圆上一点到直线距离的最大值
圆到直线的最大值和最小值的距离
圆到直线的最大值和最小值的距离1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最大值为d+r3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r4.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值为(d为圆心到直线的距离)(1)证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最大为d+r画一图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆于Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d+r（d为圆心O到直线l距离即OM2长）再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直线l距离为PM1长连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠PoPM1为钝角；过P做PoM2的垂线垂足为M，（由于∠PPoM2为锐角所以点M在线段PM2上）可知PMM2M1为矩形，PM1=MM2<PoM2即PoM2=d+r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值(2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最小=d-r我们同样画一张图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆与Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d-r即PoM2长（d为圆心O到直线l距离即OM2长）再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直线l距离为PM1长连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠NPM1为钝角过Po做PM1的垂线垂足为M，（由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上）可知PoMM1M2为矩形，PM1>MM2=PoM2即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值。
圆上的点到直线的最大值和最小值证明
圆上的点到直线的最大值和最小值证明在几何的世界里，我们常常会遇到一个有趣的问题，就是圆上的点到直线的最大值和最小值。
说白了，就是想知道，圆上的一个点到某条直线最远和最近的距离有多远。
听起来有点复杂，但其实想清楚了也不难。
来，我们一步步搞清楚，咱们的思维要灵活一点，别被那些公式吓到了。
要知道，圆上的点其实可以说是从圆心到圆上任意一个点的距离。
这个距离就是圆的半径。
假设我们有一个圆，圆心叫做O，半径是r。
然后有一条直线，我们叫它L，这条直线可以与圆相交，也可以完全不相交。
这个问题的关键就是：这条直线和圆心的关系到底怎样。
如果你仔细想想，就会发现，如果这条直线离圆心非常近，那圆上的点和这条直线的距离就比较小；如果这条直线离圆心比较远，圆上的点和直线的距离自然就比较大。
这个道理其实挺简单，跟咱们日常的距离感一样。
就像你站在一个大圈子中间，如果你站得越近，伸出去的手碰到的物体自然就更近；站得越远，手碰到的物体当然也就更远。
咱们要说的最大值和最小值就和这距离关系密切相关。
让我们从最小值说起。
圆上的点到直线的最小值，实际上就是圆心到直线的垂直距离。
如果这条直线正好和圆心相距最短，那这个距离就是最小的。
想象一下，你把一根直尺垂直地放到圆心上，它与圆的交点就给了你最小的那个距离。
怎么理解呢？嗯，就像你站在一个池塘边，最短的路就是直接走过去，而不是绕着池塘转一圈。
说完最小值，我们再来谈谈最大值。
圆上的点到直线的最大值，肯定是圆上最远的点到直线的距离了。
你可以把它想象成是站在圆心的对面，然后把这条直线和你站的位置连成一条线。
这个时候，圆上那个最远的点到直线的距离，就是圆心到直线的距离加上圆的半径。
它就像你站在某个大圈的边缘，背对着最近的那条直线，这时候你跟直线的距离最大。
说白了，最大值就像你站在圆的最远一端，伸手去摸直线，那个时候的手臂就最远了。
有趣的是，这个问题背后其实隐藏着很多我们日常生活中的小窍门。
比如说，当你站在一个圆圈的边缘，伸手去碰某个物体，最短和最远的距离不就是你最关心的事吗？所以这个问题，虽然听起来数学很高深，但仔细一想，和生活中的很多感知是一样的。
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
第二章 习题课 与圆有关的最值问题
习题课 与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r .4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2.例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －34解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2.因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4|5＝3，切线长的最小值为d 2－R 2＝9－4＝ 5.反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．0 答案 B解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝(m －1)2＋9，即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2.∴最短弦长为2 2.二、与面积相关的最值问题例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小， 则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1， 则△OAM 的面积最小值S ＝12×|OA |×d ＝1.反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．跟踪训练2 (1)直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )A ．1 B.12 C.24 D.34答案 B解析 设圆心到直线的距离为d (0<d <1)， 则所截得的弦长l ＝21－d 2，所以S △ABO ＝12·21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2，由基本不等式，可得S △ABO ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当d ＝22时，等号成立． (2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________. 答案 2解析 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r |PB |min ＝12|PB |min ，则|PB |min ＝2， 因为|PB |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1，所以当|PC |取最小值时，|PB |最小． 又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，|PC |最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离， 所以|1＋4|k 2＋1＝22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)yx表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|P 1E |＝|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|P 2E |＝|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.反思感悟 (1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．跟踪训练3 (多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A ．y －x 的最大值为6－2 B ．x 2＋y 2的最大值为7＋4 3 C.y x 的最大值为32D ．x ＋y 的最大值为2＋ 3 答案 AB解析 对于A ，设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|2＋z |2≤3，解得－6－2≤z ≤6－2，所以y －x 的最大值为6－2，故A 说法正确；对于B ，x 2＋y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋3，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，故B 说法正确；对于C ，设yx ＝k ，把y ＝kx 代入圆方程得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k 2)≥0，解得－3≤k ≤3，yx的最大值为3，故C 说法错误；对于D ，设m ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋m ，m 表示直线y ＝－x ＋m 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|－2＋m |2≤3，解得－6＋2≤m ≤6＋2，所以x ＋y 的最大值为6＋2，故D 说法错误．1．知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题． 2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．1．圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]答案 A解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2， 圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝|0－0＋25|42＋(－3)2＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．2．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．4 答案 B解析 根据题意，圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，其圆心C (4,3)，半径r ＝2，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |＝|PC |2－4，当|PC |最小时，|PQ |最小，又由点P 在单位圆上，则|PC |的最小值为|OC |－1＝9＋16－1＝4，则|PQ |的最小值为16－4＝2 3.3．点M (x ，y )在圆x 2＋(y －2)2＝1上运动，则yx 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B. (－∞，－3]C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)D. [－3，3] 答案 C解析 将yx看作圆上动点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，如图，可得k ≥3或k ≤－ 3.4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为_________． 答案 4 5解析 因为C 1(－2,2)，r 1＝22，C 2(2,0)，r 2＝4， 所以|C 1C 2|＝(－2－2)2＋22＝25，当PC 2⊥C 1C 2时，△PC 1C 2的面积最大，其最大值为12×25×4＝4 5.课时对点练1．已知过点(1,1)的直线l 与圆x 2＋y 2－4x ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 将圆的方程x 2＋y 2－4x ＝0化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 则圆心为(2,0)，半径r ＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2， |AB |的最小值为222－(2)2＝2 2.2．已知点P 是直线3x ＋4y ＋5＝0上的动点，点Q 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝4上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.195 B.95 C.59 D.295 答案 B解析 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2， 则圆心到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离为|6＋8＋5|5＝195，所以|PQ |的最小值为195－2＝95.3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －1＝0，则y －2x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－9,1 B ．－10,1 C ．－9,2 D ．－10,2答案 A解析 y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切时，b 取得最大值或最小值，此时|2×2＋b |1＋22＝5，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3 C．1 D．3答案 A解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()A.55 B.15 C.1215 D.1155答案 B解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为15.6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为3时，r的值为()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 D解析如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．由题意得|PC|min＝d＝|3×(－1)＋4×0－7|32＋42＝2，所以(3)2＝22－r2，∴r＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 ∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1)2＝2，∴半径最大为2，∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则m 的最小值为________． 答案 3解析 根据题意，点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)， 则AB 的中点为(0,0)，|AB |＝2m ，则以AB 的中点为圆心，半径r ＝12×|AB |的圆为x 2＋y 2＝m 2，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则圆C 与圆O 有交点，必有|m －2|≤|OC |≤m ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧|m －2|≤5，m ＋2≥5，又由m >0， 解得3≤m ≤7， 即m 的最小值为3.9．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C 的方程x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22，又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3.(1)求圆的方程．(2)P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．解 (1)圆与x ，y 轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心C 到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式，得d ＝|3a ＋4a ＋1|32＋42＝3， 解得a ＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，∴|PE|2min＝32－4＝5，即|PE|min＝5，∴S△PCE＝12|EC|·|PE|＝12×2×5＝5，∴四边形PECF面积的最小值为2 5.11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4 C．3 D．2答案 B解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5 B．10 C．15 D．20答案 A解析如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.13．已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，点B 的坐标为(0,2)，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，则|PB |＋|PQ |的最小值为________．答案 2 5解析 由于点B (0,2)关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－R ＝35－5＝25，所以|PB |＋|PQ |的最小值为2 5.14．已知实数x ，y 满足方程y ＝－x 2＋4x －1，则y x的取值范围是________． 答案 [0，3]解析 方程y ＝－x 2＋4x －1化为(x －2)2＋y 2＝3(y ≥0)，表示的图形是一个半圆，令y x＝k ，即y ＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时，k ＝3，所以y x的取值范围是[0，3]．15．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为________． 答案 30解析 把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心M (1，－1)，半径r ＝ 3.直线l 与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d ＝|1－(－1)－1|12＋(－1)2＝22，由勾股定理得半弦长＝3－⎝⎛⎭⎫222＝102，所以弦长|AC |＝2×102＝10. 又B ，D 两点在圆上，并且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋12|AC |×|DE |＝12|AC |×|BD |＝12×10×23＝30. 16．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知N (2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．①求证：1x 1＋1x 2为定值； ②求|PN |2＋|QN |2的最大值．(1)解 由圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65，设C (a ，0)，直线l ：4x ＋3y －6＝0的斜率为－43， 则k CM ＝6535－a ， 所以6535－a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1， 所以a ＝－1，所以C (－1,0)，|CM |＝⎝⎛⎭⎫－1－352＋⎝⎛⎭⎫652＝2， 即r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)①证明 设直线l 1：y ＝kx (k >0)，与圆联立方程组可得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0，Δ＝4＋12(1＋k 2)>0，x 1＋x 2＝－21＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2， 则 1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23为定值．②解 |PN |2＋|QN |2＝(x 1－2)2＋(y 1－1)2＋(x 2－2)2＋(y 2－1)2＝(x 1－2)2＋(kx 1－1)2＋(x 2－2)2＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)(x 1＋x 2)2－2(1＋k 2)x 1x 2－(4＋2k )(x 1＋x 2)＋10＝12＋4k 1＋k 2＋16， 令t ＝3＋k (t >3)，则k ＝t －3，所以12＋4k 1＋k 2＋16＝4t 1＋(t －3)2＋16＝4t ＋10t－6＋16≤4210－6＋16＝210＋22， 当且仅当t ＝10t，即t ＝10时，取等号，此时k ＝10－3， 所以|PN |2＋|QN |2的最大值为210＋22.。
圆上的点到直线的最大值证明
圆上的点到直线的最大值证明圆上的点到直线的最大值证明介绍：在数学中，我们经常会遇到求解点到直线的距离问题。
而当点位于圆上时，我们需要求解的是圆上的点到直线的最大距离。
这个问题在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将从以下几个方面来探讨圆上的点到直线的最大值证明：1. 圆与直线之间的关系2. 圆上任意两点连线与切线垂直3. 圆上某一点到直线距离公式4. 圆上的点到直线的最大值证明一、圆与直线之间的关系在研究圆上的点到直线距离时，首先需要了解圆与直线之间的关系。
我们知道，一个平面内只有三种可能存在位置关系：相离、相交和相切。
当圆与直线没有交点时，它们是相离关系；当它们有一个交点时，它们是相交关系；当它们有且仅有一个公共切点时，它们是相切关系。
二、圆上任意两点连线与切线垂直接下来，我们需要了解一个重要的几何定理：圆上任意两点连线与切线垂直。
证明如下：假设圆上有两点A、B，以及一条切线CD。
连接AB，交CD于E。
则由切线定理可知，AE=EB。
又因为AE=EB，所以△AEB是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可知，AE与BE的中垂线FE必定与AB垂直。
而FE就是切线CD所在直线的中垂线，因此CD与AB垂直。
三、圆上某一点到直线距离公式在证明圆上的点到直线的最大值时，我们需要用到圆上某一点到直线距离公式。
假设有一个圆C(x0,y0)和一条直线L(ax+by+c=0)，其中P(x1,y1)是圆C上任意一点，则P到L的距离为：d = |ax1 + by1 + c| / √(a² + b²)四、圆上的点到直线的最大值证明现在我们来证明一个重要定理：对于给定圆C(x0,y0)和一条过该圆心O(x0,y0)的直线L(ax+by+c=0)，该圆上距离该直线最远的点为A(x1,y1)，其中OA垂直于直线L。
证明如下：假设圆C(x0,y0)与直线L(ax+by+c=0)相交于点B(x2,y2)，且AB为圆上最长的弦。
2023北京重点校高二(上)期末数学汇编：直线与圆、圆与圆的位置关系
2023北京重点校高二（上）期末数学汇编直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题 1．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +−=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论： ①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3)④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知圆22:(7)(1)2C x y −+−=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a −>，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知圆C ：22240x y y +−−=，直线l ：360x y +−=，则直线l 被圆C 所截得的弦长为（ ）A B C ．5 D ．104．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知圆22310x y x my +−++=关于y x =对称，则实数m 等于（ ）A ．32−B ．3−C ．3D ．325．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知半径为2的圆经过点()1,1，其圆心到直线34130x y ++=的距离的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．66．（2023秋·北京西城·高二统考期末）若直线340x y m ++=与圆22(1)1x y ++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),82,∞∞−−⋃+B ．()(),28,∞∞−−⋃+C ．()(),22,∞∞−−⋃+D ．()(),88,∞∞−−⋃+7．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆22:1M x y +=和((()222:0N x y m m −+−=>存在公共点，则m 的值不可能为（ ）A．3B ．C ．5D ．8．（2023秋·北京通州·高二统考期末）已知圆()()222(0)23x y r r −+>+=与y 轴相切，则r =（ ）AB C ．2 D ．39．（2023秋·北京房山·高二统考期末）过定点()3,1P 作圆22(1)1x y −+=的切线．则切线的方程为（ ） A ．4390x y −−= B ．4330x y −−= C ．4390x y −−=或1y =D ．4330x y −−=或1y =10．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）已知M 是圆22(1)1x y −+=上的动点，则M 到直线1()y kx k =+∈R 距离的最大值为（ ）A ．2B 1C ．3D ．111．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）已知A ，B （异于坐标原点）是圆22(2)(1)5x y −+−=与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使得MAB △为钝角三角形的是（ ）A ．(0,0)MB ．4,2M ⎛ ⎝⎭C ．(2,1MD ．(1M12．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若圆2221:O x y r +=与圆()222:29O x y −+=相内切，则r 为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1或513．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知圆1C 的方程是222210x y x y +−++=，圆2C 的方程是22(2)(3)16x y ++−=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含14．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线10l kx y k −+−=：和圆C ：2240x y x +−=，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定15．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +−+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ）A ．43−B ．54−C ．35 D ．53−16．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）已知⊙M ：222220x y x y +−−−=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y −−=B ．210x y +−=C ．210x y −+=D ．210x y ++=二、填空题17．（2023秋·北京密云·高二统考期末）圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是______.18．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）写出过点()2,3A 且与圆()2211x y −+=相切的一条．．直线的方程________．19．（2023秋·北京·高二校考期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：()2222220x y x y x y +=++≠就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称；②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 围成的图形的面积是44π+； ④曲线C 上的任意两点间的距离不超过4；⑤若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则6m n +−的最小值是2. 其中正确的结论序号是_________.20．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知圆22:(1)(1)4C x y −++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为k =____________．21．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）若圆221:1C x y +=和圆()()222:34(0)−+−=>C x y r r 外切，则r =______.22．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知点(2,0)P 和圆22:36O x y +=上两个不同的点M ，N ，满足90MPN ∠=︒，Q 是弦MN 的中点， 给出下列四个结论： ①||MP 的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点(5,3)A ，点(5,5)B ，则存在点Q ，使得90AQB ∠=︒；④△MPN 面积的最大值是 其中所有正确结论的序号是________．23．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y −+−=的弦，其中最短的弦长为__________. 三、解答题24．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知圆C 的圆心在直线30x y −=上，且经过点(1,3),(1,5)A B −．(1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程．25．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知圆221:(1)(2)9C x y −+−=，圆222:4440C x y x y ++++=，直线:30l x y −−=.(1)求圆心1C 到直线l 的距离；(2)已知直线l 与圆1C 交于M ，N 两点，求弦MN 的长； (3)判断圆1C 与圆2C 的位置关系.26．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知OAB 的三个顶点分别是()0,0O ，()2,0A ，()4,2B ． (1)求OAB 的外接圆C 的方程；(2)求直线:4380l x y +−=被圆C 截得的弦的长．27．（2023秋·北京东城·高二统考期末）已知圆22:2440C x y x y +−+−=，圆()()221:314C x y −+−=及点()3,1P .(1)判断圆C 和圆1C 的位置关系； (2)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.28．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）已知直线l ：240x y −+=与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．(1)求r 的值；(2)若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求弦长||AB ．29．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线2y x =−上，且与直线10x y +−=相切于点()2,1P −. (1)求圆M 的方程；(2)若定点()3,0A ，点B 在圆上，求AB 的最小值.30．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）已知点(0,1)A 和点()2,3B 是圆C 直径的两个端点． (1)求线段AB 的中点坐标和圆C 的方程； (2)过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．参考答案1．B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =−，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =−， ||AP =||AP对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r所以||2PO ====， 设点00(,)P x y ，则004y x =−，所以||PO 2=，化简得200460x x −+=，该方程的判别式16240∆=−<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP =≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确；对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =−， 当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=， 又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA ,所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30|OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x −=化简得20(2)0x −=，解得02x =，所以0042y x =−=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =−，00(,4)P x x −，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x −，半径为||2PO所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y −+−−+−=， 化简得2200(4)0x y x x x y +−−−=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+−−−=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +−=， 所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +−=， 将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立， 故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个， 故选：B. 2．C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=， 所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a =因为圆C 的圆心为()7,1C ，半径为R ，所以r R OC r R −≤=+，即r R r R −≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤所以，a 的最大值为故选：C 3．A【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径,再结合半径,弦长和圆心到直线距离的关系式,计算即可.【详解】已知圆C ：22240x y y +−−=,所以圆心()0,1C ,半径为r =圆心()0,1C 到直线l ：360x y +−=的距离d =所以直线l 被圆C 所截得的弦长为==故选:A . 4．B【分析】把圆关于直线对称转化为直线过圆心,点代入直线计算即可. 【详解】因为圆22310x y x my +−++=关于y x =对称,所以直线y x =过圆22310x y x my +−++=的圆心3,22m ⎛⎫− ⎪⎝⎭即得322m=−,解得3m =−，经检验，3m =−满足题意， 故选:B . 5．C【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解. 【详解】半径为2的圆经过点(1,1)，设圆心坐标为(,)a b ，则22(1)(1)4a b −+−= 所以该圆的圆心的轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34130x y ++=的距离的最小值为点(1,1)到直线的距离减半径，即202225−=−= 故选：C . 6．B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解. 【详解】因为直线与圆相离，所以圆心(1,0)−到直线340x y m ++=的距离1d r >=，解得2m <−或8m >， 故选:B. 7．D【分析】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为圆22:1M x y +=和((()222:0N x y m m −+−=>存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，即1111141m MN m m m m m −≤≤+⇒−+⇒−≤≤+， 解得35m ≤≤，选项ABC 满足，m 的值不能为D. 故选：D 8．C【分析】利用圆心23−（，）到直线0x =的距离等于半径求解即可. 【详解】因为圆()()22223x y r −++=与y 轴相切， 所以圆心23−（，）到直线0x =的距离等于半径,r 即2r =， 故选：C. 9．C【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，【详解】依题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为()13y k x −=−，即130kx y k −+−=， 圆22(1)1x y −+=的圆心为()1,0，半径为1，1=，解得0k =或43k =， 所以切线方程为1y =或41403x y −+−=，即1y =或4390x y −−=. 故选：C10．B【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据1()y kx k =+∈R 恒过的定点()0,1C ，过圆心1,0A 作直线1()y kx k =+∈R 的垂线，垂足为B ，得知点B 的轨迹为以AC 为直径的圆，则max max 11d AB =+=求解.【详解】设圆()2211x y −+=的圆心为1,0A ，点M 到直线1()y kx k =+∈R 的距离为d ，过点A 作直线1()y kx k =+∈R 的垂线，垂足为B ，则点A 到直线1()y kx k =+∈R 的距离为AB ，所以max max 1d AB =+，又因为直线1()y kx k =+∈R 恒过定点()0,1C ，则垂足B 的轨迹为以AC 为直径的圆，则max AB AC ===max max 11d AB =+ 故选：B 11．D【分析】先求出直线AB 的方程，确定弦AB 为该圆的直径，再判断A ，B ，C ，D 各选项中的点M 与圆的位置关系，即可确定MAB △的形状，从而得解．【详解】由A ，B （异于坐标原点）是圆22(2)(1)5x y −+−=与坐标轴的两个交点， 不妨得(0,2)A ，(4,0)B ，则直线AB 的方程为122y x =−+， 显然圆心(2,1)在直线AB 上，即弦AB 为该圆的直径，对于A ，22(02)(01)5−+−=，即(0,0)M 在圆上，则MAB △为直角三角形，故A 错误；对于B ，22(42)1)5−+>，即4,2M ⎛ ⎝⎭在圆外，且M 在点B 上方，在直线22y x =+的下方，则MAB △为锐角三角形，故B 错误；对于C ，22(22)(11)5−+=，即(2,1M 在圆上，则MAB △为直角三角形，故C 错误；对于D ，22(12)1)5−+<，即(1M 在圆内，则MAB △为钝角三角形，故D 正确． 故选：D ． 12．D【分析】根究两圆内切满足的圆心距和半径差的关系即可求解.【详解】圆2221:O x y r +=的圆心和半径为()10,0,O r ，圆()222:29O x y −+=的圆心和半径为()22,0,3O R =,由两圆内切，所以12231O O R r r r =−⇒=−⇒=或=5r ，故选：D 13．B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项. 【详解】222210x y x y +−++=即()()22111x y −++=， 所以圆1C 的圆心为()11,1C −，半径11r =.222(2)(3)164x y ++−==,所以圆2C 的圆心为()22,3C −，半径24r =.12125C C r r =+，所以两圆外切. 故选：B 14．A【解析】求出直线过的定点P 坐标，确定定点在圆内，则可判断． 【详解】直线方程整理为(1)10k x y −−+=，即直线过定点(1,1)P ， 而22114120+−⨯=−<，P 在圆C 内， ∴直线l 与圆C 相交． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆C 的一般方程为22(,)0f x y x y Dx Ey F =++++=，点00(,)P x y ，则00(,)0f x y <⇔点P 在圆C 内，00(,)0f x y =⇔点P 在圆C 上， 00(,)0f x y >⇔点P 在圆C 外．15．A【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y −+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y −+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解：圆C 的方程为228150x y x +−+=，整理得：22(4)1x y −+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '−+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ，则2d ，即234k k −，403k ∴−． k ∴的最小值是43−．故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y −+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 16．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y −+−=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x −=−即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =−⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y −++−=，即 2210x y y +−−=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 17．()()22211x y −+−=【分析】根据圆的切线性质进行求解即可. 【详解】因为该圆与x 轴相切，所以该圆的半径为1，因此圆的方程为()()22211x y −+−=，故答案为：()()22211x y −+−=18．2x =（或4310x y −+=）【分析】分两种情况讨论，一是切线的斜率不存在，可得出所求切线方程为2x =，验证即可；二是切线斜率存在，设所求切线的方程为()32y k x −=−，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出k 的值.综合可得出所求切线的方程.【详解】当切线的斜率不存在时，所求切线的方程为2x =，此时圆心()1,0到直线2x =的距离为1，合乎题意；当切线的斜率存在时，设所求切线的方程为()32y k x −=−，即320kx y k −+−=，1=，解得43k =， 此时，所求切线的方程为()4323y x −=−，即4310x y −+=， 综上所述，所求切线的方程为2x =或4310x y −+=.故答案为：2x =或4310x y −+=.19．①⑤【分析】对绝对值里面的,x y 进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线C .根据曲线C曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2−−−−−−即可判断②；曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可判断④；因为(,)P m n 到直线60x y +−=的距离为d 6m n +−，转化为圆上的点到直线的距离最小的问题，求解即可判断⑤.【详解】由于222||2||+=+x y x y ，则当0,0x y ≥≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=+，化简得2(1)x −+2(1)2y −=，表示圆心为(1,1)，当0,0x y ≥<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=−，化简得2(1)(x y −+21)2+=，表示圆心为(1,1)−，当0,0x y <≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=−+，化简得2(1)x ++2(1)2y −=，表示圆心为(1,1)−当0,0x y <<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=−−，化简得2(1)x ++2(1)2y +=，表示圆心为(1,1)−−作出曲线22:2||2||C x y x y +=+如图所示：曲线C由图易知曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称，故①正确；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2−−−−−−，故②错误；曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为C 所围成图形的面积为2214π84π2⨯⨯+=+，故③错误； 由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即2+=因为(,)P m n 到直线60x y +−=的距离为d ==，所以6m n +−，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为(1,1)，半径为r圆心(1,1)到60x y +−=的距离1d =从而min 1d d r =−=min 62m n +−=，故⑤正确.故答案为：①⑤．20．34−##-0.75 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆22:(1)(1)4C x y −++=，得圆心(1,1)C −，半径2r =，则圆心(1,1)C −到直线1y kx =+即10kx y −+=的距离为d =222d r +=，有21=，解得34k =−.故答案为：34−. 21．4【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.【详解】圆221:1C x y +=圆心为(0,0)，半径为1，圆()()222:34(0)−+−=>C x y r r 圆心为(3,4)，所以圆心距5d =，因为两圆外切，所以15r +=,所以4r =.故答案为：4.22．①②④【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出(),x y ，找到等量关系，建立方程，求出点Q 的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q ；④当,PM PN 斜率分别为1和-1时，且点P ，M 在y 轴左侧，此时△MPN 面积最大，求出最大值.【详解】点M 在圆22:36O x y +=上，设()6cos ,6sin M θθ，则||MP =cos 1θ=时，||MP 取得最小值，最小值为4，①正确； 设点Q (),x y ，则由题意得：2222PQ QM OM OQ ==−，则()()2222236x y x y −+=−+，整理得：()22117x y −+=，所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；为以AB 为直径的圆，圆心为()5,4，半径为1，方程为：()()22541x y −+−=，下面判断此圆与点Q 的轨迹方程()22117x y −+=1=>，两圆相离，故不存在点Q ，使得90AQB ∠=︒，③错误； 当,PM PN 斜率分别为1和-1时，且点P ，M 在y 轴左侧，此时△MPN 为等腰直角三角形，面积最大，此时1PQ QM QN ===()(2max 121182PMN S=⨯⨯=+. 故答案为：①②④【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.23．【详解】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d为==【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.24．(1)()()22134x y −+−= (2)34100x y +−=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y −=上，所以设圆C 的圆心为：(),3a a ，由(1,3),(1,5)A B −，所以AB 的中点()0,4M ，由题知：AB CM ⊥，所以1AB CM k k ⋅=−， 即()53341110a a −−⋅=−−−−，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC == 所以圆C 的标准方程为：()()22134x y −+−=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ，所以方程为：2x =，代入()()22134x y −+−=中解得：3y =(()||33MN =−=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k −=−⇔−−+=，由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d = 由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =−， 所以直线l 的方程为：34100x y +−=，综上，直线l 的方程为：34100x y +−=或2x =.25．(1)(2)1(3)外切【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得正确答案.（2）根据弦长公式求得正确答案.（3）根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【详解】（1）圆1C 的圆心为()11,2C ，半径13r =.圆2C 的方程可化为()()22224x y +++=，所以圆心为()22,2C −−，半径22r =.所以圆心1C 到直线l的距离为d ==（2）2MN ===.（3）12125C C r r ==+，所以两圆外切.26．(1)22260x y x y +−−=(2)6【分析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则根据圆C 经过三点()0,0O ，()2,0A ,()4,2B ，联立方程组，求得D 、E 、F 的值，可得圆C 的方程．（2）根据点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离为1，进而根据圆的弦长公式即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则由圆C 经过三点()0,0O ()2,0A ,()4,2B可得042020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，求得260D E F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩，可得圆C 的方程为22260x y x y +−−=． （2）将圆22260x y x y +−−=化成标准式得()()221310x y −+−=，所以圆心为()1,3,C半径为r = 圆心到直线:4380l x y +−=的距离为49815d ，故直线:4380l x y +−=被圆C 截得的弦的长2221016d27．(1)相交(2)1y =或125410x y +−= 【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系；（2）易知切线斜率存在，则可设其为()13y k x −=−，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，进而得到切线方程.【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22129x y −++=，则圆心()1,2C −，半径3r =； 由圆1C 方程可知：圆心()13,1C ，半径12r =；1CC =15r r +=，11r r −=，1112r r CC r r ∴−<<+，∴圆C 和圆1C 相交.（2）当过()3,1P 的直线斜率不存在，即为3x =时，其与圆C 不相切，∴可设所求切线方程为：()13y k x −=−，即310kx y k −−+=，∴圆心C 到切线的距离3d ==，即()229932k k +=−， 解得：0k =或125k =−， ∴切线方程为：1y =或()12135y x −=−−，即1y =或125410x y +−=. 28．(1)2；. 【分析】（1）求出()2,0A −，代入圆O 的方程即可求解；（2）根据直线AB 垂直于直线l ，可求直线AB 的斜率，根据点斜式可求直线AB 的方程，再利用垂径定理即可求解.【详解】（1）在240x y −+=中，令0y =，得2x =−，故()2,0A −.因为圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ，所以()()222200r r −+=>，解得2r =. （2）直线l 的斜率为2，因为直线AB 垂直于直线l ，所以直线AB 的斜率为12−. 所以直线AB 的方程为()1022y x −=−+，即220x y ++=. 圆心O 到直线AB=，所以AB = 29．(1)()()22122x y −+=+【分析】（1）利用待定系数法设得圆M ()()222x a y b r −+−=，再根据题意得到关于,a b 的方程，进而求得r ，由此得到圆M 的方程；（2）利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可.【详解】（1）设圆M 为()()222x a y b r −+−=，则(),M a b ，半径为r ， 因为圆心(),M a b 在直线2y x =−上，所以2b a =−，因为直线10x y +−=与圆M 相切于点()2,1P −，所以直线10x y +−=与直线PM 垂直，所以1PM k =，即112b a +=−，则2112a a −+=−，解得1a =，则2b =−，所以r PM == 故圆M 为()()22122x y −+=+.（2）因为()()2231022−++>，所以点()3,0A 在圆M 外，因为AM所以min AB AM r =−，即AB30．(1)AB 中点(1,2)，22:(1)(2)2C x y −+−=(2):10l x y +−=【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得,A B 的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直径AB ，即可写出圆C 的方程；（2）根据直线和圆的位置关系可得切线l 的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l 的方程．【详解】（1）由点(0,1)A 和点()2,3B 是圆C 直径的两个端点，可得AB 的中点即为圆心C ，根据中点坐标公式可得(1,2)C ，即线段AB 的中点坐标为(1,2)C ，根据两点间距离公式得直径AB所以圆C 的半径为r =则圆的方程为22:(1)(2)2C x y −+−=（2）根据题意可知直线AB 与切线l 垂直，直线AB 的斜率为31120AB k −==−， 设切线l 的斜率为k ，满足1AB k k =−，得1k =−；又切线l 过点A ，利用直线的点斜式方程得:11(0)l y x −=−⨯−；即切线l 的方程为:10l x y +−=.。
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圆上一点到直线距离的最大值
以圆上一点到直线距离的最大值为题，我们来探讨一下这个问题。
我们先来了解一下题目中所涉及的概念。
圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合，而直线是一个无限延伸的线段。
圆上的一点到直线的距离，指的是从这个点到直线上最近的点之间的距离。
那么题目所问的圆上一点到直线距离的最大值，就是从圆上任意一点到直线的最远距离。
接下来，我们来推导一下如何求解这个最大值。
假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为Ax + By + C = 0。
我们需要找到圆上的一点(x1, y1)，使得它到直线的距离最大。
我们可以假设直线过圆心，即直线的法向量N = (A, B)与圆心的连线重合。
这样做的原因是，如果直线不过圆心，那么直线与圆的交点一定是圆上到直线距离最大的点之一，而我们只需求解距离的最大值，而不需要具体的交点坐标。
根据直线的方程，我们可以得到直线的斜率k = -A/B。
而圆心到直线的距离为 d = |A*a + B*b + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
我们可以将圆心到直线的距离表达式中的a和b分别用x1和y1来表示，即d = |A*x1 + B*y1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
接下来，我们需要找到使得d最大的点(x1, y1)。
根据数学的知识，我们可以知道，当直线的斜率k与圆的切线的斜率相等时，圆上的
点到直线的距离最大。
因此，我们需要求解直线与圆的切线的斜率。
设切线的斜率为k1，圆的半径为r，圆心的坐标为(a, b)，切点的坐标为(x2, y2)。
切线的方程可以表示为y - y2 = k1(x - x2)。
将圆的方程代入切线的方程，我们可以得到一个关于x的二次方程，解这个方程可以得到切点的横坐标x2。
将x2代入切线的方程，我们可以得到切点的纵坐标y2。
由此，我们就得到了切点的坐标(x2, y2)。
接下来，我们将切点的坐标代入直线的方程，我们可以得到切线的斜率k1。
将k1代入圆心到直线的距离表达式中，我们可以得到圆心到切线的距离d1。
由于圆心到切线的距离d1等于圆心到直线的距离d，我们可以得到一个方程，即|A*x1 + B*y1 + C| / sqrt(A^2 + B^2) = d1。
由此，我们可以解这个方程，求得(x1, y1)的值。
我们将求得的(x1, y1)代入直线到圆心的距离表达式中，即可得到圆上一点到直线的距离的最大值。
通过求解直线与圆的切线的斜率，再解方程求得圆上一点到直线的距离的最大值。
这个问题可以通过数学的方法来解决，具体的计算过程可以通过代入相关公式来求解。