常微分方程解的存在唯一性定理

常微分方程解的存在唯一性定理

一阶微分方程⑴

其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式

”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数

/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件

W八-卄 A = r—）M = max

' ■-.，这里」f，•心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想

首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程

的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数

俅沪）Vp（Z（）⑴）必

，显然J 也是连续函数，如果,

那末l:-'就是积分方程的解。否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到

汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数

惦（3.1.1.4）

这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X F

Jr

=y0+l

=y0+祕幼必

Jf

祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、

即•血，这就是说机x）是积分方程的解。这种一步一步地

求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件

Jf

瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒

的定义于V ——'■上的连续解。反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹

；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿h

J*D

（聊=12…）

1

命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足

不等式

命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。

设Ji—则Z也在- 上连续，且■:-1'.k'。

命题4厂T是积分方程的定义于V ——'■■:上的连续解。

命题5设是积分方程的定义于V ——'■'‘上的一个连续解，贝

7-门，。

综合命题1 —5,即得到存在唯一性定理的证明

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