二次函数的应用——面积最大问题
二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题
30k b 400
k 20
, 解之得 :
，
40k b 200
b 1000
即一次函数表达式为 y 20x 1000 (30 x 50) ．
⑵ P (x 20) y ( x 20)( 20 x 1000)
20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0
∵ a 20 0 ∴ P 有最大值．
当x
1400
35 时， Pmax 4500 （元）
[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润
最大？ 解：设涨价（或降价）为每件
x 元，利润为 y 元，
y1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y1 (60 40 x)( 300 10x)
商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他
成本。 总利润 =总售价 -总进价 - 其他成本 =单位商品利润 ×总销售量－其他成本 单位商品利润 =商品定价－商品进价 总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量
[ 例 1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现， 每月销售量 y （万
所以，销售单价定为 25 元或 43 元，
将
z =-2x
2
+136x-1800
2
配方，得 z=-2 （ x-34 ） +512 ，
因此， 当销售单价为 34 元时， 每月能获得最大利润， 最大利润是 512 万元；
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
5.5二次函数应用(2)面积最大问题
当垂直于墙的边长为7.5米时，花圃
的面积最大为112.5平方米。
∴x=7.5时，S最大=112.5 ∵ 6≤x＜15
（3） -2x2+30x=88
解得：x1=4
∵6≤X ≤15
,x2=11
15
∴当 6≤X ≤11时，
花圃园的面积不小于88平方米
变式:
学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙， 另三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为12 米，垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花 圃的面积最大，并求这个最大值；
解：（1）s=x(24-4x) =-4x +24x
∵0＜24-4x≤8 ∴4≤ x ＜ 6
2
（2）y=-4x +24x =-4(x-3) 36
2
2
∵ 当 x ≥3时，y随x的增大而减小 又 4≤ x ＜ 6
∴当X=4时，面积最大为32平方米
二次函数的应用（2）
——面积最大问题
尝试练习 如图，一边靠校园院墙（足够长），另外三边用50m长 的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm. （1）写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式； （2）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？
(1)解：y x(50 2 x) 2 x 30 2 x 18
6 x 15
(1) y=30-2x (6 x<15) 解： （2）设花圃的面积为S：
则S=x(30-2x)=-2x2+30x
. 2 2 =-2(x -15x)=-2(x -2 . x 7.5+7.52-7.52)
=-2[(x-7.5)2-56.25]=-2(x-7.5)2+112.5
2
3.11二次函数的应用 最大面积1
二次函数的应用（最大面积1）学习目标：能够运用二次函数的知识解决最大面积问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
交流预习：如图在Rt △ABC 中，AC=4, BC=3, DE ∥AB,分别与AC 、BC 相交于D 、E, CH ⊥AB 于点H,交DE 于点F 、G 为AB 上任意一点，设CF=x ，△DEG 的面积为y ，限定DE 在△ABC 的内部平行移动.⑴求x 的取值范围.⑵求函数y 与自变量x 的函数关系式.⑶当DE 取何值时，△DEG 的面积最大？求出最大值.典型例题 如图,在Rt △ABC 的内部做一个内接矩形DEFG ，AC=30m ，AB=40m ，设矩形DEFG 的面积为y ㎡,当EF 取何值时，y 的值最大？最大值为多少？巩固练习：1. 如图：在△ABC 中，BC=4，AB=3 2，∠B=45°，M 、N 分别为AB ，AC 边上的点，且MN ∥ BC ，设MN 为x ，△MNC 的面积为y 。
（1）试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范；（2）试问MN 处在什么位置时，△MNC 的面积最大？并求出最大值；（3）当△MNC 的面积为98时，试问MN 的值。
2、要在底边BC=160, 高AD=120的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH, 使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，设矩形EFGH的长HG=x,宽HE=y，（1）试确定y与x之间的函数表达式.（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?拓展延伸、如图在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA从点B开始向点A以2cm/秒的速度移动；点Q沿CB边从点C开始向点B以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动时间（0≤t≤6）那么（1）当t=2秒时，请你猜想下△QPB是个什么特殊三角形，并证明你的结论；（2）求：四边形PBQD的面积s与时间t的关系式。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
中考数学狙击重难点系列专题----二次函数的实际应用之面积最大值问题(含答案)
面积最大值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B （4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．2. 如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x 轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．3. 如图，二次函数y=ax 2+2x+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求该二次函数的表达式;（2）过点A 的直线AD ∥BC 且交抛物线于另一点D ，求直线AD 的函数表达式;（3）在（2）的条件下，请解答问题： 动点M 以每秒1个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值；5. 如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．7.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？9.如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y 1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.、(备用图)（1）求点A，点B和点D的坐标；（2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，∆MNB的面积最大，试求出最大面积．11.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y 轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；12.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B 两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；13.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx的图象经过点A（﹣1，4），交x轴于点B（a，0）．（1）求a与b的值；（2）如图1，点M为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABM 面积的最大值及此时点M的坐标；14.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为y＝－x＋3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P(m，0)是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC 于D，交抛物线于E，EF∥x轴，交直线BC于F，DG∥x轴，FG∥y轴，DG与FG交于点G．设四边形DEFG的面积为S，当m为何值时S最大，最大值是多少？15.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M 从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；16.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
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《二次函数的应用——何时围得面积最大？》
说课稿
【教材分析】
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，也为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
【课时安排】
教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
【学情及学法分析】
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课
标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
【教学目标】
1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的
图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中
的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的
能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合
作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛
的应用价值。
教学重点：
利用二次函数y=2ax
bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题
教学难点：
正确构建数学模型
三、教学方法与手段的选择
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本
节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探
究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，
突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学流程
（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：
1.复习二次函数
y ＝2ax bx c ++（a ≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和
最值。
2.（1）求函数y ＝ 2x 2
+2x －3的最值。
（2）求函数y ＝x 2
+2x －3的最值。
（0≤x ≤ 3） [设计思路]通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最
值，通过做练习2复习求二次函数的最值方法---公式法、配方法、图象法，
练习2（1）的设计中，自变量的范围是全体实数，学生求最值容易想到顶
点，无论是配方、还是利用公式都能解决；（2）中给了自变量的取值范围
0≤x ≤3,学生求最值时可能还会利用顶点公式求,忽略自变量的取值范围的
限制，设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量的取
值范围这个条件才有意义，因为任何实际问题的自变量的取值范围都受现
实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在
顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。
（二）讲解新课
新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与
应用中提高技能几个环节
1、在创设情境中发现问题
【做一做】：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多
少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？
做一做中，我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩
形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。
学
生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起
常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。
周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。
2、在解决问题中找出方法
这一环节我设计了：
[想一想]：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？
我把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。
学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。
解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。
3、在巩固与应用中提高技能
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了
美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米
长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多
少米才能使花圃的面积最大？
例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度
来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制自变
量的取值范围，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估
计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒
学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点
的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有
意训练，学生必然会对自变量的取值范围的意义有更加深刻的理解，这样
既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了
坚实的基础。
（三）分层评价
这一阶段，我设计了两组练习题让学生选做，每一组题做对都能得到
一百分，共两百分，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到
成功的喜悦。
A 层：（你能行！）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完
成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。
指出下列函数的最大或最小值
C D
（1）y= -3（x-1）2+5 （2）
B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题
有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2 。
问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？
此题目有一定难度，但结合三角形相似知识，教师给出了自变量，大部分同学应该能想到解决办法。
（四）、师生小结
本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数
学用数学的信心。
（五）、课堂检测：
1，将一条长为20厘米的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则两个正方形面积之和的最小值是 。
2，假设篱笆（虚线）的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？
3.有一块三角形土地如图，他的底边
BC=100米，高AD=80米，某单位沿着BC 修一
座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积
最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？
（六）板书设计
《二次函数的应用——何时围得面积最大？》
说课稿
单位：辛店镇一初中
姓名：岳富晓。