高一上向量期末复习三
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
高一期末考试复习07平面向量1
2014高一期末考试复习系列之07——平面向量【基本知识】1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
高一数学苏教版复习课件：向量概念
探究新知
核心知识点三： 平行向量与共线向量
由此可知，将一个向量平移后所得 的向量与原向量是相同的向量.右图 中，向量a，b，c两两平行，可以通 过平移使得a，b，c 落在同一直线 上，所以，任意一组平行向量都可 以平移到同一条直线上.因此平行向 量又称为共线向量.
探究新知
苏教版（2019） 必修第二册
第9章 平面向量 9.1 向量概念
学习目标
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实 际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。
情境导入
下图是物理学中斜坡上物体的受力分析。 木块m受到垂直向下的重力，垂直于木块M 且向上的支持力，沿着斜面向上的摩擦力。 木块m在重力G和支持力F的合力作用下 ，沿着斜面向下运动。其运动的加速度 为正，向下运动的速度越来越快。
随堂练习
B 1．已知非零向量a,b,c ，则“ a c bc ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】如图所示，OA a,OB b,OC c, BA a b ,当 AB OC 时， a b 与c 垂直，
，所以
随堂练习
5．下列叙述： （1）单位向量都相等； （2）若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定； （3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； （4）方向不同的两个向量一定不平行. 其中正确的有________.(填所有正确的序号)
【解析】（1）错误,单位向量模都相等，但是方向不一定相同.（2）正确,若一个向量的模为 0，则该 向量是零向量，其方向不确定，是任意的.（3）错误,共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同. （4）错误,方向相反的两个向量一定平行.故答案为：（2）
高一平面向量复习教案
没有最好，只有更好。
我要做到更好。
——————-————————— 21班陈 诗 平面向量一 知识框架：二 重要知识点梳理：1.数量积 已知向量a 和b ，它们的夹角为θ，把θcos b a 叫做a 与b的数量积。
向量的数量积是一个数量，而不是向量。
⑴几何意义 a 与b 的数量积等于a的长度a 与b 在a 方向上的射影θcos b 的乘积，或b 的长度b 与a 在b方向上的射影θcos a 的乘积；⑵坐标表示 若),(),,(2211y x b y x a == ，则2121y y x x b a +=•；2.重要定理和结论⑴向量共线： 若a o≠，则b a a b 与⇔=λ共线（或a //b ）;若),(),,(2211y x b y x a == 则b a x y y x 与⇔=-02121共线（或a //b）⑵向量垂直： 若),(),,(2211y x b y x a == 则002121=•⇔⊥⇔=+b a b a y y x x； ⑶模 ： ))((,2,2222222b a b a b a b a b a b a a a-+=-++=+=；⑷三角形重心： 若G 为三角形的重心，则0=++C G B G A G ，若)3,3(),(),(),(32132132211y y y x x x G y x C y x B y x A ++++则；⑸三点共线条件 ： 若 A 、B 、C 三点共线 则C A B Aλ=；也即在同一平面内有一点P 使A P C P B P)1(λλ-+=；没有最好，只有更好。
我要做到更好。
——————-————————— 21班陈 诗三．典型例题：例1 已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则_____b =23；例 2.若为a 非零向量，e 为单位向量，θ为a 与e夹角，那么是否存在θ，使e a e a-=+3成立？若存在，请求出取值范围；若不存在，请说明理由。
广东省佛山市超盈实验中学高一数学期末复习平面向量(无答案)
（平面向量专题）1、已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1).(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．2、已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).(1)若|b|＝25，且a∥b，求b的坐标．(2)若|c|＝10，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.3、已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值.4、已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0，k∈R).(1)求a·b关于k的解析式f(k)．(2)若a∥b，求实数k的值．(3)求向量a与b夹角的最大值．5、已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值； (2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．6、已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]． (1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．周末展翅16参考答案1、解：(1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，(2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2. 2、解：(1)设b ＝(x ，y )，因为a ∥b ，所以y ＝2x ①又因为|b |＝25，所以x 2＋y 2＝20 ②由①②联立，解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)．(2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a·c ＝0，又|a |＝5，|c |＝10，解得a·c ＝5，所以cos θ＝a·c |a||c|＝22，θ∈[0，π]，所以a 与c 的夹角θ＝π4. 3、解法一：∵A 、B 、D 三点共线 ∴与共线，∴存在实数k ,使=k · 又∵+-=++= =(λ+4)e 1+6e 2.∴有e 1+e 2=k (λ+4)e 1+6ke 2∴有⎩⎨⎧==+161)4(k k λ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==261λk 解法二：∵A 、B 、D 三点共线 ∴AB 与BD 共线， ∴存在实数m ,使m = 又∵-==(3+λ)e 1+5e 2 ∴(3+λ)me 1+5me 2=e 1+e 2∴有⎩⎨⎧==+151)3(m m λ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==251λm4、解：(1)由已知|ka ＋b |＝3|a －kb |，有|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋2ka·b ＋b 2＝3a 2－6ka·b ＋3k 2b 2.又因为|a |＝|b |＝1，得8ka·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0)． (2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k>0，则a 与b 同向． 因为|a|＝|b |＝1，所以a·b ＝1，即k 2＋14k＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0， 所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ， b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )＝14[(k －1k)2＋2]． 当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12. 5、解：(1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12. (2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3. 6、解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x . (2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0， ∴当cos x ＝－1，即x ＝π时最大值为f (x )＝3.。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
高一数学向量复习要点
向量复习要点
1、什么叫向量？
2、用图表示向量a与b的和与差
3、实数与向量a的积 a的长度和方向是
如何规定的？
4、用图表示两个非零向量a与b的夹角
5、用公式表示两个非零向量a和b 的数量积
6、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为
cos = ?
7、非零向量a、b
, a//b ?
ab
?
8平、e面1 基、e本2 是定不理共表线述向为量__，；a能是作平为面平内面任基一底向的量向，
y1) a//b
b =(x2？, y2)
则a±b = (
ab ？
)
13、P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ， 使 P1P=λ PP2 ，可通过长度比求|λ|，如图的
λ符号如何？
P1 P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P2
P1 P2 P
P P1 P2
若P1(x1 ，y1) P2(x2, y2) 则P点坐标为？即定比分 点公式为？中点坐标公式为？ 14、设P （x，y）是图象F上任一点，平移后F′ 上对应点为
P′（x′，y′）平移向量为a=
=P（Ph，k）,平移公式为？
15、写出正弦定理
16、写出余弦定理。
例1、判断下列命题是否正确
1、向量a在向量b方向上的投影是个向量
2、单位向量都相等，
3、(a b)2 a2 b2
ab b2
a b
4、向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量；
高一数学复习考点知识专题讲解26---空间向量及其线性运算
高一数学复习考点知识专题讲解空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘 当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →； 当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ； 分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC. 反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式．(1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)． 解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB →D.AB →＝－BA →答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM →B.NP → C ．0D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA →B.AB → C.OC →D.AC → 答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→D.AC →＋CB 1—→ 答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0.5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A.DB →B.AB →C.AC →D.BA →答案 D解析 方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于() A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB → ＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.答案 －c －a ＋b解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →)＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________.答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→ 解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→. (2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)， 所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点， ∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。
高一数学期末总复习向量试题
智才艺州攀枝花市创界学校一中高一数学期末总复习向量一、选择题1．c b a ,,为非零的平面向量.甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅〔B 〕A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．向量a =〔－2，2〕，b =〔5，k 〕.假设|a +b |不超过5，那么k 的取值范围是 〔C 〕A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－6，2]D ．[－2，6] 3．假设|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，那么向量a 与b 的夹角为 〔C 〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．为了得到函数123-=-x y 的图象，只需把函数x y 2=的图象上所有的点〔A 〕A ．向右科移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度5．P 是△ABC 所在平面上一点，假设PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，那么P 是△ABC 的〔D 〕A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= 〔C 〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 7．在△,sin sin sin :AcC b B a p ==q:△pq 的〔C 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8．向量a 、b ，且=AB a +2b ，=BC －5a +6b ，CD =7a －2b ，那么一定一共线的三点是〔A 〕A ．A 、B 、DB ．A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D9．向量b a x b x a ⊥=-=且),,2(),3,5(，那么由x 的值构成的集合是 〔C 〕A ．{2，3}B ．{－1，6}C ．{2}D ．{6}10．设向量a =〔－1，2〕，b =〔2，－1〕，那么〔a ·b 〕〔a +b 〕等于〔B 〕A ．〔1，1〕B ．〔－4，－4〕C ．－4D ．〔－2，－2〕11．A 〔3，1〕，B 〔6，1〕，C 〔4，3〕，D 为线段BC 的中点，那么向量AC 与DA 的夹角为〔C 〕A ．54arccos 2-πB ．54arccosC ．)54arccos(-D ．－)54arccos(- 12．向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |.那么 〔C 〕A ．a ⊥eB ．a ⊥〔a －e 〕C ．e ⊥〔a －e 〕D ．〔a +e 〕⊥〔a －e 〕13．向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= 〔C 〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°14．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，那么△OAB 的面积到达最大值时，=θ〔D 〕A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 15．在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 那么k 的值是 〔A 〕A ．5B ．－5C ．23D ．23-16．在ABC ∆中，C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是〔B 〕A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形17．假设向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,那么向量a 的模为〔C 〕A ．2B ．4C ．6D ．1218．假设向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,那么向量a 的模为 〔C 〕A ．2B ．4C ．6D ．1219．假设平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，那么=b〔A 〕A ．)6,3(- B ．)6,3(-C ．)3,6(- D ．)3,6(-20．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，那么边AC 上的高为〔B 〕A ．223 B ．233 C ．23 D ．33二、填空题1．在直角坐标系x Oy 中,点A(0,1)和点B(－3,4)，假设点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,那么OC =)5103,510(-2．向量,//),6,(),3,2(b a x b a且==那么x =4.3．｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，a 与b 的夹角为3π，以a ，b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____32___________．4．在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，那么BC 的长为25．向量(,12),(4,5),(,10)OA k OBOC k ===-，且A 、B 、C 三点一共线，那么k=23-6．向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，那么k 的取值范围是[－6，2].7.在△ABC 中，5,8==AC BC，三角形面积为12，那么=C 2cos 257.. 8.假设向量b a、的夹角为150，4,3==b a，那么=+b a2 2.9．向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，那么|2a －b |的最大值是4.10．平面上三点A 、B 、C 满足,543==AB 那么AB·BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于.--25.11．点A(1,－2),假设向量AB 与a ={2,3}同向,AB=213,那么点B 的坐标为(5,4).12．平面向量a ，b 中，a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，那么向量b =_)53,54(-_________. 13．向量a 、b 满足〔a －b 〕·〔2a+b 〕=－4，且|a |=2，|b |=4，那么a 与b 夹角的余弦值等于21-. 三、解答题1． 如图，在Rt △ABC 中，BC=a ，假设长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.1． 本小题主要考察向量的概念，平面向量的运算法那么，考察运用向量及函数知识的才能，总分值是12分.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如下列图的平面直角坐标系. 2．〔本小题总分值是12分〕向量b a x f x x b x x a⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间. 2．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x x b a x fx x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为]4,0[)(,2ππ在x f 上单调增加，]4,0[π上单调减少.3．〔本小题总分值是12分〕向量,528||),2,(,cos ,sin 2()sin ,(cos =+∈-==n m n m 且和ππθθθθθ 求)82cos(πθ+的值. 3．解法一：),sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+n m由528||=+n m ，得.257)4cos(=+πθ又1)82(cos 2)4cos(2-+=+πθπθ，所以.2516)82(cos 2=+πθ解法二：22222)(||n n m m n m n m +⋅+=+=+由528||=+n m ，得.54|)82(cos|=+πθ 4．〔此题总分值是14分〕此题一共有2个小题，第1小题总分值是6分，第2小题总分值是8分.函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，j i AB 22+=〔j i ,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量〕，函数6)(2--=x x x g .〔1〕求b k ,的值；〔2〕当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 4．解：〔1〕由得},{),,0(),0,(b kbAB b B k b A =-则于是.21,22⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧==b k b k b〔2〕由,62),()(2-->+>x x x x g x f 得即,42,0)4)(2(<<-<-+x x x 得由于3)(1)(,02-≥+>+x f x g x 则，其中等号当且仅当x +2=1，即x =－1时成立， ∴)(1)(x f x g +时的最小值是－3. 5．〔本小题总分值是12分〕在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值. 5．本小题考察余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的根本关系等根底知识，考察根本运算才能.总分值是12分.解法一：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ 解得,2cot =B 从而.21tan =B解法二：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ， 因此，︒=∠60A ，由222a bc cb =-+，得.41532133411)(1)(22=--+++=-+=b c b c b a 所以.215=b a ①由正弦定理5123152sin sin =⋅==A a bB .由①式知,b a>故∠B<∠A ，因此∠B 为锐角，于是152sin 1cos 2=-=B B ，从而.21cos sin tan ==B B B 6．〔本小题总分值是12分〕△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B 〔Ⅰ〕求cotA+cotC 的值； 〔Ⅱ〕设c a BCBA +=⋅求,23的值. 6．解：〔Ⅰ〕由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由b 2=a c 及正弦定理得.sin sin sin 2C A B = 于是BC A C A A C A C C C A A C A C A 2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=+=+=+=+〔Ⅱ〕由.2,2,43cos ,23cos 232====⋅=⋅b ca B B ca BCBA 即可得由得 由余弦定理b 2=a 2+c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 7．〔本小题总分值是12分〕在△ABC 中，AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值. 7．本小题主要考察正弦定理、余弦定理等根底知识，同时考察利用三角公式进展恒等变形的技能和运算才能.解法1：设E 为BC 的中点，连接DE ，那么DE//AB ，且DE=,,36221x BE AB ==设 在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2=BE 2+ED 2－2BE ·EDcosBED ，解法2：以B 为坐标原点，x BC 为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限. 解法3：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC ，过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，那么HB=ABcosB=,354,34=AH 8．〔本小题总分值是12分〕设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R.〔Ⅰ〕假设f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；〔Ⅱ〕假设函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，务实数m 、n的值.8.本小题主要考察平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的根本技能，考察运算才能.总分值是12分.解：〔Ⅰ〕依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2x +6π)=－23. ∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π.〔Ⅱ〕函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.由〔Ⅰ〕得f(x)=2sin2(x +12π)+1.∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.。
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
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课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
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高一上向量期末复习三
一、选择填空题： 姓名
1. 设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线A B 上，且AB = 2A P
，则点P 的坐标为（ ）
A. (3,1)
B. (1,1)-
C. (3,1)或(1,1)-
D.无数多个 2、已知平面向量a
=（1，1），b =（1，-1），则向量132
2
-
=a b （ Ｄ ）
Ａ．(21)--，
Ｂ．(21)-，
Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)，
3、若a
b
⋅<0，则a
与b
的夹角θ的取值范围是( ) A.)2
,0[π
B.),2
[
ππ C.),2
(
ππ
D.],2
(
ππ
4.的
△是则点且满足所在平面上的一点是△点ABC O OA OC OC OB OB OA ABC O →
→
→
→
→
→
∙=∙=∙,,（ ）
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
5.已知)1,2(=a
与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________
6、）（的中点，求证：，分别是，，已知任意平行四边形→
→
→+=DC AB EF BC AD F E ABCD 2
1
7、的值
，，求实数在同一条直线上，且
，，，若点，
，设正方向上的单位向量，
，分别是平面直角坐标系
，设n m n m C B A j i OC j i n OB j m i OA Oy Ox j i 252=-=+=+-=→
→→
83
3
3
213
21332211y y y y x x x x y x G y x C y x B y x A ABC ++=
++=
，求证：）
，（），重心，（），，（），，（的三个顶点是
已知△
9.已知向量a
,b
,c ,满足a
+b
+c
=0
,且|a
|=3，|b
|=5，|c |=7，求a
,b
的夹角θ
10、
的最大值和最小值。
，求），，（已知||1||43a b a b =-=
11．已知两点A （2，3）、B （-1，5），D 、C 、E 三点满足AC =13
AB ，AD
=2AE ，AE =DC 求
C 、
D 、
E 三点的坐标。
12.如图,在∆ABC 中,D 、E 是BC
边上的三等分点,设AB ＝a
,AC
＝b
,
试用
a
，b
表示出向量AD 和AE
13①已知，是两个非零向量
b a
⋅，若的夹角与求b a a b a b a
+-==,；
②已知b a ⋅是非零向量，且b a b a
-=+，求a 与b 的夹角；
③已知7,3,1=
-==b a b a
，求a
与b 的夹角；
14设()()2,3,3,2==b a
，如果b n a m +垂直于a ，且b n a m +=5，求实数n m ,的值。
A
C
B
D
E。