2016年高考文科数学全国2卷试题与答案(Word版)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项：
一、选择题：本大题共12 小题。

每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

2
（1）已知集合 A {1，2，3}，
B { x | x 9} ，则 A B
（A ）{ 2，1，0，1，2，3} （B）{ 2，1，0，1，2} （C）{1 ，2，3} （D）{1 ，2}
（2）设复数z 满足z i 3 i ，则z =
（A ） 1 2i （B）1 2i （C）3 2i （D）3 2i
(3) 函数y =Asin( x ) 的部分图像如图所示，则
（A ）y 2sin(2 x ) （B）y 2sin(2 x)
6 3
（C）y 2sin(2 x+ ) （D）y 2sin(2 x+ )
6 3
(4) 体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A ）12 （B）32
3
（C）（D）
(5) 设F 为抛物线C：y
2=4x 的焦点，曲线y=
2=4x 的焦点，曲线y= k
x
（k>0）与C 交于点P，PF ⊥x 轴，则k=
（A ）1
2 （B）1 （C）3
2 （D）2
2
2- 2x- 8y+13=0 的圆心到直线ax+ y- 1=0 的距离为1，则a= (6) 圆x +y
（A ）-
4
3 （B）-
3
4
（C） 3 （D）
2
(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B）24π（C）28π（D）32π
(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒.若一
名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为
（A ）
7
10 （B）
5
8
（C）
3
8
（D）
3
10
(9) 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B）12 （C）17 （D）34
lgx 的定义域和值域相同的是(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数
y=10
（A ）y= x（B）y=lg x（C）y=2
x（D）y 1
x
(11) 函数
π
f (x) cos2 x 6cos( x) 的最大值为
2
（A ）4（B）5 （C）6 （D）7
(12) 已知函数f(x )（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x
2-2x-3| 与y= f( x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，⋯，
m
（x m,y m），则x
i
=
i 1
(A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m
二．填空题：共4小题，每小题5分.
(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2) ，且a∥b，则m=___________.
x y 1 0
x y 3 0
，则z= x-2y 的最小值
为__________ (14) 若x，y 满足约束条
件
x 3 0
（15）△ABC 的内角A，B，C 的对边
分别为a，b，c，若cos
4 5
A ，cos C，a=1，则b=____________.
5 13
（16）有三张卡片，分别写有 1 和2，1 和3，2 和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或
演算
步骤
．
（17）(本小题满分12 分)
等差数列{ a n } 中，a3 a 4 4, a5 a 7 6
（I ）求{ a n }的通项公式；
(II)设b n =[ a
n ]，求数列{
b
n
} 的前10 项和，其中[x] 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
（18）(本小题满分12 分)
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
计表：随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统
（I ）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

求P(A) 的估计值；
(II) 记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
求P(B)的估计值；
（III ）求续保人本年度的平均保费估计值.
（19）（本小题满分12 分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF，EF 交BD 于点H，将DEF 沿EF 折到 D ' EF 的位置.
（I ）证明：AC HD '；
(II) 若
5
AB 5, AC 6, AE ,OD ' 2 2 , 求五棱锥 D ' ABCEF 体
4
积.
（20）（本小题满分12 分）
已知函数 f (x) ( x 1)ln x a(x 1).
（I ）当a 4时，求曲线y f (x) 在1, f (1) 处的切线方程；
(II) 若当x 1,时， f ( x)＞0 ，求a的取值范围. （21）（本小题满分12 分）
2 2
x y 已知 A 是椭圆E：
4 3
的左顶点，斜率为k k＞0 的直线交E 于A，M 两点，点N 在E 上，MA NA. 1
（I ）当AM AN 时，求AMN 的面积
(II) 当2 AM AN 时，证明： 3 k 2 .
请考生在第22~24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE= D G ，过D 点作DF ⊥CE，垂足为 F.
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 2 2
(x + 6) + y = 25 .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是?ìx = t cosα,
?
（t 为参数），l 与C 交于A，B 两点，AB = 10 ,求l 的斜率. í
?y = t sin α,
?
（24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
1 1
f (x) = x-+ x + ，M 为不等式 f (x) < 2 的解集.
2 2
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b? M 时， a + b < 1 + ab .
2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
（1）【答案】D （2）【答案】 C (3) 【答案】 A (4) 【答案】A
(5) 【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】 C (8) 【答案】B
(9) 【答案】C (10) 【答案】 D (11)【答案】B (12) 【答案】 B
二．填空题
(13)【答案】 6 (14)【答案】 5 （15）【答案】21
13
（16）【答案】 1 和3
三、解答题
（17）(本小题满分12 分)
【答案】（Ⅰ）
2n 3
a ；（Ⅱ）24. n
5
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1 ，d ，从而求得a n ；（Ⅱ）根据已知条件求b n ，再求数列b n 的前10 项和.
试题解析：(Ⅰ) 设数列
2 a 的公差为d，由题意有2a1 5d 4, a1 5d 3，解得a1 1,d ，n
5
所以a n 的通项公式为
2n 3 a . n
5
（Ⅱ）由(Ⅰ) 知
2n 3
b ，n
5
当n=1,2,3 时，
2n 3
1 2,b 1；
n
5
当n=4,5 时，2 2 3 3, 2
n
b ；
n
5
当n=6,7,8 时，
2n 3
3 4,b 3；
n
5
当n=9,10 时，
2n 3
4 5,b 4 ，
n
5
所以数列b的前10 项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24.
n
考点：等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）(本小题满分12 分)
【答案】（Ⅰ）由
60 50
200 求P(A) 的估计值；（Ⅱ）由
30 30
200
求P(B) 的估计值；（错误！未找到引用源。

）
根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：(Ⅰ) 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为
60 50 200 0.55
，
故P(A) 的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由是给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于
4 的频率为30 30
200
0.3
，
故P(B) 的估计值为0.3.
( Ⅲ) 由题所求分布列为：
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查200 名续保人的平均保费为
0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a ，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.
考点：样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分12 分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）69 4
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证AC/ / EF.再证AC / /HD .（Ⅱ）证明OD OH .再证OD 平面ABC.最后呢五棱
锥D ' ABCEF 体积.
试题解析：（I）由已知得，AC BD , AD CD. 又由AE CF 得AE CF
AD CD ，故
AC / /EF .
由此得EF HD , EF HD ，所以AC / /HD . . （II ）由EF / /AC 得 1 .
OH AE
DO AD 4
由AB 5, AC 6得 2 2 4.
DO BO AB AO
所以OH 1,D H DH 3.
于是 2 2 (2 2)2 12 9 2 ,
OD OH D H 故OD
OH .
由（I）知AC HD ，又AC BD, BD HD H ，所以AC 平面BHD ,于是AC OD .
又由OD OH, AC OH O ，所以，OD 平面ABC.
又由
E F DH
AC DO 得EF
9
2
.
五边形ABCFE 的面积 1 6 8 1 9 3 69 .
S
2 2 2 4
所以五棱锥D ' ABCEF 体积V 1 69 23 2
2 2 .
3 4 2
考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12 分）
【答案】（Ⅰ）2x y 2 0.；（Ⅱ）,2 . .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求 f (x)，f (1)，f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线y f ( x) 在(1, f (1)) 处的切线方程为2x y 2 0.（Ⅱ）构造新函数( ) ln ( 1)
a x
g x x
x 1
，对实数a分类讨论，用导数法求
解.
试题解析：（I） f (x)的定义域为(0, ) .当a4时，
1
f ( x) (x1)ln x 4( x 1), f (x) ln x 3
x
，f (1) 2, f (1) 0.曲线y f (x) 在(1, f (1))处的切线方程为2x y 2 0.
（II ）当x (1, ) 时， f (x) 0 等价于
a(x 1)
ln x 0.
x 1
令g( x) ln x a(x 1)
x 1
，则2
1 2a x 2(1 a)x 1
g (x) ,g (1) 0
2 2
x (x1) x(x 1)
，
（i ）当a 2，x(1, ) 时， 2 2(1 ) 1 2 2 1 0
x a x x x ，故g (x) 0, g(x)在x (1, ) 上单调递增，因此g( x) 0 ；
（ii ）当a 2时，令g (x) 0 得
2 2
x1 a 1 (a1) 1, x2 a 1 (a 1) 1 ，
由x2 1和x1x2 1得x1 1，故当x (1,x2) 时，g (x) 0，g( x) 在x (1,x2 ) 单调递减，因此g (x) 0. 综上，a的取值范围是,2 .
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12 分）
【答案】（Ⅰ）144
49
；（Ⅱ） 3 2, 2 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设M x1, y1 ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示x1 ，从而表示| AM |，同理用k 表示| AN |，再由2 AM AN 求k .
试题解析：（Ⅰ）设M (x1, y1) ，则由题意知y1 0 .
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
，
4
又A( 2,0) ，因此直线AM 的方程为y x 2 .
将x y 2代入
2 2
x y
4 3
1
得
2
7y12 y 0 ，
解得y 0或
12 12 y ，所以y1 .
7 7
因此AMN 的面积
1 1
2 12 144 S 2 .
AMN
2 7 7 49
（2）将直线AM 的方程y k(x 2)( k 0) 代入
2 2
x y
4 3
1
得
2 2 2 2
(3 4k )x 16k x 16k 12 0 .
由
2
16k 12
x ( 2)
1 2
3 4k
得
2
2(3 4k )
x
1 2
3 4k
，故
2
12 1 k
2
| AM | 1 k | x 2|
1 2
3 4k
.
1
y (x2)
k
，故同理可得
| AN |
12k 1 k
2
4 3k
2
由题设，直线AN的方程为
.
由2 | AM | | AN |得
2 k
2 2
3 4k
4 3k
，即 3 2
4k 6k 3k 8 0 .
设 3 2
f t t t t ，则k是f (t) 的零点，
( ) 4 6 3 8
2 2
f '(t ) 12t 12t 3 3(2 t1) 0 ，
所以 f (t) 在(0, )单调递增，又 f ( 3) 15 3 26 0, f (2) 6 0，
因此 f (t) 在(0, )有唯一的零点，且零点k 在( 3,2) 内，所以 3 k 2 .
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 2 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证DGF CBF , 再证B,C,G,F 四点共圆；（Ⅱ）证明Rt BCG Rt BFG , 四边形BCGF 的面积S 是GCB 面积S GCB 的2 倍.
试题解析：（I）因为DF EC ,所以DEF CDF ,
DF DE DG
则有GDF DEF FCB, ,
CF CD CB
所以DGF CBF , 由此可得DGF CBF ,
由此0
CGF CBF 180 ,所以B,C,G,F 四点共圆.
（II ）由B,C,G, F 四点共圆，CG CB 知FG FB ，连结GB ，
由G 为Rt DFC 斜边CD 的中点，知GF GC ,故Rt BCG Rt BFG ,
因此四边形BCGF 的面积S 是GCB 面积S的2 倍，即
GCB
1 1 1
S 2S 2 1 .
GCB
2 2 2
考点：三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）212 cos 11 0 ；（Ⅱ）15
3 .
【解析】
试题分析：（I）利用2x2 y2 ，x cos 可得 C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．
试题解析：（I）由x cos , y sin 可得C 的极坐标方程212 cos 11 0.
（II ）在（I）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为( R)
由A,B 所对应的极径分别为1, 2 ,将l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程
得
2 12 cos 11 0.
于是1 2 12cos , 1 2 11,
2 2
| AB | | | ( ) 4 144cos 44,
1 2 1 2 1 2
由| AB | 10 得 2 3 15
cos , tan
8 3
，
所以l 的斜率为15
3
或
15
3
.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】
（24）（本小题满分10 分）选修4—5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）M { x | 1 x 1}；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分
1
x ，
2
1 1
x 和
2 2
1
x 三种情况解不等式，即可得；（II ）
2
采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b 时，a b 1 ab ．
1
2x, x ,
2
试题解析：（I）
1 1
f (x) 1, x ,
2 2
1
2x, x .
2
当
1
x 时，由 f ( x) 2 得2x 2,解得x 1；
2
当1 1
x 时， f (x) 2 ；
2 2
当
1
x 时，由 f (x) 2 得2x 2, 解得x 1.
2
所以 f (x) 2 的解集M { x | 1 x 1}.
（II ）由（I）知，当a,b M 时， 1 a 1, 1 b 1，从而
2 2 2 2 2 2 2 2
(a b) (1 ab) a b a b 1 (a 1)(1 b ) 0 ，
因此|a b | |1 ab |.
考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】。