复数的三角形式及乘除运算.docx

复数的三角形式及乘除运算一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值) .4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示•一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示•既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r ,辐角为θ贝U Z=r(cos θ +isin θ )(r ≥0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r= 三角形式2Z=a+bi(a,b ∈ R)Z=r(cos θ +isin θ )(r ≥ 0) 复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 •否则不是三角形式•三角形式中Z 的一个辐角，不一定是辐角主值 .五、基础知识 1) 复数的三角形式+ i Sin θ)其中I Z r θ为复数Z 的辐角。

②非零复数Z 辐角θ的多值性。

以OX 轴正半轴为 因此复数Z 的辐 ③辐角主值 表示法；用arg 定义：适合［0，始边，向量OZ 所在的射线为终边的角 角是 θ +2k（ k ∈Z ）Z 表示复数Z 的辐角主值。

2)的角θ叫辐角主值 0 arg zθ应是复数①定义：复数 z=a+bi(a,b ∈ R )表示成r ( cos θ + i sin θ)的形式叫复数 Z 的三角形式。

即 z=r （cos θθ叫复数z=a+bi 的辐角唯一性：复数Z的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模Z r是唯一的。

⑤Z=O时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。

（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。

因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。

辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示在复平面内与复数Z1、Z2对应的点分别为Z1、Z2 （如图）何量OZ1对应于Z1何量OZ2对应于Z2何量Z1Z2对应于Z2 Z i Z与复数Z2-Z i对应的向量为OZ 显然OZ 〃Z1Z2贝V argZ i= ∠ XoZ i= θ iargZ2= ∠ XOZ2=θ 2argZ (Z2- Z i) =arg Z= ∠ XOZ=θ3) 复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化女口zι=r i (cos θ i+isinθ i) z2=r2 (cos θ 2+isin θ 2)①乘法：Z=Z i ∙ z2=r i ∙ r2 [cos( θ i+ θ 2)+isin( θ i+ θ 2)]如图：其对应的向量分别为OZ i oZ2 oz显然积对应的辐角是θi+θ 2< i >若θ 2 > 0则由OZ l逆时针旋转θ 2角模变为oz i的匕Q倍所得向量便是积Z i ∙ Z2=Z的向量OZ。

V 2 >若θ 2< 0 则由向量OZ i顺时针旋转2角模变为r i T2所得向量便是积Z i ∙ Z2=Z的向量OZ。

为此，若已知复数Z i的辐角为α, Z2的辐角为β求α + β时便可求出Z i ∙Z2=Z a Z对应的辐角就是α + β 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法Z Z i Z2 -Z L'[cos（i 2） isin（i 2）] （其中Z≠0）Z2 D除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：V 1 > 2O时OZ I顺时针旋转2角。

< 2 >2O时OZ I逆时针旋转2角。

例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：⑴ Zι=-2(cos θ +isin θ)2) Z2=c0s-isin θ (3) Z3=-sin θ +icos θ⑷ Z4=-sin θcos θ(5) Z5=c0s6O +isin30 °分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向•变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数Z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角•此步骤可简称为定点→定名→定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率解：(1)由模非负"知，不是三角形式，需做变换:Zι=Z(-cos θisin θ )复平面上Zι(-2cos θ2sin在第三象限(假定θ为锐角)，余弦-cos θ已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式"∏+将"θ变换到第三象限.∙∙. Zι=Z(-cos θisin θ )=2[cos( ∏+ θ )+isin( ∏+ θ )](2)由加号连”知，不是三角形式复平面上点Z2(cos θsjn在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“ 2-∏或-θ将θ变换到第四象限.∙ Z2=c0s θisin θ =COS()+isin( θ 或Z2=cos θsin θ =cos(2θ ∏+isin(2- θ ∏考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一(3)由余弦前”知，不是三角形式复平面上点Z3(-sin θ ,cos在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式+ θ 将θ变换到第二象限Z 3(-sin θ ,cos θ )=cos(+θ )+isin(+θ)同理（4）π-θ )+isin( Z 4=- sin θ-icosθ =cos(π-θ )5)Z 5=cos60 °+isin30 =°i= (1+i)=(cos+isin )=(cos +isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点•有了定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题例2.求复数Z=1+cosθ +isin θ ( ∏< θ的模与辐角主值.分析:式子中多3个“1，”只有将“1消”去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.(cos +isin 解:Z=1+cos θ +isin θ =1+(2C0s-1)+2i Sincos =2cos (cos +isin ) (1)π < θ <2π∙°∙)=-2cos [cos( π+<π,cos<0∙(1) 式右端=-2cos (-cos -isin)]+isin( π+)])=-2cos [cos( π+ r=-2cosArgZ= π++2kπ (k∈Z)< <ππ <π+<2∏,.∙. argZ= ∏+小结:(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为, argZ=r=2cosArgZ=错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Zι=i-cos θ +isin θ ( π <0 <2=Π-)cos θisin θ ( π < θ等类似问题.例3．将Z= ( ∏ < θ <3∏)为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”下.一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:=cos2 θ +isin2 θπ < θ <3 π∙'∙<2θ<6π,∏ <2 -4 ∏ <2 ∏ ∙ argZ=2θ-4∏小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itg θ , tg θ-+tgi -等.2•复数Z的模IZl的几何意义是：复平面上点Z到原点距离，复数模∣Zι-Z2∣的几何意义是：复平面上两点Z i,Z2之间距离.辐角几何意义是：以X轴正半轴为角始边，以向量在射线为终边的角记为ArgZ.在［0，2 π）围内的辐角称辐角主值，记为argZ.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4.若Z ∈c, ∣Z-2∣≤,求IZl的最大，最小值和argZ范围.解:法一，数形结合由|Z-2| ≤,知Z的轨迹为复平面上以（2, 0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤∣Z∣≤3；. ∣Z∣max=3, ∣Z∣min = 1,另设圆的两条切线为OA , OB, A , B为切点，由∣CA∣=1 , |OC|=2知IZl= ≤∠AOC= ∠ BOC=[0, ]∪ [法二:用代数形式求解IZl的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y ∈R)则由|Z-2| ≤得(x-2) 2+y2≤1,,∙∙∙ argZ ∈π ,2 π )∙∙∙ (X-2)2+y2≤ 1,∙∙∙(x-2)2≤ 1,∙∙∙ -1 ≤x ≤ 1,∙∙∙1 ≤ X ≤ 3, ∙∙∙ 1≤4x3≤9, ∙1≤∣Z∣≤3.小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择过分析与比较都一目了然•例5.复数Z满足arg(Z+3)=•各种方法的本质和优势，通∏,求|z+6|+|z-3i| 最小值.分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.IZl= ≤解法一:由arg(Z+3)=π知Z+3的轨迹是一条射线OA , ∠xOA=|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点，表示复数时,21∙所求最小值=322∣Z+6∣+∣Z-3i ∣=∣BD ∣+∣DC ∣=∣BC ∣=3 =3所求最小值π ,知Z+3的轨迹是射线OA ,则Z轨迹法二:由arg(Z+3)=应是平行于OA ，且过点( -3，0)的射线BM ，∙∙∙∣Z+6∣+∣Z-3i∣就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N ,取E 为N 点表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决•如果纯粹用代数方法求解，难度会很大•对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便例6.已知∣Z-2i∣≤求arg（Z-4i）最大值.解：∙∙∙∣Z-2i∣≤1,点Z轨迹是以（0, 2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z,连Z与点（0, 4）得一以（0, 4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，贝U θ为其对应的辐角主值，显然arg（Z-4i）最大值为π .3.两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形, 平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示∙所求最小值=324复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.例7．若分别表示复数Z1=1+2i,i,求∠ Z2OZ1并判断Δ OZZ2的形状.Z2=7+解:欲求∠ Z2OZ1 ,可计算∙∙∙∠ Z2OZ1=由余弦定理，设|OZ1|=k,∣OZ2∣=2k(k>0)∣Z 亿2∣2=k2+(2k)2-2k=3k22k CoS|Z1Z2|= k,60°的直角三角形而k2+( k)2=(2k)2,Δ OZZ2 为有一锐角为小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例&已知直线I过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于I的对称点都在C上，求直线I与抛物线C的方程. 解:如图，建立复平面x0y ,设向量(M)S---L'-1 0■对应复数分别为Xι+yιi, x2+y2i.由对称性，∣OA'∣=∣OA∣=1, ∣OB'∣=∣OB∣=8,X2+y 2i=(x 1+y1 i)8i=-8y 1+8x1iy2=2px(p>0) 则有y12=2px 1,设抛物线方程为y 22=2px 2,x1= , y12=p2, 又|OA'|=1∙∙∙( )2+p2=1,p= 或- 舍）•••抛物线方程为y 2=为 :y= 小结 :对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效 .尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效 .五、易错点1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为 0，辐角主值不确定 .2．注意 ArgZ 与 argZ 的区别 .ArgZ 表示复数 Z 的辐角，而 argZ 表示复数 Z 的辐角主值 .ArgZ=argZ+2k ∏ (k ∈ Z),argZ ∈ [0,2 ∏ )辐角主值是[0,2 ∏)勺辐角，但辐角不一定是辐角主值 . 3．复数三角形式的四个要求 :模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可 .任何一个不满足，就不是三角形式•4．注意复数三角形式勺乘除运算中，向量旋转勺方向 .六、练习1．写出下列复数勺三角形式X.X ,直线方程(1) ai(a ∈R)(2) tg θ+i(2．设Z=(-3+3N ,当Z ∈ R 时，n 为何值？sin θ-icos θ )<θ <∏(3)i)n , n ∈3.在复平面上A , B表示复数为α , β ( α且0β=(1+i) ,α判断Δ AQB形状，并证明|d|2.SΔAOB=参考答案:1.（1）ai=2)tg θ+i( < θ<∏[cos( π-θ )+isinπ-θ )]3)(sin -θicos θ)= [c os(+θ)+isin( +θ)] 2．n 为4的正整数倍3.法一: T α≠, β = ( 1+i) α=1+i= (cos+isin ),∙∙∙∠AOB=分别表示复数α β α,由β α = α,得=i=cos +isin ∙∙∙∠∙ΔAOB 为等腰直角三角形OAB=90法二：∙∙∙∣Fla |,| ∣=∣β∣=∣ a i∣=∣∙∙∙a |, ∣∣=∣∣I I=I β l=l(1+i) α I= | α∣,∣I2+I I2=Iα+∣α= 2I α2=I∙∙∙ Δ AoB 为等腰直角三角形,S ΔAOB =|=|α2在线测试选择题1．若复数 z=(a+i) 2 的辐角是，则实数 a 的值是( )A、1 B、-1 C、-D2.已知关于X的实系数方程χ2+x+p=0的两虚根a, b满足∣a-b∣=3 ,则P的值是（）A、-2D、13.设π < θ V ,则复数的辐角主值为（）C r OA、2 π -3 θ B 3θ -2 π C 3θ D 3 θ - π4.复数Co+isin 经过n S次乘方后，所得的幕等于它的共轭复数，则n 的值等于（）)|Z-31 =(）-1的图形是（）A 、直线B 、半实轴长为1的双曲线A 、3B 、126k-1(k ∈ Z)D 6k+1(k ∈ Z)5. Z 为复数,|z+3|C焦点在X轴，半实轴长为的双曲线右支D 不能确定答案与解析答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：221 .∙.∙ z=(a+i)=(a -1)+2ai , argz=,.∙. a=-1，本题选 B.2．求根a，b=Δ =1-4p<0 )|a-b|=||=3 ，.∙. 4p-1=9 , P=，故本题应选 C.3．=cos3 +isin3 θ .。