一类非线性R-L分数阶积分微分方程的数值解法

合集下载

一阶非线性微分方程求解

一阶非线性微分方程求解一阶非线性微分方程是数学和物理学领域中一类重要的微分方程，它反映了物质和能量等物质间的相互作用，是近代物理学和数学理论发展的重要基础之一。

本文将介绍一阶非线性微分方程的概念、特性、分类以及常用的求解方法，并给出一个实例来加深对一阶非线性微分方程的理解。

1. 一阶非线性微分方程的概念定义：一阶非线性微分方程（Ordinary Nonlinear Differential Equations）是一类特殊的微分方程，它的求解不可能由简单的积分或积分变换来解决，而是必须用更复杂的解析方法来求解。

一阶非线性微分方程可以表示为：$$frac{dy}{dx}=f(x,y), qquad xin(a,b), yin R$$ 其中，a、b为有界区间上限和下限，f(x,y)为满足某种条件的非线性函数，y为变量，表示待求解函数。

2. 一阶非线性微分方程的特性一阶非线性微分方程的特性主要包括：（1）一阶非线性微分方程的解不能简单的利用积分或者积分变换来解决，必须利用更复杂的解析方法来求解；（2）一阶非线性微分方程的变量y连续变化，不得有任何突变现象；（3）解的多样性，y的解是一个多函数，而且每个解函数有可能是不同的，这就要求对待求解方程有足够细致的分析和计算，才能得到正确的解。

3. 一阶非线性微分方程的分类根据不同的函数f(x,y)，一阶非线性微分方程可以分为以下几类：（1）一元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x)$的一阶非线性微分方程；（2）二元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x,y)$的一阶非线性微分方程；（3）非线性积分方程，即形如$y=f(x)+int[f(x,y)] dx$的一阶非线性微分方程。

4. 一阶非线性微分方程的求解方法一阶非线性微分方程的解法不尽相同，其常用的求解方法有：（1）拟合法：拟合法是一种直观的、简易的求解方法，它要求将待求解方程用曲线拟合，通过简单的分析和绘图，得出方程的解。

非线性分数阶微积分方程的数值解法研究

非线性分数阶微积分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中一个十分重要的分支，而非线性分数阶微积分方程则是其中相对复杂的一类问题之一。

许多实际问题的建模都可以归结于这类问题，而数值解法是解决这类问题的一个重要手段。

一、分数阶导数的定义及性质首先来看分数阶导数的定义。

对于函数$f(t)$，有如下定义：$$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\int_0^t\frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}\mathrm{d}\tau$$其中$\alpha$是一个实数，$n=\lfloor\alpha\rfloor+1$，$\Gamma$是欧拉伽马函数。

可以看出，分数阶导数的定义需要进行积分运算，这一点和整数阶导数是有区别的。

分数阶导数也有一些特殊的性质，例如线性性和链式法则等。

这些性质与整数阶导数的性质有一些相似之处，但也存在一些区别。

例如，分数阶导数并不满足幂等性，即$(D^\alpha)^n\neqD^{n\alpha}$。

二、非线性分数阶微积分方程的数值解法对于非线性分数阶微积分方程的数值解法，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这里介绍其中的有限差分法。

有限差分法是一个比较简单而又实用的数值计算方法，基本思路是将连续的函数转化为离散的数值。

对于一个分数阶微积分方程，可以采用有限差分法对其进行离散化求解。

具体来说，有限差分法首先将定义域分为一段段固定长度的小区间，然后在每个小区间内选取若干个节点，用这些节点处的函数值来代替对应的区间上的函数值，从而将分数阶微积分方程转化为一个差分方程。

对于非线性分数阶微积分方程而言，由于其非线性性质，需要通过迭代或其他方法来求解数值解。

三、数值实验与应用为了验证有限差分法对于非线性分数阶微积分方程的求解能力，我们可以通过许多数值实验来进行验证。

一类分数阶方程的数值解法

文章用有限差分法对fisher分数阶微分方程进行近似和求解对所建立的差分格式进行了合理的收敛性和稳定性分析最后通过数值算例得到了方程的数值解表达式并验证了数值解与精确解高度拟合进而证明了该差分格式的可行性
ＶａｌｕｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
・３１５・
一
类分数阶方程的数值解法
向隆ＸＩＡＮＧＬｏｎｇ；陈秀荣ＣＨＥＮＸｉｕ — ｒｏｎｇ
（青岛农业大学，青岛２６６１０９）（ＱｉｎｇｄａｏＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ２６６１０９，Ｃｈｉｎａ）
ＡＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＦｒａｃｔｉｏｎａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ
白承飞ＢＡＩＣｈｅｎｇ－ｆｅｉ；张丛光ＺＨＡＮＧＣｏｎｇ — ｇｕａｎｇ；
ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇａｎｕｍｅｉｃｒａｌｅｘａｍｐｌｅａｎｄａｎｌｙａｚｉｎｇｉｔｓｅｒｆｏｒ￣ｔｈｉｓｐａｐｅｒｖｅｉｒｉｆｅｄａｇｒｅａｔｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ＇ｓｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ａｎｄｔｈｅｎｉｔｐｒｏｖｅｄｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａｓｃｈｅｍｅ．

一阶非线性微分方程的解法

一阶非线性微分方程的解法微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述运动、生物、物理等领域的问题。

微分方程的解法有很多种，其中一阶非线性微分方程的解法是常见的一种。

一阶非线性微分方程的一般形式是dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。

这种类型的微分方程通常不能用常规的解法来求解。

但是，有些技巧可以帮助我们解决这类问题。

1. 变量分离法变量分离法是一种常用的解法。

对于方程dy/dx=f(x,g(x))，将f(x,g(x))写成f(g(x))和g'(x)的乘积形式，即dy/f(g(x))=g'(x)dx，然后将方程两边积分，得到解y=F(g(x))。

最后将g(x)换成y，就可以得到y的解。

例如，对于方程dy/dx=2xy，将方程两边变形，得到dy/y=2xdx。

将方程两边积分，得到ln|y|=x^2+C，其中C是常数。

解y=e^(x^2+C)，再将C换成一个常数就可以得到方程的通解。

2. 齐次方程的解法如果方程dy/dx=f(y/x)，可以使用齐次方程的解法来求解。

将y/x=u代入到方程dy/dx=f(y/x)中，得到y=ux。

然后将dy/dx=u+xdu/dx代入到方程中，得到du/(u+f(x))=dx，其中f(x)等于f(y/x)。

将方程两边积分，得到ln|u+f(x)|=ln|Cx|，其中C是常数。

解出u和x的关系，即u=Cx-f(x)，然后将u和x代回到y=ux中，得到y=Cx^2-F(x)。

例如，对于方程xy'+y^2=x，将y/x=u代入方程中，得到du/((u^2-1)+u)=dx/x。

将方程两边积分，得到ln|u+1|=ln|x|+ln|C|，其中C是常数。

解出u，即u=Cx-1，然后将u代回到y=ux中，得到y=Cx/(1-Cx)。

这就是方程的通解。

3. 带入法带入法是另一种常用的解法。

对于方程dy/dx=f(x,y)，假设y=g(x)是方程的解，将y=g(x)代入方程中，得到dy/dx=f(x,g(x))。

一阶微分方程的常见类型及解法

解法多样性
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。

一类积分方程的数值解法

一类积分方程的数值解法
田义;靳金碗
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2001(018)001
【摘要】研究了形如∫t0H(t,τ)f(τ)dτ=g(t)一类积分方程的数值求解.从讨论病态性质入手,基于吉洪诺夫的正则化思想,构造了正则化算子,从而给出了求解这类积分方程稳定的数值方法,并给出了一些数值算例.
【总页数】9页(P24-32)
【作者】田义;靳金碗
【作者单位】河北师范大学计算机科学系,;河北师范大学计算机科学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
1.混合对流方程等价奇异积分方程的Galerkin数值解法 [J], 胡敏
2.一类偏积分微分方程的数值解法 [J], 黎丽梅
3.一类对偶积分方程组正则化为Cauchy奇异积分方程组解法 [J], 王文友
4.一类非线性R-L分数阶积分微分方程的数值解法 [J], 张盼盼;任正杰
5.一类混合型积分微分方程的数值解法 [J], 刘杨;王玉兰;
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

r-l分数阶微积分

r-l分数阶微积分
R-L（Riemann-Liouville）分数阶微积分是一种扩展了传统的整数阶微积分概念的数学工具，用于描述非整数阶导数和积分的操作。

在传统的微积分中，导数的阶数和积分的阶数只能是整数，而分数阶微积分则允许阶数为分数或复数。

R-L 分数阶导数的定义如下：
```plaintext
D^αf(x) = (1 / Γ(n-α)) * d^n/dx^n ∫(a to x) (x - t)^(n-α-1) f(t) dt
```
其中，D^α表示分数阶导数，α是分数阶导数的阶数，n 是大于α的最小整数，Γ是伽玛函数，f(x) 是要求导的函数。

类似地，R-L 分数阶积分的定义如下：
```plaintext
J^αf(x) = (1 / Γ(α)) * ∫(a to x) (x - t)^(α-1) f(t) dt
```
其中，J^α表示分数阶积分，α是分数阶积分的阶数，Γ是伽玛函数，f(x) 是要积分的函数。

R-L 分数阶微积分在信号处理、控制系统、物理学、生物学等领域有广泛的应用。

它可以用于描述非线性系统、分形、介质的非局域性等现象。

此外，R-L 分数阶微积分也为理解和建模复杂系统提供了一种新的数学工具。

非线性微分方程的数值解算法

非线性微分方程的数值解算法非线性微分方程（Nonlinear differential equation，简称NDE）是微分方程中最难处理的一类问题。

由于它们的非线性特征，解析解并不常见，通常需要数值解算法来解决。

在这篇文章中，我们将讨论非线性微分方程数值解算法的基本原理和常见方法。

一、非线性微分方程的表达式在数学物理和科学工程中，非线性微分方程的表达式通常为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x代表自变量，y是一个关于x的函数，y'、y''。

y^(n)表示y的1到n次导数。

F(x,y,y',y'',...,y^(n))是与y相关的函数，可以是多项式、三角函数等。

二、数值解算法的原理求解非线性微分方程并不容易，因为几乎所有的解析解都是不存在的。

因此，为了得到一个描述这个方程的函数y(x)，我们通常需要使用数值解算法。

这些算法基于连续的函数逼近方法，将一个连续的函数分段近似为一组公式，通过计算非线性微分方程的求解空间来得出关于y(x)的估计值。

更具体地说，通常需要做以下几步：1. 将非线性微分方程转化为一个适当的积分方程为了使非线性微分方程易于处理，很多方法利用了积分方程，例如龙格-库塔方法。

这个方法利用了积分方程y(x+h)=y(x)+∑b_i*f(x+c_i*h,y(x+c_i*h),h)其中b_i、c_i是与权重相关的常量，f表示非线性微分方程右侧的函数。

这个方法会给出y(x+h)的近似值。

2. 迭代法或牛顿方法求解根据积分方程计算y(x+h)的近似值后，使用迭代法或牛顿方法求解方程f(x,y(x+h))=0的精确解。

这个方程的解表示为y(x+h)的精确值，它被用来代替原始方程中的y(y)。

3. 重复以上步骤一旦通过迭代法或牛顿方法找到了y(x+h)的精确值，就可以通过逐步减小h的值，继续重复上述步骤以获得更精确的解决方案。

分数阶微积分方程的一种数值解法

有限元法：适用于求解复杂的几何形状和
边界条件
谱方法：适用于求解高维问题和高阶微分
方程
迭代法：适用于求解非线性
问题
算法优化策略
减少计算量：采用高效的算法和数值方法，降低计算复杂
度
提高精度：采用高阶数值方法，减小误差，提高解的精度
加速收敛：采用加速收敛技术，如松弛法、预处理共轭梯度法等，加快迭代收敛速度
误差传播：误差在计算过程中的积累和传播
误差估计：对数值解的精度进行评估和预测
误差控制：采用适当的算法和技术减小误差，提高数值解的精度
05 数值解法的应用实例
实际问题建模
描述实际问题，建立数学模型确定模型参数和变量利用数值解法求解模型分析结果，给出实际解决方案
数值模拟结果
展示了数值解法的实际效果和精度
稳定性优化：采用稳定性好的算法和数值方法，提高解
的稳定性
并行计算的应用
分数阶微积分方程数值解法的并行计算框架并行计算在提高数值解法效率方面的优势并行计算在优化数值解法精度方面的作用并行计算在处理大规模分数阶微积分方程时的表现
误差分析
数值解法的误差来源：离散化误差、舍入误差和截断误差
有限差分法
定义：有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将微分转化为差分来近
似求解。
原理：基于泰勒级数展开，将微分算子近似为离散的差分算子，从而将微分方程转化为差分方程。
适用范围：适用于规则区域，如矩形、立方体等，对于不规则区域需要进行适当的网
格划分。
优点：计算简单、易于编程实现、适合大
应用领域：广泛用于工程领域中的各种微分方程的数值求解问题，如结构分析、流体动力学、热传导等

惰性气体参数对声致发光的影响

惰性气体参数对声致发光的影响王德鑫;那仁满都拉【摘要】通过考虑Van der waals方程中不同气体的绝热指数和热扩散系数,计算了惰性气体参数对声致发光的影响.利用R-P方程,分别计算了He,Ar和Xe气泡在声致发光过程中的相对半径和最高温度.利用韧致辐射模型计算了相应惰性气体声致发光的光强.计算结果表明随着惰性气体分子量的增加,气泡内的最高温度和最大光强也随之增加.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】5页(P106-110)【关键词】惰性气体;声致发光;韧致辐射模型;气体状态方程【作者】王德鑫;那仁满都拉【作者单位】内蒙古民族大学物理与电子信息学院,内蒙古通辽028043;内蒙古民族大学物理与电子信息学院,内蒙古通辽028043【正文语种】中文【中图分类】O427.4液体在超声场的辐射下，由于负压的作用，液体所受到的拉力大于液体的表面张力，将液体“拉断”从而形成空穴.随着超声场的频率的变化，空穴扩大为气泡并伴随产生一系列的非线性震动.当气泡快速塌缩时，内部发生复杂的物理化学变化，并产生光辐射的现象就是声致发光〔1〕.从1990年Gaitan发现单泡声致发光的现象〔2〕以来，声致发光的研究就进入了一个新的时期.随后实验中发现在以氮气为声致发光的气体内混合1%的氩气，所产生的光强比纯氮气或氩气所产生的光强都要强〔3〕.而氩气的比例与氩气在空气中的比例是如此的一致（0.9%），将氩气换为氙气和氦气时所产生的结果也类似.基于这一实验现象，科学家们展开了对声致发光机制的探索.在研究声致发光的早期阶段，Putterman等人〔4〕认为黑体辐射是声致发光的主要的过程.但是Yasui〔5〕通过电子-原子韧致辐射和电子离子韧致辐射对声致发光气泡光强进行模拟，更准确的解释了声致发光实验中测得的数据.丁春峰〔6〕通过对不同惰性气体的声压阈值的实验研究，提出声致发光的机制可能是由一个分子辐射向韧致辐射变化的过程.安宇〔7〕对单原子和多原子的热力学性质进行了半定量的分析，通过考虑了热扩散、水蒸气扩散和化学反应改进了声致发光的均匀模型，并且在韧致辐射模型的基础上融合了电子对原子或分子的附着辐射〔8〕.虽然目前声致发光的机理还没有形成定论，但是Moss提出的的韧致辐射模型〔9〕被认为是声致发光的主要过程.本文通过考虑Van der waals方程中不同惰性气体的绝热指数和热扩散系数，并利用R-P方程和韧致辐射模型，将研究几种惰性气体参数对声致发光的影响.主要是比较由于He，Ar和Xe等惰性气体参数的不同而导致的气泡内温度和光强的变化.超声空化气泡壁的运动，可用经典的Rayleigh-Plesset方程来描述〔10〕式中 R、ρ和c分别是气泡壁的半径、液体的密度和溶液中的声速.Pg是气泡内的气体压强，Pa(t)=-Pasin(ω t)为驱动声压，P0为环境压强，σ、μ分别是液体的表面张力和液体剪切粘度.在声致发光模型中考虑惰性气体参数的影响，主要是从气泡内部的气体压强公式入手.目前主要有两种形式的van der waals方程，一种是式中a、b是van der waals常数，Rg是气体常数，T是声致发光气泡内的温度，v是气泡内部气体的摩尔体积为气泡内气体的总物质的量.这种van der waals方程的优势是可以通过对van der waals常数的计算，得到气泡内混合气体的压强.但是对于纯气体气泡由于考虑的因素较少，在声致发光的模拟计算中不常用到.另外一种是考虑了气体的van der waals硬核半径的方程，其具体形式为式中R0是气泡的初始半径，h是泡内气体的van der waals硬核半径，γ是泡内气体的多方指数.在大多数的数值模拟计算中，都将γ取为5/3（单原子气体的绝热指数Γ），也就是说当气泡壁运动的速率比通过气泡壁的热传导的时间尺度快，则塌缩几乎是绝热的.但是许多实验和理论分析〔7,10〕都表明，远离坍塌，由于热传导比气泡壁运动快，几乎没有热交换，所以可以将此时气泡的变化看成是等温的，此时γ=1.为了完整的将气泡内部气体的多方指数的这一性质表示出来，将.由瞬时Pelect数决定为气体的热扩散系数，包含气体的气体有效原子直径、气体温度和气体分子质量.此种van der waals方程可以分析气泡内不同气体的压强，计算简便，从理论上可以更好的解释气体压强变化的规律.其中κgas可表示为〔10〕其中ag、Rg、T和μg分别是气体有效原子直径、理想气体常数、气体温度和气体分子质量.G(g)是一个无量纲的密度函数，定义为其中（Na是阿伏伽德罗常数，vm是气体的摩尔分子体积）.考虑到气泡壁上气体热扩散所导致的气泡内部的温度降低，气泡内部温度的表达式修正为〔12〕其中Tliq是无穷远处的液体温度.方程（6）与方程（1）一起给出了气泡半径和气泡内温度的计算模型.韧致辐射理论认为当气泡塌缩时，气泡内部的高温高压将气体分子电离成等离子体，等离子体中的自由电子的动能是连续分布的.由于电子韧致辐射的波长取决于自由电子的动能，因此产生的光谱必为连续谱〔9〕.该理论可以很好的解释说明目前实验上测得的单泡声致发光的谱线.通过文献〔5〕可知，韧致辐射模型为式中re、rr分别是从气泡中发射光子的速率，辐射复合率.PBr,ion表示电子—离子韧致辐射，PBr,atm表示电子—原子韧致辐射，rrhνˉ表示电子离子的复合辐射(h νˉ=3 2KT).在韧致辐射模型中将发光过程看成是由以上三种不同的辐射构成，并且假设除气泡壁的热边界层外气泡内部的压力和温度都是均匀分布.电子—离子和电子—原子轫致辐射模型为式中q、N和T分别是气泡的电离度、原子数密度和内部温度.电离度q满足其中εgas为气体的电离电位是玻尔兹曼常数.数值计算时所取的气泡初始半径为R0=5μm，声场频率f=20KHz，驱动声压Pa=1.3P0，，初始条件取为 R=R0，=0，T=T0.本文主要考虑He、Ar和Xe等三种惰性气体，计算相关的参数如表1所示.使用龙格库塔法对非线性方程（1）进行计算，非线性方程的数值解法在很多领域都有应用〔14〕.图1（a）、（b）、（c）分别为He、Ar和Xe三种惰性气体气泡在五个周期内的相对半径曲线；图1（d）、（e）、（f）为相对应的温度曲线；图1（g）、（h）、（i）是相对应的光强曲线.从图1（a）、（b）、（c）中可以看出，不同惰性气体参数在声致发光过程中对气泡相对半径的影响没有明显的差异.从图1（e）中可以看出当声致发光气泡内的气体为Ar气时，气泡内部的温度在10000K以上.文献〔15〕中报道的声致发光气泡内的温度为4500K，这是由于文献〔15〕中考虑气泡内水蒸气的蒸发和冷凝因素所导致.另外，气泡在快速塌缩的过程中气泡内外的物质交换也会相应的降低泡内气体的温度.从图1（g）、（h）、（i）中可以看出，随着惰性气体的分子量的增加，声致发光过程中所发出的光强也随之增加，这同样验证了实验中所得到的结论〔15〕.表2为He，Ar和Xe气泡在声致发光过程中的相对半径、最高温度和最大光强.从表2可以看出当气泡内的气体为He气的时候五个周期内声致发光的最高温度为3.730×103K，当气体为Xe气时最高温度增长到了1.279×104K.增长了9.06×103K，在文献〔16〕中通过计算K-M方程所得到的对应惰性气体气泡内温度增长量为1.23×104K.相应的光强变化从6.223×10-11W/m2到2.701×10-3W/ m2，增长了108个单位.由文献〔7〕可知，在高温高压的环境下，单原子分子比双原子分子更容易被电离成等离子体，并且Xe气比He气的电离电位低、分子数密度大，这也可能是惰性气体产生如此高光强的一种原因.在文献〔16〕中计算的光强增加的量和本文的结果是一致的.惰性气体对声致发光的影响一直都是非常重要的研究课题.本文在R-P方程的基础上，考虑了Van der waals方程中不同惰性气体的绝热指数和热扩散系数对声致发光的影响.通过选用韧致辐射模型，计算了惰性气体在声致发光过程中的光强.计算结果可以看出随着气泡内部惰性气体分子量的增加，声致发光的温度和光强也随之增加.本文研究结果对声致发光机理的探究有一定的理论意义.〔1〕Suslick S K.The chemical effects of ultrasound〔J〕.Scientific American，1989,260（2）:80-86.〔2〕Gaitan D F,Crum L A，Church C C，et al.Sonoluminescence and bubble dynamics for a single stable cavitation bubble〔J〕.J Acoustics Soc Am，1992，91:3166-83.〔3〕B Barber，S Putterman.Observation of Synchronous Picosecond Sonoluminescence〔J〕.Nature，1991，352：318.〔4〕Hiller R,Putterman SJ,Barber BP.Spectrum of synchronous picosecond sonoluminescence〔J〕.Phys Rev Lett，1992，69: 1182-1184.〔5〕Yasui K.Mechanism of single-bubble sonoluminescence〔J〕.Phys Rev E，1999，60:1754-1758.〔6〕丁春峰，刑达.含有不同惰性气体的气泡的声致发光的声压阈值〔J〕.中国科学G辑：物理学力学天文学，2004，34（3）:257-264.〔7〕安宇，周铁英.声致发光气泡内的气体热力学性质〔J〕.声学学报，2000，25（2）:103-107.〔8〕李朝晖,安宇.声致发光的计算〔J〕.中国科学G辑：物理学力学天文学，2009，39（2）:167-174.〔9〕Moss WC,Clarke DB,Young,DA.Calculated pulse widths and spectra of a single sonoluminescing bubble〔J〕.Science.1997，276:1398-1401. 〔10〕Brenner M P,Hilgenfeldt S,Lohse D.Single-bubble sonoluminescence 〔J〕.Rev Mod Phys，2002，74（2）:425-477.〔11〕张翠英,陈巴特，等.对声致发光单气泡半径计算〔J〕.内蒙古民族大学学报：自然科学版，2011，26（1）:10-13.〔12〕Hilgenfeldt S,Grossmann S,Lohse D.Sonoluminescence Light Emission〔J〕.Phys Fluids，1999b，11:1318-1330.〔13〕William B M,Yuri T D,K S.Suslick.Sonoluminescence temperatures during multi-bubble cavitation〔J〕.Nature,1999,401（6755）:772-775. 〔14〕张盼盼,任正杰.一类非线性R-L分数阶积分微分方程的数值解法〔J〕.河北科技师范学院学报，2015，29（2）:47-51.〔15〕Yasui K.Bubble dynamics and sonoluminescence from helium or xenon in mercury and water〔J〕.Phys Rev E，2012，86: 036320.〔16〕Gheshlaghi M.Role of the gas solution on the parameters of single sonoluminescence〔J〕.Extensive Journal of Applied Sciences，2015，3（7）:257-264.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳＮ．１６７２— ７９８３．２０１５．０２．０１０
一
类非线性Ｒ — Ｌ分数阶积分微分方程的数值解法
张盼盼，任正杰
（１宁夏大学数学计算机学院，宁夏银川，７５００２１；２甘肃省永昌县第一高级中学）摘要：利用Ａｄｏｍｉａｎ多项式将分数阶积分微分方程中的积分项离散化，进而得到原方程解的级数表达形式，数值算例验证了该分解方法的有效性。关键词：Ａｄｏｍｉａｎ多项式；分数阶积分微分方程；数值解中图分类号：Ｏ２４１．８文献标志码：Ａ文章编号：１６７２－７９８３（２０１５）０２－００４７－０５
河北科技师范学院学报第２９卷第２期，２０１５年６月
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏ１．２９Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１５
办法是将其线性化近似处理或采用扰动技术。然而，这些方法在求解时无形中改变了原问题，得到的解往往不能满足实际需要。Ａｄｏｍｉａｎ分解法不会存在这样的问题，计算量很小，而且很快就能收敛到真解。所以，Ａｄｏｍｉａｎ分解法是求解非线性方程的有力工具．９Ｊ，笔者利用Ａｄｏｍｉａｎ多项式将Ｒ — Ｌ分数阶积分微分方程离散化，得到原方程解的级数表达式，并使用数值算例证明该算法的有效性。
（２）
河北科技师范学院学报
２９卷
为一满足初始条件 ¨ （０）＝０，ｉ＝０，１， …，／７，一１的分数阶积分微分方程。其中 ∈（ｎ一１，／＂ｔ），ｔＥ［０，
１］，为Ｒ — Ｌ分数阶微分算子，Ｋ（ｆ，）为一有界函数，ｔ）为非线性函数且满足Ｌｉｐｓｃｈｉｚ条件。给方
利用Ａｄｏｍｉａｎ分解法求解代数方程具有强大的优越性，其解为级数形式、收敛快、计算方便且容易
在计算机上运算。它的核心思想是：把方程拆成／／，个部分，把解拆成ｎ个项，同时非线性项用一种特殊的多项式Ａ进行替代，然后由低阶解分量逐渐向高阶解分量逐一解出，从而得到方程的近似解析解，也可以得到精确解。该方法无需进行任何变换，很好的保持了原方程的物理性质。在实际生活中不仅会遇到线性问题和确定问题，而且经常会遇到非线性问题甚至是随机问题。对于这些非线性问题，通常的
分数阶微积分是一古老而新鲜的概念。早在１７世纪末，就有像Ｌ’ Ｈｏｓｐｉｔａｌ，Ｌｅｉｂｎｉｚ等数学家开始考虑分数阶微积分，但由于缺乏应用等众多原因的支撑，使得分数阶微积分的发展相对滞后。近年来，越来越多的分数阶微积分方程广泛出现在各大工程领域。例如，ＰＩＤ控制理论、粘弹性材料及混沌现象
１预备知识
定义设） ∈ Ｌ［口，ｂ］，＞Ｏ。则称
ｇｆ（￡）＝击￡
性质－（１）若，＞ｏ，厂（ｔ） ∈Ｃ，则有：职ｆ）＝
丁
ｚ）＝ｇｆ（ｔ）。
（１）
为Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分，其中ｔ ∈［口，ｂ］，Ｆ（）为Ｇａｍｍａ函数。
等反常问题＿１．２Ｊ，其中有些问题建模后得到的方程大多数都是非线性分数阶积分微分方程。由于分数阶微积分复杂的定义，增加了分数阶方程的求解难度，分数阶积分微分方程的求解对众多学者来说更是
挑战。目前关于分数阶积分微分方程数值解的文献已有一些，主要是用小波的方法求解Ｆｒｅｄｈｏｌｍ或Ｖｏｌｔｅｒｒａ型的分数阶积分微分方程］。ＬＩＨｕａｎｇ等采用Ｔａｙｌｏｒ级数的方式求解了线性分数阶积分微分方程。然而，关于非线性分数阶积分微分方程数值解的文献甚少。
（２）设
２主要结果
设
＞－１＇则有：＝缶。
Ｄ（ｔ）＝ＡＪＫ（ｔ，．ｒ）．厂（（丁））ｄｒ＋ｇ（ｔ）
收稿日期：２０１５－０４－０２；修改稿收到日期：２０１５０５－－２４
程（２）两端作用算子，则有
）＝击（ｔ
由Ａｄｏｍｉａｎ分解法知，设其中源自）ｄ．ｒ＋击（
Ｕ
：（）））丁（３）
（４）
ｔ）＝二Ａ（。（ｔ），（ｔ）， …，（ｔ））