凸轮轴数控磨床凸轮廓形磨削曲线数学模型建立的研究

凸轮轴数控磨床凸轮廓形磨削曲线数学模型建立的研究

作者：宋朝阳

来源：《科学与财富》2016年第13期

凸轮廓形磨削曲线的通用数学模型包括：升程表数据转换为直角坐标值的数学模型；磨削速度和加速度及磨削位置相对应的磨削曲线数学模型。在加工一个凸轮时，会依据从动件的运动规律得出坐标轴对应的关系和凸轮升程表，凸轮升程表包括对应的每度升程数值和转角。我们需要在平面坐标系中描述凸轮廓形的曲线，首先需要将凸轮升程表转换为平面直角坐标数值，从而将升程表中的原始工艺数据转换为直角坐标系下的坐标数值，这样才能绘制出凸轮的廓形曲线。为了提高非线性凸轮的磨削质量，在工件旋转恒定加速度前提下，研究工件旋转的变速度数学模型。

升程表数据转换为直角坐标值的数学模型

升程表数据转换为直角坐标值的数学模型，实际上是平底从动件凸轮的实际轮廓在反转以后，所有平底从动件运动轨迹构成的直线包络线，设基圆的半径数值为r0和从动件的运动规律（凸轮角度和升程），设平底从动件的交点B0与导轮中心线为参考点，凸轮转过角度时，平底从动件上移距离数值为s ，参考点由B0移至点B'，再应用反转法把全部凸轮机构沿着凸轮回转相反的方向绕原点转过角度，就能推出反转后的平底从动件AB线段，如下图2.1得出：

点B坐标为：

过点B的平底直线族方程为：

式中k为平底直线的斜率：

将k代入上式得：

求解以上公式（1），（2）得出平底从动件凸轮的实际轮廓在直角坐标条件下的参数方程为：

凸轮的升程数值s和转角是很多离散点组成的列表函数，我们要解出关系式并且需要满足其连续精确性，所以设它为四次方程：

式中C0，C1，C2，C3，C4，C5均为系数。我们选择升程表中的5个特殊位置点；起始点00，450 ，-450，终止点，代入到公式（4）中，再用消元法解出方程的各个系数，再建立求解系数矩阵：

式中，中，上标j为的方数，下标i为不同值序号，再应用消元法将上述矩阵转换为上三角矩阵：

把公式（5）代入公式（3），能把凸轮升程表中的数值最终转化为直角坐标系下的坐标值（凸轮升程表是凸轮旋转每度所对应升程差值），公式引用参考文献[8]中内容[8]。

定义：C轴为工件旋转轴，X轴为砂轮轴，Y轴为仿形摇架，Z轴为砂轮修整。

非圆凸轮磨削数学模型

在磨削凸轮廓形时，由于生成点和磨削点不是同一个坐标点，所以必须需要由已生成的位置点来建立磨削曲线数学模型。建立数学模型与测量凸轮方法相关，有滚子从动件凸轮磨削曲线和平底从动件凸轮磨削曲线两类数学模型[7，8]，平底从动件磨削的原理如下图：

图2.2中O点为凸轮固定基准点。Y轴摇架的控制仿形，在这里可以假定为砂轮轴沿X方向来回移动，B'点为砂轮中心。经过 i次修整后的砂轮半经RW为：

式中，Rw0为砂轮的初始半经，RW为砂轮每次修整量，为经过j次砂轮修整后砂轮在半经方向的减少量，考虑砂轮修整和磨削进给量时砂轮中心到凸轮中心点O的距离X为：

L和是列表值，是离散点，利用上章公式（5）求出便可求出X和C（L=S），式中为磨削当前圆时凸轮最外轮廓到理想工艺要求轮廓的厚度，其中：式中：是磨削总余量，n是磨削总的圈数，是磨削i圈以后磨掉的轮廓厚度。

综合上述因素推出凸轮磨削加工的数学模型：

速度曲线为可编程旋转工件的速度值，恒定磨除率是指单位时间内磨除的金属体积相等，即区域A1A2B1B2与A2A3B2B3相等，图2.3.1示

通过速度的曲线能补偿圆周速度的不同，从而使凸轮的圆周全部区域在切削加工时，圆周速度大概是恒定的速度曲线，然后再依据转过的角度列表值和凸轮升程数值，应用有限差分法得出。当然，还能使用误差计算法。如图2.3.2示：

图2.3.2示凸轮在某线段上的位移图，其中a，b，c是相邻的3个位移坐标点，旋转角度的增量非常小，并且需要保证各个位移点的增量值相等，

，b点的从动件速度数值是，b点上从动件的速度是以基圆在该位置的角速度和角度作为参考点的基准，

可按2.5章说明的恒定磨除率公式求得，按照上述公式便可作出速度曲线图。

非圆磨削加速度曲线的数学模型

速度曲线也能检查凸轮的廓形数据的准确性。如果合格，该曲线会有微小的波动，这个时候如果绘出加速度曲线，则加速度曲线会对此类细小的波动表现的更为明显。因此，需要应用加速度的计算公式来修正加速度的曲线，使它变得光滑，最终消除局部的波动[26]，该公式为：

由公式：

如图2所示，物体自A至B的运动，可看成先由A以速度v匀速运动至C，再由C以加速度α匀加速运动至B，由图下可知：

当t→O时AC方向的运动可以忽略.故物体有指向圆心方向的加速度α，半经R与线速度V的关系从上述公式可得出，凸轮轴桃尖部位线速度最高，基圆部分恒定不变，升程和回程区段可近似线性变化。实际凸轮加速度曲线见图4.5.2，结合图4.5.1和图4.5.2可以看出，回转半径越大其线速度越高，在设计工件旋转转速时以恒定加速度的线速度为理论基础。

恒定磨除率数学模型的研究

将局部区域A1A2B2B1放大，将它近似为平行四边形，平行四边形的一条边（弧A1A2的长度）为，其高为ap，则

该示图反转180度即对应凸轮轴磨削面，P'表示矢量变化率，旋转角变化率。