体某一截面上的平行于该截面的应力。
在空间中的一点，剪应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为xy方向剪应力、yz方向剪应力和xz方向剪应力。
这三个应力分量分别用τxy、τyz和τxz表示。
剪应力是由物体外部力矩对其产生的，表现为物体的旋转和扭转。
法向应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，法向应力可以沿着各个方向产生，由于其方向多变，没有显式的表示方式。
法向应力可以使物体在垂直于该截面上产生形变，例如变形、弯曲等。
在空间一点的应力状态可以用应力张量来描述。
应力张量是一个二阶对称张量，它包含了全部的应力分量信息。
在直角坐标系下，应力张量的表示形式为：σ = [σx τxyτxz][τxy σy τyz][τxz τyz σz]其中，σx、σy和σz分别表示x方向、y方向和z方向的正应力分量；τxy、τyz和τxz分别表示剪应力的分量。
应力张量可以通过力学分析或实验测量得到。
在工程领域中，了解空间一点的应力状态对于设计和分析结构的强度和稳定性至关重要。
通过合理选择材料和结构形式，可以使结构在应力状态下具有足够的强度和抗变形能力。
因此，研究应力分量及其变化规律对于工程实践具有重要意义。
综上所述，空间一点的应力状态需要考虑正应力、剪应力和法向应力三个应力分量。
一点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
一点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
平面问题中一点的应力状态
px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
应力状态的概念
应力状态与强度理论\应力状态的概念
应力状态的概念
1.1 一点处的应力状态
在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸 铁试件压缩时，沿与轴线大约成45°左右的斜截面发生破坏（如 图），这是由于在与轴线成45°的斜截面上存在最大切应力所引起 的。
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应力状态与强度理论\应力状态的概念
力的影响。
为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首
先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把
通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的大小和方向情况，
称为一点处的应力状态。
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应力状态与强度理论\应力状态的概念
1.2 应力状态的表示
为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个 微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由 于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均 匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。
力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到 压力的作用，处于空间应力状态（如图）。
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应力状态与强度理论\应力状态的概念 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作
用，称为纯剪切应力状态，例如图所示的应力状态。
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应力状态与强度理论\应力状态的概念 应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力
如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的应力，则其他任意 截面上的应力都可以通过截面法求得（详见8.2.1），那末该点处的 应力状态就可以确定了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上 的应力来表示一点处的应力状态。
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应力状态与强度理论\应力状态的概念
点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态
应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。
在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。
本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。
一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。
在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。
而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。
1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。
正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。
而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。
另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。
二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。
应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。
2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。
特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。
通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。
三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。
在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。
3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。
通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。
3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。
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一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
2．平面一般应力状态斜截面上应力如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件：和可求得斜截面上应力，：（8-3a）(8-3b)注意到：1）图8-10b中应力均为正值，并规定倾角自轴开始逆时针转动者为正，反之为负。
2）式中均为面上剪应力，且已按剪应力互等定理将换成。
3．正应力极值——主应力根据（8-3a）式，由求极值条件，得即有（8-4a）为取极值时的角，应有，两个解。
将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：（8-4b） ; (8-4c)说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时，均为零。
可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a）。
2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：，，故也称平面应力状态为二向应力状态。
4．剪应力极值——主剪应力根据(8-3b)式及取极值条件，可得：（8-5a）为取极值时的角，应有，两个解。
将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：(8-5b) ；说明： 1）当倾角转到和面时，对应有，，且二者大小均为，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值（如图8-11b）。
2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。
注意到：；或因而主剪平面与主平面成夹角。
平面一般应力状态分析——应力圆法1．应力圆方程由式（8-3a）和(8-3b)消去，得到(8-6)此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。
2．应力圆的作法应力圆法也称应力分析的图解法。
作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：1）根据已知应力，，值选取适当比例尺；2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。
3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系1）=，= 的证明：=已知：；则，让，对照上式与式（8-3a），可知= 。
对照上式与式（8-3b），可知= 。
2）几个重要的对应关系；（即式（8-5b））主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。
，（即式（8-4a）），对应微元体内从面顺时针转过角（面）。
应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c））建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。
空间应力状态的主应力与最大剪应力1．主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。
此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。
空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。
约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。
例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力，内壁有内压工程上略去不计，则有：，，。
例8-2 图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力：，二向应力状态。
所以，，2．主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个主应力，可求：1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a）。
由于不参加图8-15b 所示微元体的力平衡。
可利用式（8-3a）、(8-3b)：；相应于图8-15c中，构成的应力圆，此时主剪应力：，（图8-15c上的点）。
2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）主剪应力：。
（见图8-15c中，构成的应力圆上点）。
3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。
结论：在按约定排列的三个非零主应力，，作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力，，，其中最大剪应力值为：处在与，作用面成的面上。
例8-1中： , 而非。
例8-2中：※3．任意斜截面上应力已知主应力，，，设斜截面法线的方向余弦为，，。
求任意斜截面上应力。
设斜面面积，则三个侧面面积：，，三个方向余弦满足关系：（a）由平衡条件，和有：，，（b）由总应力的三个分量可得总应力：（c）也可分解为法线方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则有（d）由式（d），（c）得：（e），，在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有：（f）由式（a），（e），（f）可解得：(8-7)讨论：1）在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。
2）由于、、，在约定条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。
3）当，式（8-7）第一式即为图8-14c中，组成的应力圆方程，在所有平行方向的斜截面中，与，成的斜面上具有主剪应力，同理，当，和时，对应有，及，组成的应力圆方程，分别可得主剪应力：和，可见，。
建立强度理论的基本思想１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。
例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限，铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度。
图9-1a,b２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。
例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。
图（9-2a,b）例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。
图（9-3a）例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。
图９－３b３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为。
建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是：１）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。
３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
关于脆性断裂的强度理论１．最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。
表达式：复杂应力状态，当，简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力，最大拉应力脆断准则：(9-1a)相应的强度条件：(9-1b)适用范围：虽然只突出而未考虑的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。
特别适用于拉伸型应力状态（如），混合型应力状态中拉应力占优者（但）。
2．最大伸长线应变准则（第二强度理论）基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变时，即产生脆性断裂。
表达式：。
复杂应力状态：，当；简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变，，最大伸长线应变准则：（9-2a）相应的强度条件：（9-2b）适用范围：虽然考虑了，的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合（如图9-4所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的，对材料强度的影响规律。
关于塑性屈服的强度理论1．最大剪应力准则（第三强度理论）基本观点：材料中的最大剪应力到达该材料的剪切抗力时，即产生塑性屈服。
表达式：复杂应力状态，简单拉伸屈服试验中的剪切抗力，，最大剪应力屈服准则：（9-3a）相应的强度条件：（9-3b）适用范围：虽然只考虑了最大主剪应力，而未考虑其它两个主剪应力，的影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则。
2．形状改变比能准则（第四强度理论）基本观点：材料中形状改变比能到达该材料的临界值时，即产生塑性屈服。
表达式：复杂应力状态，简单拉伸屈服试验中的相应临界值，，形状改变比能准则：（9-4a）相应的强度条件：（9-4b）适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。