[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章 第1讲 平面向量及其线性运算[配套课件]
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
2016高考数学(文)大一轮复习配套课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-2
[答案] D
第四章 第2讲
第26页
第二十六页，编辑于星期六：点 四十二分。
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(2)[2013·北京高考]向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图 所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝________.
4
A. 1
B. 3
2
5
C. 3
D. 6
第四章 第2讲
第23页
第二十三页，编辑于星期六：点 四十二分。
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解析：A→F＝mA→B＋nA→C＝mA→B＋2nA→E， 由 B、F、E 三点共线，得 m＋2n＝1，① A→F＝mA→B＋nA→C＝2mA→D＋nA→C， 由 C、F、D 三点共线，得 2m＋n＝1，② ①＋②得 3(m＋n)＝2，m＋n＝23. 答案：C
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考点 1 平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底．
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2. [课本改编]设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，
2016届高考数学考点专项突破复习讲义：向量工具(PDF版)
（3）定理： a 与 b 共线 ⇔ 存在唯一实数 λ ，使得 a = λ b 。
（4）平面向量基本定理： a = λ1 e1 + λ2 e2 3、数量积（内积）
- 第 1页 -
（1）定义 （2）性质 （3）运算律
数量积是数而不是向量。
4、线段的定比分点： λ =
P 1P PP2
( λ > 0; λ < 0; λ = 0 )
（4）若 a 与 b－c 都是非零向量,则“ a ⋅ b = a ⋅ c ”是“a⊥（b－c）”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （5）已知 | a |= 2 | b |≠ 0, 且关于 x 的方程 x + | a | x + a ⋅ b = 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范围是
B． 60
C． 120
D． 150
（2）已知 A（3，1） ，B（6，1） ，C（4，3） ，D 为线段 BC 的中点，则向量 AC 与 DA 的夹角为（
）
A．
π
2
− arccos
4 5
B． arccos
4 5
C． arccos( − )
4 5
D．－ arccos( − )
4 5
（3）设向量 a =（－1，2） ， b =（2，－1） ，则（ a · b ） （ a + b ）等于（
平面向量及空间向量
教 师：苗金利
爱护环境，从我做起
提倡使用电子讲义
第4讲
平面向量及空间向量
向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应 用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干 知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。 空间向量在新课标中，应用于立体几何的角和距离有所加强。
2016版高考数学大一轮复习课件：第4章-第2节平面向量基本定理及坐标表示
与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．
核
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法
课 时
心
限
考 向
则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．
时 检
测
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
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基 础 知 识 点
方
对点训练
(2013·江苏高考)设 D，E 分别是△ABC 的边
时 检
测
a＝λb＋μ c.
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
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基 础 知 识 点
上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，
方 法
技
则真命题的个数是( )
巧
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】 B
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十二页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
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基
础
知
识
点
考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用
方 法 技 巧
(1)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD
和 BC 的中点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ
＝
.
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十四页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
方
法
)
2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课件：第4章-第2节平面向量基本定理及坐标表示
基 础 知 识 点
方 法 技 巧
第二节
平面向量基本定理及坐标表示
课 时 限 时 检 测
核 心 考 向
菜
单
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基 础 知 识 点
[考 情 展 望
]
1. 考查用平面向量的坐标运算进行向量的
方 法 技 巧
线性运算 .2. 考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运 算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分 析问题和解决问题的能力．
核 心 考 向
菜
单
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基 础 知 识 点
3．已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)且 a∥b，则 y 等于( A．5 B．10 32 C. 5 D．15
)
方 法 技 巧
【答案】 B
核 心 考 向 课 时 限 时 检 测
菜
单
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基 础 知 识 点
核 心 考 向
x2y1＝0.
课 时 限 时 检 测
菜
单
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
1． 下列各组向量： ①e1＝(－1,2)， e2＝(5,7)； ②e1＝(3,5)， 1 3 e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(2，－4)，能作为表示它们 所在平面内所有向量基底的是( A．① B．①③ ) C．②③ D．①②③
方 法 技 巧
b 和 c， 总 存 在 实 数
③给 定 单 位 向 量
核 心 考 向
b和 正 数 μ， 总 存 在 单 位 向 量
使 a＝λb＋μ c； ④给 定 正 数 a＝λb＋μ c.
2016年高考数学总复习课件：第四章 第3讲 平面向量的应用举例
解：(1)依题意，得 f(x)＝(cosx，sinx)· 23，12＋1 ＝ 23cosx＋12sinx＋1＝sinx＋π3＋1， 则 fπ2＝sin56π＋1＝12＋1＝32.
第十页，编辑于星期五：二十三点 二十九分。
(2)由 f(α)＝sinα＋3π＋1＝95，得 sinα＋π3＝45. ∵π6<α<23π，∴π2<α＋π3<π. ∴cosα＋3π＝－ 1－452＝－35. ∴sin2α＋23π＝sin2α＋π3 ＝2sinα＋π3cosα＋π3＝2×45×－35＝－2245.
解析几何问题的几何意义，再根据这个几何意义用代数的方法
研究解决．
第二十一页，编辑于星期五：二十三点 二十九 分。
【互动探究】
3．已知曲线 Γ 上任意一点 M 到两个定点 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)的距离之和为 4.
(1)求曲线 Γ 的方程； (2)设过(0，－2)的直线 l 与曲线 Γ 交于 C，D 两点，且O→C·O→D ＝0(O 为坐标原点)，求直线 l 的方程．
第二十页，编辑于星期五：二十三点 二十九分。
(2)∵A→M＝λM→B，∴A，M，B 三点共线． 又∵点 C 在 AB 上，O→M·A→B＝0， ∴OM⊥AB，∠OMC＝90°. 故点 M 在以 OC 为直径的圆上运动，其轨迹方程为 x2＋y－122＝14(y≠0)．
【规律方法】在平面向量与平面解析几何整合的问题中， 难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何 问题；破解难点的方法是先根据平面向量知识弄清向量表述的
系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题．
第十七页，编辑于星期五：二十三点 二十九分。
《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习同步训练5-3平面向量的数量积及其应用
第3讲 平面向量的数量积及其应用A 级训练(完成时间：10分钟)1.在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b ＜0时，△ABC 为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2.已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，则这两个共点力对物体做的总功W 为( )A ．1B ．2C ．lg 2D ．lg 53.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．274.(2013·大纲)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－15.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →·CB →的值为 1 .6.(2013·课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝ 2 .7.(2014·广东深圳中学二模)(1)若a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，c ＝a ＋(a ·b )b ，求|c |；(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．B 级训练(完成时间：21分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5C ．5D ．102.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·广东广州一模)设a ，b 是两个非零向量，则使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件是( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．a ＝λb (λ＞0)D ．a ∥b3.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为 5 .4.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·安徽)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角的余弦值为________．5.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·广东潮州二模)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3，则AB →·CD →＝ －1 .6.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若b ∈R ，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为 90° .7.[限时4分钟，达标是( )否( )]在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|(O 为坐标原点)，求向量OB →.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点，其中O 为坐标原点． (1)求使CA →·CB →取得最小值时向量OC →的坐标；(2)当点C 满足(1)时，求cos ∠ACB .C 级训练(完成时间：5分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·辽宁)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )2.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 22 .\\第3讲 平面向量的数量积及其应用【A 级训练】1．C 解析：因为a ·b ＝|AB →|·|AC →|·cos 〈AB →，AC →〉<0，所以cos 〈AB →，AC →〉＜0，所以〈AB →，AC →〉＞90°，所以△ABC 为钝角三角形．2．B 解析：因为F 1＋F 2＝(lg 2，lg 2)＋(lg 5，lg 2)＝(1,2lg 2)，又因为在共点力的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，所以这两个共点力对物体做的总功W 为(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．D 解析：因为F 23＝F 21＋F 22－2F 1F 2cos(180°－60°)＝28，所以F 3＝27. 4．B 解析：因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.5．1 解析：因为DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|·cos 〈DE →·DA →〉＝DA →2＝1.6．2 解析：因为c ＝t a ＋(1－t )b ，c·b ＝0，所以c·b ＝t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以t cos 60°＋1－t ＝0，所以1－12t ＝0， 解得t ＝2.7．解析：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，a ·b ＝－1，所以c ＝a ＋(a ·b )b ＝(1,0)－(－1,1)＝(2，－1)， 所以|c |＝22＋(－1)2＝ 5.(2)因为|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝12＋(3)2＋2×1×3cos θ＝1，所以cos θ＝－32， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6. 【B 级训练】1．C 解析：因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC →|＝12＋22＝5，|BD →|＝(－4)2＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 2．D 解析：因为a ，b 是两个非零向量，则a·b ＝|a ||b |，所以a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝1，所以〈a ，b 〉＝0.所以a ∥b 是使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件．3．5 解析：因为知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，所以AB →＝(3,2－t )，又∠ABO ＝90°，所以OB →·AB →＝0，可得：2×3＋2(2－t )＝0.解得t ＝5.4．－13解析：由题意可得a 2＝9b 2， 且a 2＝a 2＋4b 2＋4a·b ，化简可得4b 2＝－4a·b ，所以|b|·|b|＝－|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－|b||a|＝－13. 5．－1 解析：因为CD →＝CB →＋BA →＋AD →，AB →·CB →＝AB →·AD →＝0，所以AB →·CD →＝AB →·(CB →＋BA →＋AD →)＝AB →·CB →＋AB →·BA →＋AB →·AD →＝－AB →2＝－1.6．90° 解析：在圆中若AO →＝12(AB →＋AC →)，即2AO →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →的和向量是过A ，O 的直径，则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形，则AB →⊥AC →，即AB →与AC →的夹角为90°.7．解析：因为点A (8,0)，B (n ，t )，所以AB →＝(n －8，t )，因为AB →⊥a ，所以AB →·a ＝(n －8，t )·(－1,2)＝0，得n ＝2t ＋8.则AB →＝(2t ，t )，又|AB →|＝5|OA →|，|OA →|＝8，所以(2t )2＋t 2＝5×64，解得t ＝±8，当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8.所以OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．8．解析：(1)因为点C 在直线OP 上，所以可设OC →＝tOP →＝(2t ，t )．因为OA →＝(1,7)，OC →＝(2t ，t )，OB →＝(5,1)，所以CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，所以CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，所以当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值－8，此时，OC →＝(4,2)．(2)当OC →＝(4,2)时，CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717. 【C 级训练】1．A 解析：方法一：取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，所以p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，所以a ＝xy c ，所以a ∥c ，所以 q 是真命题．综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．又因为綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．方法二：由于a ，b ，c 都是非零向量，因为a ·b ＝0，所以a ⊥b .因为b ·c ＝0，所以b ⊥c .如图，则可能a ∥c ，所以 a ·c ≠0，所以命题p 是假命题，所以綈p 是真命题．命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，所以a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．2．22 解析：由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →. 因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2， 即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2. 又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.。