本科毕业设计__基于matlab的小波分析在图像处理中的应用

基于Matlab 的小波分析在图像处理中的应用摘要:本文先介绍了小波分析得基本理论，包括连续小波变换、离散小波变换和小波包分析。

小波变换具有时频局部化的特点,因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定位。

经过小波变换的图像具有频谱划、方向选择、多分辨率分析和天然塔式数据结构特点。

基于小波变换这些特性，讨论了MATLAB 语言环境下图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强的基本方法。

关键词:小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像分解；图像增强1 引言小波分析诞生于20世纪80年代, 被认为是调和分析即现代Fourier 分析发展的一个崭新阶段。

众多高新技术以数学为基础,而小波分析被誉为“数学显微镜”,这就决定了它在高科技研究领域重要的地位。

目前, 它在模式识别、图像处理、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。

但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor 变换，时频分析，小波变换等。

其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。

换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。

所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。

本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。

然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。

2 小波分析的基本理论2.1 连续小波变换定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）⎰=Rd C ωωωψψ2)(ˆ< ∞ (1)时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。

将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得 )(1)(,abt at b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2) 称其为一个小波序列。

其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为dt abt t f a f b a W Rb a f )()(,),(2/1,->==<⎰-ψψ (3) 其重构公式（逆变换）为⎰⎰∞∞-∞∞--=dadb ab t b a W a C t f f)(),(11)(2ψψ(4) 由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件⎰∞∞-dt t )(ψ〈∞ (5)故)(ˆωψ是一个连续函数。

这意味着，为了满足完全重构条件式，)(ˆωψ在原点必须等于0，即0)()0(ˆ==⎰∞∞-dt t ψψ(6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：∑∞∞--≤≤B A j 2)2(ˆωψ(7) 式中0〈A ≤B 〈∞。

2.2 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。

因此，有必要讨论连续小波)(,t b a ψ和连续小波变换),(b a W f 的离散化。

需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。

这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。

在连续小波中，考虑函数：)()(2/1,ab t a t b a -=-ψψ这里R b ∈，+∈R a ，且0≠a ，ψ是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值，这样相容性条件就变为 ∞<=⎰∞ωωωψψd C 0)(ˆ (8) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作j a a 0=，0b ka b j =，这里Z j ∈，扩展步长10≠a 是固定值，为方便起见，总是假定10>a （由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。

所以对应的离散小波函数)(,t k j ψ即可写作)()()(002/00002/0,kb t a a a b ka t a t j j jj j k j -=-=---ψψψ (9) 而离散化小波变换系数则可表示为>=<=⎰∞∞-k j k j k j f dt t t f C ,*,,,)()(ψψ (10)其重构公式为∑∑∞∞-∞∞-=)()(,,t C C t f k j k j ψ (11)C 是一个与信号无关的常数。

然而，怎样选择0a 和0b ，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即0a 和0b 尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数)(,t k j ψ和离散小波系数k j C ,就越少，信号重构的精确度也就会越低。

2.3 小波包分析短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。

多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q 结构）。

小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。

关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图图1 小波包分解树图1中，A 表示低频，D 表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树（也即尺度数）。

分解具有关系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAA3+ADD3+DDD33 常用小波基介绍(1)Haar 小波Haar 于1990年提出一种正交函数系,定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-=011H ψ 其它12/12/10<≤≤≤x x (12)这是一种最简单的正交小波，即0)()(=-⎰∞∞-dx n x t ψψ ,2,1±±=n …(2)Daubechies （dbN ）小波系该小波是Daubechies 从两尺度方程系数{}k h 出发设计出来的离散正交小波。

一般简写为dbN ，N 是小波的阶数。

小波ψ和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。

ϕ的消失矩为N 。

除N ＝1外(Haar 小波)，dbN 不具对称性〔即非线性相位〕；dbN 没有显式表达式(除N ＝1外)。

但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。

假设∑-=+-=101)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有)2(sin )2(cos )(2220ωωωP m N = (13)其中 ∑-=-=120021)(N k ik keh m ωω(3)Biorthogonal （biorNr.Nd ）小波系Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。

通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。

Biorthogonal 函数系通常表示为biorNr.Nd 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8 Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8其中，r 表示重构，d 表示分解。

(4)Coiflet （coifN ）小波系coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN （N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet 具有比dbN 更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coifN 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。

(5)SymletsA （symN ）小波系Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。

Symlets 函数系通常表示为symN （N=2，3，…，8）的形式。

(6)Morlet （morl ）小波Morlet 函数定义为x Ce x x5cos )(2/2-=ψ，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。

(7)Mexican Hat （mexh ）小波Mexican Hat 函数为2/24/12)1(32)(x e x x ---=ψπ (14) 它是Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。

墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(=⎰∞∞-dx x ψ由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

(8)Meyer 小波Meyer 小波函数ψ和尺度函数ϕ都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=ψ--0))123(2cos()2())123(2sin()2()(ˆ2/2/12/2/1ωπυππωπυππωωωj j ee ]38,32[38343432ππωπωππωπ∉≤≤≤≤ (15) 其中，)(a υ为构造Meyer 小波的辅助函数，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--0))123(2cos()2()2()(ˆ2/12/1ωπυπππωφ 34343232πωπωππω>≤≤≤(16) 4 小波分析在图像处理中的应用4.1 小波分析用于图像压缩4.1.1 基于小波变换的图像局部压缩基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，驱除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在我们比较关心时域特性的时候显得无能为力。