第二宇宙速度推导
三个宇宙速度的多种推导及教学启示
龙源期刊网 三个宇宙速度的多种推导及教学启示作者：汪计朝李兴来源：《中学物理·高中》2015年第03期高中物理（必修2）中的《宇宙航行》一节对三个宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推导，这一内容的引入对于中学阶段的学生来说具有非常重要的意义，也是对人类飞天从梦想到圆梦这一历史进程的回顾.教参及高考都明确要求学生掌握三个宇宙速度的含义和数值，并且会推导第一宇宙速度.然而笔者在教学过程中发现，许多学生在学完第一宇宙速度之后，总是在不断询问和疑惑另外两个宇宙速度的推导过程.笔者觉得，作为一名合格的高中物理教师，不仅仅要传授给学生必备的高考知识，更应该去帮助学生答疑解惑，并且以此来激发学生的科学探究精神，进而来拓展他们想象和思考的空间，而不是单纯的把问题留给学生.下面笔者分别采用多种方法来推导这三个宇宙速度，以期起到抛砖引玉的作用.1第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推导法一当一颗卫星被发射后在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动而不落回地面，此时卫星具有的速度即为第一宇宙速度v1.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，由圆周运动知识得3第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推导在思考第三宇宙速度的求解方法时，许多同学都倍感困惑，感到是“老虎吃天——无从下口”.其实，从推导第二宇宙速度的解法模型中我们可以知道：如何求将一个离太阳1.5亿公里的相对于太阳静止的物体脱离太阳引力束缚需要的速度v1′的方法；再考虑到地球公转速度的因素，发射速度会相应的减小到v2′；最后再将发射时地球引力的影响因素考虑进去，还需要克服地球引力做功，速度再相应的增大至某一速度，这个速度就是第三宇宙速度v3.根据以上的分析不难得一个地球上的物体要想摆脱太阳的引力束缚，同时还要摆脱地球的引力束缚，其发射速度必须大于或者等于16.7 km/s，因此第三宇宙速度又叫逃逸速度.综上所述，对三个宇宙速度的推导过程中，不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取，还要用到数学上的微积分知识等.这些规律的综合运用，必然对于完善学生的知识结构、激发学生的求知探索能力大有脾益，特别是对于尖子生的培养将会起到极大的促进作用.。
正确计算第二宇宙速度论文：正确计算第二宇宙速度
正确计算第二宇宙速度论文：正确计算第二宇宙速度
在天体运动规律的教学中，宇宙速度是个非常重要的物理量。
在现行的人教社高一物理教材中给出了三个宇宙速度的定义和数值：第一宇宙速度相对简单，且给出了简单的计算，但是对于第二和第三宇宙速度，教材中仅仅给出了其定义和数值。
学生常常问：这两个宇宙速度到底是怎么计算出来的呢？能够掌握第二宇宙速度的计算对于学生正确理解宇宙速度的本质有很大的帮助。
根据第二宇宙速度的定义：地面上发射的航天器能够脱离地球的引力，不再绕地球运行的最小速度叫做第二宇宙速度（人民教育出版社全日制普通高级中学教科书必修第103页）。
由于物体在离开地球引力场的过程中，所受的引力是在不断变化的，如果直接从动力学的角度分析，高中学生由于数学知识不足的原因在理解上有一定的难度。
如果利用功能关系进行推导，就显得简单易行。
这样，要计算第二宇宙速度，就必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。
很显然，物体上升得越高，需要做的功也就越多。
本文正是从第二宇宙速度的定义出发，从便于学生理解的角度，利用功能关系对其大小进行了推导。
详细推导过程如下：
如图所示，设物体m从地球e的引力场中从p0处移动到p1处。
因各处的引力不等，我们可把p0，pn间的距离分
成许多极小的等分δx（此处包含有微分的思想）。
p0，p1，p2，…pn-1，pn和地球中心的距离分别为r0，r1，r2，rn-1，rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从p0移动到pn克服地球引力所做的功。
第二宇宙速度的推导
第二宇宙速度的推导在地面上发射一个航天器，使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度，称为第二宇宙速度。
一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。
由此即可推得第二宇宙速度v 2。
要计算第二宇宙速度，必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。
很显然，物体上升的越高，需要做的功也就越多。
但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。
当物体与地球的距离趋于无穷大时，地球对它的引力也就趋于零，这时物体就脱离了地球的引力场。
因此，物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。
这一数值可用下面的方法进行推算。
如图所示，设物体m 从地球E 的引力场中从P 0处移动到P n 处。
因各处的引力不等，我们可把P 0P n 的一段距离分成许多极小的等分Δx 。
P 0、P 1、P 2、…… P n 和地球中心的距离分别为r 0、r 1、r 2、…… r n ；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从P 0移动到P n 克服地球引力所做的功。
如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功，那么它从P 0移动到P n 克服地球引力所做的功，就等于它动能的减少。
根据万有引力定律，如果用G 表示万有引力恒量，M 表示地球的质量。
物体在P 0处所受的引力为200r mM G F =；物体在P 1处所受的引力为 211r mM G F =。
因为P 0和P 1相距极近，物体在P 0、P 1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即： 101r r mM G F =； 同理，物体在P 1、P 2间所受的平均引力为212r r mM GF =； …………………………………………………………物体在P n -1、P n 间所受的平均引力为nn n r r mM G F 1-=。
物体从P 0移动到P 1的过程中克服万有引力所做的功为：W 1 =（P 0、P 1间物体受到的平均引力）×（P 0、P 1间的距离）即 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=100110111r r GmM r r r r mM G W ； 物体从P 1移动到P 2时克服万有引力所做的功为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21211r r GmM W ； ………………………………………………………同理，物体从P n -1移动到P n 时克服万有引力做的功为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n n r r GmM W 111 把以上各式相加，得到物体从P 0移动到P n 整个过程中克服万有引力所做的功为：W = W 1 + W 2 + …… W n = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n r r GmM 110。
基础天文学：用万有引力定律确定第二宇宙速度
基础天文学：用万有引力定律确定第二宇宙速度自人类社会进入了20世纪之后，自然科学就逐渐步入了相对论和量子力学的时代。
在21世纪的今天，只要一谈到宏观的宇宙，似乎总是离不开爱因斯坦的广义相对论，而在爱因斯坦之前主宰了天文学几个世纪的牛顿和他的万有引力定律，却似乎正在慢慢被人淡忘。
爱因斯坦的广义相对论无疑超越了牛顿的万有引力理论，但我们就能因此就说牛顿错了吗？渴望确定性可能是人类的一种基本需求，但科学和科学理论从来不具备精确的确定性，宇宙是复杂的，而我们的知识是不完备的。
在现在看来，牛顿的理论在速度接近光速、在强引力场内、在计算水星轨道时确实出现了问题，但在一般情况下，牛顿的引力方程仍然非常有效，它能够让我们将卫星送上地球轨道、能够将人类送上月球、能够将宇宙飞船送出太阳系。
牛顿在1687年出版了他的著作——《自然哲学的数学原理》，在这本书中他发表了著名的万有引力的平方反比定律。
这一定律即使在现在看来还是极其成功的，因为从事实上来说，它对于天文学领域里的应用较之实验室范围内的应用显得更为重要。
简单来说，要使一颗卫星在太空绕地球运行，需要知道第一宇宙速度；要使宇宙飞船脱离地球轨道飞往月球，需要知道第二宇宙速度；要使宇宙飞船离开太阳系，则需要知道第三宇宙速度。
而这些，都可以通过牛顿的万有引力平方反比定律计算出来。
为了弄清楚这一事实，我们先来看一下牛顿的万有引力平方反比定律：F=G(m1m2/r^2)，在这个定律中，F是质量为m1和m2的两个质点间的引力，与m1和m2的大小成正比，与质点间的距离r的平方成反比，G为引力常数（通过实验可测得）。
那么，如果要发射一枚火箭使之脱离地球引力，如何运用这个公式来计算火箭必须具备的最低速度呢？要知道，如果计算不准确，火箭最终会被地球的引力重新拉回来而粉身碎骨。
首先需要确定一些参数，比如地球的质量M、地球的半径R、火箭的质量m，加速度g、引力常数G、上抛高度h、两质点距离r。
三个宇宙速度的推导
第二宇宙速度是航天器脱离地球引力的关键，只有达到或超过 这个速度，航天器才能摆脱地球的束缚，飞向太阳系外。
第三宇宙速度
定义
第三宇宙速度是指航天器摆 脱太阳系引力束缚所需的最 小速度，也被称为逃逸速度
。
计算公式
第三宇宙速度的计算公式为 v3=√(2GM/r)，其中 G 是万 有引力常数，M 是太阳质量， r 是航天器与太阳中心的距离。
地球观测卫星
第一宇宙速度有助于地球观测卫 星获取高精度的地理信息和气象 数据，因为低轨道卫星具有更高 的分辨率和更快的图像更新频率。
04
三个宇宙速度的物理意 义
第二宇宙速度的物理意义
1 2
第二宇宙速度（逃逸速度）
指航天器能够完全摆脱地球引力束缚，飞离地球 所需的最小初始速度。
计算公式
第二宇宙速度 = sqrt(2 * 地球质量 * 地球半径 * 重力加速度常数)
3
物理意义
第二宇宙速度是航天器离开地球引力场，进入更 广阔宇宙空间的重要条件。
第三宇宙速度的物理意义
01
第三宇宙速度（逃 逸速度）
指航天器能够完全摆脱太阳系引 力束缚，飞出太阳系所需的最小 初始速度。
计算公式
02
03
物理意义
第三宇宙速度 = sqrt(2 * 太阳质 量 * 地球公转半径 * 重力加速度 常数)
第一宇宙速度推导
总结词
第一宇宙速度是物体绕地球做匀速圆周运动 所需的最小速度，其推导基于牛顿第二定律 、万有引力定律和向心力公式。
详细描述
第一宇宙速度，也称为环绕速度，是物体绕 地球做匀速圆周运动所需的最小速度。根据 牛顿第二定律、万有引力定律和向心力公式， 当物体以一定的初速度v0在平行于地心方向 上持续加速时，其受到的地球引力将提供物 体做匀速圆周运动的向心力，直到达到环绕 速度v环绕时，物体将保持匀速圆周运动。环 绕速度v环绕可以通过以下公式计算：v环绕 = sqrt(GM/r)，其中G为万有引力常数，M为
第二宇宙速度公式推导及应用
第二宇宙速度的推导如下：
令无穷远处Ep2=0，此时Ek2=0。
当物体在地球表面时，Ep1=-GMm/R。
因能量守恒定律，故有Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
因为Ek2+Ep2=0，所以Ek1+Ep1=0。
故Ek1=-Ep1=GMm/R，而Ek1=1/2mv平方，可得v=根号（2GM/R），代入相关常量可得第二宇宙速度为11.2km/s。
第二宇宙速度的特点
逃逸速度，取决于星球的质量。
如果一个星球的质量大，其引力就强，逃逸速度值就大。
反之，一个较轻的星球，将会有较小的逃逸速度。
逃逸速度还取决于物体与星球中心的距离，距离越近，逃逸速度越大。
如果一个天体的质量与表面引力很大，使得逃逸速度达到甚至超过了光速，该天体就是黑洞。
黑洞的逃逸速度达30万千米/秒。
第二宇宙速度的求解方法
第二宇宙速度的求解方法方法1，把一物体从地球表面发射的无穷远处，则它的初动能至少要有发射过程中，克服地球引力做功W 那样大。
即：21211R R R R GMm GMm W Fdr dr GMm r dr GMm dr GMm r R R ∞∞∞∞-⎡⎤====-=-=⎢⎥∞⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 如果物体具有的动能足以达到以上数值，便可脱离地球引力的控制，飞到太阳系中绕太阳运动。
即221111.22GMm mv v km s R =∴===： 方法2，微元法如图,设地球的质量为M,将一质量为 m 的人造天体沿地球某一半径方向从距地心R i 处的A 点移到距地心R i+1 处的B 点,并设R i 与R i + 1相距很近,在这个小区间R ∆内，引力基本相同,即当0R ∆→时,2211i i i i i GMm GMm GMm F R R R R ++≈≈≈ 则把m 从A 到B 外力做功为：111()i i i i i i i i GMm GMm GMm W F R R R R R R R +++∆=∆=-=- 设地球的半径为R ，则把m 从R 移至无穷远处，外力所做的功W 。
11211()()...()...()i i i GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm W W R R R R R R R R R R R +∞-∞∞=∆=-+-++-++-=-=∑ 根据能量转换和守恒定律,要使人造天体摆脱地球的引力, 把它从地球表面移到无穷远处,外力所做的功就是人造天体发射时所必须具有的动能,这时人造天体所具有的速度就是第二宇宙速度v 2，即：2212GMm mv R=211.2v km s == 方法3，能量守恒法以地球为惯性参考系，从m 离开地球，直到脱离地球引力过程中，若不计空气阻力，也不考虑其他星体的影响，符合机械能守恒条件，以无穷远处为引力势能零点，则m 在地球表面处的引力势能为GMm R -，当质点从地面以v 2抛出时，质点远离地球，不断克服引力做功，摆脱地球引力时达到无穷远，动能消耗殆尽，引力势能达到最大值（等于零），有：2210011.220GMm mv v km s r Rv ≥-=∴=→∞= 方法4。
第一第二宇宙速度解读
第一第二宇宙速度解读人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢，这就要使运载飞行器或人造地球卫星的航天飞机或运载火箭的速度要达到宇宙速度，那什么是宇宙速度呢？所谓宇宙速度就是从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、第二、第三宇宙速度。
假设地球是一个圆环，周围也没有大气，物体能环绕地球运动的最低的轨道就是半径与地球半径相同的圆轨道。
这时物体具有的速度是第一宇宙速度，大约为7.9千米/秒。
也称为环绕速度。
物体在获得这一水平方向的速度以后，不需要再加动力就可以环绕地球运动。
地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度，也称为逃逸速度。
第二宇宙速度为11.2千米/秒，是第一宇宙速度的2倍。
地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球。
地球上物体飞出太阳系相对地心最小速度称为第三宇宙速度。
它的大小为16.6千米/秒。
地面上的物体在充分利用地球公转速度情况下再获得这一速度后可沿双曲线轨道飞离地球。
当它到达距地心93万公里处，便被认为已经脱离地球引力，以后就在太阳引力作用下运动。
这个物体相对太阳的轨道是一条抛物线，最后会脱离太阳引力场飞出太阳系。
第一第二宇宙速度怎么求到的呢？一、第一宇宙速度如果忽略空气阻力，被发射的人造卫星质量为m ，地球的质量为M,人造卫星到地心的距离为r ，人造卫星沿圆轨道绕地球飞行的速度为v ，由于这时人造卫星做圆周运动的向心力就是地球对它的万有引力，所以r mv r GMm 22= 由此解得rGM v = 对于靠近地面运行的人造卫星，可以认为此时的r 近似等于地球的半径R,所以RGM v = s m /1037.61098.51067.662411⨯⨯⨯⨯=- s km /9.7=对于靠近地面运行的人造卫星，它所受的万有引力又等于地球表面它所受的重力，又可以表示成 Rv m mg 2= gR v =61037.68.9⨯⨯=s km /9.7=从rGM v =可以知道，卫星距地心越远，它运行的速度越小，对于靠近地面运行的人造卫星它的r 最小，速度最大，所以第一宇宙速度是人造卫星绕地球转动的最大速度。
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第二宇宙速度公式的推导
问题分析：
1． 地球不是圆形的，物体绕地球做的的运动轨迹不是圆，而是椭圆。
2． 物体的运动既有动能也有重力势能，重力势能是地球对他的引力而产生的。
3． 当重力势能和动能相等的时候物体飞出地球。
4． 物体距地球中心的距离约等于地球的半径。
5． 满足地球表面的重力加速度。
问题假设：
1．假设地球是圆形的，物体绕地球在做匀速圆周运动 速度为/km s υ.
2．物体所具有的动能1E 重力势能2E 3．物体的质量m 地球的半径R 地球的质量M 万有引力常数G 重力加速度g 模型建立：
1． 物体的动能2
12m E υ=…………………………………………………………….. ① 重力势能2E mgR = ………………………………………………………………..②
2Mm mg G
R
= ………………………………………………………………………………③ ②式和③式可化为 重力势能2Mm E G R
=………………………………………………………………… ④ 3．当动能与重力势能相等时物体飞出地球即12E E = ①和④联立2
2m Mm G R υ= 即可推出 22GM R
υ= 由常识可知：地球的半径R=6610⨯m 地球的质量为24610M =⨯kg 万有引力常数为116.6710G -=⨯22/N m kg •
模型求解：
将R=6610⨯m 24610M =⨯kg 116.6710G -=⨯22/N m kg • 代入υ= 11.2/km s υ=。