山西省太原五中2019-2020学年度第二学期6月模拟考试(一)高三数学理(理)
2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性考试(5月) 数学(理)(PDF版)
（2） bn
4n
1
n 3n
1
an
，
an
3 4n 1
bn
n 1 3n1
Tn
b1
b2
bn
∴ Tn
2 30
3 31
1 3
Tn
2 31
3 32
n 3n2
n 1 3n1
①
n 3n1
n 1 3n
②
①-②得
2 3 Tn
2
1 31
1 32
（1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；
的极坐标方程是
（2）已知点 ， 的极坐标分别为
和
，直线
与曲线
相交于两点 ， ，射线 相交于点 ，求
与曲线 的值．
相交于点 ，射线
与曲线
23．（10 分）已知函数
（1）当
时，解不等式
（2）若存在 满足
， ；
，求
． 的取值范围．
封
姓名
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密
高三数学(理)
高三数学(理)
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三、解答题(本大题 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（12 分）已知数列 an
中，
a1 1，
an1
an an
4
n N*
.
（1）求证：
1
an
1 3
是等比数列，并求
an
的通项公式；
2020届山西省太原五中高三下学期阶段性考试数学(理)试题Word版含答案
2020届山西省太原五中高三下学期阶段性考试数学（理）试题总分：150分 答题时间：120分钟 日期：2017年4月26日一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案） 1. 在复平面内，复数i iZ 213+-=的共轭复数的虚部为A.i 53B.i 53- C. 53D. 53-2. 设 ，，则图中阴影部分表示的集合为A. )23,(-∞B. )23,1(C. )23,1[D. ]3,23(3. 如图，矩形长为 ，宽为 ，在矩形内随机撒 颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为A.B.C.D.4. 已知 是奇函数，是偶函数，且，，则等于 A. B.C. D.5. 设 ，且 ，则A.B.C.D.6. 如图，， 是椭圆 ： 与双曲线 的公共焦点，， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点．若四边形 为矩形，则 的离心率是A.B.C.23D. 267. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的A.115 B.1110 C.5536 D.5572 8. 函数 的图象大致B. C. D.A.9. 某旅行社租用 两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为 元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且 型车不多于 型车 辆，则租金最少为 A.元B.元C.元D.元10. 一动圆与直线 相切且始终过点 ，动圆的圆心的轨迹为曲线 ，那么曲线 上的点到直线的距离与到直线的距离和的最小值为A. B.C. D.11. 在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.12. 若函数 有极值点，且，则关于 的方程的不同实根个数是A. B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分） 13. nxx ）2（32展开式中第三项的系数比第二项的系数大，则的一次项为 ．三、14. 下列结论： ① 若命题 ：存在 ，使得；命题 ：对任意，，则命题"且"为假命题；②已知直线：，：．则的充要条件为 ； ③命题"若，则"的逆否命题为："若则"．其中正确结论的序号为 ． 四、 15. 直线，，与曲线所围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于 ． 五、16. 如图，点 为半圆的直径 延长线上一点，，过动点 作半圆的切线，若，则的面积的最大值为 ．三．解答题17.（本小题满分12分）已知正数数列的前项和满足. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．18.（本小题满分12分）某市为了提升市民和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意度”的调查．现随机抽取位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：（Ⅰ）求这位市民满意指数的平均值；（Ⅱ）以这人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数，求的分布列；（Ⅲ）从这位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为，求的概率．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程．21.（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线，直线（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．2020届山西省太原五中高三下学期阶段性考试数学（理）试题参考答案第一部分1. C2. B 【解析】，图中阴影部分表示的为．3. C4. B5. C【解析】因为，所以，又因为，如图：所以．6. D 【解析】由题可得，．设，，则由椭圆定义可得，又四边形为矩形，所以，从而有，所以，故，由双曲线的定义知，双曲线的离心率．7. A 【解析】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，；第五次循环，．此时输出．因为，所以．8. D 【解析】因为，所以，所以为奇函数，故函数图象关于原点对称，故排除 A．因为当从右趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，故排除 B，C．9. C 10. B【解析】设动圆的圆心为，由题意知，即，所以动圆的圆心的轨迹的方程为，由此可知抛物线的焦点为，准线为，设曲线上的点为，点到直线的距离为，到直线的距离为，由抛物线的定义知，所以，要使最小，只需、与在直线上的垂足共线即可，所以．11. C 12. A 【解析】，且函数有两个极值点，，，是方程的两个根．方程的根为或．设，则在和上单调递增，在上单调递减．又，如图所示：所以有两个不同实根，有一个实根，故原方程共有个不同实根．第二部分13.14. ①③【解析】①中为真，为真，所以为假；②中的充要条件是，而中；③正确．15.【解析】．16.【解析】设半圆的圆心为，连接，，则，设，则，在中，由余弦定理得，所以，所以，当时，面积最大，所以 .第三部分17. （1）当时，，又所以；当时，，所以．因此是以为首项，为公比的等比数列．故．（2）令，则，两式相减得，所以．18. （1）记表示这位市民满意指数的平均值，则（分）．（2）的可能取值为，，，．，，，，所以的分布列为（3）设“所有满足条件”为事件．①满足且的事件数为，②满足且的事件数为，③满足且的事件数为，所以，所以满足条件的事件的概率为．19. （1）证明：，为中点，．，，．又，，，而，．（2）根据题目条件，建立如图所示空间直角坐标系．，，．由，．设的法向量为．，．，取．在平面中，设法向量，由．取．．二面角的余弦值为20. （1）由题意可得解得所以椭圆的方程为．（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离为．由，得，解得，所以设，，由方程组整理得则所以因为，所以，解得且满足．因此直线的方程为或．21. （1）当时，令，得当时，；当时，；当时，；∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为．（2）∵，∴，所以记，则在有，∴当时，，即∴当时，函数在单调递减，在单调递增．，，记，下证明．设，令得∴在为单调递减函数，而∴的一个非零的根为，且．显然在单调递增，在单调递减，∴在上的最大值为而成立，∴．综上所述，当时，函数在的最大值22. （1）曲线的参数方程为直线的普通方程为（2）在曲线上任意取一点到的距离为则其中为锐角，且．当时，取得最大值，当时，取得最小值．23. （1）当时，原函数可化为当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得．所以的解集为．（2）由题意可知，所以因此，的解集包含等价于，当时，恒成立．经过求解可得，由条件得且，即，故满足条件的的取值范围为．。
2020届山西省太原市第五中学高三下学期6月月考数学(理)试题(解析版)
2020届山西省太原市第五中学高三下学期6月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=．则AB =（ ）A ．[]3,3--B ．[]22-,C ．[]4,4-D ．∅【答案】B【解析】首先确定集合,A B ，再由交集运算求解． 【详解】()(){}440{|44}[4,4]A x x x x x =-+≤=-≤≤=-， {}{}222416{|4}22[2,2]B y x y y y y =+==≤=-≤≤=-，所以[2,2]AB =-．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，确定出集合的元素是解题关键． 2．“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”是“0a =”的（ ） A ．充分条件，但不是必要条件 B ．必要条件，但不是充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分也不是必要条件【答案】A【解析】试题分析：由“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b 不为0.故选A ． 【考点】本题主要考查充要条件的概念，复数的概念．点评：简单题，涉及充要条件的判定问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断．3．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）【解析】先写出双曲线渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与直线13y x =垂直，由斜率乘积等于-1求解. 【详解】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3a y x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=， 解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】根据题意，构造函数()ln 211f x x x =+-，利用函数零点存在性定理判断即可得到结论. 【详解】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x'=+>恒成立， 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈， 又()0,1x k k ∈+，*k N ∈，所以4k =. 故选：C.化为两个函数交点的问题是常用的手段，将方程转化为函数，利用零点判定定理是基本方法．5．已知,x y 满足约束条件{34y xy xx y ≤≥+≤，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ） A ．2z x y =- B ．2z x y =-+ C ．12z x y =-- D ．2z x y =+【答案】B 【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(2,2),(3,1)A B C ，所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值，直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值，选B.【考点】线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或A ．41B ．56C ．156D ．252【答案】B【解析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数． 【详解】解：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．故有5856C =种．故选：B 【点睛】本题考查“插板”法解决组合问题，属于基础题.7．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A 21- B 21+ C ．612D ．312- 【答案】D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-=而截面到球体最低点距离为312-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为111222⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 8．已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan 2α=（ ） A．12- B．12+-C．12- D．12【答案】B【解析】首先根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得tan 2α=，再由二倍角正切公式解方程可得； 【详解】解：因为2sin 21cos2αα=-所以()24sin cos 112sin ααα=--，即24sin cos 2sin ααα= 因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2cos sin αα=，即tan 2α=又22tan2tan 1tan2ααα=-，所以22tan221tan 2αα=-，即2tan tan 1022αα+-=解得tan2α=或tan 2α= 因为3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α= 故选：B 【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 9．设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性可求出()()2cos xxf xg x e-=-，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果. 【详解】因为()()2cos xf xg x e x +=，所以()()()2cos xf xg x ex --+-=-，即()()()2cos xf xg x e x --+=，所以()()2cos xxf xg x e -=-. 因为2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误. 又()22sin 2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以4πx =-为极值点，即B 错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用，属于基础题.10．如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C∵()()a P X a Φ-=≤-，∴图中阴影部分面积为()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为()()1122P X a a ≤-=Φ-，又()P a X a -≤≤=()()a a Φ-Φ-，阴影部分面积为()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦; 故正确的个数为①③④共3个， 故选：C. 【点睛】本题考查了正态分布的性质，熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属容易题．11．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A ．622+B ．3C ．642+D ．322+【答案】D【解析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--．令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)()()2111f =--3=+故选D ． 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 12．设fx 是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在△ABC 中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sin sin sin sin f C B f B C <C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D ．()()22cos sin sin cos f C B f B C >【答案】D 【解析】设2()(),f x g x x =再利用导数证明函数()g x 在0+∞（，）单调递增，再证明(sin )(cos )g B g C <，化简即得解.【详解】 因为()()2f x f x x'>，0x >， 所以()()2(),2()0f x x f x f x x f x ''⋅>∴⋅->. 设23()()2()(),()0f x f x x f x g x g x x x'⋅-'=∴=>， 所以函数()g x 在0+∞（，）单调递增. 因为A ∠为钝角，所以,,sin sin(),sin cos 222B C B C B C B C πππ+<∴<-∴<-∴<,所以(sin )(cos )g B g C <, 所以22(sin )(cosC),sin cos f B f B C< 所以()()22cos sin sin cos f C B f B C >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．2020503+被7除后的余数为________________________． 【答案】4 【解析】先化简20202020503(491)3+=++，再利用二项式定理求出余数.【详解】 由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3494949493C C C C +=++=+++++020201201920192020202020204949494C C C =++++因为02020120192019202020202020494949C C C +++能被7整除，所以2020503+被7除后的余数为4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查二项式定理求余数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________． 【答案】24x y =或24y x =【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，当2,1x y =-=时，4m =，此时，24x y =，点()4,4在抛物线上.设抛物线的标准方程为：2n y x =，当1,2x y ==时，4n =，此时，24y x =，点()4,4在抛物线上.故答案为：24x y =或24y x =.本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点．若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________．【答案】262⎣⎦【解析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解． 【详解】解：补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面EFGHQR ， P AC ∴∈，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C C D D所以1D PD ∠即为直线1D P 与直线1C C 所成角， 连接DP 22DP ≤≤，在1D DP 中，22211D P DP D D =+，所以16,22D P ⎡∈⎣所以1126cos D D D P θ=∈⎣⎦故答案为：26,23⎣⎦【点睛】本题考查了线面平行，面面平行，立体几何中的动点问题，属于中档题． 16．ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且()23sin SA C +=，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC 面积的最大值为____________________． 【答案】843-【解析】先根据余弦定理以及三角形面积公式化简条件()23sin SA C +=得B ，再利用向量化简条件：BM =2，并利用基本不等式求ac 最大值，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】()123sin 2332sin sin cos 2cos ac BS A C B B ac B +==∴=(0,)3B B ππ∈∴=1(),||22BM BA BC BM =+=222214(2cos )16323423c a ac B c a ac ac ac ac ∴=++∴=++≥+∴≤+当且仅当a c =时取等号因此ABC 面积111sin 4(23)84324423S ac B ac ==≤=-=-+故答案为：83- 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、向量表示、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图所示的多面体ABCDEF满足：正方形ABCD与正三角形FBC所在的两个平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA．（1）证明：平面EFD⊥平面ABFE；（2）求二面角E﹣FD﹣C的余弦值.15【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明AB⊥平面BCF，然后可得平面EFD⊥平面ABFE；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求.【详解】（1）由题可得，因为ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，所以BC∥AD，BC＝AD，FB＝BC且∠FBC＝60°，又因为EA∥FB，2EA＝FB，所以∠EAD＝60°，在三角形EAD中，根据余弦定理可得：ED⊥AE.因为平面ABCD⊥平面FBC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面FBC＝BC，且AB⊆平面ABCD，所以AB⊥平面BCF，因为BC∥AD, E A∥FB，FB∩BC＝B，且FB、BC⊆平面FCB，EA、AD⊆平面EAD，所以平面EAD∥平面FBC，所以AB⊥平面EAD，又因为ED⊆平面EAD，所以AB⊥ED，综上：ED⊥AE，ED⊥AB，EA∩AB＝A且EA、AB⊆平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE，又DE⊆平面DEF，所以平面EFD⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC和AD的中点O，G，连接OF，OG，因为BO＝OC且三角形FBC为正三角形，所以FO⊥BC，因为AG＝GD，BO＝OC，所以OG∥AB，由（1）可得，AB⊥平面FBC，则OG⊥平面FBC，故OF、OB、OG两两垂直，分别以OB、OG、OF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒1111124230330x y z x z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(113n =，，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒22222423040x y z y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒()301m =-，，，所以15cos 5215n m n m n m⋅===，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值为15【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明详见解析；12n na ；（2）存在，0λ=．【解析】（1）根据数列递推关系可得1112n n S a +++=，即可证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，再进一步求出数列的通项公式；（2）先根据数列的前3项成等差数列求得0λ=，再证明0λ=一般性也成立. 【详解】解：（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-， 则111n n n n n n a S a a S a ++++=+， 即()()1111n n n n S a S a +++=+． ∵数列{}n a 的各项均为正数， ∴1111n n n n a S a S +++=+． ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋅⋯=⋅⋯+++，化简，得1112n n S a +++=，① ∴当2n ≥时，12n n S a +=，② ②-①，得12n n a a +=，∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n na ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=．综上所述，可得1n a =，*n N ∈． ∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查根据数列的递推关系求等比数列的通项公式、利用等差数列的性质求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)，离心率为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意得22222311c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+，由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++，综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（i ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 改造前 改造后（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天()*k N∈进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列． 【答案】（1）（i ）列联表详见解析；（ii ）有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）详见解析．【解析】（1）（i ）根据茎叶图的数据先求得中位数，进而得到5a =，15b =，15c =，5d =，完成列联表；（ii ）根据（i ）中的列联表将数据代入22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求得2K ，然后与临界表对比下结论.（2根据茎叶图可知：生产线需保障维护的概率为51204p ==，设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，根据正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元，得到一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，然后求得相应的概率列出分布列. 【详解】（1）（i ）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（ii ）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率， 生产线需保障维护的概率为51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()4438124256P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：【点睛】本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()1=x x f x a e--的两个零点记为12,x x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：12x x ->【答案】（1）)1(0a ∈，（2）证明见解析 【解析】（1）分离参数，构造1()x x g x e-=，求导，根据函数的单调性求出a 的范围．（2）先证明122x x +>，所以要证明12||x x ->2112(1)x x x ->->2112x x a ->-，111x x a e-=，只需证明12111120x x x x e-+->，101x <<，构造函数()h x ，利用导数研究函数的单调性和最值，证明即可．【详解】解：（1）由()0f x ＝，得1x x a e -＝，令()1x x g x e -＝，()11'x xg x e--＝， 当()()()1'0x g x g x ∈-∞，，＞，递增；当()()()1'0x g x g x ∈+∞，，＜，递减； ()g x 有最大值()00g ＝，又()0x g x →+∞→，，故函数有两个不同的零点，)1(0a ∈，； （2）先证明122x x +＞，不妨设12x x ＜，由（1）知，1201x x ＜＜＜， 构造函数()()()()()()()111122'1x x x x F x f x f x xe x e F x x e e ----------＝＝，＝，当)1(0x ∈，时，()'0F x ＞，()F x 递增，()()100F F x ＝，＜， 所以()10F x ＜，即()()112f x f x -＜，所以121x -＞，由()()12f x f x ＝， 由（1）知，当(1)x ∈+∞，，()f x 递减； 所以212x x -＞，即122x x +＞，要证明12x x ->只需证明()21121x x x --＞＞即2112x x a ->-，111x x a e -＝，只需证明1211111+2001x x x x x e--＞，＜＜， 构造函数()212x x h x x x e -+-＝，()()11'12x h x x e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，当()()()012'0x ln h x h x ∈-，，＞，递增；()()()121'0x ln h x h x ∈-，，＜，递减； 当]1[0x ∈，时，()()(){00}1min h x min h h ＝，＝， 所以当()()010x h x ∈，，＞， 故原命题成立. 【点睛】本题考查了函数零点判断问题和极值点偏移问题，用到构造函数法判断函数的单调性和最值，难度较大，综合性高．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-． 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =．故曲线C 的直角坐标方程为24y x =． （2）设直线DE的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <． ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+． 【答案】（1）{}02x x <<；（2）详见解析．【解析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可；（2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【详解】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<． （2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +，∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+，∴()224281a b b a b +++≥+． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。
山西省太原市第五中学2020届高三数学第二次模拟考试(6月)试题理
来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————山西省太原市第五中学2020届高三数学第二次模拟考试（6月）试题 理第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1．设集合A ＝{x|x 2－x －2＜0}，集合B ＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝( )A ．[－1,1]B ．(－1,1]C ．(－1,2)D ．[1,2) 2.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( )A.1B.－1C.iD.－i3．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为（ ）A.2B.4C.6D.85.函数2sin 6241x x x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ）6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π167.向量a ，b 均为非零向量，若(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D ．5π68. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．12πB ．16πC ．32π3D ．403π9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m≥2，且m ∈N *)，则a 2019的值为( )A ．2020B ．4032C ．5041D ．301910.已知抛物线C 的方程为,F为其焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点，则|AP||BQ|的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知函数 ,给出下列四个结论：（1）f(x)不是周期函数(2)f(x)是奇函数（3）f(x)的图象关于直线对称（4）f(x)在处取得最大值其中所有正确结论的编号是（）A.（1）（3）B.（2）（4）C.（1）（3）（4）D.（1）（2）（4）12.已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=,E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线y＝(ax＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝______.14.记S n为正项等比数列{a n}的前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5=______. 15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.16. 已知双曲线()222210,0x yC a ba b-=>>：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若60PAQ∠=︒，且3OQ OP=，则双曲线C的离心率为＿＿＿＿三、解答题（共70分）17.如图，在三棱锥S ABC-中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC∠=°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A SC B--的余弦值．18.在ABC∆中, 3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C---+=-,其中角,,A B C的对边分别为,,a b c；(1)求sin A的值;(2)若42a=,5b=,求向量BA在BC方向上的投影.OSBC来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）20.已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P ()4,0，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率取值范围，并证明直线ME 与x 轴相交于定点.21.已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R . （1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值()g k 的表达式，并求()g k 的最大值.选考题：满分10分，请考生在22、23题中任选 一题作答，如果多选，则所做第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，l 的方程为4x =，C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）直线[)(),0,R θαραπ=∈∈与l 交于点A ，与C 交于点B （异于O ），求OB OA的最大值.23.已知函数()1=-f x x .（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.BBACD CBDBB AB-3 314 0.046 0817. 18、解:(1)由已知得：3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-3cos()5A B B ⇒-+=-,即 53cos -=A 又0A π<<,所以4sin 5A =(3)由正弦定理,有 Bb A a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B . 根据余弦定理,有)53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ,解得 1=c 或 7-=c (负值舍去), 向量BA 在BC 方向上的投影为=B BA 2219.【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X 的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以数学期望()26355E X =⨯=． 20.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）设点O 关于直线250x y --=的对称点为()00,O x y '，根据一垂直二平分，解得0x ，再结合离心率为12，且椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————上，由2412a c e a ⎧=⎪⎨==⎪⎩求解.（2）设直线PN 的方程为()4y k x =-()0k ≠，且()11N x y ,，()22,E x y ，则()11,M x y -，与椭圆方程联立，通过>0∆，解得直线PN 的斜率取值范围；写出直线ME 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，得122112x y x yx y y +=+，然后将韦达定理代入求解.【详解】（1）设点O 关于直线250x y --=的对称点为()00,O x y '，则00002502221x y yx ⎧⨯--=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩， 解得0042x y =⎧⎨=-⎩，依题意，得2412a c e a ⎧=⎪⎨==⎪⎩，∴2a =，1c =，b =∴椭圆C 的方程是22143x y +=；（2）设直线PN 的方程为()4y k x =-()0k ≠，且()11N x y ,，()22,E x y ， 则()11,M x y -，由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222343264120k x k x k +-+-=，()()()2223243464120k k k ∆=--+->，解得1122k -<<，且0k ≠， ∴直线PN 的斜率取值范围是11,00,22⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 由韦达定理得：212221223234641234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 直线ME 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，解得：()()()()1221122112124444kx x kx x x y x y x y y k x k x -+-+==+-+-，()121212248x x x x x x -+=+-，()222222264124323434132834k k k k k k -⨯-++==-+，∴直线ME 与x 轴交于定点()1,0.21.【答案】（1）详见解析过程；（2）2()(1)e k g k k k k =--，[]1,2k ∈，()2max 24g k e =-. 【解析】【分析】（1）求出()f x '，分别讨论0k ≤，02k <<，2k =时()f x '正负情况即可； （2）判断函数()f x 在[0，k ]上单调性，求出()g k ，再利用导数求最值即可. 【详解】（1）()2(2)x x f x kxe x x ke '=-=-，当0k ≤时20x ke -<，令'()0f x >得0x <，令'()0f x <得0x >，故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， 当02k <≤时，令'()0f x =得0x =，或2ln 0x k=≥，当02k <<时2ln 0k >，当'()0f x >时2ln x k >或0x <；当'()0f x >时20ln x k<<；()f x 的单调递增区间为()2,0,ln,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 当2k =时2ln0k=，当0x >时'()0f x >；当0x <时'()0f x >；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；（2）当12k ≤<时，由（1）知，()f x 的单调递增区间为为()2,0,ln,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 令2()ln[12]h k k k k =-∈，，，211()21102k h k k k ⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()h k 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210ln h k h k k=-<⇒<≤， 所以当x ∈[0，k ]时函数()f x 单调减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调增区间为2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k ； 故函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)[(1)1]k kf k f k k e k k k k e k -=--+=--+(1)(1)k k k e =--对于[12]k ∀∈，，(1)0,110k k k e e -≥-≥->，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)k f x f k k k e k ==--.当2k =时由（1）知；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；所以当x ∈[0，k ]时函数()f x 单调递增，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--.综上所述：函数()f x 在[0，k ]上的最大值为2()(1)e k g k k k k =--，[]1,2k ∈2()(1)e 2k g k k k k '=+--，由于210k k +->，2k e e ≥>∴()()22()(1)e 222222110k g k k k k k k k k k '=+-->+--=+-≥对[]1,2k ∀∈恒成立∴()g k 在[]1,2上为增函数. ∴()()2max 224g k g e ==-.22.【答案】（1）4cos ρθ=，4sin ρθ=；（2）12.【解析】 【分析】（1）结合直角坐标方程、参数方程和极坐标方程间的关系，求出直线l 和曲线C 的极坐标方程即可；（2）将射线[)(),0,R θαραπ=∈∈与曲线C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,OA OB 的表达式，然后求出||||OA OB 的取值范围即可. 【详解】（1）由4x =得cos 40ρθ-=，即4cos ρθ=， 所以l 的极坐标方程为4cos ρθ=.来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得32(2)4x y +-=，即2240x y y +-=， 所以24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=，所以C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）由4cos θαρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得4cos A OA ρα==， 由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得4sin B OB ρα==，所以cos 14sin sin cos sin 242OB OA ααααα=⋅==，[)0,απ∈ 所以当4πα=或34π时，OB OA 的最大值为12.23.【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，代入得到不等式14x x -+≥，分类讨论，即可求解不等式的解集； （2）根据绝对值的三角不等式，以及基本不等式，即可作出证明. 【详解】（1）由()(1)4f x f x ++≥得14x x -+≥，当1x >时，得214x -≥，所以52x ≥； 当01x ≤≤时，得14≥，所以x ∈∅；当0x <时，得124x -≥，所以32x ≤-； 综上，此不等式的解集为：35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）由1()()f x f x -+=111x x++- ， 由绝对值不等式得1111x x x x++-≥+， 又因为1,x x 同号，所以11x x x x+=+，由基本不等式得：12x x+≥，当且仅当1x =时，等号成立， 所以1()()2f x f x-+≥.。
山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学(理)试题
山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=．则AB =（ ）A ．[]3,3--B ．[]22-,C ．[]4,4-D ．∅2．“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”是“0a =”的（ ） A ．充分条件，但不是必要条件 B ．必要条件，但不是充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分也不是必要条件3．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．18B ．9C ．6D ．34．已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知,x y 满足约束条件{34y xy xx y ≤≥+≤，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ） A ．2z x y =-B ．2z x y =-+C ．12z x y =-- D ．2z x y =+6．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A ．41B ．56C ．156D ．2527的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A BC ．12D ．12- 8．已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan 2α=（ ）A B ．C ．12-± D 9．设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A ．1B ．2C ．3D ．411．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A ．6+B ．C ．6+D ．3+12．设fx 是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在△ABC 中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sin sin sin sin f C B f B C <C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D ．()()22cos sin sin cos f C B f B C >第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．2020503+被7除后的余数为________________________．14．若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点．若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________．16．ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且()sin A C +=，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC 面积的最大值为____________________．三、解答题17．如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA ．（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22x y（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.20．为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（i ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天()*k N∈进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列． 21．已知函数()1=x x f x a e--的两个零点记为12,x x .（1）求a 的取值范围； （2）证明：12x x ->22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值．23．已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．参考答案1．B 【解析】 【分析】首先确定集合,A B ，再由交集运算求解． 【详解】()(){}440{|44}[4,4]A x x x x x =-+≤=-≤≤=-， {}{}222416{|4}22[2,2]B y x y y y y =+==≤=-≤≤=-，所以[2,2]AB =-．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，确定出集合的元素是解题关键． 2．A 【解析】试题分析：由“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b 不为0.故选A ．考点：本题主要考查充要条件的概念，复数的概念．点评：简单题，涉及充要条件的判定问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断． 3．A 【解析】 【分析】先写出双曲线渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与直线13y x =垂直，由斜率乘积等于-1求解. 【详解】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3a y x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=， 解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()ln 211f x x x =+-，利用函数零点存在性定理判断即可得到结论. 【详解】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x'=+>恒成立， 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈， 又()0,1x k k ∈+，*k N ∈，所以4k =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法：图象法和零点判定定理，将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，将方程转化为函数，利用零点判定定理是基本方法． 5．B 【解析】 【分析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(2,2),(3,1)A B C ，所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值，直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值，选B.考点：线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6．B 【解析】 【分析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数． 【详解】解：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．故有5856C =种．故选：B 【点睛】本题考查“插板”法解决组合问题，属于基础题. 7．D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ==截面到球体最低点距离为1，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为111222⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 8．B 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得tan 2α=，再由二倍角正切公式解方程可得； 【详解】因为2sin 21cos2αα=-，所以()24sin cos 112sin ααα=--，即24sin cos 2sin ααα=，因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2cos sin αα=，即tan 2α=，22tan2tan 21tan 2ααα==-，解得tan 2α=或tan 2α= 因为3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α=， 故选：B 【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 9．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求出()()2cos xxf xg x e-=-，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果. 【详解】因为()()2cos xf xg x e x +=，所以()()()2cos xf xg x ex --+-=-，即()()()2cos xf xg x e x --+=，所以()()2cos xxf xg x e -=-. 因为2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误. 又()2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以4πx =-为极值点，即B 错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质分析判断. 【详解】∵()()a P X a Φ-=≤-，∴图中阴影部分面积为()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为()()1122P X a a ≤-=Φ-，又()P a X a -≤≤=()()a a Φ-Φ-，阴影部分面积为()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦; 故正确的个数为①③④共3个， 故选：C. 【点睛】本题考查了正态分布的性质，熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属容易题． 11．D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-， 令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=--3=+故选D ． 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 12．D 【解析】 【分析】 设2()(),f x g x x =再利用导数证明函数()g x 在0+∞（，）单调递增，再证明(sin )(cos )g B g C <，化简即得解.【详解】 因为()()2f x f x x'>，0x >， 所以()()2(),2()0f x x f x f x x f x ''⋅>∴⋅->. 设23()()2()(),()0f x f x x f x g x g x x x'⋅-'=∴=>， 所以函数()g x 在0+∞（，）单调递增. 因为A ∠为钝角，所以,,sin sin(),sin cos 222B C B C B C B C πππ+<∴<-∴<-∴<,所以(sin )(cos )g B g C <, 所以22(sin )(cosC),sin cos f B f B C<所以()()22cos sin sin cos f C B f B C >. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13．4 【解析】 【分析】 先化简20202020503(491)3+=++，再利用二项式定理求出余数.【详解】 由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3494949493C C C C +=++=+++++020201201920192020202020204949494C C C =++++因为02020120192019202020202020494949C C C +++能被7整除，所以2020503+被7除后的余数为4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查二项式定理求余数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．24x y =或24y x = 【解析】 【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，当2,1x y =-=时，4m =，此时，24x y =，点()4,4在抛物线上.设抛物线的标准方程为：2n y x =，当1,2x y ==时，4n =，此时，24y x =，点()4,4在抛物线上.故答案为：24x y =或24y x =. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.15．23⎣⎦【解析】 【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解．【详解】解：补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面EFGHQR ， P AC ∴∈，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C C D D所以1D PD ∠即为直线1D P 与直线1C C 所成角， 连接DP ，2DP ≤≤，在1D DP 中，22211D P DP D D =+，所以1D P ∈所以11cos D D D P θ=∈⎣⎦故答案为：,23⎣⎦【点睛】本题考查了线面平行，面面平行，立体几何中的动点问题，属于中档题． 16．8-【解析】 【分析】先根据余弦定理以及三角形面积公式化简条件()222sin A C a c b+=+-得B ，再利用向量化简条件：BM =2，并利用基本不等式求ac 最大值，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】()1sin 2sin sin cos 2cos ac BA CB B ac B +==∴=(0,)3B B ππ∈∴=1(),||22BMBA BC BM =+=222214(2cos )1624c a ac B c a ac ac ∴=++∴=++≥+∴≤当且仅当a c=时取等号因此ABC面积111sin 4(28244S ac B ac ==≤==- 故答案为：8-【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、向量表示、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.17．（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE. 因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ， 因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()00200F C -，，，，，()(24014D E ---，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒1111124030x y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(11n =，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒222224040x y y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒()301m =-，，，所以cos 5215n m n m n m⋅===，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E﹣FD ﹣C 的余弦值为【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.18．（1）证明详见解析；12n n a ；（2）存在，0λ=．【解析】 【分析】（1）根据数列递推关系可得1112n n S a +++=，即可证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，再进一步求出数列的通项公式；（2）先根据数列的前3项成等差数列求得0λ=，再证明0λ=一般性也成立. 【详解】解：（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-， 则111n n n n n n a S a a S a ++++=+， 即()()1111n n n n S a S a +++=+． ∵数列{}n a 的各项均为正数，∴1111n n n n a S a S +++=+． ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得1112n n S a +++=，① ∴当2n ≥时，12n n S a +=，② ②-①，得12n n a a +=，∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n na ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=． 综上所述，可得1n a =，*n N ∈． ∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查根据数列的递推关系求等比数列的通项公式、利用等差数列的性质求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意得22222311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得12012011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++， 212112012122102225381213y y y y y m y y m y y mm y λλ⨯-+=====---+++， 综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．（1）（i ）列联表详见解析；（ii ）有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）（i ）根据茎叶图的数据先求得中位数，进而得到5a =，15b =，15c =，5d =，完成列联表；（ii ）根据（i ）中的列联表将数据代入22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求得2K ，然后与临界表对比下结论.（2根据茎叶图可知：生产线需保障维护的概率为51204p ==，设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元，得到一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，然后求得相应的概率列出分布列. 【详解】（1）（i ）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（ii ）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率， 生产线需保障维护的概率为51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()40438124256P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：【点睛】本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．（1）)1(0a ∈，（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，构造1()x x g x e-=，求导，根据函数的单调性求出a 的范围．（2）先证明122x x +>，所以要证明12||x x ->，只需证明2112(1)x x x ->->即2112x x a ->-，111x x a e-=，只需证明12111120x x x x e-+->，101x <<，构造函数()h x ，利用导数研究函数的单调性和最值，证明即可． 【详解】解：（1）由()0f x ＝，得1x x a e -＝，令()1x x g x e -＝，()11'x xg x e --＝， 当()()()1'0x g x g x ∈-∞，，＞，递增；当()()()1'0x g x g x ∈+∞，，＜，递减；()g x 有最大值()00g ＝，又()0x g x →+∞→，，故函数有两个不同的零点，)1(0a ∈，； （2）先证明122x x +＞，不妨设12x x ＜，由（1）知，1201x x ＜＜＜， 构造函数()()()()()()()111122'1xx x x F x f x f x xex e F x x e e ----------＝＝，＝，当)1(0x ∈，时，()'0F x ＞，()F x 递增，()()100F F x ＝，＜， 所以()10F x ＜，即()()112f x f x -＜，所以121x -＞，由()()12f x f x ＝， 由（1）知，当(1)x ∈+∞，，()f x 递减； 所以212x x -＞，即122x x +＞，要证明12x x ->只需证明()21121x x x --＞＞即2112x x a ->-，111x x a e -＝，只需证明1211111+2001x x x x x e--＞，＜＜， 构造函数()212x x h x x x e -+-＝，()()11'12x h x x e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，当()()()012'0x ln h x h x ∈-，，＞，递增；()()()121'0x ln h x h x ∈-，，＜，递减； 当]1[0x ∈，时，()()(){00}1min h x min h h ＝，＝， 所以当()()010x h x ∈，，＞， 故原命题成立. 【点睛】本题考查了函数零点判断问题和极值点偏移问题，用到构造函数法判断函数的单调性和最值，难度较大，综合性高．22．（1）直线l 的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】 【分析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线l的普通方程为2y =-．由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =得20t +-=． 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <．∴121212*********2t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 23．（1）{}02x x <<；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可； （2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【详解】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+， 当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<； 当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +，∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+，∴()224281a b b a b +++≥+．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。
2020年山西省高考数学(理科)模拟试卷(1)
2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）•选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）(5 分)已知集合 A = {0 , 1, 2, 3}，集合 B = {x|X S 2}，贝U A n B =(OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2. 3. A . {0 , 3} （5分）若复数 骨（5分）如图, 中点，在M , B • {0 , 1, 2} C . {1 , 2}{0 , 1 , 2, 3}z 满足z （1 - i ） 2= i （i 是虚数单位），则|z|为 B .寺 在圆心角为直角半径为 2的扇形OAB 区域中, M , N 分别为OA , OB 的N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA , OB 为直径4. 兀B .--1 22（5分）“三个实数a , b , c 成等差数列”是“ 2b = a+c “的（ 5. (5 分)函数 f(x) =—|31的图象大致为（1.的圆，在扇形 C .充要条件6. （ 5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等•如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a , b 分别为5, 2,则输出的n =（& （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）D. 7.8展开式中x 3的系数为（C . 3A . - 122B . 28C . 56D . 112?x €值范围是（A . 36+12 nB .36+167tC . 40+12 nD . 40+16 n9. （5分）已知点 M 的坐标（x , y ） 满足不等式组 2x+y-4^0r-y-2^0y-3<0,N 为直线y =- 2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（B.' C . 1D.'5521 （a > b >0）的左顶点、上顶点和左焦点分别为A ,B , F ,中心为O ,其离心率为 ，贝V ABF : BFO =(A . 1: 1B . 1: 2C .D .一11. (5 分)已知向量：'=(x 2, 1 - 2ax ), ,]=( a , 1）,函数g （x ）=p 蔦在区间［2 , 3］上有最大值为4,f (x )= ，不等式 f （2x -k?2x > 0在x€［2 , 3］上恒成立，则 k 的取A . (-a,0]B . (-a，亍］C . (-a, 1]D . (-a,g1612. （ 5分）设奇函数f （x ）的定义域为（- 一〒，—），且f （X ）的图象是连续不间断,2）A .10. （ 5分）已知椭圆（-今，0），有f'( x) cosx+f (x) sinx> 0, 茎 f (m)v f ( ) cos (- m),的取值范围是（?x€MN 折起得到四棱锥 A - MNCB •点P 为四棱锥A - MNCB 的外接球球面上任意一点，当 四棱锥A - MNCB 的体积最大时，F 到平面MNCB 距离的最大值为16. （5分）《聊斋志异》中有这样一首诗： "挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无兀 兀、f / c 兀、—,-一）B.（o )C.(-(共4小题，满分 20分，每小题 5分）A，_)D J —,一13. (5 分) 1（a >0,点，P 是双曲线上一点, |PO|= c , △ FOF 的面积为,则该双曲线的离心率为 14. (5 分)若函数 f (x )= 2sin ( w x+ $)(5 >Q,| Q | V —)的部分图象如图所示，则 ,M ，N 分别为AB , AC 的中点，将△ AMN 沿三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17. （12分）已知△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 满足:二二---- "I:二in . （1 ）若b 2= ac ,试判断△ ABC 的形状，并说明理由; （2）若衬』，求厶ABC 周长I 的取值范围.18. （12分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是梯形,=—BC = 2, PB 丄AC .2AD // BC , AB = AD = DC（1）证明：平面 FAB 丄平面ABCD ; （2）若已知双曲线A .(- 二.填空题，则按照以上规律，若 41具有穿墙术，则n =所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”19. (12分)对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到•已知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到•小明每天6: 15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6: 45小明就可以出门去上学•从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X (分钟)表示步行到校的时间，可以认为X〜N (22 , 4).若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y (分钟)描述骑车到校的时间，可以认为丫〜N (16, 16).若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z (分钟)描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z〜N (10, 64).(1)若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6: 40 了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6: 50.请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？(2)已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量E表示这五天小明上学骑车的费用，求E的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)已知若随机变量n 〜N( 0, 1)，贝y P (- 1< n< 1) = 68.26%, P (- 2 < n< 2)= 95.44%,P (- 3< n< 3 )= 99.74%.20. (12分)已知椭圆一+一 .. = 1 (a > b>0)的右焦点F的坐标为(1, 0),离心率e=(I)求椭圆的方程；(n)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF丄QF , C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.(i)求证：A为BC的中点；2 x21. (12 分)已知函数f (x)= x2-ae x- 1.(1 )若f (x)有两个不同的极值点x i, x2,求实数a的取值范围;(2 )在(1 )的条件下，求证：』1 +』匸＞_.SL四•解答题(共1小题，满分10分，每小题10分)22. (10分)直角坐标系xOy中直线I: y=- x,圆C的参数方程为参数).(1)求C的普通方程，写出I的极坐标方程；(H)直线I与圆C交于A, B, O为坐标原点，求I；-,.五•解答题(共1小题)x x+123. 已知函数f (x)= 4 - a?2 +a+1(1 )若a = 2,求不等式f (x)v 0的解集；(2)求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最小值h (a).es ：（。
山西省太原市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析
山西省太原市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k>－14B ．k>－14且0k ≠ C ．k<－14D ．k ≥－14且0k ≠ 2．一、单选题如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．1253．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为6，则GE+FH 的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．124．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示： 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件）25303650288商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．如图，AB 是定长线段，圆心O 是AB 的中点，AE 、BF 为切线，E 、F 为切点，满足AE=BF ，在»EF上取动点G ，国点G 作切线交AE 、BF 的延长线于点D 、C ，当点G 运动时，设AD=y ，BC=x ，则y 与x 所满足的函数关系式为（ ）A ．正比例函数y=kx （k 为常数，k≠0，x ＞0）B ．一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，kb≠0，x ＞0）C ．反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0，x ＞0） D ．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，x ＞0）6．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( ) A ．B ．－C ．4D ．－17．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -，的平均数和方差分别是( )．A ．12,3B ．2,1C ．24,3D ．4,38．下列计算正确的是 A ．224a a a +=B ．624a a a ÷=C ．352()a a =D ．222)=a b a b --（9．计算3()a a •- 的结果是（ ） A ．a 2B ．-a 2C ．a 4D ．-a 410．如图，等腰△ABC 的底边BC 与底边上的高AD 相等，高AD 在数轴上，其中点A ，D 分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC 的长度为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．511．下列运算中，正确的是（ ） A ．（a 3）2=a 5 B ．（﹣x ）2÷x=﹣x C ．a 3（﹣a ）2=﹣a 5D ．（﹣2x 2）3=﹣8x 612．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB 等于( ) A ．43 B ．34C ．35D ．45二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在Rt △ABC 纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E ，F 落在AB 边上，每个正方形的边长为1，则Rt △ABC 的面积为_____．14．如图，在边长为1的正方形格点图中，B 、D 、E 为格点，则∠BAC 的正切值为_____．15．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为_____．（结果保留π）16．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是17．如图，矩形ABCD 中，AD=5，∠CAB=30°，点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段CD 上的动点，则AQ+QP 的最小值是___________．18．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）若两个不重合的二次函数图象关于y 轴对称，则称这两个二次函数为“关于y 轴对称的二次函数”.（1）请写出两个“关于y 轴对称的二次函数”；（2）已知两个二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx p =++是“关于y 轴对称的二次函数”，求函数12y y +的顶点坐标（用含,,a b c 的式子表示）.20．（6分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ，已知观测点C 到旗杆的距离CE=83m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB 的髙．21．（6分）如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．求反比例函数的解析式；观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移5个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．22．（8分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：“祖冲之奖”的学生成绩统计表：分数/分80 85 90 95人数/人 4 2 10 4根据图表中的信息，解答下列问题：(1)这次获得“刘徽奖”的人数是_____，并将条形统计图补充完整；(2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分，众数是_____分；(3)在这次数学知识竟赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字“﹣2”，“﹣1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为y，把x作为横坐标，把y作为纵坐标，记作点(x，y)．用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率．23．（8分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图：根据统计图所提供的倍息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中的学生人数是多少人； （2 ）补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；（4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率．24．（10分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB P ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.甲 乙 丙单价（元/米2） 2m 5n 2m（1）当3x =时，求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________. 25．（10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ，x 3= ；拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．26．（12分）如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？ 27．（12分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B【解析】【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．【详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞14且k≠1．故选B．【点睛】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.2．B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．3．B【解析】【分析】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为6，∴AB=OA=OB=6，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=3，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．故选：B．【点睛】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键. 4．B【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5．C【解析】【分析】延长AD，BC交于点Q，连接OE，OF，OD，OC，OQ，由AE与BF为圆的切线，利用切线的性质得到AE 与EO 垂直，BF 与OF 垂直，由AE=BF ，OE=OF ，利用HL 得到直角三角形AOE 与直角BOF 全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠A=∠B ，利用等角对等边可得出三角形QAB 为等腰三角形，由O 为底边AB 的中点，利用三线合一得到QO 垂直于AB ，得到一对直角相等，再由∠FQO 与∠OQB 为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形FQO 与三角形OQB 相似，同理得到三角形EQO 与三角形OAQ 相似，由相似三角形的对应角相等得到∠QOE=∠QOF=∠A=∠B ，再由切线长定理得到OD 与OC 分别为∠EOG 与∠FOG 的平分线，得到∠DOC 为∠EOF 的一半，即∠DOC=∠A=∠B ，又∠GCO=∠FCO ，得到三角形DOC 与三角形OBC 相似，同理三角形DOC 与三角形DAO 相似，进而确定出三角形OBC 与三角形DAO 相似，由相似得比例，将AD=x ，BC=y 代入，并将AO 与OB 换为AB 的一半，可得出x 与y 的乘积为定值，即y 与x 成反比例函数，即可得到正确的选项． 【详解】延长AD ，BC 交于点Q ，连接OE ，OF ，OD ，OC ，OQ ，∵AE ，BF 为圆O 的切线， ∴OE ⊥AE ，OF ⊥FB ， ∴∠AEO=∠BFO=90°， 在Rt △AEO 和Rt △BFO 中， ∵{AE BFOE OF＝ ，∴Rt △AEO ≌Rt △BFO （HL ）， ∴∠A=∠B ，∴△QAB 为等腰三角形，又∵O 为AB 的中点，即AO=BO ， ∴QO ⊥AB ，∴∠QOB=∠QFO=90°， 又∵∠OQF=∠BQO ， ∴△QOF ∽△QBO ， ∴∠B=∠QOF ，同理可以得到∠A=∠QOE ， ∴∠QOF=∠QOE ，根据切线长定理得：OD 平分∠EOG ，OC 平分∠GOF ，∴∠DOC=12∠EOF=∠A=∠B，又∵∠GCO=∠FCO，∴△DOC∽△OBC，同理可以得到△DOC∽△DAO，∴△DAO∽△OBC，∴AD AO OB BC，∴AD•BC=AO•OB=14AB2，即xy=14AB2为定值，设k=14AB2，得到y=kx，则y与x满足的函数关系式为反比例函数y=kx（k为常数，k≠0，x＞0）．故选C．【点睛】本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵活运用所学知识．6．A【解析】【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．7．D【解析】【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；。
山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期6月月考试题文含解析
19.2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命．随着疫情的发展，自2020年2月5日起，某某大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中某某体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者1056人．据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
R上的奇函数 满足：函数 的图象关于y轴对称，当 时， ，则下列选项正确的是（）
C. 与 是相交直线且垂直D. 与 是异面直线且垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
利用异面直线成角的定义可判断A，B，C，利用线面垂直的判定和性质定理即可判断D.
【详解】连接 ,则 为等边三角形，则 与 是相交直线且成角为 ，故A错误；
因为 ，所以 与 是异面直线且成角为 ，故B错误；
连接 ，因为 面 ,所以 ,所以 与 成角为 为锐角故C错误；
（2）①根据（1）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位）
②3月3日实际总出仓人数为216人，按①中的回归模型计算，差距有多少人？
（附：对于一组数据 ，其回归直线为Байду номын сангаас