圆中最值的十种求法
圆中最值的十种求法
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圆中最值的十种求法
江苏省泗阳县实验初级中学（223700）朱宜新（135********）在圆中求最值是中考的常见题型
也是中考中的热点、难点问题
有的学生对求最值问题感到束手无策
主要原因就是对求最值的方法了解不多
思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法
归纳如下：
一、利用对称求最值
1．如图：⊙O的半径为2
点A、B、C在⊙O上
OA⊥OB
∠AOC=60°
P是OB上一动点
求PA+PC的最小值.
[分析]：延长AO交⊙O于D
连接CD交⊙O于P
即此时PA+PC最小
且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.
解：延长AO交⊙O于D
连接CD交OB于P
连接PA
过O作OE⊥CD
垂足为E
在△OCD中
因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中
点A的坐标为(－3, －2)
⊙A的半径为1
P为x轴上一动点
PQ切⊙A于点Q
则PQ长度的最小值为 .
[分析]：连接AQ、PA
可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中
PQ=
求PQ的最小值转化为求PA的最小值根据垂线段最短易求PA的最小值为2. 解：连接PA、QA
因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中
PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2)
根据垂线段最短
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2
母线PB的长为6
D为PB的中点
一只蚂蚁从点A出发
沿着圆锥的侧面爬行到点D
则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D
不好求爬行的最小值
要把立体图形展开为平面图形
再利用两点之间线段最短来解决问题.
解：圆锥的侧面展开图如图2
连接AB
根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π
PA=6
因为4π= 所以n=120° 即∠APB=60° 又因为PA=PB
所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3
在Rt△PAD中
AD=
故选C.
四、利用直径是圆中最长的弦求最值
4．如图：半径为2.5的⊙O中
直径AB的两侧有定点C和动点P
已知BC：CA=4：3
点P在劣弧AB上运动
过点C作CP的垂线
与PB的延长线交于点Q
当点P运动到什么位置时
CQ取得最大值
并求出此时CQ的长.
[分析]：易证明△ACB∽△PCQ
所以
即CQ=PC. 当PC最大时
CQ最大
而PC是⊙O的动弦
当PC是⊙O的直径时最大.
解：因为AB为
⊙O的直径所以∠ACB=90°
因为PC⊥CQ 所以∠ACB=∠PCQ=90°
又因为∠A=∠P 所以△ACB∽△PCQ
所以所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦最大值为⊙O的直径所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2
弦BC的长为2
点A为弦BC所对优弧上任意一点
(B、C两点除外)
求△ABC面积的最大值.
[分析]：设BC边上的高为h
因为S△ABC=BC h=×2h=h
当h最大时S△ABC最大
当点A在优弧的中点时h最大.
解：当点A为优弧的中点时
作AD⊥BC于D
连接BO 即BD=CD=
在Rt△BDO中
OD2=OB2－BD2=22－()2=1
所以OD=1 所以AD=2+1=3
所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3
即△ABC面积的最大值为3
六、利用周长一定时
圆的面积最大求最值
6．用48米长的篱笆材料
在空地上围成一个绿化场地
现有两种方案：一种是围成正方形的场地
另一种是围成圆形场地
试问选用哪一种方案
围成的场地面积较大？并说明理由.
[分析]：周长一定的几何图形
圆的面积最大.
解：围成圆形场地的面积较大
设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积
则S1=()2=144 S2=π·()2=
因为π＜4 所以＞
所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大
七、利用判别式求最值
7．如图：在半径为1的⊙O中
AB是弦
OM⊥AB
垂足为M
求OM+AB的最大值.
[分析]：可设AM=x
把OM用x的代数式表示出来
构造关于x的一元二次方程
然后利用判别式来求最值.
解：设AM=x
在Rt△OAM中
OM=
所以OM+AB=+2x=a
整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0
因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0
即a2≤5 所以a≤
所以OM+AB的最大值为
八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值
8．如图：海边立有两座灯塔A、B
暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内
∠AOB=80°
为避免触礁
轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 .
[分析]：连接AC
易知∠ACB=∠AOB=40°
又因为∠ACB≥∠P
所以∠P的最大值为40°.
解：如图：连接AC
根据圆周角定理可知
∠ACB=∠AOB=×80°=40°
又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°
所以∠APB的最大值为40°
九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中
与OP垂直的弦最短来求最值
9．如图：⊙O的半径为5cm
点P为⊙O内一点
且OP=3cm
则过点P的弦AB长度的最小值为 cm.
[分析]：过P作AB⊥OP
交⊙O于A、B
则AB的长最小.
解：在Rt△OAP中
AP=
所以AB=2AP=2×4=8
所以AB的最小值为8
十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值
10．如图：点P为⊙O外一点
PQ切⊙O于点Q
⊙O的半径为3cm
切线PQ的长为4cm
则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为
最小值为 .
[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B
则PA的长度最大
PB的长度最小.
解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q
所以OQ⊥PQ
在Rt△PQO中 PQ2+OQ2=OP2
即42+32=OP2 所以OP=5
所以PB=5－3=2 PA=6+2=8
所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm 最小值为2cm.
朱宜新
男
1966年12月生
江苏泗阳人
中学高级教师
主要从事初中奥赛辅导
命题研究
解题方法研究
已发表论文40多篇
参编或主编教辅用书4部
1
与圆有关的最值问题求解策略
拟写、标准 x x 与圆有关的最值问题的求解策略 江苏省苏州中学 江小娟 圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x+1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直 线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用． 解：如图1，圆心C 到直线y=x+1的距离d = 1r =，故1PQ PC r ≥-= 变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 . 【分析】本题要求QAB S 的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的 最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解：如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则1 1)42 QAB Q Q S AB h = ?===+ 图1 图2 变题2：由直线y=x+1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为
圆中最值问题
B y C x A O D B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设 tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆 弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长 为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C 332 D ．33 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化. 1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是
圆的最值
近年来，中考数学试题中出现与圆有关的最值问题.这类题〖JP3〗目比较灵活，教学中，发现学生往往对这类问题感到无从下手.其实，这类问题是有规可循的．解题时，有两种常见思路：思路一是采用“一析、二求”的方法进行，取最值时图形必处于特殊状态（等腰、垂直、过圆心、相切等），可以先分析出这一状态，然后再就特殊状态下的图形，数形结合地求出最值；思路二是将图形的最值问题化归为函数的最值问题求解.下面分“显圆”和“隐圆”两类问题举例加以说明. 一、显圆最值问题（即圆直接给出） 例1（2012年宁波市中考试题）如图1，△ABC中， ∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为． 分析：连接OE，OF，因为∠BAC=60°，所以圆心角∠EOF=120°，过O点作OH⊥EF于H，则EH EO = 3 2 ，故EF= 3OE.因此要使线段EF最小，只需半径OE最小或直径AD 最小，由“垂线段最短”可知，当AD为△ABC的高时，直径AD最小.此时△ABD是等腰直角三角形，AD= AB 2 =2，
半径OE=1，故EF= 3.即线段EF长度的最小值是 例2（2007年常州市中考试题）如图2，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（） 分析：由AB=10，AC=8，BC=6，可知∠ACB=90°，故线段PQ为直径，故本题其实是求动圆的直径的最小值. 设切点是点E，连结OE、OC，则直径PQ= OE+OC，求PQ的最小值转化为求OE+OC的最小值问题，OE+OC的最小值就是在 △中C点到AB的距离，也就是Rt⊿ABC 斜边上的高CF.以高CF为直径作圆O即可实现 OE+OC=CF，也满足圆O与边AB相切.从而PQ长度的最小值等于6×8÷10=4.8.故选 例3（2013年武汉市四月调考试题）如图3，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下： 一、利用对称求最值 1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值. [分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长. 解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P 连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E 在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30° 在Rt△ODE中 cos30°= 即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2. 二、利用垂线段最短求最值 2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A 于点Q,则PQ长度的最小值为 . [分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。 解:连接PA、QA 因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2 即PQ= 又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。 所以PA的最小值为2 所以PQ的最小值= 三、利用两点之间线段最短求最值 3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( ) A．B．2 C．3 D．3 ［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题. 解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB
圆中的最值问题
拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图 （2） 思考图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 .在直线L上的同侧有两个 点A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可 以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与 直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2， ∴AB=2OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴PQ=22 OP OQ =22． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．
直线与圆中的最值问题
直线与圆 Q?空总**涉艮与酣关幻恳值冋题：可i6?gjι? 质,利用数徘言求解,-??: ω≡?u=τ≡-^式的最竄问题，可蒔比为动直嗾斜率生 (2)SJflr=OX+ ?f?式的最值问题，可轻址为动≡?≡ 的显审冋恿. ^5D?-^ + ?-?bfl?^的晨值问题.可转忆圆b已尼 ff]?R半径&!最苜冋胡. 1直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为A(X1, y I)，B(X2, %),则它的弦长 AB=J1 +k2∣Xι_X2〔=J(1+k2)仪+X2)2—4>?χj =屮 +评，yι _ y2 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为yι一y2 = k(Xl - X2)，运用韦达定理来进行计算. AB = y — Vc 2当直线斜率不存在是，则y1 72 . 三、过两圆G: χ2 + y2 +D i x +E i y +F i = 0和C2: χ2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0的交点的圆系方程，一般设为 2 2 2 2 X +y +D i x +E i y +F i+ λx + y +D2x +E2y+F2) = 0( λ为参数)此方程不包括圆C2. 四、对称问题i和最小，化异侧(两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值) 2差最大，化同侧(两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值) 例题分析 1、如果实数X,V满足等式(X -2)2 V2 =3， (1)求-的最大值和最小值；(2)求V-X的最大值与最小值；(3)求X2y2的最大值与最小值 2、已知两定点A(-3,5)，B(2,15),动点P在直线3x-4V F=O上，当PA+PB取最小值时，这个 最小值为( ).A. 5 13 B. 362 C. 155 D. 5 10' 2 3、已知点A(-3,8)、B(2,2),点P是X轴上的点，求当AP* PB最小时的点P的坐标. 最道冋题. 直线与岡的位置关系有二种：和离、相切F相交” 判 定方法有两种土 ⑴代数?^1?=A JΓ÷B1÷C =0?烁√?i+l)A H-E l÷F= 与圆有关的最值问题 ∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。 变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。 变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况： 设圆心到点A的距离为d， 当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。 当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。 二、圆上点与圆的相离直线的最值问题 例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求 最短距离。 解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。直线OA的斜率为1，对应方程为： y=x。 由得。 ∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。 变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。 小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。 三、过圆内点的最短弦问题 例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率 为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。 变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k 值。 变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线 L的方程。 小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所 在直线为所求直线。 四、利用圆的参数方程求最值 例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。 与圆有关的最值问题 共线且P和Q在点0的同侧（异侧）时，PQ长度最小（大）.（通过定点与圆心连线与圆的交点求出定点到 圆上动点距离之最值）3•过圆内一点的最短弦为过这点且与过该点的直径垂 直的弦；4.通过切切点求有关角度之最值； 5 ;通过弧的中点求弧上动点到弧所对弦距离最 短 例1 （2014?无锡）如图，菱形 ABCD中，/ A=60° AB=3,0 A、O B的半径分别为 2和1, P、E、F分别是边 CD、O A和O B上的动点，贝U PE+PF的最小值是 3 . （固定点P,贝U PE+PF的最小值可转化为 PA+PB-3再结合“饮马问题”确定 PA+PB的最小值） 例2 （2014?成都）如图，在边长为 2的菱形ABCD中，/ A=60° M是AD边的中点，N是 AB边上的一动点，将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ A MN连接A C则A'C长度的最小值是 -1 . （点A'在以M为圆心，MA为半径的圆上） 例3 （2014烟台）在正方形 ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线 DC、CB 上移动. （1）如图①，当点 E自D向C,点F自C向B移动时，连接 AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当E、F分别移动到边 DC、CB的延长线上时，连接 AE和DF , （ 1）中的结论还成立吗？（请你直接回答是”或否”，不需证明） （3）如图③，当E、F分别在边CD、BC的延长线上移动时，连接 AE和DF , （ 1）中的结论还成立吗？请说明理由； （4）如图④，当E、F分别在边DC、CB上移动时，连接 AE和DF交于点P,由于点E, F的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图•若 AD=2，试求出线段 CP的最小值. 教学内容圆中的最值问题 教学目标掌握求线段最值的方法 重点线段最值问题 难点线段最值问题 教学过程 1、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， E为圆O上一点．若圆O的半径为4，且AB=7，求DE的最大值 2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0）， 点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接 OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．AC，BC，当点C在⊙O上运动时，求出△ABC的面积的最大值． B A C M D D O P C B A 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 . 4．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； 5.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 . 6.如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（） A．3 B．6 C．D． D 7.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（） A．90°B．60°C．45°D．30° 8.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是多少 例析圆中最值问题 一、常见的最值模型 1．两点之间线段最短； 2．垂线段最短； 3．将军饮马； 4．圆最值模型： （1）圆内一点P与圆上任意一点所连线段长度的最值：过P、O作直径AB，则P A的长度为最短距离，PB的长度为最长距离（如图1所示）。 B 图1 图2 图3 （2）圆外一点与圆上任意一点所连线段长度的最值：过P、O作直线与⊙O交于A、B，则P A的长度为最短距离，PB的长度为最长距离（如图2所示）。 （3）结过圆内一点的弦的最值：如图3，P为⊙O内一点，过P作分别AB⊥OP和直径CD，则经过P的最短弦长为AB的长，最长弦长为直径CD的长。 1、建立函数关系求最值。 下面，我们通过具体的实例的解析来说明如何通过条件转化为最值模型来求圆中线段的最值。 二、将圆中两线段之和最小的问题转化为“将军饮马”问题 题目：（2019•安徽一模）已知⊙O的直径CD为2，⌒ AC的中点， AC的度数为80°，点B是⌒ 点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（） 解析：这是直线上一动点到直线同侧两点距离之和最小的问题，属“将军饮马”问题。方法：作BB’⊥CD交⊙O于B’，连接B’A与CD的交点即为符合要求的P点，于是有BP+AP ABB'的度数为120°，因此可作直径AE，连接B’E，的最小值即为线段B’A的长。结合条件可知⌒ 三、将圆中线段最小问题转化为“垂线段最短”的问题 题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与 ） CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ 解析：设PQ的中点为O，⊙O与AB相切于点D，连接CD、CO、CD。显然CO+OD=PQ，由三角形三边关系知，CO+OD>CD，只有当O在CD上时，CO+OD才有最小值CD的长。由点到直线的距离垂线段最短可知，当C D⊥AB时，CD的值最小，由面积法可求得此时CD的值为4.8。选B。 四、借助“直线与圆相切”找最长线段和最短线段 题目：如图，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1,0），半径为1。若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（） 解析：由于OA的长为定值，要使△ABE面积的最小，只要BE的长最短，此时AD与⊙C相切（如图所示）。连接CD,在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AD的长，进而求得△ADC的 拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型建立 常有模型 图（1）图（2） 思虑图(1)两点之间线段最短;。在直线L上的同侧有两个点 图(2)垂线段最短。A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在,能够 经过轴对称来确立，即作出其 中一点对于直线L的对称 点,对称点与另一点的连线与直 线L的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练 研究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图,A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三平分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A对于MN的对称点A′，连结A′B，交MN于点P，连结OA′，AA′． ∵点A与A′对于MN对称，点A是半圆上的一个三平分点, ∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短,∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决本题的重点是确立点P的地点．依据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两 条线段的和转变为一条线段，即可计算。 研究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图,在Rt △AOB 中,OA=OB=32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点）,求切线PQ 的最小值 解：连结OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；依据勾股定理知 PQ 2=OP 2—OQ 2, ∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短,∵在Rt △AOB 中，OA=OB=3 2 ， ∴AB=2OA=6,∴OP= OA?OB =3,∴PQ=OP 2OQ 2=2 2． AB 【变式训练】如图,在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O,P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴订交于点A ，与y 轴订交于点B ．求线段 AB 的最小值． 解:（1)线段AB 长度的最小值为4，原因以下： 连结OP ， ∵ AB 切⊙O 于P ，∴OP ⊥AB ， 取AB 的中点C, ∴ AB=2OC ； 当OC=OP 时，OC 最短，即AB 最短, 此时AB=4． 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22 (3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值 的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最 小值为 例5已知圆C：22 +24 x y += （），过点(1,0) A-做两条互相垂直的直线 12 l l 、， 1 l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点， （1）EF+GH的最大值．(2) 求四边形EGFH面积的最大值． 6、已知e C过点)1,1(P,且与e M:222 (2)(2)(0) x y r r +++=>关于直线20 x y ++= 对称. (Ⅰ)求e C的方程； (Ⅱ)设Q为e C上的一个动点,求PQ MQ ⋅ u u u r u u u u r 的最小值； (Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与e C相交于B A,,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD中，3,1 AB BC ==，以A为圆 心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分 矩形ABCD的面积； （Ⅱ）若动圆M与满足题（Ⅰ）的切线l及边DC都相切， 试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆． l P E C M 拔高专题 圆中的最值问题 图(1) 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。 解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图，在Rt △AOB 中，，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），求切线PQ 的最小值 解：连接OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2， ∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=3 ， ∴OA=6，∴OP= •OA OB AB =3，∴． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．求线段AB 的最小值． 解：（1）线段AB 长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP ， ∵AB 切⊙O 于P ， ∴OP ⊥AB ， 取AB 的中点C ， ∴AB=2OC ； 当OC=OP 时，OC 最短， 即AB 最短， 此时AB=4． 圆的最值问题 一圆心到定直线的距离的最值问题 例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________. 变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。 二圆上动点到定直线的距离的最值问题 例2 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。 变式：已知P 是圆122=+y x 上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。 三圆的切线长最值问题 例3 从点P(m,3)向圆C: ()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。 变式：由直线 2+=x y 上的点向圆()()12y 42 2=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。 四与圆的弦长有关的最值问题 例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积为_______________。 变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x ，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。 五圆中“斜率”最值问题 例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。 变式：如果实数x,y 满足等式 (),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________。 圆中最值问题的求解方法 有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法． 一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 例1 （2012 宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC 上的一个动点，以AD为直径画⊙O 分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_________________ ． 分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短． 解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H． ∵在Rt△ADB中， ∠ABC＝45°，AB＝2， ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2． 由圆周角定理，可知 ∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中， EH＝OE·sin ∠EOH ＝13 3． 1 2 2． 由垂径定理，可知EF＝2EH＝3 点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆． 二、两点之间线段最短 例2 （2014 三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是C?D CD 上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是__________________________________________ ． 分析如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，即AP2是AP的最小值．再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉 半径即可． 解如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2 ，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE， ∵AE 22 12 5 ，P2E＝1． ∴AP2 5 1． 圆的最值问题类型归纳 与圆相关的最值问题 在高中数学中，圆是最常见的一种曲线。研究圆的相关问题时，最值问题是一个重点和热点，本文将总结常见的与圆相关的最值问题，希望能给读者一些启发。 类型一：“圆上一点到直线距离的最值”问题 对于求圆上一点到直线距离的最值问题，我们总是将其转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。 1.求圆C: (x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线x-y+2=0的最大、最小距离。 2.求圆C: (x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值。 3.圆x²+y²=2上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为多少？ 类型二：“圆上一点到定点距离的最值”问题 本质上，这是一个两点间距离的问题。对于与圆相关的两点的距离，我们总是将其转化为圆心与定点距离问题来解决。 1.已知点P(x,y)是圆x²+y²-2x-4y+4上的一点，求P到原点的最大最小距离。 2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45及点Q(-2,3)，若M是圆C 上任一点，求MQ的最大值和最小值。 3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²的范围。 4.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求(x+2)²+(y+2)²的范围。 5.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²+2x+2y的范围。 6.已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=1，点A(-1，-2)，B(1，-2)，点P 为圆上的一动点，求d=PA+PB的最大值和最小值及对应的P 点坐标。 类型三：“过定点的弦长”问题 1.已知直线l:2mx-y-8m-3和圆C:x²+y²-6x+12y+20，(1)当m∈R时，证明l与C总相交。(2)当m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长。 2.已知C:(x-1)²+(y-2)²=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m- 4=0(m∈R)。(1)求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点。(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程。 类型四：“切线长”问题 对于切线长问题，我们总是将其转化为圆心到直线距离问题。 1.在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x+y-4x=0引得的切线长长度最小。 3.一束光线从点A(-1,1)出发，经过x轴反射到圆C：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 1，求最短路程。与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题
九上圆中线段最值问题 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
例析圆中最值问题
圆中的最值问题
圆最值问题题型归纳
圆中的最值问题
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆中最值问题的求解方法
圆的最值问题类型归纳