【备战2020】(北师大版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理

专题14 推理与证明、新定义
1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路
口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车,,A B C 123,,x x x A
A A ,,A
B B
C CA 辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
20，30；35，30；55，50 （ ）（A ）123x x x >>（B ）132x x x >>（C ）231x x x >>（D ）321x x x >>【答案】C
2. 【2009高考北京理第8题】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两P :1l y x =-P 2
y x =,A B 点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）|||PA AB =P A ．直线上的所有点都是“点”l B ．直线上仅有有限个点是“点”l C ．直线上的所有点都不是“
点”
l
D ．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
l 【答案】A
考点：创新题型.
3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【答案】B
考点：合情推理，中等题.
4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式.
n n n n n a x a x
a x a x P ++++=--11
10)( 如果在一种算法中，计算的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运),,4,3,2(0n k x k
=算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.【答案】
1
(3)22
n n n +
考点：信息题。

5. 【2007高考北京理第20题】（本小题共13分）已知集合，其中
{}12(2)k A a a a k =≥
，，，，由中的元素构成两个相应的集合：，(12)i a i k ∈=Z ，，，A {
}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，
．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，()a b ，S T m ．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．n a A ∈a A -∉A P （I ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
{}0123，，，{}123-，，P P S T （II ）对任何具有性质的集合，证明：；P A (1)
2
k k n -≤
（III ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
m n
6. 【2008高考北京理第20题】（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列
12n A a a a
：，，，1T 1T A ．
1()T A ：12111n n a a a --- ，，，，对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去
12m B b b b ：，，，2T 2T B 掉所有为零的项，得到数列；
2()T B 又定义．
2
2
2
1212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++ 设是每项均为正整数的有穷数列，令．0A 121(())(012)k k A T T A k +== ，，，（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
0A 12A A ，（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
A 1(())()S T A S A =（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，
0A K k K ≥．
1()()k k S A S A +=
7. 【2010高考北京理第20题】(13分)已知集合S n ＝{X |X ＝(x 1，x 2，…，x n )，x i ∈{0,1}，
i ＝1,2，…，n }(n ≥2)．对于A ＝(a 1，a 2，…，a n )，B ＝(b 1，b 2，…，b n )∈S n ，定义A 与B 的差为A －B ＝(|a 1－b 1|，|a 2－b 2|，…，|a n －b n |)；A 与B 之间的距离为d (A ，B )＝
1
n
i i
i a b
=-∑(1)证明：
A ，
B ，
C ∈S n ，有A －B ∈S n ，且d (A －C ，B －C )＝d (A ，B )；
(2)证明：
A ，
B ，
C ∈S n ，d (A ，B )，d (A ，C )，d (B ，C )三个数中至少有一个是偶数；
(3)设P
S n ，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为 (P )，证明：
d .
()2(1)
mn
d P m ≤
-
8. 【2011高考北京理第20题】若数列：，，…，满足
n A 1a 2a (2)n a n ≥（，2，…，）
，则称为E 数列。

记.（1）写出一个满1||1k k a a +-=k =11n -n A 12()n n S A a a a =+++ 足，且的E 数列；（2）若，，证明：E 数列是递增数列的150a a ==5()0S A >5A 112a =2000n =n A 充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E 数列，使得
2011n a =(2)n n ≥n A ？如果存在，写出一个满足条件的E 数列；如果不存在，说明理由。

()0n S A =n A
9. 【2012高考北京理第20题】（本小题共13分）
设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记
(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1i m ……），
()j c A 为A 的第j 列各数之和（1j n ……）
；记()k A 为1()r A ，2()r A ，…，()m r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中的最小值.
（1）对如下数表A ，求()k A 的值；
1 1 0.8- 0.1
0.3
- 1
-（2）设数表()2,3A S ∈形如
1
1
c
求()k A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值
. a b 1
-
10. 【2014高考北京理第20题】（本小题满分13分）
对于数对序列，记，
1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b 111()T P a b =+，其中表示112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++≤≤ 112{(),}k k Max T P a a a -+++
和两个数中最大的数.
1()k T P -12k a a a +++ （1）对于数对序列，求的值；
:(2,5),(4,1)P 12(),()T P T P （2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列
m a b c d (,),(,)a b c d 和，试分别对和两种情况比较和的大小；
:(,),(,)P a b c d :(,),(,)P c d a b 'm a =m d =2()T P 2()T P '（3）在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)P 最小，并写出的值.(只需写出结论).
5()T P 5()T P
考点：新定义题型.
11. 【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.
12. 【2015高考北京，理20】已知数列满足：，，且{}n a *1a ∈N 136a ≤121823618
n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，．()12n =，，
…记集合．
{}
*|n M a n =∈N （Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
16a =M （Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
M M （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
M 【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8{6,12,24}M
=
考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。