运筹学作业题

1．已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形表法迭代后得到的表1，试求括号中未知数a-l 的数值。

解：

（1）X 5是基变量，检验数l=0 （2）x 1是基变量，则，g=1，h=0 （3）x 4行乘以1/2得到迭代后的x 1行 所以，f=6*1/2=3, b=2，c=4，d=-2

（4）x 4行乘以1/2加到x 5行上，得到迭代后的x 5行 所以，c*1/2+3=i ，i=5，d*1/2+e=1, e=2

（5）迭代前为初始单纯形表，价值系数为初始表检验数

所以，x2价值系数为-1， x3价值系数为2，x4价值系数为0 则，-7=-1-（2a-0*i ），所以a=3

j=2-（-a ）=5；k=0-（1/2*a+1/2*0）=-3/2

即，a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2, f=3, g=1, h=0, i=5, j=5, k= -3/2, l=0

2.已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯

解：初始单纯形表中的单位矩阵，在最终单纯形表中变化为B -1

(1) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-21043041411

h i l B

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-2/54/254/520152**********

'b h i l b B b

在最终表中，x 4是基变量，所以l =1 所以，b=10，i=-1/4，h=-1/2

(2) ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-0102121210414304141111'1a p B p 则a=2 （3）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-1001121210414304141121'2c p B p 则c=3 以此类推其它未知数取值。

即，a=2 b=10 c=3 d=1/4 e=5/4 f=-1/2 g=-3/4 h= -1/2 i= -1/4 j= -1/4 k=0 l=1

3.给出线性规划问题

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=≥≤++

≤+

+

≤+≤+++++=)

4,...,1(09

66283.42max 3

214

3

2

2

1

42

14

321j x x x x x x x x x x x x st x x x x z j

要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接写出对偶问题的最优解。 解：（1）其对偶问题为

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+

≥++

+≥+++++=)

4,...,1(01

14322.9668min 3

14

3

432

142

1

4321j y y y y y y y y y y y y st y y y y w j

（2）根据对偶理论知，4,2,2321===x x x 均绝对大于零，所以其变量对应的对偶问题的约束条件取严格等式。原问题与对偶问题同时取得最优解，且目标函数值相等。则可得：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+=+++=+++++=43214

3

2

143

432142

1432142966814

32

2.9668min x x x x y y y y y y y y y y y y y st y y y y w 解得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0

153544321y y y y

4.某厂生产A/B/C 三种产品，其所需劳动力、材料等相关数据见下表。要求：

（1）确定获利最大的产品生产计划；（2）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（3）如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该产品是否值得生产？（4）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场

解：

（1）设A/B/C 三种产品的产量分别为x 1，x 2，x 3，写出最优生产计划数学模型。

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≤++≤++++=3,2,1,04553645

536.43max 321321321j x x x x x x x st x x x z j

所有检验数均小于等于零，所以当前解为最优解。

⎪⎩⎪

⎨⎧===3053

21x x x

（2）假设产品A 的利润变动量为λ时，上述最优计划不变。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≤-≤--≤-05

3305

1

3023λλλ

解得5953≤≤-λ 所以5

243512≤

+≤λ 即在上述范围内最优计划不变。

（3）设计新产品，相当于增加一列p ，则有

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡--==-542285251313161

'6p B p ()51

5424366=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡--=c δ

因为检验数大于零，所以此产品值得生产。

（4）劳动力数量不增，材料不足可购买，相当于资源拥有量b 发生了变化，设变化情况为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆λ0b ，则⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=-λλλ52335052513131351'b B b b 因为决策为扩大生产，即保持生产品种（基变量）不变，所以得到：

⎪⎩⎪⎨⎧

≥+≥-05

2

3035λλ得到150≤≤λ 因为利润35

3

4321+=

++=λx x x z ，可知z 值随着λ增长而增长。当λ取最大值15时，z 值同时取的最大值。因此以购进15单位为宜。

5、 1.2.3三个城市每年需分别供应电力320，250，350个单位，由A 、B 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400，450个单位，单位费用如表所示。由于需求大于供给，决定城市1的供应量可减少0~30个单位，城市2的供应量不变，城市3的供应量不能少于270单位。试求总费用最低的分配方案。（将可供电量用完。）