天津市六区县第一学期高三数学理科期中联考试卷
2022届高三上期期中考试数学(天津市实验中学)
2022届高三上期期中考试数学（天津市实验中学）选择题已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，所以向量在方向上的投影为，故选A．选择题“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必耍条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数在区间上为增函数得所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必耍条件,选A.选择题已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.解答题已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点．为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1．（1）求椭圆的方程；（2）直线：交椭圆于，两点．（i）若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（ii）若直线的斜率时直线，斜率的等比中项，求△面积的取值范围．【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】试题分析：（1）先根据抛物线的焦点得，再结合椭圆几何条件得当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，所以．（2）（i）证明直线过定点问题，一般方法以算代证，即求出直线方程，根据方程特征确定其过定点，本题关键求出之间关系即可得出直线过定点．由得，即，因此联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得；（ii）先分析条件：直线的斜率时直线，斜率的等比中项，即，，化简得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，这样三角形面积可用m表示，其中高利用点到直线距离得到，底边边长利用弦长公式得到：，最后根据基本不等式求最值试题解析：（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，所以．，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1，所以椭圆的方程为．（2）联立得，，得（*）设，，则，，（i），，由，得，所以，即，得，所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为．（ii）因为直线的斜率是直线，斜率的等比中项，所以，即，得，得，所以，又，所以，代入（*），得．．设点到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，△面积取最大值．故△面积的取值范围为．填空题已知复数是纯虚数，（为虚数单位)，则__________.【答案】【解析】所以填空题等比数列的前项和为，且成等差数列.若，则__________.【答案】15【解析】由题意得解答题已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在锐角中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)首先化简三角函数式的值，然后结合周期即可求得；(2)利用题意首先求得，然后结合面积公式可得，最后由余弦定理可得.试题解析：.由函数的图像及，得到函数的周期，解得.（Ⅱ）解：因为所以.又因为是锐角三角形，所以，即，解得.由，解得.由余弦定理得，即.解答题从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（1）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；（2）记试验次数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）的分布列为1234【解析】试题分析：（1）由题意知，袋子中共有8个球，记“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A，则根据古典概型计算公式，得.（2）由题意知，每次试验中不放回地摸出两个球，直到摸出的球中有红球，因为袋中只有两个红球，所以最多需要进行四次试验，第一次试验的结果可能有“一个红球一个白球”或“两个红球”，第二次试验要在第一次试验没有出红球情况下进行，则袋中剩下4个白球和2个红球，结果可能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，同理第三次试验要在前两次没有出现红球下进行，则袋中剩下2个白球和2个红球，结果能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，第四次试验要在前三次试验没有出现红球下进行，则袋中只剩下2个红球，结果为“两个红球”，所以的值为1、2、3、4，根据古典概型的计算公式，得，，，，从而可列出的分布列，并求出其数学期望.试题解析：（1）（2）由题意可知的值分别为1、2、3、4，则，，，所以的分布列为的数学期望.选择题已知为偶函数，则可以取的一个值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以,因此可以取的一个值为,选D.填空题在平行四边形中，, 为的中点，为平面内一点，若，则__________.【答案】6【解析】填空题若直线与曲线相切，则__________．【答案】【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.填空题设的内角，所对边的长分别是，且.则的值为__________.【答案】【解析】选择题设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,所以,选C.选择题设的内角所对边的长分别为，若,则角=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：，由正弦定理可得即；因为，所以，所以，而，所以，故选B.解答题设函数（1）若在点处的切线斜率为，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若，求证：在时，.【答案】（1）；（2）当时，的单调减区间为.单调增区间为；当时，的单调减区间为；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求出，通过在点处的切线斜率，可得，解得；（2）由（1）知：，结合导数分①、②两种情况讨论分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；；（3）通过变形，只需证明即可，利用，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.试题解析：（1）若在点处的切线斜率为，，得.（2）由当时，令解得：当变化时，随变化情况如表：由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数当时，，的单调减区间为所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为当时，的单调减区间为（3）当时，要证，即证令，只需证∵由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数∵，∴在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时.∴.解答题已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，，，数列的前n项和为（1）求数列的通项公式及前n项和；（2）求数列的通项公式及前n项和；（3）记集合，若M的子集个数为16，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】试题分析：利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围解析：（1）设数列的公差为d，由题意知：解得，（2）由题意得：当时又也满足上式，故故——①——②①－②得：＝（3）由（1）（2）知：，令则，，，，当时，集合M的子集个数为16中的元素个数为4的解的个数为4填空题对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】为单调递增函数, ,所以零点在[0,2]当时舍去;当时舍去;当时综上实数的取值范围是解答题正数数列的前项和为，且，求（1）的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析:（1）先平方得，再根据和项与通项关系得，最后根据等差数列定义以及通项公式求解（2）因为，所以利用裂项相消法求和得，再根据数列单调性确定的取值范围.试题解析：（1）由，当带入得，两边平方得（1），时，（2），（1）-（2），得，，由正数数列，得，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴有；（2）当，∴.选择题已知复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以虚部是,选C.选择题已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作图,可知恰有4个零点，所以,选B.。
天津市十二区县重点学校2021届高三毕业班联考(一)数学(理)试题 Word版含解析
2021年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（z+2i）（2+i）=5，则z=（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足（z+2i）（2+i）=5，∴（z+2i）（2+i）（2﹣i）=5（2﹣i），化为z+2i=2﹣i，∴z=2﹣3i，故选；C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D． 2【考点】：简洁线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max=2，故选：D．【点评】：本题考查了简洁的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．3．（5分）若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A．4 B． 5 C． 6 D．7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，由题意，当K=5，S=时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．【点评】：本题主要考察了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的K，S的值推断循环退出的条件是解题的关键，属于基本学问的考查．4．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），则双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：依据题意，点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解析】：解：依据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），即点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，则p=2，则抛物线的焦点为（1，0）；则双曲线的左顶点为（﹣3，0），即a=3；点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，由双曲线的性质，可得b=6；则c==3，则焦距为2c=6故选：A．【点评】：本题考查双曲线与抛物线的性质，留意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2）”这一条件的运用，另外留意题目中要求的焦距即2c，简洁只计算到c，就得到结论．6．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n ，则等于（）A．B．C．D．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，可得a n+1﹣a n=n+1，利用“累加求和”可得：a n =，，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】：解：∵a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=n+1，∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，当n=1时也成立，∴a n =，∴，∴数列的前n项和S n =2+…+=2=．∴==．故选：C．【点评】：本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．7．（5分）已知以下4个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0；③设a，b∈R，则a＞b是（a﹣1）|a|＞（b﹣1）|b|成立的充分不必要条件；④若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．其中正确命题的个数是（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：阅读型；不等式的解法及应用；简易规律．【分析】：运用复合命题的真假和真值表，即可推断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可推断②；由充分必要条件的定义和特殊值比如a=，b=，即可推断③；对x争辩，x=0．x≠0，运用分别参数，结合确定值不等式的性质，求得最小值，即可推断④．【解析】：解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不肯定为真命题，则①错误；对于②，若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0，则②正确；对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=，b=，则（a﹣1）|a|=﹣，（b﹣1）|b|=﹣，推出（a﹣1）|a|＜（b﹣1）|b|，则③错误；对于④，若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；当x≠0时，即有a＞|﹣2|+|+3|，由|﹣2|+|+3|≥|（+3）﹣（﹣2）|=5，当a≤5时，不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．综上可得，②④正确．故选：B．【点评】：本题考查简易规律的基础学问，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的推断，同时考查不等式的性质和确定值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）【考点】：分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，留意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成马上为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解析】：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x ）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t ≤．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）某中学有高中生3500人，学校生1500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n的样本，若从学校生中抽取了30人，则n 的值等于100．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：由分层抽样的定义得n==100，故答案为：100【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的开放式中，含x的项的系数为﹣10．【考点】：二项式系数的性质；定积分．【专题】：二项式定理．【分析】：求定积分求得a的值，在二项开放式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的开放式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项开放式的通项公式，求开放式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=sinC，S△ABC=sinC，则cosC=．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得：a+b=c ，利用三角形面积计算公式可得：sinC，ab=，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理可得：a+b=c，∵S△ABC =sinC，∴sinC，sinC≠0，化为ab=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴1=﹣2×（1+cosC），解得cosC=．故答案为：．【点评】：本题查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．12．（5分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC=6．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而依据PE长求出AE长及ED，DB长，再依据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．【解析】：解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8由切割线定理得PA2=PD•PB=16∴PA=4又∵PE=PA，∴PE=4又∠PAC=∠ABC=60°∴AE=4又由DE=PE﹣PD=2BE=BD﹣DE=4 由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2∴AC=AE+CE=6故答案为：6．【点评】：本题考查的学问点是与圆相关的比例线段，依据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．13．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，曲线N的参数方程为（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B两点，则线段AB的长等于8．【考点】：简洁曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．【解析】：解：曲线M的极坐标方程为，开放为（ρcosθ﹣ρsinθ）=1，∴x ﹣y=1．曲线N的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．∴|AB|===8．故答案为：8．【点评】：本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程、直线与抛物线成果问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．14．（5分）已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】：平面对量的基本定理及其意义．【专题】：平面对量及应用．【分析】：依据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解析】：解：依据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C （，0），B（﹣a ，），E （，），O （，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O （，），∴，，，∵=x +y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】：本题考查了平面对量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是精确求解向量的坐标．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的最大值和最小值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x ∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解析】：解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x ∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）某银行聘请，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参与聘请，经抽签打算甲、乙两人各自独立参与A组测试，丙独自参与B组测试，丁、戊两人各自独立参与C组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为；丙通过B 组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必需且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设丁竞聘成功为M大事，戊竞聘成功为N大事，则大事的总数，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类争辩和独立大事的概率计算公式及其互斥大事的概率计算公式及其对立大事的概率，列出分布列，求出期望．【解析】：解：（I）设“丁竞聘成功”为M大事，戊竞聘成功为N大事，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本大事的总数为．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】：本题中考查了超几何分布、互斥大事的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类争辩等基础学问与基本方法，属于中档题．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解析】：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）（5分）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos ＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】：本题考查的学问点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．18．（13分）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c 时，△AFD是等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试推断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【考点】：椭圆的简洁性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；（Ⅱ）分状况进行争辩，然后，结合直线与圆相切的条件进行推断即可．【解析】：解：（Ⅰ）依据题意，得直线l与x轴垂直，∵当|BD|=2c时，有△AFD是等腰三角形．∴AF=DF，∴（a+c）2=（a﹣c）2+（2）2，∴a=2c，∴e=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：∵椭圆C的长轴长等于4，∴a=2，A（﹣2，0），B（2，0），依据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：，设直线l的方程为：y=k（x+2），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），联立方程组，消去y，并整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，∴x0=，y0=k（x0+2）=，由于点F（1，0），（1）当k=±时，点P坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；（2）当k ≠±时，直线PF 的斜率为=，直线PF的方程为：y=，∴x ﹣，∴点E到直线PF的距离为d==2|k|，∵|BD|=2R=4|k|，∴以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题重点考查了椭圆的简洁的几何性质、直线与椭圆的位置关系等学问．19．（14分）设数列{b n}，{c n}，已知b1=3，c1=5，b n+1=，c n+1=（n∈N*）（Ⅰ）设a n=c n﹣b n，求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值（Ⅲ）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），可得c n+1﹣b n+1=﹣，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），相加可得b n+1+c n+1=，由于b1+c1=8，即可证明；（III）由（II）可得：b n=8﹣c n ，得到，变形为，利用等比数列的通项公式可得：，可得S n =4n+，由于对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，可得，对n分类争辩即可得出．【解析】：（I）解：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴c n+1﹣b n+1=﹣，∴，a1=c1﹣b1=5﹣3=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴．（II）证明：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴b n+1+c n+1=，∵b1+c1=8，∴b2+c2==8，依此类推可得：b n+c n=8为定值．（III）解：由（II）可得：b n=8﹣c n，∴，变形为，∴数列{c n﹣4}为等比数列，首项为1，公比为，∴c n﹣4=，∴，∴S n =4n+=4n+，∴S n﹣4n=，∵对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，∴，∴≤p ≤，当n 为奇数时，p ≤，∴．当n 为偶数时，≤p ≤，∴3≤．∴p=3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类争辩思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性．【专题】：分类争辩；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再争辩二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具争辩所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类争辩：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解析】：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x ＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x ＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得m∈（0，1）．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数争辩曲线上某点切线方程、利用导数争辩函数的单调性等基础学问，考查运算求解力量、化归与转化思想．属于中档题．。
2017-2018学年天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高一数学上期中联考试题
2017〜2018学年度第一学期期中联考高一数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分.注意事项:1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。
2•选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。
、选择(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)(1 )设全集为 U={ n|n € N * 且 n v 9}，集合 S={1 ,3,5}, T={3,6}，则 Q J (SUT)等于().(A )(C ) {1 , 3, 5, 6}(2) 函数y=lnx~6+2x 的零点一定位于区间().(A ) (1, 2) (C ) (3, 4) (3)下列函数中是偶函数，且在 (0,+ R 上单调递增的是((A ) y 二 XX. X(C ) y =e —2(4 )下列四组函数中，表示同一函数的是().(B) y= J (x +1)3 与 y= (^2?- 寸x +1(5)幕函数f(x)的图象过点(2, m)，且f(m)=16,则实数m 的所有可能的值为((B ) {2 , 4, 7, 8}(D ) {2 , 4, 6, 8}(B ) (2, 3)(D ) (5 , 6)).(B ) y = -X 3 -1(D ) y = log 2 X(C ) y=4lgx 与 y=2lgx 2(D) y=lgx -与 y= lgx 100(A ) y=x -与 y= J (x -1)2 (B )戈 (D ) 1 或 24v 0.993.3).1(A ) 4 或一2 1(C) 4 或一4(6)三个数0.993.3, log 3, log 20.8的大小关系为().3 3(A )log 3 v 0.99 . v log 20.8( B ) log 20. 8v Iog 33 3(C )log 20.8v 0.99 . v log 33 3(D) 0.99 . v log 20.8v Iog 3。
天津市六校2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题
天津市六校2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题一、选择题 本大题共9道小题。
1.设集合U ={0,1,2,3,4,5},A ={1,2}，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则C U (A ∪B )（ ）． A. {0,1,2,3}B. {5}C. {1,2,4}D. {0,4,5}答案及解析：1. D分析：求出集合B 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B ，求出A 与B 的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求.详解：∵集合{}2{540}{14}2,3B x Z x x x Z x =∈-+<=∈<<=，∴{}1,2,3A B ⋃=, ∴(){}0,4,5U C A B ⋃=． 故选D ．点睛：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键. 2.若不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，则不等式220cx x a ++≤的解集是（ ）.A. 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [-2，3]D. [-3，2]答案及解析：答案第2页，总17页2. D 【分析】先由题意求出,a c ，再代入不等式220cx x a ++≤，求解，即可得出结果. 【详解】因为不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，所以0211321132a a c a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以不等式220cx x a ++≤可化为222120x x +-≤，即260x x +-≤， 解得32x -≤≤. 故选D【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型. 3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（ ）． A.(－∞,－4)∪(4,+∞)B. (－4,0)∪(4,+∞)C. (－∞,－4)∪(0,4)D.( －4,4)答案及解析：3. A∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-⋃+∞，故选A . 4.已知幂函数223()(33)m f x m m x -=--在(0,+ ∞)上为增函数，则m 值为（ ） A. 4B. 3C. －1D. －1或4答案及解析：4. A 【分析】由已知得2331m m --=，可求得4m =或1-.当1m =-时，5()f x x -=在区间(0,)+∞上是减函数，不合题意；当4m =时，5()f x x =，满足题意，故得选项.【详解】∵223()(33)m f x m m x-=--，2331m m --=，解得4m =或1-.当1m =-时，5()f x x -=在区间(0,)+∞上是减函数，不合题意；当4m =时，5()f x x =，满足题意，所以4m =. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数的定义式和幂函数的性质，关键是准确掌握幂函数的定义和其单调性，属于基础题. 5. 函数y =）A. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. [)4,+∞C. 5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[)4,+∞答案及解析：5. B 【分析】答案第4页，总17页先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和y =,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.【详解】因为y =所以25401x x x -+≥⇒≤或4x ≥，即函数y =为(][),14,-∞+∞U ，设254u x x =-+，所以u 在(],1-∞上单调递减，u 在[)4,+∞上单调递增， 而y =[)0,+∞单调递增，由复合函数的单调性可知，函数y =[)4,+∞.故选：B ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题. 6.命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤ C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>答案及解析：6. C【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。
天津市六校(静海一中,杨村中学,宝坻一中,大港一中等) 2019-2020学年高一上学期期中联考 (数学)含答案
2019～2020学年度第一学期期中六校联考高一数学参考答案1．D 2．A 3．B4．C5．B6．C7．D8．A9．D10．211．[－2,2] 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡430， 13．10 14．15≥m15．解：（1）由2060x x -≥⎧⎨->⎩得{}|26A x x ∴=≤<………………2分 {}|26R C A x x x =<≥或………………3分{}{}{}()|26|18|1268A C R B x x x x x x x x ⋂=<≥⋂<<=<<≤<或或…5分（2）由已知得C A ⊆①若C =∅，则21a a ≥+ 1a ∴≤-符合题意………………7分②若C ≠∅，则212216a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩解得522a ≤≤………………10分 综上，实数的取值范围为5122a a ≤-≤≤或.………………11分 16．解：（1）因为函数()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，得1a =.…………………2分 所以()24f x x =+，…………………3分因为]3,1[-∈x所以4()13f x ≤≤，即值域为[4,13]. …………………5分（2）若()f x 在区间(]2-∞，上是减函数，则函数图象的对称轴为123x a a =-≥≥，， ………7分因为11a a <-<，所以[]11x a ∈-，时，函数()f x 递减，[]1x a a ∈-，时，函数()f x 递增， 故当[]1x a ∈，时，比较)()1(a f f 与的大小，()()217224f a f a a a ∴=-=-++，， …………………9分()()()()()222172244321f f a a a a a a a -=---++=-+=--，由于()()()()3101a f f a f f a ≥->∴≥，，， …………………10分 故()f x 在[]1a ，上的最大值为72a -.最小值为2)1(4)1(--=-a a f ………12分 17．解： （1）由，知：b=0…1分。
【精准解析】天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三上学期期中考试联考数学试题+含解析
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5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“直线 a 、b 不相交”是“直线 a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线 l 平面 内 所有直线”的充要条件是“ l 平面 ”；③“直线 a / / 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的
只要坚持 梦想终会实现
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高中学习讲义
平面”；④“直线 a / / 平面 ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于 内的一条直线．”
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①“直线 a 、 b 为异面直线” “直线 a 、 b 不相交”，反之不成立，即可判断出关系；
②根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；
点，则 DC OC 的最小值为（ ）
1
A.
3
1
B.
2
C. 2
D. 2
【答案】B 【解析】
【分析】
由题意以 O 为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出 DC ， OC 然后进行运算。 【详解】解：OAOB 0
OA OB
所以可建立以 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
只要坚持 梦想终会实现
又 B {x Z |1 x 5} 2,3, 4 ，所以 A B 2,3 ，故本题选 C.
【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的 关键. 2.若 x＞0＞y，则下列各式中一定正确的是（ ）
A. sinx siny
B. lnx ln y
C. ex ey
高中学习讲义
2019～2020 学年度第一学期期中七校联考高三数学
天津市第一中学数学高三上期中经典测试卷(培优练)
一、选择题1．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720206．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．27．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252438．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．239．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5212．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．403613．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1614．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-15．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．18．已知数列{ a n }的前n 项和S n =n 2+n(n ∈N ∗)，则limn→∞na n S n=_______．19．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 21．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 22．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．24．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．27．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．28．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 30．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．D 10．B 11．B 12．D 13．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立17．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最18．2【解析】【分析】【详解】由Sn＝n2+n（n∈n*）当n＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n当n＝1时a1＝2×1＝2成立∵an＝2n19．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题20．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题21．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a22．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析23．50【解析】由题意可得=填5024．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主三、解答题26．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．6．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.7．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A. 解法二 ＝＝， 令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0， 故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.8．A解析：A【解析】【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A +++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++． 所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+， 即最小角的余弦值为34． 故选A ．【点睛】 解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．9．D解析：D【解析】【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅，所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z ，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.11．B解析：B【解析】【分析】设f （x ）1221x x =+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x -=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f （13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x+-）min ，由此可得实数m 的最大【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0 ∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ．【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．12．D解析：D【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a a S a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：D【解析】【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值.【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D.【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.14．A解析：A【解析】【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可.【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y x x y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．15．D解析：D【解析】【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可.因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题16．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】(1)(2x xy += 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．17．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最 解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 【解析】分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表详解：根据递推公式，可得212(1)(1)1n S n n -=-+-+由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得22212(1)(1)1n a n n n n =++-----41n =-经检验，当1n =时，114,3S a ==所以11S a ≠所以 4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。
高三数学上学期期中联考试题文
天津市六校〔宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中、四十七中〕2021届高三数学上学期期中联考试题 文一.选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕 1.复数〔其中i 为虚数单位〕虚部为( ) A ．1-B ．i -C ．2iD ．2,x y 满足条件，那么目标函数3z x y =+最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53.某三棱锥侧视图与俯视图如下图，那么该三棱锥体积为( ) A ．43 B ．83C ．123 D ．2434.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，那么MN =( )A ．B ．C ．D ．,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 前n 项与，假设，那么66a b =( )A ．513B ．919C ．1123 D ．923 ()f x 是周期为2奇函数，当01x <<时，12()log f x x =.设 那么,,a b c大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C. c b a <<D ．c a b <<R 上奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，假设不等式2(4)(2)f t f mt m ->+对任意实数t 恒成立，那么实数m 取值范围是( )A ．(),2-∞-B ．()2,0-C ．(),0(2,)-∞+∞D ．(),2(2,)-∞-+∞ 8.设*N ω∈且15ω≤，那么使函数sin y x ω=在区间上不单调ω个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 二．填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕()x f x x e =⋅在极值点处切线方程为___________. n S 是等比数列{}n a 前n 项与，假设51020a a +=，那么2010S S 值为 . 11.在ABC △中，120BAC ∠=，4AB AC ==，D 为BC 边上点，且0AD BC ⋅=，假设3CE EB =，那么()AB AC AE +⋅= .,x y 均为正数，且，那么xy 最小值为 .111ABC A B C -中，122AB BB ==，那么1AB 与1C B 所成角大小为________．14．设01a <≤，函数()1,()2ln af x xg x x x x=+-=-，假设对任意[]11,x e ∈，存在[]21,x e ∈都有12()()f x g x ≥成立，那么实数a 取值范围是________． 三．解答题〔本大题共6小题，共80分〕15．〔此题13分〕函数()()213sin cos cos 0,R 2f x x x x x ωωωω=-->∈图像上相邻两个最高点距离为π.〔1〕求函数()f x 单调递增区间；〔2〕假设ABC ∆三个内角A B C ，，对边分别为a b c ，，，且7c =，()0f C =， sin 3sin B A =，求a b ，值. 16.〔此题13分〕某大型家电商场为了使每月销售空调与冰箱获得总利润到达最大，对某月即将出售空调与冰箱进展了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金〔百元〕月资金最多供给量〔百元〕空调冰箱进货本钱3020300工人工资510110每台利润68才能使商场获得总利润最大？总利润最大值为多少元？17.〔此题13分〕如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,3,4,ABCD AD BC AB AD AC PA BC M =====为线段AD 上一点，2,AM MD N=为PC 中点．〔1〕证明：MN//PAB 平面； 〔2〕求四面体N BCM -体积．18.〔此题13分〕单调递增等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 等差中项．〔1〕求{}n a 通项公式；〔2〕设2log n n n b a a =⋅，其前n 项与为n S ，假设2(1)(1)n n m S n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 取值范围．19.〔此题14分〕函数)(1ln )(R a x x a x f ∈+-=. 〔1〕求)(x f 单调区间；〔2〕假设0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，求所有实数a 值； 〔3〕证明：ln 2ln3ln 4ln (1)(,1)34514n n n n N n n -+++⋅⋅⋅+<∈>+.20.〔此题14分〕 设等差数列{}n a 前n 项与为n S ，且24840a S ==，． 数列{}n b 前n 项与为n T ，且230n n T b -+=，N n *∈． 〔1〕求数列{}n a ,{}n b 通项公式； 〔2〕设， 求{}n c 前n 项与n P ．2021-2021学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷答题纸二．填空题〔每题5分，共30分〕9. 10. 11. _________________ 12. 13. 14.__________________三．解答题〔本大题共6小题，共80分〕15. 〔此题13分〕16. 〔此题13分〕18. 〔此题13分〕20. 〔此题14分〕2021-2021学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷参考答案一.选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕二．填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕9. 10.°14.三．解答题〔本大题共6小题，共80分〕15.〔此题13分〕〔1〕由题意可得:又因为函数图像上相邻两个最高点距离为所以有,令即：所以函数单调增区间为：〔2〕由正弦定理得：又由余弦定理得：整理得：解得：16.〔此题13分〕解:设每月调进空调与冰箱分别为台，总利润为〔百元〕那么由题意，得.............6分目标函数是，...........9分画图，得交点是〔百元〕 ..........12分答：空调与冰箱月供给量为4台与9台，才能使商场获得总利润最大，总利润最大值为9600元 ...........13分17．〔此题13分)〔1〕由得，取中点，连接，由为中点知，即，又，即，故四边形为平行四边形，于是，..........3分因为平面平面，所以平面..........6分〔2〕因为平面为中点，所以到平面距离为，..........8分取中点，连结，由得：，由得到距离为，故，..........11分所以四面体体积 ..........13分18．〔此题13分〕由题意可知：，又因为所以．，解得或〔舍〕∴ ..........4分〔2〕由〔1〕知，，①-②得..........7分假设对于恒成立，那么， ..........9分令，那么当，..........11分当，单调递减，那么最大值为，..........12分故实数取值范围为．..........13分19．〔此题14分〕〔1〕.当时，，∴减区间为，当时，由得，由得，∴递增区间为，递减区间为...........4分〔2〕由〔1〕知：当时，在上为减函数，而，∴在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且，∴在上递减，在上递增，∴，故.....9分〔3〕由〔2〕知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立.令，那么有，即，整理得，当时，分别有，叠加得，即得证. ..........14分20.解：〔Ⅰ〕由题意，，得．…………3分，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分当为偶数时，=．……10分当为奇数时，〔法一〕为偶数，……12分〔法二〕．……………12分……………14分。
天津市汉沽区第六中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}1,0,1-=M ，{}x x x N ==2，则=N M （ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0C. {}1D. {}0 2下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且D ．x a a y log = 3正切函数y=tan （2x-4π）的定义域是（ ） A ｛x|x ∈R ，x ≠2πk -4π，k ∈Z ｝ B ｛x|x ∈R ，x ≠2πk -8π，k ∈Z ｝ C ｛x|x ∈R ，x ≠2πk +4π，k ∈Z ｝ D ｛x|x ∈R ，x ≠2πk +8π，k ∈Z ｝4要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x 的图象（ ）A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向右平移个单位5在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6数列23a,a ,,,a ,n a 的前n 项和是( )A ．0B ．nC ．(1a )1n a a-- D ．以上皆有可能7过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是 ( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝08已知a ∈R ，则“22a a >”是“2a >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒ D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥ 10有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 2二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） 11若直线30x y a ++=始终平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为 ________． 12在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝________． 13不等式2242x x +-≤12的解集为 .14不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于________．15.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 16对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本小题满分10分）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．18. （本小题满分12分）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，求它们的公共弦长。
天津市五区县重点校联考2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题
天津市五区县重点校联考2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,3,4,5,6,8120A B x x x ==-+≥,则()R A B ⋂=ð（）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,3,4,5,6C ．{}3,4,5D ．{}3,4,5,62．已知x ∈R ，则“12x -≤≤”是“x x -≤+4221”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,0a b >且2ab =，则(1)(2)a b ++的最小值为（）A ．4B ．6C ．D ．84．在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．若函数()24x f x a -=（0a >，且1a ≠）满足()119f =，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-6．已知下列四个关系：①22a b ac bc >⇔>；②11a b a b>⇒<；③0,0a ba b c d d c >>>>⇒>；④1,0c c a b c a b >><⇒<．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若命题“R x ∀∈，使得22230x ax a +++≥”为假命题，则实数a 的取值范围（）A ．{1a a <-或3a >}B ．{}13aa -≤≤∣C ．{}1a a <-D．1122a a ⎧⎪-≤≤+⎨⎪⎪⎩⎭8．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()0xf x -≥的解集为（）A ．(][],20,2∞--⋃B ．][)2,02,∞⎡-⋃+⎣C ．(]{}[),202,∞∞--⋃⋃+D ．[]22-,9．已知函数()y f x ＝（x D ∈），若存在0x D ∈，使()()000f x f x +-＝，则称点()()00,x f x 是函数()y f x ＝的一个“H 点”.则函数24,0,()4,0,x x x g x x x ⎧->=⎨+≤⎩“H 点”的个数为（）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题10．已知幂函数22()(1)m f x m m x =--为偶函数则m 的值为.11．已知函数()21y f x =-的定义域是[]1,3-，则y =的定义域是．12．已知定义在R 上的偶函数满足()()220f x x x x =+≥，若()()32f a f a ->，则实数a 的取值范围是．13．若两个正实数x ，y 满足212+=x y，并且232x y m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围是．当x 等于时，232x y m +≥-中等号成立．14．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是.三、解答题15．化简求值：(1)()12120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；16．设集合{}{}R,03,12U A x x B x m x m ==≤≤=-≤≤．(1)3m =，求()U A B ⋃ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．17．已知函数()()()21,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若()f x 的单调递减区间是(],1-∞，求a 的值.(2)若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3-，求不等式240bx ax -+<的解集；(3)若1b =，求关于x 的不等式()0f x >的解集.18．已知定义域是R 的函数()()212xf x a a =-∈+R 是奇函数.(1)求a 的值(2)先判断函数()f x 单调性并证明；(3)若对于任意()1,3t ∈，不等式()()22230f t kt f t -+-<恒成立，求k 的范围.19．函数()f x 对任意的实数a ，b ，都有()()()3f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()3f x >．(1)求()0f 的值；(2)求证：()f x 是R 上的增函数；(3)解关于实数x 的不等式()()159436x xf f ---⋅+⋅<．。
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天津市六区县2007—2008学年度第一学期期中联考 数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率knkknnPPCkP)1()( 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数ii4321在复平面上对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知条件qpaxqxp是且条件,:,2|1:|的充分不必要条件，则a的取值范围可以是 （ ） A．1a B．1a C．1a D．3a
3．已知函数xfxfxxfx2)1()1(lim,11)(0则处的导数为在= （ ）
A．21 B．1 C．2 D．41
4．nnnnnnnCCCC41lim22422202 （ ） A．－1 B．21 C．41 D．0 5．设nxx)5(3121的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N=992。则展开式中x2项的系数为 （ ） A．250 B．－250 C．150 D．－150 6．已知*,2)(,02),2()2(,)(Nnxfxxfxfxfx若时当且为偶函数， 2007),(anfan则 （ ）
A．2007 B．21 C．2 D．－2 7．已知Sn为等差数列3742:,6:7:,}{SSaanan则若项的前等于 （ ） A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13 8．将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 （ ） A．15 B．18 C．30 D．36 9．已知函数)3(),1(),4(,sin)(fffxxxf则的大小关系是 （ ） A．)3()1()4(fff B．)4()3()1(fff C．)1()4()3(fff D．)4()1()3(fff 10．定义在R上的函数)(21)5(,1)1()(,0)0()(xfxfxfxffxf满足，且当 )20071().()(,102121fxfxfxx则时等于 （ ）
A．21 B．161 C．321 D．641
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题纸上。 11．))31((0,3ln0,2)(ffxxxxfx则= 12．已知等差数列2431,,,,2}{aaaaan则成等比若的公差为= 13．已知函数||)(,]1,1[),1()3()()(xxfxxfxfRxxfy时且满足， 则xyxfy5log)(与的图象交点的个数是 14．设集合}200,,27|{*mNnnmmMn且，则集合M中所有元素的和 15．已知：标准正态分布中，)()(,)(0000xxpxxx即的概率是指总体小于， 9772.0)2(,9332.0)5.1(,8413.0)1(；某批箱装苹果质量服从正态分布
N（10,0.01）（单位kg）。任选一箱苹果，它的质量在9.8kg~10.2kg内的概率是 16．定义一种运算“*”，它对于正整数n满足以下性质： （1）2*2007=1 （2）（2n + 2）*2007=3·[(2n)*2007]，则2008*2007的值是 三、解答题：本大题共6小题，共76分。 17．（12分）袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和6个白球，每次从袋中摸出一个球。 （1）一共摸出5个球，求恰好有3个红球的概率； （2）若有放回的摸球，一共有5次摸球的机会，在摸球过程中，若有三次摸到红球则停止。记停止摸球时，已经摸到红球的次数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望。
18．（12分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD（如图），在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米（0的最大值M。
19．（12分）已知函数)()(),0(1)(2xgxfxxbaxxf与且函数的图象关于直线 .0)1(,32)3(,gfxy又对称 （I）求)(xf的值域； （II）是否存在实数m，使得命题43)41(:)43()(:2mgqmfmmfp和满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 20．（12分）已知函数)(,12231)(2123xfxxxxaxxf是且的两个极值点，
.31021xx （1）求a的取值范围； （2）若]1,1[,22||221bbmmxx对恒成立。求实数m的取值范围。
21．（14分）设数列0,1,)1(,}{其中且项和为的前nnnnaSSna； （1）证明：数列}{na是等比数列； （2）设数列}{na的公比)2,)((,21}{),(*11nNnbfbbbfqnnn满足数列求数列}{nb的通项公式；
（3）记nnnnnTnCbaC项和的前求数列记}{),11(,1； 22．（14分）定义),0(,,)1(),(yxxyxFy （1）令1132,)]3(log,1[)(ClCxxFxf为直线的图象为曲线的一条切线，且满足与直线03154yx垂直，求切线的方程； （2）令函数bCbxaxxFxg若存在实数的图象为曲线,)]1(log,1[)(2232 使得曲线))4,1((002xxC在处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围。
参考答案 一、选择题 CAABB BACDC 二、填空题 11．1 12．－6 13．4 14．14.450 15．0.9544 16．31003 三、解答题： 17．（1）恰有3个红球的概率为425P …………5分
（2）可以取值为0，1，2，3
24351)31()32()31(32)31()3(24380)32()31()2(,24380)32(31)1(24332)32()0(3224313332254155CCP
CP
CPP
所以的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 24332 24380 24380 243
51
……………9分 则81131E …………12分
18．解：设axxxADxAB164,16,依题意得则 …………2分 即)120(164aax 2)8(64)16(xxxS
ABCD …………4分
（1）当80,816aa即时 64)8()(maxfxf …………8分
（2）当]16,4[)(,128,816axfaa在时即上是增函数， 所以aaafxf16)16()(2max
故)128(16)80(642aaaaM …………12分 19．解：（I）依题意1)0(0)1(,)()(fgxgxf得由互为反函数与 11,3223)3(1)0(babafbf
得
xxxxxf22111)( …………3分
故,0)(在xf上是减函数 1)0(11)(02fxxxf 即.1,0)(的值域为xf ……………6分 （II）由（I）知1,0)(,,0)(是上的减函数是xgxf上的减函数， 又43)21(21)43(gf )21()41(gmg …………9分
故23341214100432mmmmmm且解得 因此，存在实数m，使得命p且q为真命题，且m的取值范围为 .2334mm且 …………12分
20．解：（1）2)(2axxxf， …………2分
由题知：31130239)3(021)1(aafaf； …………6分 （2）由（1）知：18||221axx， …………8分 ]1,1[1222bbmm对恒成立，
所以：1103203222mmmmm …………12分