最佳抛射角与抛体受力方向的关系
抛体运动的规律—斜抛运动(课件)-高中物理课件
巩固练习
1.(对斜抛运动的理解)一物体做斜抛运动，在由抛出到落地的过程中，下列 表述中正确的是 A.物体的加速度是不断变化的 B.物体的速度不断减小 C.物体到达最高点时的速度等于零
√D.物体到达最高点时的速度沿水平方向
答案
2.(弹道曲线的理解)如图7所示，是一枚射出的炮弹飞行的理论曲线和弹
道曲线，理论曲线和弹道曲线相差较大的原因是
物体的初速度很大时(如射出的枪弹、炮弹等)， 空气阻力的影响是很大的，轨迹不再是理论上 的抛物线，这种实际的抛体运动曲线通常称为 弹道曲线。
斜上抛知识深化 1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受 重力，其加速度为重力加速度g. 2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此 斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线. 3.速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间 内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化 相同，即Δv＝gΔt.
v2 x
v
2 y
方向: tan
vy vx
y
vx
合位移大小: s
x2 y2
方向:
tan
y x
S
v0y
0 v0x x
x
（2）斜抛运动的射程
导学探究 (1)一炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度与水平方向夹角为θ， 请根据图2求解炮弹在空中的飞行时间、射高和射程.
图2
答案
答案 先建立直角坐标系，将初速度v0分解为： v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2.求： (1)物体抛出时速度的大小和方向；
物体做抛体运动的轨迹方程推导
物体做抛体运动的轨迹方程推导抛体运动是指物体在一个斜面上受到初速度的作用，由于重力的影响，在空中做曲线运动的现象。
想要推导出物体做抛体运动的轨迹方程，我们需要分析抛体运动的特点以及运动方程。
首先，我们来看一下抛体运动的特点。
抛体运动的特点可以总结为以下几点：1. 从水平向上抛出物体速度越大，物体在上升过程中上升得越高，下降时下降得越远。
2. 从水平向上抛出物体速度相同，抛出角度越大，上升和下降时间越长，上升和下降的距离越远。
3. 物体在空中的运动轨迹是一个抛物线。
接下来，我们来推导出物体做抛体运动的轨迹方程。
首先，假设物体从原点O水平向上抛出，初速度为v0，抛射角为θ。
我们需要找到物体的水平和垂直分量的运动方程。
根据牛顿第二定律，可以得到物体在水平方向上的运动方程为：x = v0 * cosθ * t(1)其中，x代表物体在水平方向上的位移，v0 * cosθ代表物体在水平方向上的速度，t代表时间。
同样地，物体在垂直方向上的运动方程为：y = v0 * sinθ * t - (1/2) * g * t^2(2)其中，y代表物体在垂直方向上的位移，v0 * sinθ代表物体在垂直方向上的初速度，g代表重力加速度。
由于抛体运动是一个二维运动，我们需要联立这两个方程，求解出x和y的关系。
首先，我们可以将式子(1)代入式子(2)中，得到：y = (v0 * sinθ / v0 * cosθ) * x - (1/2) * g * (x / v0 * cosθ)^2化简上式：y = tanθ * x - (g / (2 * v0^2 * cos^2θ)) * x^2(3)由上式得到，物体做抛体运动的轨迹方程是一个二次函数，即抛物线。
可以看出，轨迹方程中的各个因素都对物体的轨迹产生了影响。
初速度v0决定了抛体运动的速度，抛射角θ决定了抛体运动的方向，重力加速度g决定了抛体运动的弧度。
通过推导出的轨迹方程，我们可以进一步分析抛体运动的性质和规律。
生活中的抛体运动(最新课件)
（2）位移规律。
水平位移：x=vxt=v0tcosθ。
竖直位移：y=v0tsinθ-
1 2
gt2。
t时间内的位移大小为s= x2 y2 ，与水平方向成α角，
且tanα=
y x
。
2.射高和射程：
（1）斜抛运动的飞行时间：t= 2v0y 2v0sin 。
（2）射高：h= v02y v02sin2 。
【解析】选A、C、D。斜抛运动是水平方向的匀速 直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合成，在经 过最高点时物体的速度最小，但不为零，故B错误； A、C、D正确。
二、抛体运动的规律及应用 1.斜抛运动的规律： （1）速度规律。 水平速度：vx=v0cosθ。 竖直速度：vy=v0sinθ-gt。 t时刻的速度大小为v= v2x v2y 。
【解析】选A。铅球只受重力，根据牛顿第二定律，加 速度为重力加速度，保持不变，即铅球的加速度的大 小和方向均不变，故A正确，B错误；铅球的运动加速 度恒定，但加速度与速度方向不共线，故其做匀变速 曲线运动，故C、D错误；故选A。
2.斜抛运动可分解为（ ） A.水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 B.水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动 C.水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D.沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
二、射程与射高 【思考】
提示：初速度越大，射程和射高都越大； 水流的初速度大小不变时，竖直向上射水时射高最大； 方向与水平方向夹角为45°时，射程最大。
1.定义： （1）射高：在斜抛运动中，物体能到达的_最__大__高__度__。 （2）射程：物体从抛出点到落地点的_水__平__距__离__。
【解析】选B。若将斜抛运动按水平方向和竖直方向正 交分解，两分运动分别为匀速直线运动和竖直上抛运 动，故A、C错误，B正确；若沿初速度方向分解出一匀 速直线运动，则另一分运动为竖直方向的自由落体运 动，故D错误。
知识讲解 抛体运动解题技巧 提高
抛体运动解题技巧编稿：周军审稿：隋伟【学习目标】1、理解抛体运动的特点，掌握匀变速曲线运动的处理方法；2、理解平抛运动的性质，掌握平抛运动规律；3、能将匀变速直线运动的规律、运动合成与分解的方法，顺利的迁移到抛体运动中，以解决抛体（曲线）运动问题。
【要点梳理】要点一、抛体运动的定义、性质及分类要点诠释：1、抛体运动的定义及性质（1）定义：以一定初速度抛出且只在重力作用下的运动叫抛体运动。
（2）理解：①物体只受重力，重力认为是恒力，方向竖直向下；②初速度不为零，物体的初速度方向可以与重力的方向成任意角度；③抛体运动是一理想化模型，因为它忽略了实际运动中空气的阻力，也忽略了重力大小和方向的变化。
（3）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。
2、抛体运动的分类按初速度的方向抛体运动可以分为:竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动；竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动；斜上抛：初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动；斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；3、匀变速曲线运动的处理方法以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。
要点二、抛体运动需要解决的几个问题要点诠释：1、抛体的位置抛体运动位置的描写：除上抛和下抛运动，一般来说，抛体运动是平面曲线运动，任意时刻的位置要由两个坐标来描写，建立坐标系，弄清在两个方向上物体分别做什么运动，写出x、y两个方向上的位移时间关系，x=x(t) y=y(t) ，问题得到解决。
2、轨迹的确定由两个方向上的运动学方程x=x(t) y=y(t)消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)。
第一章 5 斜抛运动(选学)
5斜抛运动(选学)[学习目标] 1.知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析斜抛运动.2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟初速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产和生活中．一、什么是斜抛运动将物体以一定的初速度沿斜向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动叫作斜抛运动．二、斜抛运动的特点斜抛运动的轨迹是一条抛物线．三、斜抛运动的规律1．抛射角：物体初速度方向与水平方向的夹角叫作抛射角．2．射高：物体能达到的最大高度叫作射高．3．射程：物体从抛出点到落回同一高度的水平位移大小叫作射程．4．射高与射程的影响因素①当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大．②当斜抛运动的初速度大小一定时，随着抛射角的增大，射高增大；当抛射角约为45°时，射程最大．四、空气阻力对斜抛运动的影响当斜抛物体的速度较小时，空气阻力对物体运动的影响可以忽略，此时物体的运动轨迹近似为抛物线；当斜抛物体的速度很大时，空气阻力对它们的运动会产生很大的影响．弹丸或抛射体在空气中的运动轨迹形状不对称，这种轨迹叫作弹道．1．判断下列说法的正误．(1)斜抛运动是匀变速运动．(√)(2)做斜抛运动的物体在最高点速度为0.(×)(3)斜抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向不变．(√)(4)做斜抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．(×)(5)做斜抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长．(×)2．有一小球，从地面以抛射角θ＝45°，初速度v0＝10 m/s抛出，则小球达到的最大高度为______m，小球落到地面所用的时间为________s．(取g＝10 m/s2，忽略空气阻力)答案 2.5 2一、斜抛运动导学探究体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪(如图所示)等的运动都可以视为斜抛运动．我们以运动员投掷铅球为例，分析并回答以下问题：(1)铅球离开手后，若不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？(2)将铅球的运动进行分解，铅球在水平方向和竖直方向分别做什么运动？(3)铅球在最高点的速度是零吗？请说明理由．答案(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方．(2)铅球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动．(3)不是．由于铅球在水平方向做匀速直线运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度．知识深化1．斜抛运动的性质：由于斜抛运动的加速度是重力加速度，且与速度方向有夹角，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动．2．斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或竖直下抛)运动的合运动．以斜上抛为例：如图，若物体的初速度为v0，方向斜向上，与水平方向夹角为θ，将初速度v0进行分解，则v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ(1)水平方向：物体不受外力，始终以v0x做匀速直线运动．(2)竖直方向：仅受重力作用，物体有向上的初速度v0y，则物体做竖直上抛运动．例1(2021·首都师范大学附属中学高一期末)一物体做斜抛运动(不计空气阻力)，在由抛出到落地的过程中，下列表述中正确的是()A．物体的加速度是不断变化的B．物体的速度不断减小C．物体到达最高点的速度等于零D．物体到达最高点时的速度沿水平方向答案 D解析任何抛体运动抛出后都只受重力作用，加速度均为重力加速度，大小方向均不变，所以A错误；斜上抛运动水平速度不变，竖直速度先减小后增大，所以合速度先减小后增大，B错误；在最高点时水平速度不为零，C错误，D正确．针对训练一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，图中能正确表示速度矢量变化过程的是()答案 B解析做斜抛运动的物体由于只受重力，加速度为重力加速度g，故水平分速度保持不变，而竖直分速度均匀变化．根据v x＝v0x，v y＝v0y－gt可知，B正确，A、C、D错误．二、斜抛运动的规律斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例，如图)(1)水平方向：v x＝v0x＝v0cos θ，x＝v x t＝v0t cos θ.(2)竖直方向：v y＝v0y－gt＝v0sin θ－gty ＝v 0y t －12gt 2＝v 0t sin θ－12gt 2.(3)飞行时间t ＝t 上＋t 下＝2v 0sin θg .(4)射高：y m ＝v 0y 22g ＝v 02sin 2θ2g射程：x m ＝v 0x ·t ＝v 0cos θ·2v 0sin θg＝v 02sin 2θg.(5)射高、射程与抛射角的关系(初速度大小一定)当0<θ<45°时，随着抛射角的增大，射程增大，射高也增大；当θ＝45°时，射程最大；当45°<θ<90°时，随着抛射角的增大，射程减小，射高增大；当θ＝90°时，射程为零，射高最大． 例2 如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 两点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )A ．B 的加速度比A 的加速度大 B ．B 的飞行时间比A 的飞行时间长C ．B 落地时的速度比A 落地时的速度大D ．B 在最高点的速度与A 在最高点的速度相等 答案 C解析 A 和B 的加速度均等于重力加速度，即B 的加速度等于A 的加速度，故A 错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，小球上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t ＝2hg，知下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B 错误；两球飞行时间相等，A 的水平位移小于B 的水平位移，A 的水平速度小，小球在最高点的速度等于水平速度，故最高点A 的速度比B 的小，故D 错误；落地时根据v y ＝2gh ，知竖直分速度一样大，B 球水平分速度大，根据v ＝v x 2＋v y 2可知，B 落地时的速度比A 落地时的速度大，故C 正确．例3 在水平地面上沿与水平方向成α＝37°角的方向，以初速度v 0＝20 m/s 斜向上抛出一物体．(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)求物体从抛出到落地的时间以及它运动的最大高度和射程．(2)在初速度大小v 0＝20 m/s 不变的情况下，若要使物体的射程最大，抛射角应多大？最大射程是多少？答案 (1)2.4 s 7.2 m 38.4 m (2)45° 40 m解析 (1)物体在竖直方向上的运动为竖直上抛运动，则物体从被抛出到落地的时间 t ＝2v 0sin αg ＝2×20×0.610 s ＝2.4 s物体上升的最大高度H ＝v 02sin 2α2g ＝202×0.622×10 m ＝7.2 m斜抛运动的射程x m ′＝v 0t cos α＝20×2.4×0.8 m ＝38.4 m(2)设抛射角为θ，飞行时间为T ，根据射程与抛射角的关系得 x m ＝v 0x T ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 02·sin 2θg可以判断，当抛射角θ＝45°时，射程最大，最大射程为v 02g＝40 m.斜抛运动的对称性1．时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． 2．速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． 3．轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称．考点一 对斜抛运动的理解1．斜抛运动与平抛运动相比较，下列说法正确的是( ) A ．都是匀变速曲线运动B ．平抛运动是匀变速曲线运动，而斜抛运动是非匀变速曲线运动C ．都是加速度逐渐增大的曲线运动D ．平抛运动和斜抛运动都是速度一直增大的运动 答案 A2.如图，喷出的水做斜抛运动，如果不计空气阻力，下列关于处于最高点水滴的速度与加速度的说法正确的是()A．速度大小和加速度大小均为零B．速度大小为零，加速度大小不为零C．速度大小不为零，加速度大小为零D．速度大小和加速度大小均不为零答案 D3．(多选)如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述中正确的是(不计空气阻力)()A．物体在C点的速度为零B．物体在A点的速度与在B点的速度相同C．物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度D．物体在A、B、C三点的加速度相同答案CD考点二斜抛运动的规律4．某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验，设抛出球的初速度为20 m/s，抛射角分别为30°、45°、60°、75°，不计空气阻力，则关于球的射程，以下说法中正确的是()A．以30°角度抛射时，射程最大B．以45°角度抛射时，射程最大C．以60°角度抛射时，射程最大D．以75°角度抛射时，射程最大答案 B5.(多选)如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是()A ．沿路径1抛出的小球落地的速率最大B ．沿路径3抛出的小球在空中运动的时间最长C ．三个小球抛出的初速度竖直分量相等D ．三个小球抛出的初速度水平分量相等 答案 AC解析 根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，三个小球上升高度相同，根据h ＝v y 22g可知三个小球沿竖直方向的分速度相同，故C 正确；由t ＝2h g及对称性可知，三个小球在空中运动的时间相等，所以B 错误；由于沿路径1抛出的小球水平位移最大，而运动时间相等，可知沿路径1抛出的小球水平分速度最大，竖直分速度相等，根据平行四边形定则可知沿路径1抛出的小球落地的速率最大，故A 正确，D 错误． 6.(多选)某同学对着竖直墙面练习投篮，如图所示，在同一高度的A 、B 两点先后将球斜向上投出，球均能垂直打在竖直墙上的同一点P ，不计空气阻力，则关于这两次投球，下列说法正确的是( )A ．第一次球被投出的速度大B ．第一次球被投出时的速度与竖直方向夹角小C ．第二次在空中运动的时间长D ．两次球的速度变化量相同 答案 BD解析 将球投出运动到P 点的逆过程看成平抛运动，由于两次高度相同，因此时间相同，C 错误；由v y ＝2gh 可知，两次投出时速度的竖直分量相同，由于第一次水平位移小，因此水平分速度小，合速度小，A 错误；设投出时的速度和竖直方向的夹角为α，则有tan α＝v xv y ＝v x2gh，第一次投出时水平分速度小，则合速度与竖直方向的夹角小，B 正确；两次球的速度变化量Δv ＝－gt 相同，D 正确．7．用弹簧枪将一小钢珠从地面沿与竖直方向成37°角斜向上弹出(不计空气阻力)，经4 s 后钢珠落地，则小钢珠被弹出时的速度大小为________ m/s ，小钢珠的射程为________ m ．(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)答案2560解析根据对称性可知，小钢珠上升的时间与下落的时间相等，均为t＝2 s，设弹出时的速度大小为v0，则有t＝v0cos 37°g，解得v0＝25 m/s.射程为x m＝2t·v0sin 37°＝60 m.8.如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边的等高平台上．棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h.棋子质量为m，空气阻力不计，重力加速度为g，则此跳跃过程()A．所用时间t＝2h gB．水平位移大小x＝2v02h gC．初速度的竖直分量大小为2gh D．初速度大小为v02＋gh答案 B解析棋子从最高点落到旁边等高平台上的运动是平抛运动，竖直方向由h＝12gt′2可得：t′＝2h g ，则棋子跳跃过程所用时间t＝2t′＝22hg，A错误；水平位移x＝v0t＝2v02hg，B正确；初速度的竖直分量大小为v0y＝gt′＝2gh，C错误；由速度的合成得，初速度大小为v＝v02＋2gh，D错误．9．(多选)如图所示，在一次投篮游戏中，小刚同学调整好力度，将球从A点向篮筐B投去，结果球沿着一条弧线飞到篮筐后方．已知A、B等高，不计空气阻力，则下次再投时，他可能做出的调整为( )A ．减小初速度，抛出方向不变B ．增大初速度，抛出方向不变C ．初速度大小不变，增大抛出角度D ．初速度大小不变，减小抛出角度 答案 ACD解析 x ＝v 0t cos θ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 02sin 2θg ，若要投进篮筐，需减小x ，则θ不变时应减小初速度v 0；v 0不变时，若θ<45°，应减小θ，若θ>45°，应增大θ，故A 、C 、D 正确，B 错误．10.(2021·广州市高二期末)如图所示，一位初中生将一个质量为m ＝2 kg 的实心球抛出，球离手时离地面高度约为h ＝1.8 m ，离手瞬间初速度约为v 0＝8 m/s ，球到达最高点O 时的速度约为v ＝6 m/s ，忽略空气阻力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)O 点离地面的高度H ；(2)球到达O 点后的运动过程中，平抛落地点与O 点的水平距离s . 答案 (1)3.2 m (2)4.8 m解析 (1)忽略空气阻力，球水平方向做匀速直线运动，当球到达最高点时，其竖直方向的速度为零，此时球的水平速度为v ＝6 m/s ，则竖直初速度为v y 0＝v 02－v 2＝27 m/s.球竖直上升的高度为Δh ＝v y 022g ＝1.4 m.O 点离地面的高度H ＝h ＋Δh ＝3.2 m. (2)球到达O 点后做平抛运动，则由H ＝12gt 2可知t ＝2Hg＝0.8 s ， 则水平距离s ＝v t ＝4.8 m.11．(2021·沈阳市东北育才学校高一期末)如图所示，一名运动员在参加跳远比赛时，他腾空过程中离地面的最大高度为L ，成绩为4L .假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有( )A ．tan α＝2B ．tan α＝1C ．tan α＝12D ．tan α＝14答案 B解析 运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性，可知平抛运动的水平位移为2L ，则有L ＝12gt 2，解得t ＝2L g ，运动员通过最高点时的速度为v x ＝2Lt＝2gL ，则有tan α＝gtv x＝1，A 、C 、D 错误，B 正确．。
dsac5段最佳投射角度 -回复
dsac5段最佳投射角度-回复什么是最佳投射角度？最佳投射角度是指在特定条件下，使得物体在运动中达到最大的水平距离的角度。
这个角度也被称为最佳抛射角度或最佳角度。
为什么最佳投射角度重要？最佳投射角度对于各种物体在空中运动中的轨迹和轨迹的特点具有重要影响。
通过选择最佳投射角度，可以充分利用物体的动能并最大化其水平运动的距离。
最佳投射角度的计算方法最佳投射角度的计算方法涉及到物理学中的一些基本概念和公式。
下面是一步一步解释：1. 先找到物体的初始速度（v）和重力加速度（g）。
物体的初始速度可以是任意值，而重力加速度通常为9.8m/s²（在地球上）。
2. 将物体的初始速度和重力加速度代入平抛运动的水平位移公式：水平位移（d）= (v²* sin(2θ)) / g其中，θ是投射角度。
3. 这个公式描述了物体在水平方向上的位移，也就是它的水平距离。
要想求得最大的水平距离，我们需要找到使该公式取得最大值的角度。
4. 为了简化计算，可以使用微积分中最大值的概念。
对于上述的公式，我们可以对θ进行微分：d(水平位移)/dθ= (2v²* cos(2θ)) / g5. 令微分结果等于零，并求解θ的值：(2v²* cos(2θ)) / g = 0这意味着cos(2θ) = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到最佳投射角度的值。
6. 最后，我们可以使用反三角函数（如反余弦函数）找到最佳投射角度的具体值。
θ= (1/2) * arccos(0)注意，arccos(0) 是π/2 的倍数，所以最终的解可能有多个。
应用最佳投射角度的例子最佳投射角度的概念可以在许多领域中应用，尤其是在体育比赛和物理实验中。
例如，在棒球比赛中，投手会尽力让球以最佳投射角度离场。
这样一来，球员能够尽可能多地跑向球，并且有更好的机会打出安打或者甚至全垒打。
在物理实验中，研究人员可能希望探索不同物体运动的特性。
通过将物体以不同的角度进行抛出，他们可以测量不同角度下物体的最大水平距离，确定最佳投射角度所在。
高中教育物理必修第二册《1.5 斜抛运动(选学)》教学课件
二、斜抛运动的规律
1．斜抛运动的位移和速度：斜抛运动的物体运动一段时间t，相对
v0t cos θ
于 抛 出 点 ， 其 水 平 位 移 为 x ＝ v0xt ＝ ________
，竖直位移为y＝
v0sin θ·t－gt2
v0cos θ
____________ ． 此 时 两 方 向 的 分 速 度 分 别 为 vx ＝ ________
两个过程是对称的．
典例示范
例2 有一种射水鱼能将嘴探出至水面处向空中射水，射出的水在空
中画出一条优美的大弧线后落在距射出点0.4 m处，水能上升的最大
高度为1.0 m，射水鱼在寻找食物时发现在距水面1.0 m的树叶上有一
小昆虫，它选择适当位置射水后恰好射中．若忽略水在空气中所受的
阻力，取g＝10 m/s2，则下列有关描述正确的是(
答案：ACD
解析：斜抛运动的受力特点和运动特点：①水平方向：受力为零，做匀速直线运动；②竖直方向：受重
力作用，加速度为g，做竖直上抛运动．综上所述，A、C、D正确．
探究点二
斜抛运动的规律
导学探究
如图所示，学校运动会上，有一项比赛项目是投掷铅球，当铅球以
什么角度投掷时，才能运动得最远？
提示：投掷角为45°时运动得最远．
运动是曲线运动，是因为初速度方向与重力方向不共线，但物体只受重力，产生的重力加速度是恒定不变的，
所以斜抛运动是匀变速曲线运动，故B错误；根据加速度的定义式可得Δv＝g×Δt，所以在相等的时间内速
度的变化相等，而速度是矢量，包括大小与方向两个因素，在这里我们只能判断出速度的变化相等，故C错
误，D正确．
做竖直上抛运动．
归纳总结
高中物理必修二(抛体运动)相关知识点与定理公式
高中物理必修二（抛体运动）一、曲线运动的条件1.动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，做曲线运动。
2.运动学角度：物体加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上时，做曲线运动。
二、曲线运动的速度1.曲线运动中物体在某时刻（或某位置）的速度方向，就是运动轨迹曲线上这一点的切线方向。
2.速度是矢量，既有大小，又有方向，物体做曲线运动时，速度大小可能变化，也可能不变，速度方向一定变化。
三、曲线运动的性质：曲线运动时的速度方向是变化的，不管速度大小是否改变，速度一定是变化的，曲线运动一定是变速运动。
四、曲线运动性质的两种判断方法1.根据物体所受的合力判断：若物体所受的合力与速度方向不在同一直线上，合力为恒力，则它做匀变速曲线运动。
合力为变力，则它做变速曲线运动。
2.根据物体的加速度判断：若物体的加速度与速度方向不在同一直线上，加速度为不变，则它做匀变速曲线运动。
加速度为变化，则它做变速曲线运动。
五、曲线运动的轨迹特点：合力（或加速度）指向曲线的凹侧。
六、合力与速率的关系1.合力方向与速度方向的一夹角为锐角时，物体做速率越来越大的曲线运动。
2.合力方向与速度方向的一夹角为直角时，物体做速率不变的曲线运动。
3.合力方向与速度方向的一夹角为钝角时，物体做速率越来越小的曲线运动。
七、合运动与分运动的关系1.等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，经历的时间相同。
2.等效性：各分运动产生的共同效果与合运动产生的效果相同。
3.同体性：各运动与合运动是同一物体的运动。
4.独立性：各运动之间彼此独立，互不影响。
八、两种运动的合成情况1.如果两个运动在同一条直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”，与正方向反方向的量取“-”。
2.如果两个运动互成角度，则遵从平行四边形定则。
12九、合运动相关公式22y x v v v +=合速度的大小 22y v s +=合位移的大小十、小船渡河模型十一、平抛运动的条件1.物体只受重力的作用。
抛射角与射程的关系
抛射角与射程的关系抛铅球是体育运动的一种，也是高考中体育项目考察的内容。
那么怎么样抛射才能使射程最远，取得更好的成绩值得我们探讨。
通过这次探讨你会认识到，抛铅球除了需要力气外，还需要一定的技巧。
下面的内容来探讨铅球抛射角与射程的关系。
首先，建立如下图的模型：以速度v斜抛起铅球，忽略空气阻力，铅球的加速度为g。
铅球在空气中的运动轨迹是一条抛物线，水平射程为X，运动轨迹图已省略。
V水=VcosθV竖=Vsinθ根据平抛运动规律得到水平射程X=V水X（2V竖/g）=VcosθX（2sinθ/g）=2V2sinθcosθ/g所以X=V2sin2θ/g因为抛射速度一定，所以射程只与抛射角度有关，根据几何关系，当sin2θ=1时，X最大，此时2θ=90°，所以θ=45°即当θ=45°时水平射程最远。
那么当抛射角比45°角大α或者比45°小α时水平射程是什么规律呢？下面探讨一下。
因为水平射程只与抛射角θ有关，因此只讨论sin2θ随角度变化的规律。
当θ=45°+α时sin2θ=sin2（45°+α）=sin（90°+2α）=cos2α当θ=45°-α时sin2θ=sin2（45°-α）=sin（90°-2α）=cos（-2α）=cos2α所以当θ=45° α时，均有水平射程X=V2cos2α/gα是比45°大或小的角度。
根据射程公式可以知道，当抛射角是45°时水平射程最大，当抛射角比45°大或者小α时，水平射程都相等，对称分布。
综上所述，想要使铅球水平射程最远，除了需要最大力气外还需要保持铅球抛出时与水平方向成45°斜向上。
每比45°大一度或者比45°小一度，水平射程相等。
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中学物理Ｖ０１．２９ Ｎｏ．１１ ２０１１年６月
最佳抛射角与抛体受力：：ｂ－－．ｒ￣－ｉ的关系
刘美山 杨月春 韩万宝 石亮 胡玉芝
（中国石油大学中原油田学习中心河南濮阳４５７００１）
最佳抛射问题已为人们熟知，本文通过几个实际例子找 出了最佳抛射角与抛体受力方向之间的关系．为简单起见， 下面的讨论仅限于抛体运动轨迹在一个平面内的情形． １ 沿斜面上升方向抛物体 如图１所示，用初速度 在倾角为 的斜面上某一处沿 斜面上升方向抛物体，抛射角为ａ（抛射方向与斜面间的夹 角），物体沿两方向的运动方程为 ｓ＝厢： ｎ（２ａ ｎ ］ｇ∞６ 。 最佳抛射角 最大射程 ａ＝４５ 导 １ ‘ 丽 （６） （７） 这种抛射，抛体所受合力即为重力，方向竖直向下．如 果我们将抛射点和落地点所在的平面叫做抛射面，在图１ 中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面顺时 针转０角，这个角正好就是式（６）中的０角．亦即，当抛射面 在垂直于质点所受合力方向上逆时针转０角时，最佳抛射角 口 在４５。的基础上减小 角． ２ 沿斜面下降方向抛物体 如图２所示，若用初速度弓。在倾角为０的斜面上某一处 沿斜面下降方向抛物体，抛射角为
ａ（抛射方向与斜面间的夹角），物
体沿两方向的运动方程为
ｚ＝ｐ０∞ｓ
（口一 ）￡ （８）
： 。ｓｉ （ 一 ）ｆ一
图３
５７·
２０１１年６月 Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．１１ 中学物理
阻力．
小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规
律为
＝ＶＯ（Ｘ）ＳＧ￡＋— １
口 （１４）
Ｙ：＂Ｏ０ｓｉｎａ￡一｛ （１５）
其中口为小球沿水平方向向右的加速度．
将式（１４）两边乘以ｇ，式（１５）两边乘以口，再相加，求
出ｆ：
￡＝
ｇｘａ＋＋ａｙ
＇Ｖ０ ｇ ａ ｓｍａ
（１６） Ｉ∞Ｓ
ａ十 Ｊ
将式（１４）两边乘以ｓｉｎａ，式（１５）两边乘以ＣＯＧ，再相减，
求出ｔ ：
ｒ２＝
ｇ ｓｉｎｇ
（ ７） Ｏ。ｓ
口十口 ’
结合式（１６）、（１７）两式得
２（ ｘ ｓｉｎａ －４ｙ Ｏｉ ＯＳ。ａ）＝ （ｇｘ＋＋ａ。ｙ）
Ｓｉ
ｚ
ｇＯＯＳａ ， ∞ｓ口十４ｓｌｎ口 ｔ ＋口Ｓｌｎ口厂
整理该式得
（ｇｘ＋ａｙ） ＝２ｖ （ｇｏｏｓａ＋ａｓｉｎａ）（ｘｓｉｎａ—ｙＯＯＳａ）
（１８）
式（１８）就是复合场内带电小球作“顺场抛射”时的运动轨道
方程．
在式（１８）中，若令Ｙ＝０得
ｇ Ｘ＝２ｖ；（ｇｏｏｓａ十ａｓｉｎｇ）ｓｉｎａ
进一步整理，
ｚ＝
誓（ｓｉｎ２ａ＋詈２ｓｉｎ２ａ）＝警（ｓｉ ａ一－ｏｏｓ２ａ＋詈）
警 ａ２ ｓｉｎｃ２ａ－０ ＋
其中 ｏｏｓＯ＝ ．
√１＋ ｇ
显然，当２ａ一０＝９０＂时Ｘ最大，即“顺场抛射”的最大射
程
警 ＋詈，
“顺场抛射”的最佳抛射角
ａ＝４５。十导
其中０＝ １ 一
√Ｈ
（１９）
（２０）
（２１）
这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向
朝右下方，与竖直方向的夹角为
南 一 ＇
要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面逆时针转０角，这
个角正好就是式（２Ｏ）中的０角．亦即，当抛射面在垂直于质
点所受合力方向上顺时针转口角时，最佳抛射角在４５ 的基
础上增加要角．
４ 在水平面上“逆场抛射”物体
若在竖直平面内存在水平向左的匀强电场，将带正电的
小球自坐标原点Ｏ以抛射角ｎ抛出，不计空气阻力，小球抛
出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为，
＝ ０ｏ。６ａｔ一— 口￡ （２２）
Ｙ＝Ｚ／０ｓｉｎｇ ｆ一告 （２３）
用同样的方法可以求得
（ｇｘ—ａｙ） ＝２ｖ （ｇｅｏｓａ—ａｓｉｎａ）（ｘｓｉｎａ—ｙｏｏｓａ）（２４）
式（２４）就是复合场内带电小球作“逆场抛射”时的运动轨道
方程．
在式（２４）中，若令ｙ＝０得
ｇ Ｘ＝２ｖ￣（ｇｃｏｓａ—ａｓｉｎａ）￣ｎａ。
进一步整理，
警 ／ ．＝ ｓｉｎｃ２Ｇ＋Ｏ，一詈】
其中 ｅｏｓＯ＝ －一 ．
√Ｈ争
显然，当２ａ＋０＝９０＂时 最大。即“逆场抛射”的最大射
程
２厂———
ｚ一
詈（√１十 一詈） （２５）
ｔｔ逆场抛射”的最佳抛射角 ：４５·一要。
其中０ａｒｃｃｏｓ 三 （２７）
ì
这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向
朝左下方，与竖直方向的夹角为
０＝ａＦＣＸＹＤＳ ＝＝： 彳＝ａｒｃｔａｎ（ａｉｇ），
√Ｈ争
要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面顺时针转０
角，这个角正好就是式（２６）中的 角．亦即，当抛射面在垂直
于质点所受合力方向上逆时针转 角时，最佳抛射角在４５‘
的基础上减小要角．
５ 结论
综上所述，当抛体所受合力方向发生变化时，最佳抛射
角也跟着变化．物体仅受重力作用在水平面上抛射时，重力
方向与抛射面垂直，最佳抛射角为４５。．相对于抛射面而盲，
当物体所受合力方向沿着抛体前进一方偏离竖直方向口角
时，最佳抛射角在４５＂的基础上增加要角；当物体所受合力
方向沿着抛体前进的反方向偏离竖直方向０角时，最佳抛射
角在４５·的基础上减小要角．