与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

圆专题：与圆有关的最值问题

一、圆上的点到定点的距离最值问题

一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为

则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.

二、圆上的点到直线的距离最值问题

已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于

三、切线长度最值问题

1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．

已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.

C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N

PC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C

N C l l PM l

C

P

M

四、过圆内定点的弦长最值

已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如a

x b

y y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题；

2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题；

3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题

题型一 圆上的点到定点的距离最值

【例1】若点M 在曲线22

64120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值

范围是______．

【答案】13131⎡⎤⎣⎦

【解析】曲线22

64120x y x y +--+=，即()()22

321x y -+-=，

C P P MN

表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC +

因为点M 在曲线22

64120x y x y +--+=上，

所以OC r OM OC r -≤≤+，

131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦

【变式1-1】在圆()()2

2

232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．

【答案】()32-，

【解析】()()2

2

025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外

∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，

在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，

由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()2

2

222x x -+-=，3x ∴=或1x =

∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.

【变式1-2】已知圆C ：22

2x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离

为（ ）

A ．1

B ．2

C 2

D 32 【答案】C

【解析】由圆C ：22

2x y +=，得圆()0,0C ，半径r 2，

所以

()2

223269AC m m m m =+--+()2

323

922

2m -+ 所以点A 到圆C 322

2.故选：C.

【变式1-3】已知点()2,0A -，()2,0B ，()4,3C ，动点P 满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为（ ）

A ．[]2,5

B ．[]2,8

C ．[]3,7

D ．[]4,6 【答案】C

【解析】由题设，P 在以||AB 为直径的圆上，令(,)P x y ，则22

4x y +=(P 不与,A B 重

合)，

所以PC 的取值范围，即为()4,3C 到圆22

4x y +=上点的距离范围，

又圆心(0,0)到C 的距离22(40)(30)5d -+-，圆的半径为2， 所以PC 的取值范围为[,]d r d r -+，即[]3,7.故选：C

【变式1-4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆223)7)1:((C x y -+=上的动点，则

22||||AP BP +的最小值为

A ．9

B ．14

C ．26

D ．28 【答案】C

【解析】设O 为坐标原点，设(,)P x y ，圆C 圆心为7)C ，

则()222222222

||||(2)(2)282|8|AP BP x y x y x y PO +=+++-+=++=+， 又222

min ||(||)(41)9PO OC r =-=-=，所以()22min ||||18826AP BP +=+=，故

选：C.

【变式1-5】已知直线l 与圆22

:9O x y +=交于A ，B 两点，点()4,0P 满足PA PB ⊥，

若AB 的中点为M ，则OM 的最大值为（ ） A ．222+

B ．3

2 C ．322 D ．322【答案】A

【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，

又2

21

19x y +=，2

2

229x y +=，则

222212121212

112222(()2)182x y x y x x x x y y y y +--++=+=++，

所以22122

1229x y y x x y -=++，

又PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，而11(4,)PA x y =-，22(4,)PB x y =-， 所以1212124()160x x x x y y -++=+，即1212816x x x y y -=+，