圆中最值的十种求法
一道圆最值问题的十种解法
本题是一道数 学竞赛题， 适 合于初 中生与 高 中 生 ．初 审 此 题 ， 我 们 很 自然 地 想 到 要 用 到 圆的几何性质来解 决此题． 最 小值 问题 比较 简 单 ，当 点 Ｐ在 圆 上 运 动 的 时 候 ， 我 们 会 发 现 如 果 点 Ｐ异 于 、Ｂ两 点， 则Ｐ ＡＢ可组 成 一个 三角形， 此时 ＰＡ＋ Ｐ Ｂ＞Ａ Ｂ．因此最 小值是 当点 Ｐ在点 或者点 Ｂ时取 到， 长度 为 ６ ． 求 最大值是一个难 点， 是 我们 本次研究 的 主题 ． 笔者 就求 最大 值 问题给 出了 １ ０种 解 法 ． 这１ ０ 种 解 法 涉 及 到 了 平 面 几 何 、 三 角 、 解 析 几何 、函数 、微积分 、不等式等领域 ． 本题 是 个很 好 的载体， 有助于我ｔ ｒ Ｊ ） Ｊ ｎ 深对数学思想 及 方 法 的认 识 ． 几 何 方 法 解 法 一 ：由观 察 ，我 们 猜 想 点 Ｊ Ｆ ） 在 图１ 所 示 点 Ｑ位 置 （ 即弦Ａ Ｂ 的中垂 线与优 弧 Ａ召的 交 点） 时， Ｐ ＋Ｐ Ｂ取得 最大 值． 这样 猜想 的 直 观 依 据 是 点 Ｐ在 、Ｂ 时 取 得 最 小 值 ，由 圆
弧 ＡＱ且 Ｊ Ｆ ） Ａ ＜ ＱＡ ＝ ＱＢ ＜ Ｐ Ｂ 的情况 （ 不
满足 此 条 件 的Ｊ Ｆ ） 显然 无 需 考 虑） ． 延 长 Ｐ 到
点 ， 使得 Ｃ ＝ Ａ Ｑ， 连 结 Ｑ．在 ＢＰ上 取
一
一
、
点 Ｄ， 使得 ＢＤ ＝ Ｂ Ｑ． 连 结 ＤＱ．由辅助线
我ｆ 门有 尸Ａ ＋ Ｊ Ｆ ） Ｂ ＝ ＱＡ ＋ ＱＢ — ＣＰ ＋ ＤＰ，
数 学教 学
５ 一
线互相 垂直 的四边形．我们 知道， 这种 四边形 有 一 个 几 何 性 质 ：四边 的平 方 和等 于 ８ Ｒ２ 或 者 说对 角线 被分成 的四部 分 的平方 和等 于 ４ Ｒ ． 因此我们有 Ａ Ｃ ２ ＋ＢＣ２ ＋ｐ ｉ Ｃ２ ＋ｐＣ２ ：４ Ｒ２ ， 则
及圆有关的最值问题的求解策略
.与圆相关的最值范、围问题的求解策略知识梳理(1)主要种类：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值．②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．③过圆内必定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥解决与圆相关的最值问题的常用方法1）形如u＝y－b的最值问题，可转变为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题x－a2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．种类一：圆上一点到直线距离的最值问题应转变为圆心到直线的距离加半径，减半径1、已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：(x3)2y21上任一点，则PQ的最小值为.2A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x3)2y21上任一点，则S VQAB的最小值为.、已知3、由直线y=x+1上一点向圆C：(x 3)2y21引切线，则切线长的最小值为5、由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()A．(－1,1)B．(0,2)C．(－2,0)D．(1,3)6P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x3)2y21的切线PA，PB,A、B为、已知切点，则当PC=时，APB最大．7、已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x3)2y21的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为.8、已知圆C：x2y22x4y30，从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM获得最小值的点P坐标．种类二：利用圆的参数方程转变为三角函数求最值9、若实数xy知足x2y22x4y0，求x-2y的最大值．、种类三：抓住处求式的几何意义转变为线性规划问题求最值y－210、已知x，y知足x2＋y2＝1，则x－1的最小值为________．..11、P(x ，y)在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上挪动，则 x 2＋y 2的最小值为________．种类四：向函数问题转变平面分析几何的重要内容，教课要点是让学生从中感觉运用代数方法办理几何问题的思想．有些问题，纯真利用圆的几何性质没法求解．此时应试虑怎样利用代数思想将问题转变为函数问题．22uuuruuur的最12、已知圆O ：xy1， PA PB为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PAPB、小值为种类五：向基本不等式问题转变13、已知圆C ： 2 y 2 4 ，过点A( 1,0)做两条相互垂直的直线l 、l ，l 交圆C（x+2）121与E 、F 两点，l 2交圆C 与G 、H 两点，y（1）EF+GH 的最大值．E(2)求四边形EGFH 面积的最大值．M HCOxN AFG题型 相关定直线、定圆的最值问题13、 已知x ，y 知足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．题型三 综合性问题圆中相关元素的最值问题(2)与其余知知趣联合的范围问题14、已知直线x ＋y －k ＝0(k>0)与圆x 2＋y 2＝4交于不一样的两点A ，B ，O 是坐标原点，且→→ 3→有|OA ＋OB|≥3|AB|，那么k 的取值范围是________．15、（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中, A(12,0),B(0,6),点P 在圆O ：x 2y 250上,uuuruuur若PAPB≤20,则点P的横坐标的取值范围是.16、已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．(1)若AM⊥直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．.。
与圆有关的最值问题
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆的最值问题一圆心到定直线的距离的最值问题例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________.变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。
二圆上动点到定直线的距离的最值问题例2 圆012222=+--+y x y x上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。
变式：已知P 是圆122=+y x上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。
三圆的切线长最值问题例3 从点P(m,3)向圆C:()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。
变式：由直线2+=x y 上的点向圆()()12y 422=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。
四与圆的弦长有关的最值问题例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________。
变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。
五圆中“斜率”最值问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。
若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。
变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________。
(完整版)圆中的最值问题(可编辑修改word版)
2 2一、基本模型构建拔高专题圆中的最值问题常见模型图(1) 图（2）思考图（1）两点之间线段最短图（2）垂线段最短。
；.在直线L 上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。
解：作点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B，交MN 于点P，连接OA′，AA′．∵点A 与A′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，∴A′B=3 ．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3 ．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
2 2 2 OP 2 OQ 2 2 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例 2：如图，在 Rt △AOB 中，OA=OB=3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点， 过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ （点 Q 为切点），求切线 PQ 的最小值解：连接 OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知 PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当 PO ⊥AB 时，线段 PQ 最短，∵在 Rt △AOB 中，OA=OB=3 ，OA • OB ∴AB= OA=6，∴OP==3，∴PQ= =2 ．AB【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且 P 在第一象限内，过 P 作⊙O 切线与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ．求线段 AB 的最小值．解：（1）线段 AB 长度的最小值为 4， 理由如下：连接 OP ，∵AB 切⊙O 于 P ， ∴OP ⊥AB ，取 AB 的中点 C ，∴AB=2OC ；当 OC=OP 时，OC 最短， 即 AB 最短， 此时 AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。
圆中巧用几何意义求最值
1 圆中巧用几何意义求最值在圆中，有几种利用几何意义求最值的类型，没有这种意识，将无从下手，并且这类题目充分体现了数形结合的思想，容易考到，因此值得我们归纳总结一下。
一、利用直线的斜率例1.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求y x 的最大值。
分析：y x 可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，即求斜率的最大值。
解：y x可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，由图可知，当相切时斜率最大或最小。
设切线的方程为y kx =，即0kx y -=，()2223x y -+=表示圆心为()2,0，半径=k =y x。
变式：已知实数y x ,满足122=+y x ，求12++x y 的取值范围 解：令(2),(1)y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率，而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+ 二、利用两点间的距离公式 例2.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求22x y +的最大值。
分析：22x y +表示圆上的点(),x y 与原点间距离的平方，圆心和原点所确定直线与圆的两交点到原点的距离分别为距离的最小值和最大值。
解：22x y +表示点(),x y 与原点间距离的平方。
因为圆心到原点的距离为2，故圆上的点到原点的距离的最大值为2+，22x y+的最大值为(227=+变式：已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________．解析：答案为 2 2 （x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即d ＝|－2－3＋1|2＝2 2. 三、利用直线在y 轴上的截距例3.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求y x -的最大值。
与圆有关的最值问题的求解策略
直线与圆的关系中存在一
些最 值 问 题,如 距 离 的 最 值、面
积的 最 值 等。这 类 问 题 可 利 用
数形 结 合 法 求 解。 下 面 分 类
解析。
一 、与 距 离 有 关 的 最 值 问 题
例1 直 线 y-3=k(x-
1)被圆 C:(x-2)2+(y-2)2=
5所截得的最短弦长等于
。
解:易 知 直 线 过 定 点,且 定
点在圆内,当圆被 直 线 截 得 的 弦
最短 时,圆 心 到 弦 的 距 离 最 大,
此时 圆 心 与 定 点 的 连 线 垂 直
于弦。
由圆 C:(x-2)2+(y-2)2 =5,可 知 圆 心 C(2,2),半 径 为
5。直线y-3=k(x-1)恒 过 定点(1,3),当 圆 被 直 线 截 得 的 弦最短 时,圆 心 C(2,2)与 定 点 P(1,3)的 连 线 垂 直 于 弦,这 时
用,考查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法。 需 要 注
意的是题 中 的 曲 线 是 半 圆,当 直 线 与 圆 相 切
时斜率取得最值。
作 者 单 位 :甘 肃 省 天 水 市 第 三 中 学
(责任编辑 郭正华)
16
弦 心 距 为 (2-1)2+(2-3)2
= 2。故 所 截 得 的 最 短 弦 长 为
2 (5)2-(2)2 =2 3。 评析:本题 主 要 考 查 直 线 与 圆 相 交 的 性
质。过圆内 一 点 的 最 长 弦 为 圆 的 直 径,最 短 弦是以该点为中点的弦。
二 、圆 的 面 积 的 最 值 问 题 例2 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中,圆 C 与圆 O:x2 +y2 =1 相 外 切,且 与 直 线 x 2y+5=0 相 切,则 圆 C 的 面 积 的 最 小 值 为 。 解:画 出 图 形,求 出 最 小 圆 的 半 径,即 得 圆的面积。如 图 1,圆 心 O 到 直 线x-2y+ 5=0的距离 d= 5。
圆中最值的十种求法
所以 所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦 最大值为⊙O的直径
所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时
CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值
5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.
[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.
解 所以PQ⊥AQ
在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值
3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
1
连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E
在△OCD中，因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中 cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2
即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为 .
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.
圆中的最值问题运动轨迹
圆中的最值问题运动轨迹圆中的最值问题运动轨迹引言：圆是一种几何学中常见的形状，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，研究圆的最值问题既有理论意义，又有实际应用。
本文将讨论圆中的最值问题，并探索与之相关的运动轨迹。
通过对这些问题的分析和求解，可以帮助我们更深入地理解圆的性质和运动规律。
一、圆的最值问题1. 最大面积问题圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。
那么，在给定周长的情况下，如何确定圆的半径以使其面积最大化？解法：根据周长公式C=2πr，可得r=C/(2π)，将该值代入面积公式得到S=π(C/(2π))²=(C²/(4π))π=(C²π/4π)=C²π/4。
所以，当给定周长时，圆的面积最大值为C²π/4。
2. 最小周长问题如果圆的面积是固定的，如何确定圆的半径以使其周长最小化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最小值为2√(πS)。
3. 最大周长问题在给定面积的情况下，如何确定圆的半径以使其周长最大化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最大值为2√(πS)。
二、圆的运动轨迹1. 圆的滚动轨迹当一个圆沿着另一个圆或者直线滚动时，滚动圆上一点的轨迹称为圆的滚动轨迹。
滚动轨迹通常是一条曲线，而滚动圆上的所有点都具有相似的运动特性。
2. 圆上的运动轨迹假设一个小球在一个固定大小的圆上运动，小球在圆上的位置随时间变化而改变。
小球在圆上的运动轨迹通常是一条曲线，其形状取决于小球在圆上的起始位置、运动速度和加速度等因素。
结论：圆中的最值问题涉及到圆的面积和周长，通过合理选择圆的半径，可以确定面积最大、周长最小或周长最大的圆。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆中最值的十种求法
本人精心整理的文档,文档来自网络
本人仅收藏整理
如有错误
还请自己查证！
圆中最值的十种求法
江苏省泗阳县实验初级中学（223700）朱宜新（135********）在圆中求最值是中考的常见题型
也是中考中的热点、难点问题
有的学生对求最值问题感到束手无策
主要原因就是对求最值的方法了解不多
思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法
归纳如下：
一、利用对称求最值
1．如图：⊙O的半径为2
点A、B、C在⊙O上
OA⊥OB
∠AOC=60°
P是OB上一动点
求PA+PC的最小值.
[分析]：延长AO交⊙O于D
连接CD交⊙O于P
即此时PA+PC最小
且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.
解：延长AO交⊙O于D
连接CD交OB于P
连接PA
过O作OE⊥CD
垂足为E
在△OCD中
因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中
点A的坐标为(－3, －2)
⊙A的半径为1
P为x轴上一动点
PQ切⊙A于点Q
则PQ长度的最小值为 .
[分析]：连接AQ、PA
可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中
PQ=
求PQ的最小值转化为求PA的最小值根据垂线段最短易求PA的最小值为2. 解：连接PA、QA
因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中
PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2)
根据垂线段最短
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2
母线PB的长为6
D为PB的中点
一只蚂蚁从点A出发
沿着圆锥的侧面爬行到点D
则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D
不好求爬行的最小值
要把立体图形展开为平面图形
再利用两点之间线段最短来解决问题.
解：圆锥的侧面展开图如图2
连接AB
根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π
PA=6
因为4π= 所以n=120° 即∠APB=60° 又因为PA=PB
所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3
在Rt△PAD中
AD=
故选C.
四、利用直径是圆中最长的弦求最值
4．如图：半径为2.5的⊙O中
直径AB的两侧有定点C和动点P
已知BC：CA=4：3
点P在劣弧AB上运动
过点C作CP的垂线
与PB的延长线交于点Q
当点P运动到什么位置时
CQ取得最大值
并求出此时CQ的长.
[分析]：易证明△ACB∽△PCQ
所以
即CQ=PC. 当PC最大时
CQ最大
而PC是⊙O的动弦
当PC是⊙O的直径时最大.
解：因为AB为
⊙O的直径所以∠ACB=90°
因为PC⊥CQ 所以∠ACB=∠PCQ=90°
又因为∠A=∠P 所以△ACB∽△PCQ
所以所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦最大值为⊙O的直径所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2
弦BC的长为2
点A为弦BC所对优弧上任意一点
(B、C两点除外)
求△ABC面积的最大值.
[分析]：设BC边上的高为h
因为S△ABC=BC h=×2h=h
当h最大时S△ABC最大
当点A在优弧的中点时h最大.
解：当点A为优弧的中点时
作AD⊥BC于D
连接BO 即BD=CD=
在Rt△BDO中
OD2=OB2－BD2=22－()2=1
所以OD=1 所以AD=2+1=3
所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3
即△ABC面积的最大值为3
六、利用周长一定时
圆的面积最大求最值
6．用48米长的篱笆材料
在空地上围成一个绿化场地
现有两种方案：一种是围成正方形的场地
另一种是围成圆形场地
试问选用哪一种方案
围成的场地面积较大？并说明理由.
[分析]：周长一定的几何图形
圆的面积最大.
解：围成圆形场地的面积较大
设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积
则S1=()2=144 S2=π·()2=
因为π＜4 所以＞
所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大
七、利用判别式求最值
7．如图：在半径为1的⊙O中
AB是弦
OM⊥AB
垂足为M
求OM+AB的最大值.
[分析]：可设AM=x
把OM用x的代数式表示出来
构造关于x的一元二次方程
然后利用判别式来求最值.
解：设AM=x
在Rt△OAM中
OM=
所以OM+AB=+2x=a
整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0
因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0
即a2≤5 所以a≤
所以OM+AB的最大值为
八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值
8．如图：海边立有两座灯塔A、B
暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内
∠AOB=80°
为避免触礁
轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 .
[分析]：连接AC
易知∠ACB=∠AOB=40°
又因为∠ACB≥∠P
所以∠P的最大值为40°.
解：如图：连接AC
根据圆周角定理可知
∠ACB=∠AOB=×80°=40°
又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°
所以∠APB的最大值为40°
九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中
与OP垂直的弦最短来求最值
9．如图：⊙O的半径为5cm
点P为⊙O内一点
且OP=3cm
则过点P的弦AB长度的最小值为 cm.
[分析]：过P作AB⊥OP
交⊙O于A、B
则AB的长最小.
解：在Rt△OAP中
AP=
所以AB=2AP=2×4=8
所以AB的最小值为8
十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值
10．如图：点P为⊙O外一点
PQ切⊙O于点Q
⊙O的半径为3cm
切线PQ的长为4cm
则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为
最小值为 .
[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B
则PA的长度最大
PB的长度最小.
解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q
所以OQ⊥PQ
在Rt△PQO中 PQ2+OQ2=OP2
即42+32=OP2 所以OP=5
所以PB=5－3=2 PA=6+2=8
所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm 最小值为2cm.
朱宜新
男
1966年12月生
江苏泗阳人
中学高级教师
主要从事初中奥赛辅导
命题研究
解题方法研究
已发表论文40多篇
参编或主编教辅用书4部
1。