(六西格玛管理)标准差

（六西格玛管理）标准差标准差概述标准差是壹种表示分散程度的统计观念。

标准差已广泛运用于股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于壹段时间内波动的情况计算而来的。

壹般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。

实务的运作上，可进壹步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑于内。

所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担壹单位的风险，所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。

标准差是壹组数值自平均值分散开来的程度的壹种测量观念。

壹个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；壹个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，俩组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值均是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差能够当作不确定性的壹种测量。

例如于物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值和预测值相差太远（同时和标准差数值做比较），则认为测量值和预测值互相矛盾。

这很容易理解，因为值均落于壹定数值范围之外，能够合理推论预测值是否正确。

标准差的简易计算公式假设有壹组数值x1,...,xN（皆为实数），其平均值为：此组数值的标准差为：壹个较快求解的方式为：壹随机变量X的标准差定义为：须注意且非所有随机变量均具有标准差，因为有些随机变量不存于期望值。

如果随机变量X为x1,...,xN具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。

从壹大组数值当中取出壹样本数值组合x1,...,xn，常定义其样本标准差：范例：标准差的计算这里示范如何计算壹组数的标准差。

例如壹群孩童年龄的数值为{5,6,8,9}：第壹步，计算平均值n=4（因为集合里有4个数），分别设为：，，，用4取代N此为平均值。

第二步，计算标准差用4取代N用7取代标准差和平均值之间的关系壹组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。

于直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之壹"自然"的测量。

较确切的叙述为：假设x1,...,xn为实数，定义其公式使用微积分，不难算出σ(r)于下面情况下具有唯壹最小值：标准偏差和标准差的区别标准差(StandardDeviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。

用σ表示。

因此，标准差也是壹种平均数。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映壹个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B俩组各有6位学生参加同壹次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。

这俩组的平均数均是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B 组学生之间的差距大得多。

标准偏差(StdDev,StandardDeviation)-统计学名词。

壹种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。

标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

标准偏差的大小可通过标准偏差和平均值的倍率关系来衡量。

标准差的应用分析标准差于投资决策中的应用[1]投资是企业生产运营和发展壮大的必要手段。

投资者作出投资决策时，不仅要考虑预期回报，仍必须分析比较投资风险。

由于投资风险的客观存于性及其对投资收益的不利性，投资者于进行投资决策时必须而且也应该对投资风险进行分析，尽可能地测定和量化风险的大小。

1、用标准差衡量风险大小。

此时的标准差计算公式如下：其中σ为标准差，P i为期望投资收益率，P i为壹系列可能性事件发生的概率，r i为可能性事件发生时的投资收益。

标准差值越小，说明投资风险越小。

假设投资者要于A、B俩个项目中选择壹个或俩个项目进行投资。

估计第二年每个项目的收益率可能有四个结果，每个结果均有壹个确定的概率和之对应。

如下表所示，表中r为收益率，p为收益率实现的可能性。

表1A、B俩项目的收益率分布投资项目A、B的期望收益率分别为：计算结果表明，A项目的期望收益率小于B项目。

但从收益率的分布见，A项目的收益率于4％～20%之间波动，变动范围小；而B项目收益率从-100％到+100％，变动范围大。

收益率的变动大小反映了风险的大小，收益率变动大，风险就大。

根据公式(3)计算得：σA=5.83%，σB=37.80%。

这是不是说明B项目的风险更大呢?从数学角度见，B项目标准差大可能来源于B项目的各种可能收益均比较大。

2、标准差的局限性。

当不同项目的期望回报率相同时，用标准差衡量风险程度是合适的，否则就不能再用标准差而必须用壹个相对的风险指标。

取标准差和期望值的比率；，称为变异系数或标准离差，该值越大反映项目的风险越大。

能够计算项目A的变异系数,项目B的变异系数。

这个时候就能够说B项目风险更大。

标准差于股市分析中的应用[1]股票价格的波动是股票市场风险的表现，因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。

波动性代表了未来价格取值的不确定性，这种不确定性壹般用方差或标准差来刻画(Markowitz，1952)。

下表是中国和美国部分时段的股票统计指标，其中中国证券市场的数据由“钱龙”软件下载，美国证券市场的数据取自ECI的“worldstockExcllarlgeDataDisk”。

表2股票统计指标通过计算能够得到：上证综指业绩期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67 上证波动率期望值≈0.1156标准普尔业绩期望值≈6.7214标准普尔波动率期望值≈0.0680而标准差的计算公式则根据公式(2)计算：上证综指的业绩标准差上证波动率标准差≈0.0632标准普尔指数业绩标准差≈21.71标准普尔波动率标准差≈0.02365因为标准差是绝对值，不能通过标准差对中美直接进行对比，而变异系数能够直接比较。

计算可得：上证业绩变异系数≈45.2457/20.67≈2．1889上证波动率变异系数≈0.0632/0.1156≈0.5467标准普尔业绩变异系数≈21.71/6.7214≈3.2299标准普尔波动率变异系数≈0.02365/0.0680≈0.3478通过比较能够见出上证波动率变异系数要大于标准普尔波动率变异系数，说明长期来讲中国股市稳定性相对较差，仍是壹个不太成熟的股票市场。

标准差于确定企业最优资本结构中的应用[1]资本结构指的是企业各种资金来源的比例关系，是企业筹资活动的结果。

最优资本结构是指能使企业资本成本最低且企业价值最大的资本结构；产权比率，即借入资本和自有资本的构成比例，是反映企业资本结构的重要变量。

企业的资产由债务性资金和权益性资金组成，但其风险等级和收益率各不相同。

根据投资组合理论，投资的多样化能够分散掉壹定的风险，因此资金提供者需要决定投资于债务性资金和权益性资金的比例。

以便于权衡风险和收益的情况下保证其利益的最大化。

理论探索而外部资金提供者利益的最大化也就是企业价值的最大化，这壹投资比例对于企业融资而言也就是企业的最优资本结构比例。

假定某企业的资金通过发行债券和股票俩种方式获得，且且均属于风险性资产。

σ其中债券的收益率为r D，风险通过标准差σD 来衡量；股票的收益率为r E，风险为σE；股票和债券的关联系数为p DE，协方差为COV(r D,r E)；债券所占的比重为w D，股票所占比重为W E(W D+W E=1)。

根据投资组合理论，企业外部投资者对该企业投资所获的期望收益率为E(r p)=W D E(r D)+w E E(r E)，方差为1、企业债务性资金和权益性资金完全正关联，即关联系数p DE 为1。

企业外部投资者获得的期望收益率为E(r p)=w D E(r D)+w E E(r E)，风险标准差为σ=w DσD+w EσE,也就是组合的标准差等于各个部分标准差的加权平均值，通过投资组合不可能分散掉投资风险。

根据投资组合理论，投资组合的不同比例对于投资者而言是无差异的。

2、企业债务性资金和权益性资金完全负关联，即其关联系数为-1。

投资者获得的报酬率的期望值及其方差分别为。

根据投资组合理论，只有当投资比例大于σE/(σD+σE)时其投资组合才是有效的。

对于企业筹资而言，也即企业的权益性资金的比例大干σE/(σD+σE)，企业的筹资比例才是有效的，而且当组合比例为σE/(σD+σE)时，企业的筹资组合风险为零。

3、企业债务性资金和权益性资金的关联系数大于-1小于1。

理论上，壹个企业的俩种筹资方式之间的关联程度较高，壹方面俩种筹资方式均承担系统风险，另壹方面它们也承担相同的公司风险。

因此从实践来见，企业的不同筹资方式间的关联程度不可能是完全的正关联和负关联。

对于壹个企业而言，债务性资金对企业有固定的要求权，权益性资金对企业只有剩余要求权，因此债务性资金的波动不可能像权益性资金的波动那么大。

同时企业的风险会同时影响企业的债务性资金和权益性资金，因此企业的债务性资金和权益性资金的关联系数不可能为负数。

企业不同的筹资方式间的关联系数壹般于0-1之间。

那么究竟于什么比例下企业的价值才会达到最大呢?根据投资组合理论，当E(r1)>E(r2)，且时，才能出现r1，优于r2。

可见，决定企业资本结构的直接因素主要是不同筹资方式的收益率和风险以及它们之间的关联系数。