近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集〔 〕是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统〔G ，*〕中，〔 〕不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，以下哪种运算是可结合的？〔 〕A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=〔12〕〔23〕〔13〕，2σ=〔24〕〔14〕，3σ=〔1324〕，则3σ=〔 〕 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它〔 〕。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶假设是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、假设映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“•〞是数的乘法，则“•〞是E中的运算，〔E，•〕是一个代数系统，问〔E，•〕是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题〔本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分〕1、假设<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是〔〕。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有〔〕个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于〔〕。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、以下哪个偏序集构成有界格〔〕A、〔N,≤〕B、〔Z,≥〕C、〔{2,3,4,6,12},|〔整除关系〕〕D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有〔〕A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z 8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。

9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。

三、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

四、证明题〔本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分〕1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题。

1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：可知σ为奇置换，τ为偶置换。

σ和τ可以写成如下对换的乘积：2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=。

假设令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。

3、答：〔m M ，m +〕不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。

四、证明题〔本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分〕1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(〔对每个x ，从e x =2可得1-=x x 〕。

2、证明在F 里有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有 -Q 显然是R 的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)。

1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：〔E，•〕不是群，因为〔E，•〕中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题〔本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分〕1、证明设e是群<G，*>的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

假设x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b ＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

假设m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进展计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换。

四、证明题〔本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分〕1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕。

2、证必要性：将b 代入即可得。