山东省诸城市中考数学压轴题专项汇编专题25全等三角形的存在性

专题25 全等三角形的存在性
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固
定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应
相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．
例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可列方程组，解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）显然OA＝2，OB＝3，OC＝4．所以．
若△P BD≌△PBC，则BD＝BC＝5，PD＝PC
所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，
①若点D为抛物线与x轴的左交点，即与点A重合．
如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点．
此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2B D．
由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）．
所以直线BE的表达式为．
联立方程组，解得，．
所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）．（4＋，）．
②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．
如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点．
此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4B D．
由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2），
所以直线BF的表达式为y＝2x－6．
联立方程组，解得，
所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋2），（－1－，－8－2），综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4＋，），（－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）．
（3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，
则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2．而∠AMN＝∠ABN＝900，
所以△AMN与△ABN全等有两种可能：
①当AM＝AB，MN＝BN时，
可列方程组，解得；（舍），
所以此时点M的坐标为（0，）．
②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：·
解得，（舍）
所以此时点M的坐标为（0，）．
综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）．
例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．
图1 图2
解：由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝．所以OD＝OB＝，BD＝OB＝．
①当点F在OA上时，
（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1．
此时DF⊥OA，所以OF＝OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）．
（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2．
此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝＝；所以∠BED＝300，
从而BE＝BD＝，AE＝．
过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝AE＝，
所以OG＝，即点E的坐标为（，）．
图3 图4
（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．
此时DE ∥OA ，所以BD ＝BE ． 从而AE ＝OD ＝， 过点E 作EG ⊥OA 于点G ， 则EG ＝AG ＝AE ＝
，
所以OG ＝，即点E 的坐标为（，
）．
②当点F 在AB 上时，只能有△ODF ≌△AFD ，如图4．
此时DF ∥0A ．且点E 与点A 重合， 即点E 的坐标为（4，0）． 综上可得，端足条件的点E 的坐标为（，0）， （，
），（，
）或（4，0）．
迸阶训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线与y 轴变于点C ．
直线l ；
与抛物线的对称轴交于点E ．连结CE ，探究；抛物线上是否存在一点F ，
使得△FOE ≌△FCE ．．若存在，请写出点F 坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
l
E
C
O
答案：
存在．点F 的坐标为（
，－4）或（
，－4）
2． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行．直线l 2
过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于点P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数（k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交干点F ．
（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；
（2）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标：若不存在，请说明理由．
F
E A
l 2
B
y
x
l 1
P O
备用图
A
l 2
B
y
x
l 1
P
O
答案： （1）k ＝2
（2）存在．点E 的坐标为（，2）或（
，2）
【提示】（2）易得点E （
，2），F （1，k ）．①如图1，当k ＜2时，只能有△MEF ≌△PEF ．过
点F 作FH ⊥y 轴于点H ，易证△BME ∽△HFM ，用k 表示相关线段的长度，从而得到BM ＝，
再解Rt△BME ，得k ＝
，所以点E 的坐标为（
，2）；②如图2，当k ＞2时，只能有
△MEF ≌△PFE ． 过点F 作FQ ⊥y 轴于点Q ，同①可得点E 的坐标为（
，2）
图1
H F
M P
l 2
E y
x
l 1
B O
图2
M
Q F
A
P l 2
E
y
x
l 1
B O
3．如图，抛物线
经过A （
，0），B （
，0），C （0，3）三点，
线段BC 与抛物线的对称轴交干D ，该抛物线的顶点为P ，连结PA ，A D ．线段AD 与y 轴相交于点E ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q ．使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
B
D
A y
x
P C
O
答案：
（1）抛物线的表达式为
（2）存在．点Q 的坐标为（，4），（，－2），（，1）或（0，7）．
【提示】（2）方法一：易求直线BC ：，从而点D 的坐标为（，2），可得
CD ＝PD ，所以△QCD 与△ADP 全等有两种情况．设点Q 坐标，通过两点间距离公式列出QC ，
QD ，AP ，AD 的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q 点坐标．
方法二：连接CP ，易证△CDP 为等边三角形，∠ADC ＝60°，所以∠PDA ＝120°．
△QCD 与△ADP 全等有两种情况，①如图1，∠DCQ ＝120°，CQ ＝DA ＝4，此时点Q 1的坐标为
（0，7），点Q 2的坐标为（
，1）；
②如图2，∠CDQ ＝120°，DQ ＝DA ＝4，此时点Q 3的坐标为（，－2），点Q 4的坐标为（
，
4）
2
Q 1
D
A
y
x
P
C
O
Q 4
Q 3
D
A
y
x
P
C
O。