第三宇宙速度推导

第三宇宙速度推导

问题提出：

当我们增加从地球表面发射抛体的速度，并使之能脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，这个速度成为第三宇宙速度，用3v 来表示。显然，要使抛体脱离太阳系的束缚，必须先脱离地球引力的束缚，然后再脱离太阳引力的束缚。这就是说，抛体脱离地球引力后还要具有足够大的动能实现飞出太阳系的目的。

模型建立：

首先讨论抛体脱离地球引力场的情形。我们把地球和抛体作为一个系统，并取地球为参考系，设从地球表面发射一个速度为3v 的抛体，其动能为2/23mv ，引力势能为E E R m Gm /-。当

抛体脱离地球引力的束缚后，它相对地球的速度为'v 。按机械能守恒定律，有

2'232

121mv R m m G mv E E =-（1） 为求'v ，取太阳系为参考系，此抛体距太阳的距离为S R ，相对太阳的速度为'3v ，地球相对太阳的速度为E v ，抛体相对于地球的速度为'

v ，则由相对运动公式，有 E v v v +=''3

如'v 与E v

方向相同，则抛体相对太阳的速度最大，有

E v v v +=''3（2）

此后，抛体在太阳的引力下飞行，其引力势能为S S R m Gm /-，动能为2/2'3mv ，其中，S m 为太阳的质量，故抛体要脱离太阳引力作用，其机械能至少是

0212'3=-S

S R m m G mv （3） 有

2/1'3)2(S

S R Gm v =（4） 把式(4)代入(2)，有

E S

S E v R Gm v v v -=-=2/1'3')2(（5）

如设地球绕太阳的运动轨迹近似为一圆，那么由于抛体与地球的运动方向相同，且都只受太阳引力的作用，故可以认为此时抛体至太阳的距离为S R ，即是地球轨道圆的半径。于是由牛顿第二定律，有

S

E E S S E R v m R m m G 22= 即得

2/1)(S

S E R m G

v = 把上式代入式(5)，可得， 2/1'))(12(S

S R m G

v -=

模型求解： 查得kg 1099.130⨯=S m ，m 1050.111⨯=S R ，得1

's km 3.12-⋅=v 。又有kg 1098.524⨯=E m ，m 1037.66⨯=E R ，代入(1)得，

12/12'3s km 4.16)2(-⋅=+=E

E R m G v v

参考文献：

马文蔚，物理学（第五版）上册，高等教育出版社，2006