坐标系与参数方程高考真题五
高考真题第十八篇坐标系与参数方程
高考真题第十八篇坐标系与参数方程2019年1..（2019全国I 理22）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 理22）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P . （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.3.（2019全国III 理22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标.2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP =4.（2019天津理12）设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 .2010-2018年1．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a=___．2．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．3．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．4．（2016北京）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B两点，则||AB =____．5．（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为 ． 6．（2015安徽）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数a ∈R 20ax y -+=22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．15．（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．16．（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =求l 的斜率．17．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标． 18．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．19．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N,求2C MN ∆的面积．20．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 21．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.22．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．（2014新课标Ⅰ）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．25．（2013新课标Ⅰ）已知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为。
参数方程大题及答案
参数方程大题及答案【篇一：高考极坐标参数方程含答案(经典39题)】p class=txt>a,b两点.（1）求圆c及直线l的普通方程.（224．已知直线lc（1）求圆心c的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值．l，且ll分别交于b，c两点.在极坐标系（与直角坐标系5．在直角坐标系xoy 中，直线lxoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为??4cos?. （Ⅰ）求圆c在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆c与直线l相切，求实数a的值.6．在极坐标系中，o为极点，已知圆c(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线l和直线l(Ⅱ)求|bc|的长.3．在极坐标系中，点m轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是?1（1）写出直线l的参数方程和曲线c的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线c相交于两点a、b，并求|ma|?|mb|的值．cr=1，p在圆c上运动。
（i）求圆c的极坐标方程；（ii）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点o为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若q为线段op的中点，求点q轨迹的直角坐标方程。
l的极坐7．在极坐标系中，极点为坐标原点o，已知圆c（1）求圆c的极坐标方程；（2）若圆c和直线l相交于a，b两点，求线段ab的长.9．在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程是??4cos?，直线lt为参数）。
求极点在直线l上的射影点p的极坐标；若m、n分别为曲线c、直线l10．已知极坐标系下曲线c的方程为??2cos??4sin?，直线l?x?4cos??y?sin?8．平面直角坐标系中，将曲线?（?为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线c1 ．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线c2的方程为??4sin?，求c1和c2公共弦的长度．（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程;（Ⅱ）设l与曲线c相交于两点a、b，求点p到a、b两点的距离之积.11．在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为??x?4cos?(?为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正?y?3sin?14．已知椭圆cf1，f2为其左，右焦点，直线l的参数半轴为极轴的极坐标系中．曲线c2（１）分别把曲线c1与c2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线．（２）在曲线c1上求一点q，使点q到曲线c2的距离最小，并求出最小距离．12．设点m,n分别是曲线??2sin??01）求直线l和曲线c的普通方程；（2）求点f1，f2到直线l的距离之和.?x?3cos?15．已知曲线c:?，直线l:?(cos??2sin?)?12．y?2sin??⑴将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点p在曲线c上，求p点到直线l距离的最小值．m,n间的最小距离.16．已知?o1的极坐标方程为??4cos?．点a的极坐标是(2,?).（Ⅰ）把?o1的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点a的极坐标化为直角坐标．（Ⅱ）点m（x0，y0）在?o1上运动，点p(x,y)是线段am的中点，求点p运动轨迹的直角坐标方程．求曲线c2上的点到直线l距离的最小值.19．在直接坐标系xoy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线c的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点p17．在直角坐标系xoy中，直线l为参数)，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为?长．18．已知曲线c1的极坐标方程为??4cos?，曲线c2p与直线l的位置关系；，求直线l被曲线c所截的弦（2）设点q 是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．20l交曲线c：?比数列，求直线l的方程.?x?2cos?（?为参数）于a、b?y?2sin?的方程是4x?y?4, 直线l的参数方程22(t为参数）.（1）求曲线c1的直角坐标方程，直线l的普通方程；（2）21．已知曲线c1的极坐标方程是，曲线c2的参数方程是(1)写出曲线c和直线l的普通方程;(2)若|pm|,|mn|,|pn|成等比数列,求a的值.1）写出曲线c1的直角坐标方程和曲线c2的普通方程；（2）求t 的取值范围，使得c1，c2没有公共点．22．设椭圆e24．已知直线lc(1)设y?sin?,?为参数,求椭圆e的参数方程;(2)点p?x,y?是椭圆e 上的动点,求x?3y的取值范围.23．在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线a2c?s??,已知过点0p??2,?4?的直线l的参数方程为?oal与曲线c（i）求圆心c的直角坐标；(Ⅱ)由直线l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值．25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方弦长.?x?2cos?c的参数方程为?（?为对数），求曲线c截直线l所得的?y?sin? c:?si2n??分别交于m,n【篇二：2015高考理科数学《参数方程》练习题】lass=txt>一、选择题?x＝1＋3t，1．若直线的参数方程为?答案：d?x＝3t＋2，2．参数方程为?2?y＝t－1a．线段 c．圆弧2(t为参数)，则直线的倾斜角为( )y－2－3t3(0≤t≤5)的曲线为( )b．双曲线的一支 d．射线解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x ＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选a. 答案：a3．曲线?解析：曲线化为普通方程为答案：c4．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线?x2b.3 d．2312＋y218＝1，∴c＝6，故焦距为26.b．6或－4-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----c．－2或8解析：将曲线?22d．4或－6|－3＋c|＝0与圆x＋y＝5相切，可知＝5，解得c＝－2或8.5答案：c5．已知曲线c：??x＝t，?y＝t＋b(t为参数，b为实数)，若曲线c上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )a.2 c．0解析：将曲线c和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要|b|使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝答案：d?x＝4t，6．已知点p(3，m)在以点f为焦点的抛物线??y＝4ta．1 c．3b．2 d．42(t为参数)上，则|pf|＝( )解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点f(1,0)，准线方程为x＝－1，又p(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|pf|＝3－(－1)＝4.答案：d 二、填空题??x＝－2－2t，7．(2014年深圳模拟)直线??y＝3＋2t?坐标是________．??x＝－2－2t，1222??y＝3＋2t2222(t为参数)上与点a(－2,3)的距离等于2的点的(t-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)8．(2014年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线c：?解析：曲线c化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝|2k|333解析：利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程． 1?21?2x－＋y＝将x＋y－x＝0配方，得?2?4?22所以圆的直径为1，设p(x，y)，?2210．已知曲线c的参数方程为?24??-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(1)将曲线c的参数方程化为普通方程；解析：(1)由?2x2＋y＝1，x∈[－1,1]．4???x＋y＋2＝0，?2?x＋y＝1得x2－x－3＝0.解得x＝[－1,1]，故曲线c与曲线d无公共点．2?x＝2cos t，11．已知动点p、q都在曲线c：?(1)求m的轨迹的参数方程；m的轨迹的参数方程为?212．(能力提升)在直角坐标系xoy中，圆c1：x＋y＝4，圆c2：(x－2)＋y＝4.(1)在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆c1，c2的极坐标方程，并求出圆c1，c2的交点坐标(用极坐标表示)；222-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----3(2)解法一由?得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．?x＝1，故圆c1与c2的公共弦的参数方程为??y＝t，?x＝1，(或参数方程写成??y＝y，－3≤t≤3.－3 ≤ y ≤3)解法二将x＝1代入?于是圆c1与c2的公共弦的参数方程为 ?x＝1，?======*以上是由明师教育编辑整理======－-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----【篇三：坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)】ass=txt>一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、基础知识归纳总结：?x????x,(??0),1．伸缩变换：设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:?的作用下，?y???y,(??0).?点p(x,y)对应到点p?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
历年高考理科数学真题汇编+答案解析(8)：坐标系与参数方程(2017-2020年)
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是
4
,
2
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为 4 cos ,
4
,
2
.
6.（2019 全国 III 卷理 22）
如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B(
2, ) ，C(
2,
)
，
D(2,
)
，弧
AB
，
BC
，
BC
所在圆的圆
4
4
心分别是 (1, 0) ， (1, ) ， (1, ) ，曲线 M1 是弧 AB ，曲线 M2 是弧 BC ，曲线 M3 是弧 BC . 2
2 cos
0
π 4
，M2的极坐标方程为
2 sin
π 4
3π 4
，M3
的极坐标方程为
2
cos
3π 4
π
.
（2）设 P(, ) ，由题设及（1）知
-4-
若 0 π ，则 2 cos 3 ，解得 π ；
-2-
【解析】（1）因 t≠1，由 2 t t2 0 得 t 2 ，所以 C 与 y 轴的交点为（0, 12）； 由 2 3t t 2 0 得 t＝2，所以 C 与 x 轴的交点为 (4, 0) ．
故 |AB | 4 10 ．
（2）由（1）可知，直线
AB
的平面直角坐标方程为
x 4
y 12
1 ，将
x
cos，y
sin
代入，得直线 AB 的极坐标方程 3cos sin 12 0．
4.（2019 全国 I 卷理 22）
在直角坐标系
xOy
坐标系与参数方程高考常考题型及解析
析
联 立方
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导 一
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是等 价转 化 ， 抓住 这点 ， 才 能“ 以不变 应万 变” ．
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直 线方程． 然 后 求 直 角 坐 标 系下 的 点 到 直 线 的 距 离
考常 考题 型及 解析
◇ 山 东 杜 兆 洲
又 ｇ （ ２ ） 一 号 ， ｇ ‘ １ ） 一 ３ 。 故 ２ ｎ ＜ 号 一 ， “ ＜ 号 ．
所 以实 数 “的取 值范 同是 （ …一 ， ７ － ） ．
随 着 高 考 改 革 的不 但 深 入 ， 考 试 内容 也 不 断 改
（ ２ ， ） 到 直线 ｐ ｓ ｉ ｎ 一２的距 离等 ＝ Ｆ ． 标 为
值， ． ， ’ （ 一 ） 一一１ ＋Ｉ ｎ （ — Ｌ） ＝一ｌ —Ｉ ｎ （ 一“ ） ， 所 以
析
在极坐 标 系
Ｊ ＇ ｒ ） 化 为直触
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高考数学真题之坐标系与参数方程
坐标系与参数方程2019年1.（2019全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 文22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 3.(2019全国III 文22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标.2010-2018年1．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．2．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．3．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．4．（2016北京）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B两点，则||AB =____．5．（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为 ． 6．（2015安徽）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O e 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．15．（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．16．（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB ，求l 的斜率．17．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．18．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．19．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N,求2C MN ∆的面积．20．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 21．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.22．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．（2014新课标Ⅰ）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．25．（2013新课标Ⅰ）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。
坐标系与参数方程高考真题汇总
坐标系与参数方程高考真题汇总1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.详解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.2．（题文）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.3．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.4．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点，且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。
2010年高考题坐标系与参数方程
2010年高考题坐标系与参数方程1.（2010湖南文）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ⎧=--⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线3.（2010北京理）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是 （A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线4.（2010湖南理）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线5.（2010安徽理）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为10的点的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题6.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为8.（2010广东理）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．9.（2010广东文）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 .10.（2010辽宁理）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。
11.（2010福建理）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。
专题 坐标系与参数方程(解析版)
专题 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15 （，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为e ee et tt txy--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．答 案1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2） 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，31则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。