1第一宇宙速度的推导
三个宇宙速度的多种推导及教学启示
龙源期刊网 三个宇宙速度的多种推导及教学启示作者：汪计朝李兴来源：《中学物理·高中》2015年第03期高中物理（必修2）中的《宇宙航行》一节对三个宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推导，这一内容的引入对于中学阶段的学生来说具有非常重要的意义，也是对人类飞天从梦想到圆梦这一历史进程的回顾.教参及高考都明确要求学生掌握三个宇宙速度的含义和数值，并且会推导第一宇宙速度.然而笔者在教学过程中发现，许多学生在学完第一宇宙速度之后，总是在不断询问和疑惑另外两个宇宙速度的推导过程.笔者觉得，作为一名合格的高中物理教师，不仅仅要传授给学生必备的高考知识，更应该去帮助学生答疑解惑，并且以此来激发学生的科学探究精神，进而来拓展他们想象和思考的空间，而不是单纯的把问题留给学生.下面笔者分别采用多种方法来推导这三个宇宙速度，以期起到抛砖引玉的作用.1第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推导法一当一颗卫星被发射后在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动而不落回地面，此时卫星具有的速度即为第一宇宙速度v1.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，由圆周运动知识得3第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推导在思考第三宇宙速度的求解方法时，许多同学都倍感困惑，感到是“老虎吃天——无从下口”.其实，从推导第二宇宙速度的解法模型中我们可以知道：如何求将一个离太阳1.5亿公里的相对于太阳静止的物体脱离太阳引力束缚需要的速度v1′的方法；再考虑到地球公转速度的因素，发射速度会相应的减小到v2′；最后再将发射时地球引力的影响因素考虑进去，还需要克服地球引力做功，速度再相应的增大至某一速度，这个速度就是第三宇宙速度v3.根据以上的分析不难得一个地球上的物体要想摆脱太阳的引力束缚，同时还要摆脱地球的引力束缚，其发射速度必须大于或者等于16.7 km/s，因此第三宇宙速度又叫逃逸速度.综上所述，对三个宇宙速度的推导过程中，不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取，还要用到数学上的微积分知识等.这些规律的综合运用，必然对于完善学生的知识结构、激发学生的求知探索能力大有脾益，特别是对于尖子生的培养将会起到极大的促进作用.。
第四章第三节 人造卫星 宇宙速度
第三节 人造卫星 宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)(1)数值 v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星最大的环绕速度． (2)第一宇宙速度的计算方法 ①由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GM R． ②由mg ＝m v 2R得v ＝gR ． 2．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？宇宙速度的理解与计算[重难提炼]1．第一宇宙速度的推导法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝7.9×103 m/s. 法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πR g＝5 075 s ≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2 km/s ≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．[典题例析](2018·南平质检)某星球直径为d ，宇航员在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h ，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )A．v 02 B ．2v 0d h C ．v 02h d D ．v 02d h[跟踪训练] (多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．该卫星在P 点的速度大于7.9 km/s ，小于11.2 km/sB ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行规律[重难提炼]三种匀速圆周运动的参量比较近地卫星(r 1、ω1、v 1、a 1) 同步卫星(r 2、ω2、v 2、a 2) 赤道上随地球自转的物体(r 3、ω3、v 3、a 3) 向心力 万有引力万有引力的一个分力 线速度 由GMm r 2＝m v 2r得 v ＝GM r，故v 1>v 2 由v ＝rω得v 2>v 3 v 1>v 2>v 3向心加速度 由GMm r 2＝ma 得a ＝GM r2， 故a 1>a 2由a ＝ω2r 得a 2>a 3 a 1>a 2>a 3轨道半径r 2>r 3＝r 1 角速度 由GMm r 2＝mω2r 得ω＝GM r 3，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1>ω2＝ω3 [典题例析](2018·沧州第一中学高三月考)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动；b 是近地轨道地球卫星；c 是地球的同步卫星；d 是高空探测卫星；它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期可能是20 h[跟踪训练] (2018·内蒙古集宁一中高三月考)如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径等于地球半径)，c 为地球的同步卫星，以下关于a 、b 、c 的说法中正确的是( )A. a 、b 、c 的向心加速度大小关系为a b >a c >a aB. a 、b 、c 的角速度大小关系为ωa >ωb >ωcC. a 、b 、c 的线速度大小关系为v a ＝v b >v cD. a 、b 、c 的周期关系为T a >T c >T b卫星的变轨问题[重难提炼]人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .因在A 点加速，则v A >v 1，因在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B 点时加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律a 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒，若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.3．卫星变轨的两种方式一是改变提供的向心力(一般不常用这种方式)；二是改变需要的向心力(通常使用这种方式)．[典题例析](2016·高考北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量[跟踪训练](多选) (2019·贵阳花溪清华中学高三模拟)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，用v1、v2、v3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的速度，用F1、F2、F3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点时受到的万有引力，则下面关系式中正确的是()A．a1＝a2＝a3B．v1＜v2＜v3C．T1＞T2＞T3D．F1＝F2＝F3卫星的追及、相遇问题[重难提炼]某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．[跟踪训练](2017·河南洛阳尖子生联考)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为()A ．t 01＋t 0R B ． 2⎝⎛⎭⎫t 01＋t 03 C ．R 3⎝⎛⎭⎫1＋t 0t 02 D ．R 3⎝⎛⎭⎫t 01＋t 02一、单项选择题1．如图所示，a 是地球赤道上的一点，t ＝0时刻在a 的正上空有b 、c 、d 三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向(顺时针方向)相同，其中c 是地球同步卫星．设卫星b 绕地球运行的周期为T ，则在t ＝14T 时刻这些卫星相对a 的位置最接近实际的是( )2．(2018·辽宁鞍山一中等六校联考)如图所示，质量相同的三颗卫星a 、b 、c 绕地球做匀速圆周运动，其中b 、c 在地球的同步轨道上，a 距离地球表面的高度为R ，此时a 、b 恰好相距最近．已知地球质量为M 、半径为R 、地球自转的角速度为ω，万有引力常量为G ，则( )A ．发射卫星b 时速度要大于11.2 km/sB ．卫星a 的机械能大于卫星b 的机械能C ．若要卫星c 与b 实现对接，可让卫星c 加速D ．卫星a 和b 下次相距最近还需经过t ＝2πGM 8R 3－ω3．2016年2月11日，美国自然科学基金召开新闻发布会宣布，人类首次探测到了引力波.2月16日，中国科学院公布了一项新的探测引力波的“空间太极计划”．由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年7月正式启动．计划从2016年到2035年分四阶段进行，将向太空发射三颗卫星探测引力波．在目前讨论的初步概念中，天琴将采用三颗相同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、高度约10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行探测，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”．则下列有关三颗卫星的运动描述正确的是()A．三颗卫星一定是地球同步卫星B．三颗卫星具有相同大小的加速度C．三颗卫星的线速度比月球绕地球运动的线速度大且大于第一宇宙速度D．若知道引力常量G及三颗卫星绕地球运转周期T可估算出地球的密度4．(2017·浙江名校协作体高三联考)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信．“墨子”将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道．此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7.G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是()A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/sB．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小5．(2018·衡阳第八中学高三月考)a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d均为同步卫星，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示，下列说法中正确的是()A．a、c的加速度大小相等，且小于b的加速度B．a、c的线速度大小相等，且大于第一宇宙速度C．b、d的角速度大小相等，且小于a的角速度D．a、c存在在P点相撞的危险6.2016年9月15日22时04分，举世瞩目的“天宫二号”空间实验室在酒泉卫星发射中心成功发射，并于16日成功实施了两次轨道控制，顺利进入在轨测试轨道．如图所示是“天宫二号”空间实验室轨道控制时在近地点(Q点)200千米、远地点(P点)394千米的椭圆轨道运行，已知地球半径取6 400 km，M、N为短轴与椭圆轨道的交点，对于“天宫二号”空间实验室在椭圆轨道上的运行，下列说法正确的是()A ．“天宫二号”空间实验室在P 点时的加速度一定比Q 点小，速度可能比Q 点大B ．“天宫二号”空间实验室从N 点经P 点运动到M 点的时间可能小于“天宫二号”空间实验室从M 点经Q 点运动到N 点的时间C ．“天宫二号”空间实验室在远地点(P 点)所受地球的万有引力大约是在近地点(Q 点)的14D ．“天宫二号”空间实验室从P 点经M 点运动到Q 点的过程中万有引力做正功，从Q 点经N 点运动到P 点的过程中要克服万有引力做功二、多项选择题7．(2015·高考天津卷)P 1、P 2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1、s 2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a ，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，两条曲线分别表示P 1、P 2周围的a 与r 2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )A ．P 1的平均密度比P 2的大B ．P 1的“第一宇宙速度”比P 2的小C ．s 1的向心加速度比s 2的大D ．s 1的公转周期比s 2的大8．(2018·江西六校高三联考)我国首个空间实验室“天宫一号”发射轨道为一椭圆，如图甲所示，地球的球心位于该椭圆的一个焦点上，A 、B 两点分别是卫星运行轨道上的近地点和远地点．若A 点在地面附近，且卫星所受阻力可以忽略不计．之后“天宫一号”和“神舟八号”对接，如图乙所示，A 代表“天宫一号”，B 代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道．由以上信息，可以判定( )A ．图甲中卫星运动到A 点时其速率一定大于7.9 km/sB ．图甲中若要卫星在B 点所在的高度做匀速圆周运动，需在B 点加速C ．图乙中“天宫一号”的向心加速度大于“神舟八号”的向心加速度D ．图乙中“神舟八号”加速有可能与“天宫一号”实现对接9．关于人造卫星和宇宙飞船，下列说法正确的是( )A ．如果知道人造卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力常量，就可以算出地球质量B ．两颗人造卫星，不管它们的质量、形状差别有多大，只要它们的运行速度相等，它们的周期就相等C ．原来在同一轨道上沿同一方向运转的人造卫星一前一后，若要后一个卫星追上前一个卫星并发生碰撞，只要将后面一个卫星速率增大一些即可D ．一艘绕地球运转的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受到的万有引力减小，飞船将做离心运动偏离原轨道10．(2017·牡丹江市第一高级中学高三月考) 如图“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入半径为100 km、周期为118 min的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，则下列说法正确的是()A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上短D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上小。
高一物理【宇宙航行】学习资料+习题(人教版)
高一物理【宇宙航行】学习资料+习题（人教版）一 宇宙速度 1．环绕速度一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球的质量为m 地，卫星的质量为m ，向心力由地球对它的万有引力提供，即G mm 地r 2＝m v 2r ，则卫星在轨道上运行的线速度v ＝Gm 地r。
2．第一宇宙速度(1)定义：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度。
(2)大小：v ＝7.9 km/s 。
3．第二宇宙速度在地面附近发射飞行器，如果速度大于7.9 km /s ，又小于11.2 km/s ，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。
当飞行器的速度等于或大于11.2 km /s 时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。
我们把11.2 km/s 叫作第二宇宙速度。
4．第三宇宙速度在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7 km/s ，这个速度叫作第三宇宙速度。
二 人造地球卫星 1．人造地球卫星发射1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功。
1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功。
2．地球同步卫星(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。
(2)地球同步卫星位于赤道上方高度约36 000 km 处，周期与地球自转周期相同。
其中一种的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同。
因其相对地面静止，也称静止卫星。
对宇宙速度的理解(1)如图所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
使物体变为卫星的最小发射速度是多少？不同星球的最小发射速度是否相同？(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度是越大还是越小？提示：(1)使物体变为卫星的最小发射速度是7.9 km/s ；根据G MmR 2＝m v 2R 得v ＝GMR，可见第一宇宙速度由天体质量和半径决定，不同星球的最小发射速度不同。
高中物理必修二 第三章 第四节 宇宙速度与航天
甲
乙
答案 由 Gmr地2m＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22r 可知，卫星的线速度大小、角
速度、周期与其轨道半径有关.
知识深化
1.人造地球卫星 (1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步 轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以 和赤道平面成任意角度，如图所示. (2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向 心力，所以卫星圆轨道的圆心必定是地心.
D.36 km/s
由 GMRm2 ＝mvR2得，v＝
GM R
又MM月 地＝811，RR地月＝14
故月球和地球的第一宇宙速度之比v月＝ v地
MM月地·RR月地＝
811×41＝29
故 v 月＝7.9×29 km/s≈1.8 km/s，
即该探月卫星绕月运行的最大速率约为1.8 km/s，因此B项正确.
针对训练
知识深化
2.近地卫星、同步卫星、极地卫星和月球 (1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、 周期T＝2πvR ≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大 速度和最小周期. (2)同步卫星：位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速 度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星. 同步卫星离地面高度约为36 000 km.
由万有引力提供，GMRm2 ＝mvR2，解得 v＝
GM R.
导学探究
(3)已知地球半径R＝6 400 km，地球表面的重力加速 度g＝10 m/s2，则物体环绕地球表面做圆周运动的速 度多大？ 答案 当其紧贴地面飞行时，r≈R，由 mg＝mvR2得 v＝ gR＝8 km/s.
知识深化
1.第一宇宙速度
答案 当抛出速度较小时，物体做平抛运动.当物体刚好不落回地面时， 物体做匀速圆周运动.当抛出速度非常大时，物体不能落回地球.
星球第一宇宙速度计算公式
星球第一宇宙速度计算公式星球第一宇宙速度是指一个物体需要达到的速度，以克服该星球引力而能够离开其表面的最小速度。
这是一个非常有趣和重要的概念，因为它关乎到人类探索宇宙的能力和其他星球的可达性。
在本文中，我们将介绍星球第一宇宙速度的计算公式，并解释其背后的原理。
首先，让我们来看看星球第一宇宙速度的计算公式。
根据物理学原理和牛顿第二定律，我们可以得到以下公式：v = √(2GM/r)其中，v表示需要达到的速度，G是万有引力常数，M是星球的质量，r是物体离开表面的距离。
这个公式告诉我们，星球第一宇宙速度与星球质量和物体距离的平方根成正比。
也就是说，当星球质量增加或者物体离星球表面距离减小时，第一宇宙速度也会增加。
这是因为质量大的星球会产生更强的引力，需要更高的速度才能克服它，而离星球表面更近的物体则能感受到更大的引力，同样需要更高的速度才能逃逸。
了解了计算公式，我们可以进一步了解星球第一宇宙速度的意义和指导意义。
首先，星球第一宇宙速度是人类探索宇宙的基础。
只有达到了该速度，人造卫星、火箭或者宇宙飞船才能够逃离地球引力束缚，进入太空并进行宇宙探索任务。
其次，了解星球第一宇宙速度可以帮助我们设计和计划探测任务。
通过计算星球质量和物体离表面距离，我们可以确定所需的第一宇宙速度，从而决定推进器的尺寸、能源需求等。
这对于实施太空任务的成功非常重要。
另外，星球第一宇宙速度不仅仅与探测任务有关，还与宇宙旅行和殖民其他星球的可行性相关。
如果我们打算前往其他星球定居或者进行长期宇宙旅行，了解星球第一宇宙速度可以帮助我们评估和规划任务的可行性。
我们可以计算出离开地球或其他星球所需的速度，从而确定所需的推进器性能和燃料储备。
这对于保证航天器的可持续性和任务的成功至关重要。
综上所述，星球第一宇宙速度是一个重要的概念，涉及到人类的航天探索、宇宙旅行和星球殖民等方面。
通过计算公式，我们可以确定所需的速度，从而规划任务和设计航天器。
第一宇宙速度的公式
第一宇宙速度的公式
第一宇宙速度公式是描述天体在引力场中运动的速度的公式，它是指一个天体在距离地球表面的高度为h时，所需的最小速度，使其能够克服地球引力，保持在轨道上运动。
这个速度被称为第一宇宙速度。
第一宇宙速度公式可以用以下公式表示：
v = √(GM/r)
其中，v是第一宇宙速度，G是引力常数，M是地球的质量，r是天体距离地心的距离。
这个公式告诉我们，当一个天体距离地球越远，它所需的速度就越小。
这是因为距离地球越远，地球对它的引力就越小，所以它需要的速度也就越小。
第一宇宙速度公式的应用非常广泛。
例如，当我们发射卫星进入轨道时，就需要考虑第一宇宙速度。
如果卫星的速度太低，它就会被地球引力吸引回来，无法进入轨道；如果速度太高，它就会飞出轨道，无法绕地球运动。
因此，我们需要根据卫星的高度和轨道类型来计算出它所需的第一宇宙速度，以确保它能够成功进入轨道。
除了卫星，第一宇宙速度公式还可以应用于其他天体的运动。
例如，当我们研究彗星的轨道时，也需要考虑第一宇宙速度。
彗星的轨道
通常是非常椭圆的，它们会在太阳和其他行星之间穿梭，因此我们需要计算出它们在不同位置所需的速度，以便预测它们的运动轨迹。
第一宇宙速度公式是描述天体运动的重要工具，它可以帮助我们计算出天体所需的最小速度，以保持在轨道上运动。
在未来的研究中，我们还将继续应用这个公式，探索更多关于宇宙的奥秘。
第一宇宙速度计算
第一宇宙速度计算第一宇宙速度，又称为逃逸速度，是指一个物体克服地球或其他天体引力的作用，从表面完全逃逸出去所需的最小速度。
它是一个极为重要的概念，对于了解天体运动和航天探测等领域有着重要的意义。
我们来看一下如何计算第一宇宙速度。
根据牛顿的万有引力定律，我们可以得到一个物体在地球表面的重力势能与动能之间的关系。
当物体达到逃逸速度时，它的动能等于它的重力势能，即1/2 mv^2 = G M m / R其中m是物体的质量，v是物体的速度，G是万有引力常数，M是地球的质量，R是地球的半径。
从上式中解出v，就得到了第一宇宙速度的计算公式：v = √(2 G M / R)在地球上，G、M和R分别是已知的常数，分别是6.67×10^-11 N·m^2/kg^2、5.97×10^24 kg和6.371×10^6 m。
将这些数值代入上式计算，可以得到地球的第一宇宙速度约为11.2 km/s。
第一宇宙速度的概念不仅适用于地球，也适用于其他天体。
对于不同的天体，其第一宇宙速度是不同的，这取决于天体的质量和半径。
例如，月球的第一宇宙速度约为2.4 km/s，太阳的第一宇宙速度约为617.5 km/s。
了解了第一宇宙速度的计算方法和应用范围后，我们来看一下它的意义和应用。
第一宇宙速度是航天工程中非常重要的参数之一。
对于发射卫星或探测器等航天器来说，如果速度不足以克服地球引力，就无法进入太空，任务将无法完成。
因此，准确计算和掌握第一宇宙速度对于航天工程的成功至关重要。
第一宇宙速度也对天体运动和宇宙探测有着重要的影响。
例如，对于行星或恒星之间的相互作用，知道它们的第一宇宙速度可以帮助我们了解它们之间的引力相互作用和轨道运动。
对于宇宙探测任务，合理选择发射速度可以帮助我们最大限度地利用燃料和资源，提高任务效率。
总结起来，第一宇宙速度是一个重要的物理概念，用于计算一个物体从地球或其他天体表面逃逸所需的最小速度。
关于对第一宇宙速度的理解
关于对第一宇宙速度的理解作者：范秀丽来源：《广东教育·高中》2011年第11期第一宇宙速度是人类在探索太空发射卫星时的一个重要概念，那么你对这个概念又了解多少呢？下面我们以地球的第一宇宙速度为例来加以说明，从而真正理解第一宇宙速度的含义：一、地球的第一宇宙速度的定义地球的第一宇宙速度就是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，这个速度也叫环绕速度.特别提醒：对于该概念的理解要从以下几个角度考虑：第一：物体的运动情况是做匀速圆周运动；第二：该定义明确指出了物体是在地球的表面，这就相当于指出了物体的轨道半径r近似为地球的半径R，即：r=R.二、第一宇宙速度的两种推导方法：方法一：设地球和卫星的质量分别为M、m，卫星到地心的距离为r，卫星运动的速度为v.将卫星绕地球的运行看成是匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律有：GMm/r2＝mv2/r.当卫星在地球的表面附近运行时，如图1所示，可认为此时的轨道半径r近似等于地球的半径R：r≈R=6.4×106m，此时卫星所受地球的万有引力与卫星的重力相差不大，则有：GMm/R2＝mv2/R由此可解得：v=■ (1)已知万有引力常数G=6.67×10－11N·m2/kg2，地球的质量M=6×1024kg和R=6.4×106m代入（１）式可解得地球上第一宇宙速度为：v1=■=7.9km/s．这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时所必须具有的速度.方法二：物体在地球表面附近物体的重力大小相近等于物体所受万有引力的大小，即：mg=G■，那么物体绕地球做匀速圆周运动需要的向心力大小也就等于物体所重力的大小，即mg=m■，因此可得v=■（g为地球表面的重力加速度）将g=9.8m/s和R=6.4×106m代入上式可解得地球上的第一宇宙速度为：v=7.9km/s.特别提醒：由以上两种推导方式可以看出,第一宇宙速度有两种表达方式: v=■或v=■，在运用的时候要根据条件进行分析.从以上两种表达可以看出，不同的天体，在其上面发射人造卫星的第一宇宙速度也不同，因此在说第一宇宙速度时一定要明确指出是某一个天体的第一宇宙速度，否则就是毫无意义的.例1. 若取地球的第一宇宙速度为v=8.0km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，那么这行星的第一宇宙速度约为A. 16 km/sB. 32 km/sC. 4 km/sD. 2 km/s解：由万有引力定律的G=■=m■，由此可得v=■.因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍.即M′=6M，R′=1.5R，由此可得：■=■=■=2.即：v′=2v=2×8km/s=16 km/s.由此选项A正确.总结：计算第一宇宙速度有两种方法：（1）由G■=m■得：v=■；（2）由mg=m■得：v=■.三、第一宇宙速度的三层含义如图2所示，一颗质量为m的卫星在距地心r的圆轨道上做匀速圆周运动，设其运行速率为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：GMm/r2＝mv2/r.由此可得卫星的速率为：v=■ （2）比较（1）（2）两式，由于r＞R，所以有v＜v1=7.9km/s.可见卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径越大，运行速率就越小，即人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度为7.9km/s.一颗质量为m的卫星在地球表面附近被发射并进入运行轨道，假设发射速度为v0=v1，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：GMm/R2＝mv02/R （3）即卫星恰好绕地球的表面附近做匀速圆周运动，若v0＜v1=7.9km/s，则由（3）式可得：GMm/R2＞mv02/R，即卫星所受到的万有引力大于卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，此时卫星将会靠近球心而落到地面，所以将使卫星进入轨道，所需的发射速度v0≥7.9km/s.即人造地球卫星的最小发射速度是7.9km/s.通过上面的分析可知第一宇宙速度它有三层含义：①第一宇宙速度是人造地球卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时所具有的速度.②第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度.③第一宇宙速度是发射人造地球卫星进入最低轨道所必须具有的最小速度.例2.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最大速度C. 它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D. 它是卫星绕地球飞行轨道上近地点的速度解析：根据第一宇宙速度的三层含义可知选项BC正确.思维总结：在分析第一宇宙速度的时候一定要理解它所表示的三层具体含义.四、第一宇宙速度与发射速度、运行速度的区别（1）发射速度：所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道．要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行．如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度．（2）运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度．根据v=■可知，人造卫星距地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小．实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度．五、第一宇宙速度的典型应用典型应用一：利用第一宇宙速度确定某卫星能否发射成功例3.可否发射一颗周期为80分钟的人造地球卫星？并说明你的理由.已知地球半径R=6.4×103km.（结果要求二位有效数字）.解析：设卫星绕地球运转的环绕速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：GMm/r2＝mv2/r ，由此可得卫星的速率为：v=■G=6.67×10－11N·m2/kg2、M=6×1024kg代入上式可解得地球上的第一宇宙速度为：v1=7.9km/s.若卫星的周期为T=80min，则卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度为：v=■=■≈8.4×103m/s.可见卫星的运行速度大于第一宇宙速度，显然不可能发射一颗周期为80分钟的人造地球卫星.思维总结：在知道某两个运行速度和轨道半径大小的前提下，可以比较两颗卫星绕同一天体运动周期的大小.典型应用二：利用第一宇宙速度求天体的质量例4.地球质量为M，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度，若已知地球第一宇宙速度的大小为v=7.9km/s，地球半径R=6.4×103km，万有引力恒量G=■×10-10N·m2/kg2，求地球质量（结果要求二位有效数字）.解析：设卫星质量为m，它在地面附近作圆周运动时圆半径可取为地球半径R，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G■=m■解得：M=■=■＝6.0×10２4kg思维总结：在公式G■=m■中若式中所对应的速度为某天体的第一宇宙速度，则此时卫星的轨道半径可近似地认为是某天体的半径.跟踪练习：1990年3月，紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为R2=32km.如该小行星的密度和地球相同，则对该小行星的第一宇宙速度是多少？已知地球半径R1=6400km，地球的第一宇宙速度v1=8km/s，重力加速度为g1.解析：设小行星上的第一宇宙速度为v2，其重力加速度为g2.地球的质量：Ｍ地球＝■?仔R１３·?籽，小行星的质量：Ｍ小行星＝■?仔R２３·?籽，设一质量为m的卫星在地球赤道表面附近运行，在天体的表面有mg1=G■当一质量为m的卫星在小行星赤道表面附运行时同样有mg2=G■由以上四式可得：■＝■ ①某天体上的第一宇宙速度可表示为v=■，所以地球上的第一宇宙速度与小行星上的第一宇宙速度之比为：■= ■ ②由①、②两式得：v2=■v1=■×8×103=40m/s.（作者单位：阳山县阳山中学）责任编校李平安。
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1.第一宇宙速度的推导
人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，设地球质量为
M .根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得G 2R
Mm =m R v 2
解得v =624
1110
37.61089.51067.6⨯⨯⨯⨯=-R GM m/s=7.9 km/s 或mg =m R
v 2
解得v =61037.68.9⨯⨯=gR m/s=7.9 km/s
2.人造卫星的加速度、速度、角速度、周期跟轨道半径的关系
人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力为地球对卫星的万有引力.根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得 G 2R Mm =ma =m r v 2=m ω2r =m r T
224π 所以a =r
GM ，随着轨道半径的增大，卫星的向心加速度减小. v =r
GM ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小.第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，是发射卫星的最小速度.
ω=3r GM
，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小.
T =2πGM
r 3
，随着轨道半径的增大，卫星绕地球运动的周期增大.近地卫星的轨道半径最小（近似看作等于地球半径），所以，近地卫星的周期最小.近地卫星的周期约为84.4min ，所有绕地球运行的卫星的周期都不会小于84.4min.
3.卫星的轨道
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道.
卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律.这类问题在中学物理中很少讨论.
卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星圆轨道的圆心.卫星的轨道平面可以在赤道平面内（如同步卫星），也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度.
4.同步卫星
同步卫星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星.同步卫星有以下几个特点：
（1）周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T =24h .
（2）角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度.
（3）轨道一定：由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行.又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力，这又决定了同步卫星圆周运动的圆心为地心.所以，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内.由于所有同步卫星的周期都相同，由r =3224
GMT 知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为3.５９×
１０４ km.
(4)环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是３.０８ km/s.
（5）向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为0.23 m/s 2.。