2017二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题 〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1.

直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2.

利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3.

利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）

二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax 2+bx+c(a ≠0)

抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=

a ∆ 抛物线顶点坐标（-a b

2,a b ac 442-）

抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀”ah S ABC 2

1=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

y 轴交于点C ，PCD 的面积

3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b =，c =．

〖典型例题〗

● 面积最大问题

1、二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；

（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标

（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标

(4)P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ∆∆=2

1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比

2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．

（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；

图1

（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．

3．已知：m 、n 是方程x 2﹣6x +5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为

（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．

● 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

4．阅读材料：如图，过△ABC 的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4）交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，3）

（1）求抛物线解析式和线段AB 的长度；

（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）在第一象限内抛物线上求一点P ，使S △PAB =S △CAB ．

法一：同底情况下，面积相等转化成平行线

法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等

变式一：如图2，点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA ，PB ，是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式二：抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明 ● 点动+面积

5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．

（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

形动+面积

6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？