2020年山东日照高三一模数学试卷
2020年山东日照高三一模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.3.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，，则“，相等”是“，总相等”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知圆，直线．若直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，则的取值范围（ ）．A.B.C.D.5.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）．A.B.C.D.6.已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）．A.B.C.D.7.已知函数和的图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到的图象，只需把的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8.如图，在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了名肥胖者，测量了他们的体重（单位：千克）．健身之前他们的体重情况如三维饼图()所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图()所示，对比健身前后，关于这名肥胖者，下面结论正确的是（ ）．A.他们健身后，体重在区间内的人数不变B.他们健身后，体重在区间内的人数减少了个C.他们健身后，体重在区间内的肥胖者体重都有减轻D.他们健身后，这位肥胖者的体重的中位数位于区间10.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一班的名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（ ）．A.该班选择去甲景点游览B.乙景点的得票数可能会超过C.丙景点的得票数不会比甲景点高D.三个景点的得票数可能会相等11.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）．A.恒成立B.若，则C.面积的最小值为D.对每一个确定的，若，则的面积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则．14.的展开式中常数项为 ．（用数字作答）15.直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ，的最小值是 ．16.若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为．如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），．给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得．其中正确结论的序号是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）（1）（2）17.的内角，，的对边分别为，，，且满足．求的值．若，，求的面积．18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差．前项和为，若 ，数列满足，，．（1）（2）求的通项公式．求的前项和．（1）（2）19.如图，已知四边形为等腰梯形，为正方形，平面平面，，，．求证：平面平面；点为线段上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围．（1）（2）20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于．且满足．求椭圆的标准方程．过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，．问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．（1）（2）（3）21.每年的月日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有个球（这些球除颜色外完全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球，个黄球，个黑球，乙箱内有个红球和个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖元，黄球奖元，摸得黑球则没有奖金．经统计，每人的植树棵数服从正态分布，若其中有位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数在区间内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）．附：若，则，．若，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额（单位：元）的分布列．某人植树棵，有两种摸奖方法，方法一：三次甲箱内摸奖机会；【答案】解析:由，得，∴复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选．解析:，∴．故选．解析:由题意，若，总想等，则，相等，反之不成立，故“，相等”是“，总相等”的必要而不充分条件．故选．方法二：两次乙箱内摸奖机会．请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大．（1）（2）（3）22.已知函数在点处的切线方程为．求，.函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值.关于的方程有两个实数根，，且，证明：．A1.B2.B3.解析:由圆的圆心到直线的距离得，．故选．解析:由于，所以为上的递减函数，且过，为上的单调递减函数，且过．故选：．解析:定义在上的函数，对于，，∴函数为上的奇函数，当时，，，∵，，∴函数在上为单调递增函数，∵，，由对数函数性质知，∴，∴，又∵，∵，∴，∴，∴，综上所述，得．C 4.D 5.D 6.故选项正确．解析:由题意得该等腰三角形的底边平行于轴，且斜边长为函数的最小正周期，设，为两函数图象的相邻交点，令，可得，再利用，解得，，故该等腰直角三角形的斜边上的高为，所以该三角形的斜边长为，故的最小正周期为，即，，所以，，所以只需把的图像向左平移个单位得到的图象．故选．解析:由直角坐标系可知，，，，，，，即，，，，，，，，，由此可知，数列中偶数项是从开始逐渐递增的，且都等于其项数除以，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，所以，，，．故选．A 7.C 8.解析:图()中体重在区间，，内的人数分别为，，．图()中体重在区间，，内的人数分别为，，．故选．解析:由已知只游览甲、乙两个景点，有人会选择甲，则选择乙的为人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于人；若只游览乙、丙两个景点，有人会选择乙，则选择丙的为人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于人，所以选择甲的一定大于等于人．故选．解析:由已知条件构造函数，则，因为，所以，所以在上单调递增，又，所以，则，故，又因为，所以，所以，故错误；因为，所以，则，又，所以，故正确；又因为，所以，所以，所以，即，所以，故正确；又因为，所以，故错误．解析:选项：设，代入得，①ACD 9.AC 10.AC 11.ABD 12.显然，，即，设，，则，是方程①的两个根，有，，设，，由得，由，得，所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立，故正确．选项：因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故正确．选项：当过点且垂直于轴时，的面积最小值为．设与轴交于，过垂直于轴直线交渐近线于，，只要三角形面积小于即可，只要即可，显然成立，故错误．选项：因为，所以，得，即，所以，，又，，，所以是定值．故正确．故选．解析:∵向量，，且，∴，解得．解析:展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为．解析:因为抛物线的焦点，所以，所以，设点，，直线的方程为，联立方程，消去整理得：，所以，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．13.14. ;15.故答案为：，．解析:取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点．在正方体中，平面，平面，∴，又∵，，∴平面，即，∴，同理可证，，则，．以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，．对于命题①，，∵，则，则，所以，命题①正确；对于命题②，∵，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以，存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误．故正确的结论为：①②．①②16.（1）（2）（1）（2）解析:由正弦定理，可化为，也就是，由中可得，即，由正弦定理可得，故．由可知，而，由余弦定理可知，又于是，．解析:若选①因为．当时，．∵，，∴，又∵，∴，∴．由()知：，即．即数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴的前项和．（1）．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）解析:∵四边形为等腰梯形，∴，，．∴，∴为直角三角形，∴．∵四边形为正方形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．由（）知，，两两相互垂直，故如图所示以点为坐标原点建立空间直角坐标系．由（）知，．∴、、、、．∴、、．∵点为线段上一点，∴设，则．∴，∴．设平面的法向量为，（1）（2）则，令，则．∴，，即直线与平面所成角的正弦值．令，则对称轴为．∴，．∴，．即直线与平面所成角正弦值的取值范围是．解析:由已知椭圆方程为，设椭圆右焦点，由到直线的距离等于，得，，又，，又，求得，，椭圆方程为．设，设的内切圆半径为，的周长为，所以，根据题意，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，（1）．（2）有，最大值．20.（1）（2）由，得，，，由韦达定理得，，所以．令，则，所以，令，则当时，，单调递增，所以，，即当，，直线的方程为时，的最大值为，此时内切圆半径最大，内切圆面积有最大值．解析:依题意得，，得，植树的棵数在区间内的有一次甲箱内摸奖机会，中奖几率为，植树棵数在区间内人数约为：人，中奖的人数约为：人．中奖金额的可能取值为，，，，．；；；（1）植树棵数在区间内人数约为：人，中奖的人数约为：人．（2）（3）这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．21.（3）（1）（2）；；故的分布列为：∵，∴甲箱摸一次所得奖金的期望为：，方法一所得奖金的期望值为；乙箱摸一次所得奖金的期望为．方法二所得奖金的期望值为，∵的值可能为，，，，∴．所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．解析:将代入切线方程中，得，所以，又或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则．由（）可知，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为．曲线在点处的切线方程为，则．因为，所以，（1），．（2）.（3）证明见解析．22.最小值（3）所以，．若，，若，， ，所以，．若， ， ，，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增所以.，设的根为，则，又单调递减，由（）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则．又函数单调递增，故，故．又，所以．最小值yx。
山东省日照市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
山东省日照市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解. 【详解】由cos ()()22x xx x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x x x x f x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C.【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.2．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.3．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ． 【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.4．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B5．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ） A ．22B ．2C ．223D ．23【答案】A【解析】【分析】 根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大，∴PAB ∆面积的最大值是122⨯⨯=故选：A.【点睛】 本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 6．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上.【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =，所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确；对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==，当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠，设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++= 则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 7．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】【分析】与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】 0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>．故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．8．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）AB ．4C ．2 D．1+【答案】B【解析】【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号，∴MP d +的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 9．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大， 所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C.【点睛】 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或3 【答案】D【解析】【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7m MF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年日照市高中必修三数学上期末一模试题含答案
2020年日照市高中必修三数学上期末一模试题含答案一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3B．5C．7D．152．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．813．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）A．320B．720C．316D．254．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．112B．12C．13D．165．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．636．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．567．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．-1C．0D．-28．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度9．已知具有线性相关的两个变量,x y之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4y2.2 4.3 4.5 4.8 6.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.510．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41311．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π二、填空题13．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.14．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．15．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．16．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______．17．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．18．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．19．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为___________20．执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________.三、解答题21．为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数；（3）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.22．为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元，具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.（1）若该高中学校有2000名在校学生，编号分别为0001，0002，0003，…，2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.（写出必要的步骤）（2）该校根据助学金政策将助学金分为3档，1档每年3000元，2档每年2000元，3档每年1000元，某班级共评定出3个1档，2个2档，1个3档，若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想，求这2名同学不在同一档的概率.23．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p的值;(2)根据已知条件完成下面的22列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82824．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,165 0.05第2组 [)165,1700.35 第3组 [)170,175 ①第4组 [)175,1800.20第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．25．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.（1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.7．B解析：B【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．9．D解析：D 【解析】 【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项.由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误； 由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.74.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+， 当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题.10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEFABCS P S =V V ，即可得解. 【详解】由题意易知120ADB ∠=o ，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABC S FD P S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭V V .故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】 由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】 由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【解析】试题分析：设扇形OAB 半径为，此点取自阴影部分的概率是112π-，故选B. 考点：几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.二、填空题13．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16π-【解析】 【分析】先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE …的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，其体积为31493832V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276P ππ=-=-．【点睛】本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础14．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63． 故答案为63． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．16．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概解析：9π【解析】 【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径，即2R =，即R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为343π⨯=，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率8P ==，【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．17．900【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a值根据7080）的频率求出在此区间的人数即可【详解】由1﹣005﹣035﹣02﹣01＝03故a＝003故阅读的时间在7080）（单位：分钟）内解析：【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a值，根据[70，80）的频率求出在此区间的人数即可．【详解】由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900，故答案为：900．【点睛】本题考查频率分布直方图中的有关性质的应用，考查直方图中频率和频数的求法.18．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考解析：2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2.【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除.∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2.【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）当Nn为整数时，抽样距即为Nn；当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N'能被n整除．19．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n 的值为4故答案为4解析：4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序． 故输出的n 的值为4． 故答案为4．20．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37解析：37 【解析】根据图得到：n=18,S=19,n=12 S=31,n=6,S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37. 故答案为：37.三、解答题21．(1)0.002a =；(2)900；(3)152.5（元）. 【解析】分析：（1）由频率分布直方图面积之和为1列过程能求出a 的值；（2）当用电量为400度时，用电费用为260元，此100户居民中用电费用超过260元的户数为10户，此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户，从而该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到估计7月份该市居民用户的平均用电费用.详解：（1）()0.0010.0030.0041001a +++⨯=， 解0.002a =.（2）当用电量为400度时，用电费用为2000.52000.8100160260⨯+⨯=+=（元）， 所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为0.000110010010⨯⨯=（户）， 所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户， 所以该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户. （3）该市居民平均用电费用为()1500.32000.70.5⨯+⨯⨯ ()500.41500.22500.10.8152.5+⨯+⨯+⨯⨯=（元）.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率. 22．（1）见解析；（2）()1115P A = 【解析】 【分析】（1）第一步编号分组，第二步抽样；（2）先用枚举法确定从6名学生选2名的总事件数，再从中确定2名同学不在同一档的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）第一步：分组.将2000名学生分成50组，每组40人，编号是0001～0040的为第1组，编号为0041～0080的为第2组，…，编号为1961～2000为第50组；第二步：抽样.在第1组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为m 的学生，则在第k 组抽取编号为()401k m -+的学生.每组抽取一人，共计抽取50名学生.（2）记该班3个1档的学生为1A ，2A ，3A ，2个2档的学生为1B ，2B ，1个3档的学生为1C ，从该班获得助学金的同学中选择2名同学不在同一档为事件A .基本事件：12A A ，13A A ，11A B ，11A B ，11A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，31A B ，32A B ，31A C ，12B B ，11B C ，21B C ，共计15个.事件A 包含的基本事件共有11个，则()1115P A = 【点睛】本题考查系统抽样以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.23．（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34E X = 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ；（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22⨯列联表；并根据公式计算2K 和3.841比较大小，做出判断；（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭并求分布列和数学期望. 【详解】（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++⨯= 解得：0.01P =， 所以100.1010n ==. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯= 从而22⨯列联表如下图所示:()2210030101545100 3.0304555752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()30301127041464P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-=⎝⎭== ()3211271146414P X C ⎛==-=⎫⨯ ⎪⎝⎭， ()223192146414P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=()333413641P X C ⎛⎫ ⎪⎭=⎝== 所以X 的分布列为故()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.24．(1) 0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10 【解析】 【分析】（1）由表中所有频率和为1可求得①处频率，由频率分布图的作法作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，取各小矩形中点处值作为此组的估计值进行计算可得平均值，中位数是把所有小矩形面积等分的那点的值． 【详解】（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：()10.050.350.200.100.30-+++=．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 0.050.350.5x ++=Q ，解得0.1x =， ∴中位数为：1700.1170.10+=． 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题，考查了学生的数据处理能力．25．（1）58（2）12【解析】 【分析】（1）根据判别式求得方程有实根的条件，用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）画出可行域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）设事件A 为方程2220x bx a -+=有实根，()22240b a -≥，有实根的充要条件为b a ≥，若随机数,{1,2,3,4}a b ∈基本事件共有16个：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2，()()()()()()()()()()2,3,2,4,3,13,23,3,3,4,4,1,4,24,3,,4,4，其中括号中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，则事件A 中包含10个基本事件，故事件A 发生的概率为105()168P A ==. （2）试验的全部结果所构成的区域为{}(,)|04,13a b a b ≤≤≤≤，如图矩形ABCD . 构成事件A 的区域为{}(,)|04,13,a b a b b a ≤≤≤≤≥，如图梯形ABFE . 概率为两者的面积之比，所以所求的概率41()82P A ==.【点睛】本小题主要考查古典概型和几何概型的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.26．乙生产的零件比甲的质量高【解析】试题分析：分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值，再利用方差公式算出甲乙两人生产的零件的方差，发现甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高． 试题解析：甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.3825.415x =⨯++++=甲. 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙. 甲的方差20.00052s =甲，乙的方差20.00012s =乙.∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高.。
【精校】2020年山东省日照市高考一模试卷数学文
2020年山东省日照市高考一模试卷数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x|-1≤x＜3}，则A∩B=( )A.{1，2}B.{0，1，2}C.{0，1，2，3}D.∅解析：∵集合A={0，1，2，3}，B={x|-1≤x＜3}，∴A∩B={0，1，2}.答案：B2.若复数z满足(1+2i)z=(1-i)，则|z|=( )A.2 5B.3 5C.5解析：由(1+2i)z=(1-i)，得()()()()11211313121212555i ii iz ii i i-----====--++-，则5z==答案：C3.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则sin2θ的值为( )A.3 5B.4 5C.1 5D.1 5 -解析：直线l 与直线x+2y-3=0垂直，∴1212l k =-=-.∴tan θ=2. ∴2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++． 答案：B4.函数y=cos2(x+4π)是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 解析：函数y=cos2(x+4π)=-sin2x ，故它是奇函数，且它的最小正周期为22π=π.答案：A5.设a=20.1，359lg log 210b c ==，，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b ＞c ＞a B.a ＞c ＞b C.b ＞a ＞c D.a ＞b ＞c解析：∵20.1＞20=1=lg10＞359lg 0log 210＞＞，∴a ＞b ＞c. 答案：D6.“m ＜0”是“函数f(x)=m+log 2x(x ≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：∵m ＜0，函数f(x)=m+log 2x(x ≥1)，又x ≥1，log 2x ≥0，∵y=log 2x 在x ≥1上为增函数，求f(x)存在零点， 要求f(x)＜0，必须要求m ＜0，∴f(x)在x ≥1上存在零点； 若m=0，代入函数f(x)=m+log 2x(x ≥1)，可得f(x)=log 2x ，令f(x)=log 2x=0，可得x=1，f(x)的零点存在， ∴“m ＜0”是“函数f(x)=m+log 2x(x ≥1)存在零点”充分不必要条件. 答案：A7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163π B.112π C.173π D.356π解析：该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此3216.33V r ππ==答案：A8.函数sin 2222x xx y π-⎛⎫ ⎪⎝-⎭+=的图象大致为( )A.B.C.D.解析：令函数()()sin 2cos 2cos 22222222x x x x x x x x x y f x f x π---⎛⎫ +==-==----⎪⎝⎭，， 所以函数f(x)是奇函数，故排除选项A ， 又在区间(0，4π)时，f(x)＞0， 故排除选项B ，当x →+∞时，f(x)→0，故排除选项C. 答案：D9.已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，12233AB OC OA OB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为( )B.C.2 D.3解析：由()121332OC OA OB OM OA OB =-=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，，所以()22121111332632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⋅=+⋅+=++⋅⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，又△OAB 为等边三角形，所以OA OB ⋅u u u r u u u r=2×2×cos60°=2.221111114423632632OC OM OA OB OA OB ⋅=++⋅=⨯+⨯+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为：3.答案： D10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图1，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.图2是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m=6，则输出的S=( )A.26B.44C.68D.100解析：第一次运行，n=1，a=0，S=0，不符合n≥m，继续运行，第二次运行，n=2，a=2，S=2，不符合n≥m，继续运行，第三次运行，n=3，a=4，S=6，不符合n≥m，继续运行，第四次运行，n=4，a=8，S=14，不符合n≥m，继续运行，第五次运行，n=5，a=12，S=26，不符合n≥m，继续运行，第六次运行，n=6，a=18，S=44，符合n≥m，输出S=44.答案：B11.设F1、F2是双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )A.x y=0±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a，又|PF 1|+|PF 2|=6a ，解得|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a.则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角为30°，∴|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2-2|PF 1|·|F 1F 2|cos30°，∴(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a ×2c同时除以a 2，化简e 2-23e+3=0，解得e c b =∴∴==，，∴双曲线C ：22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±=，x ±y=0.答案：B12.已知函数f(x)=ax-a 2-4(a ＞0，x ∈R)，若p 2+q 2=8，则()()f q f p 的取值范围是( )A.(-∞，+∞)C.(22+)D.[22+] 解析：()()()()224444f q q a a aq a f p ap a p a a -+--==---+，表示点A(p ，q)与B(44a a a a++，)连线的斜率.又a+4a≥4，故取点E(4，4)，当AB 与圆的切线EC 重合时取最小值，可求k EC =tan15°∴则()()f q f p 的最小值为2-；当AB 与圆的切线ED 重合时取最大值，可求k ED =tan75°则()()f q f p 最大值为故()()f q f p 的取值范围是：[2+答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足102400x y x y x -+≤+-≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，，，则z=x+2y 的最小值为 .解析：由约束条件102400x y x y x -+≤+-≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，，，作出可行域如图，联立10240x y x y -+=+-=⎧⎨⎩，，解得A(1，2)，化目标函数z=x+2y 为22x zy =-+，由图可知， 当直线22x zy =-+，过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为5. 答案：514.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若b=1，23c C π=∠=，则△ABC 的面积为 . 解析：∵b=1，23c C π=∠=， ∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC ，即a 2+1-2a ×(12-)=3，解得a=1，再由三角形面积公式得1sin 2ABC S ab C ==V答案：415.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2=4x 的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若S △AOB e= . 解析：双曲线的渐近线方程是b y x a =±，当x=-1时，y=b a ±，即A(-1，b a )，B(-1，-ba)，所以S △AOB =1212b a ⨯⨯⨯=即ba=所以2212b a =，即22212c a a -=，所以2213c a =．所以16.若函数y=f(x)满足：对于y=f(x)图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP OP ⋅'u u u r u u u r=0成立，称函数y=f(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：①y=x -1；②y=e x-2(其中e 为自然对数的底数)；③y=lnx ；④y=sinx+1；⑤y =其中是“特殊对点函数”的序号是 .(写出所有正确的序号) 解析：设点P(x 1，f(x 1))，点P ′(x 2，f(x 2))，由OP OP ⋅'u u u r u u u r =0，得x 1x 2+f(x 1)f(x 2)=0，即OP OP ⊥'u u u r u u u r ；对于①，当P(1，1)时，满足OP OP ⊥'u u u r u u u r的P ′(-1，1)不在f(x)的图象上，∴①不是“特殊对点函数”，如图所示；对于②，作出函数y=e x-2的图象，如图所示，由图象知满足OP OP ⊥'u u u r u u u r的点P ′(x 2，f(x 2))都在y=f(x)图象上，∴②是“特殊对点函数”；对于③，如图所示，当取点P(1，0)时，满足OP OP ⊥'u u u r u u u r的P ′不在f(x)的图象上，∴③不是“特殊对点函数”；对于④，作出函数y=sinx+1的图象如图所示，由图象知，满足OP OP ⊥'u u u r u u u r的点P ′(x 2，f(x 2))都在y=f(x)图象上，∴④是“特殊对点函数”；对于⑤，作出函数由图象知，满足OP OP ⊥'u u u r u u u r 的点P ′(x 2，f(x 2))都在y=f(x)图象上，∴⑤是“特殊对点函数”.综上，正确的命题序号是②④⑤. 答案：②④⑤三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{a n }的公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且a 2+a 4=8，a 3，a 5，a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令11n n n b a a =⋅+，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，可得首项、公差的方程组，解方程，即可得到所求通项公式； (2)求得()()111111212n n n b a a n n n n ===-⋅+++++，运用分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和.答案：(1)因为a 2+a 4=8，即2a 3=8，a 3=4即a 1+2d=4，①因为a 3，a 5，a 8成等比数列，则a 52=a 3a 8，即(a 1+4d)2=(a 1+2d)(a 1+7d)，化简得a 1=2d ②， 联立①和②得a 1=2，d=1，所以a n =2+n-1=n+1； (2)因为()()111111212n n n b a a n n n n ===-⋅+++++，所以数列{b n }的前n项和T n =111111111123341122224nn n n n n n -+-+⋯+-+-=-=+++++．18.如图，在几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，EA ⊥AB ，CB ∥DA ，F 为DA 上的点，EA=DA=AB=2CB ，M 是EC 的中点，N 为BE 的中点.(1)若AF=3FD ，求证：FN ∥平面MBD ；(2)若EA=2，求三棱锥M-ABC 的体积.解析：(1)连接MN ，推导出四边形MNFD 为平行四边形，从而FN ∥MD ，由此能证明FN ∥平面MBD.(Ⅱ)连接AN ，MN ，则AN ⊥BE ，DA ⊥AN ，MN ∥DA ，从而AN ⊥面EBC ，三棱锥M-ABC 的体积V M-ABC =V A-MBC . 答案：(1)连接MN ，∵M ，N 分别是EC ，BE 的中点，∴MN ∥CB ，且1124MN CB DA ==，又AF=3FD ，∴FD=14DA ，∴MN=FD ， 又CB ∥DA ，∴MN ∥DA ，即，MN ∥FD ，∴四边形MNFD 为平行四边形，∴FN ∥MD ，又FN ⊄平面MBD ，MD ⊂平面MBD ，∴FN ∥平面MBD.答案：(Ⅱ)连接AN ，则AN ⊥BE ，DA ⊥AN ，MN ∥DA ，∴AN ⊥面EBC ，又在△ABC 中，，111222MBC S =⨯⨯=V ，∴三棱锥M-ABC 的体积V M-ABC =V A-MBC =11323=．19.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：(1)求出a，b，x，y的值；(2)若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率.解析：(1)利用频率分布表和频率分布直方图的性质直接求解.(2)第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4，第5组的2人分别为b1，b2，从中任取2人，利用列举法能求出所抽取2人中至少一人来自第5组的概率.答案：(1)由题意可知，b=250=0.04；∴[80，90)内的频数为2×0.080.04=4，∵样本容量n=50，∴a=50-8-20-4-2=16，又[60，70)内的频率为160.320.320.032 5010x=∴==，，∵[90，100]内的频率为0.04，∴0.040.00410y==．(2)由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4，第5组的2人分别为b1，b2，则从中任取2人，所有基本事件为：(a1，a2)、(a1，a3)、(a1，a4)、(a1，b1)、(a1，b2)、(a2，a3)、(a2，a4)、(a2，b 1)、(a 2，b 2)、(a 3，a 4)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)、(a 4，b 1)、(a 4，b 2)、(b 1，b 2)，共15个. 又至少一人来自第5组的基本事件有：(a 1，b 1)、(a 1，b 2)、(a 4，b 1)、(a 4，b 2)、(b 1，b 2)、(a 2，b 2)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)、(a 2，b 1)共9个，∴P=93155=． 故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35. 20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为C 与y 轴交于A(0，-1)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线交于M ，N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围.解析：(1)由题意可得，b=1，c=3，再由a ，b ，c 的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；(2)设P(x 0，y 0)(0＜x0≤2)，A(0，-1)，B(0，1)，求出直线PA ，PB 的方程，与直线x=3的交点M ，N ，可得MN 的中点，圆的方程，令y=0，求得与x 轴的交点坐标，即可求出范围.答案：(1)由题意可得，b=1，a 2=c 2+b 2=4，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=． (2)设P(x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A(0，-1)，B(0，1)， ∴001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， 同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线x=3的交点为M(3，()00311y x +-)， 直PB 与直线x=3的交点为N(3，()0031+1y x -)， 线段MN 的中点(3，003y x )， ∴圆的方程为(x-3)2+22000331y y x x -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭， 令y=0，则(x-3)2+22000331y x x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭，∵()2220001361344x y x x +=∴-=-，， ∵这个圆与x 轴相交，∵该方程有两个不同的实数解， 则01364x -＞0，又0＜x 0≤2，解得2413＜x 0≤2故P 点横坐标的取值范围为(2413，2].21.已知函数g(x)=ax-a-lnx ，f(x)=xg(x)，且g(x)≥0.(1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)=0且0＜x 0＜1时，f(x)≤f(x 0).解析：(1)由题意知g(x)的定义域为(0，+∞)，g ′(x)=a-1x ，x ＞0.由g(x)≥0且g(1)=0，故只需g ′(1)=0.从而a=1.当a=1，则g ′(x)=1-1x .g(x)在(1，+∞)上单调递增.x=1是g(x)的唯一极小值点，由此能求出a 的值.(2)f(x)=x 2-x-xlnx ，f ′(x)=2x-2-lnx.设h(x)=2x-2-lnx ，则h ′(x)=2-1x.利用导数性质推导出x=x 0是f(x)在(0，1)的最大值点，由此能证明存在x 0，f ′(x 0)=0且0＜x 0＜1时，f(x)≤f(x 0).答案：(1)由题意知g(x)的定义域为(0，+∞)，而对g(x)求导得g ′(x)=a-1x ，x ＞0. 因为g(x)≥0且g(1)=0，故只需g ′(1)=0.又g ′(1)=a-1，所以a-1=0，得a=1.若a=1，则g ′(x)=1-1x.当0＜x ＜1时，g ′(x)＜0，此时g(x)在(0，1)上单调递减； 当x ＞1，g ′(x)＞0，此时g(x)在(1，+∞)上单调递增.所以x=1是g(x)的唯一极小值点，故g(x)≥g(1)=0.综上，所求a 的值为1.(2)由(1)知f(x)=x 2-x-xlnx ，f ′(x)=2x-2-lnx.设h(x)=2x-2-lnx ，则h ′(x)=2-1x . 当x ∈(0，12)时，h ′(x)＜0；当x ∈(12，+∞)时，h ′(x)＞0， 所以h(x)在(0，12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增. 又h(e-2)＞0，h(12)＜0，h(1)=0，所以h(x)在(0，12)有唯一零点x 0，在[12，+∞)有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h(x)＞0；当x ∈(x 0，1)时，h(x)＜0，因为f ′(x)=h(x)，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点.即x=x 0是f(x)在(0，1)的最大值点，所以f(x)≤f(x 0)成立.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a=+⎧⎨=⎩，(a 为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用一元二次方程根和系数的关系，进一步求出求出弦长.答案：(1)曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a =+⎧⎨=⎩，， 得曲线C 的普通方程：x 2+y 2-4x-12=0，所以曲线C 的极坐标方程为：ρ2-4ρcos θ=12.(2)设A ，B 两点的极坐标方程分别为(ρ1，6π)，(ρ2，6π)，|AB|=|ρ1-ρ2|， 又A ，B 在曲线C 上，则ρ1，ρ2是ρ2-4ρcos θ-12=0的两根∴ρ1+ρ2，ρ1ρ2=-12，所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=23.已知函数f(x)=|x-a|+2|x-1|.(1)当a=2时，求关于x 的不等式f(x)＞5的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≤|a-2|有解，求a 的取值范围.解析：(1)通过对x 取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f(x)＞5的解集；(2)由|x-a|+|x-1|≥|a-1|，可得f(x)=|x-a|+2|x-1|≥|a-1|+|x-1|≥|a-1|，从而得到f(x)的最小值为|a-1|，又|a-1|≤|a-2|，求解即可得实数a 的取值范围.答案：(1)当a=2时，不等式为|x-2|+2|x-1|＞5，若x ≤1，则-3x+4＞5，即x ＜13-，若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去，若x ≥2，则3x-4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为(-∞，13-)∪(3，+∞)；(2)∵|x-a|+|x-1|≥|a-1|，∴f(x)=|x-a|+2|x-1|≥|a-1|+|x-1|≥|a-1|，得到f(x)的最小值为|a-1|，又|a-1|≤|a-2|，∴a ≤32.∴a 的取值范围为(-∞，32]. 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
山东日照2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A2019——2020学年度高三模拟考试数学试题 2020．04考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I （ ） A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-3．南北朝时代数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S ，2S ，则“1V ，2V 相等”是“1S ，2S 总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知圆22:1C x y +=，直线:40l ax y -+=．若直线l 上存在点M ，以M 为圆心且半径为1的圆与圆C 有公共点，则a 的取值范围（ ） A ．(][),33,-∞-+∞UB ．[]3,3-C ．(),-∞+∞UD ．⎡⎣5．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>的图像的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到()y g x =的图像，只需把()y f x =的图像（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位 8．如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从()12,A a a 出发沿图中路线依次经过()34,B a a ，()56,C a a ，()78,D a a ，L ，按此规律一直运动下去，则2017201820192020a a a a +++=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省日照市2020学年度高三数学理工农医类第一次调研测试卷
山东省日照市2020学年度高三数学理工农医类第一次调研测试卷本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式；如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+P (B ) S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， V 球=34πR 3 那么n 次独立重复试验中恰 好发生k 次概率其中R 表示球的半径P n (k )=C ()kn k n P Pk --1 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合U ={(x,y )|x ∈R }是全集，集合P ={(x,y )||x | ≤2，|y |≤1},Q ={(x ，y )|x 2+y 2≤5},则下列集合为空集的是 A.P ∩Q B.P ∩(C u Q ) C.(C u P )∩Q D.(C u P )∩(C u Q )2.复数2113i i+-+的虚部为A.-21B.21C.23D.-23 3.已知曲线C 的方程是y 2=x |x |+1，则曲线C 的大致形是4.若θ∈(0，2π)，sin θ-cos θ=22，则cos2θ等于 A.23 B.-23C.±23 D.±21 5.已知二项式(x -x1)n的展开式中含x 3的项是第4项，则n 的值为 A.7 B.8 C.9 D.106.已知三个力f 1=(-2，-1)，f 2=(-3，2)，f 3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需加上一个力f 4，则f 4等于. A.(-1，-2) B.(1，-2) C.(-2，2) D.(1，2)7.停车场每排恰有10个停车位，当有7辆车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的概率为A.201 B.151 C.901 D.52 8.已知直线m 、n 、l ，平面α、β、γ，则m ⊥β的一个充分不必要条件是 A.α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l B.α⊥γ，β⊥γ,αγ=m C.α⊥γ,β∩γ，m ⊥α D.n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α9.已知等比数列{a n }的公比q >0,前n 项和为Sn ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是 A.S 4a 5=S 5a 4 B.S 4a 5>S 5a 4 C.S 4a 5<S 5a 4 D 不确定10.在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB =83cm ，∠ACB =60°，则球心O 到平面ABC 的距离为 A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm11.直线y=kx +1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线x+y =0对称,则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y ,my kx ,y kx 表示的平面区域的面积是A.41 B.21 C.31D.8112.已知函数f (x )=()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫⎝⎛01031x x f ,x k x 若f (x )=x 有且仅有两个实根，则实数k 的取范围是A.(1，3)B.(1，+∞)C.(-∞，3)D.(-∞，+∞)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10，20]，2；(20，30]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2. 则样本在(-∞，50]上的频率为___________________________________. 14.若x >1时，不等式x +k x ≥-11恒成立，则实数k 的取值范围是_________________. 15.在直角坐标平面上运动的抛物线(开口方向可任意)恒过定点A(-1，0)、B (1，0)，且原点到其准线的距离等于2，则抛物线焦点的轨迹方程是________________________. 16.给出下列命题：①函数f (x )在x =x 0处不连续,则f (x )在x =x 0处无极限； ②函数f (x )=⎪⎭⎫⎝⎛-≠+-21121x x x 对称中心是(-2121-,)；③已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和，若S 7>S 5，则S 9>S 3；④函数f (x )=x |x |+px +q (x ∈R )为奇函数的充要条件是q =0； ⑤已知a ，b ，m 均是正数，且a<b ，则.bam b m a >++ 其中真命题的序号是_______(将所有真命题的序号都填上).三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0，|φ|<2π)的图象(部分)如图所示.(Ⅰ)试确定f (x )的解析式； （Ⅱ）若()312a f π=-，求2cos()3a π-的值.18.本小题满分12分某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)记“f (x )=2ξ·x +4在[-3，-1]上存在x 0,使f (x 0)=0”为事件A ，求事件A 的概率.19.(本小题满分12分)从原点出发的某质点M ，按向量a = (0，1) 移动的概率为32，按向量b = (0，2) 移动的概率为31，设M 可到达点(0,n )的概率为P n . (Ⅰ)求P 1和P 2的值；(Ⅱ)设b n =P n+1-P n ，求证数列{b n }是等比数列； (Ⅲ)求数列{P n }的通项公式及∞→n lim P n .20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A=AD =2，E 、F 分别为棱AD 、PC 的中点.(Ⅰ)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (Ⅲ)求二面角E-PC-D 的大小.21.(本小题满分12分)已知双曲线C ：()0012222>>=-b ,a by a x 的离心率为3，右焦点为F ，过点M (1，0)且斜率为1的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，并且.4=•(Ⅰ)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作直线l ，交双曲线C 的右支于P 、Q 两点，问在原点和右顶点之间是否存在点N ，使得无论直线l 的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF ？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，说明理由.22.(本小题满分14分)已知函数f (x )=().R m xx m ∈-2(Ⅰ)设g (x )=f (x )+ln x ,当m ≥-2时,求g (x )在[221,]上的最大值；(Ⅱ)若y =log 31[8-f (x )]在[1，+∞]上是单调减函数，求实数m 的取值范围.[参考答案]一、选择题(每小题5分，共60分) BAABC DBDCC AC 二、填空题(每小题4分，共16分)13.107； 14.(-∞，3]； 15.()013422≠=+y y x ； 16.③④⑤. 三、解答题(共74分) 17.解：(Ⅰ)由图象可知A =2，,T 2131654=-= ∴T =2，ω=.Tππ=2 …………………3分将点P (231,)代入y=2sin(πx+φ),得sin(ϕπ+3)=1, 又|φ|≤2π，所以φ=.6π故所求解析式为f (x )=2sin(πx +6π)(x ∈R ). …………………6分(Ⅱ)∵f (132-=πa). ∴2sin(62π+a )=13-. 即sin(62π+a )=.213- …………………8分∴cos(a -32π)=cos[π-2⎪⎭⎫ ⎝⎛+26a π] =-cos[2(62π+a )] =2sin 2(62π+a )-1=1-3. …………………12分18.解：(Ⅰ)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A 1、A 2、A 3， 已知A 1、A 2、A 3相互独立，且P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.6. 游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数 可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3. 则P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3)+P (321A A A ••)=P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)+P (1A )·P (2A )· P (3A )=2×0.4×0.5×0.6=0.24.P (ξ=1)=1-0.24=0.76.所以分布列为： ∴E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48 …………………8分(Ⅱ)∵f (x )=2ξx +4在[-3，-1]上存在x 0，使得f (x 0)=0. ∴f (-3)·f (-1)≤0,即(-6ξ+4)(-2ξ+4)≤0， 解得：.232≤≤ξ ∴P (A )=P (.232≤≤ξ)=P (ξ=1)=0.76. …………………12分19.解(Ⅰ)P 1=.P .9731323222=+⎪⎭⎫⎝⎛=…………………3分(Ⅱ)证明：M 到达点(0，n +2)有两种情况：①从点(0，n +1)按向量a =(0，1)移动； ②从点(0，n )按向量b =(0,2)移动. 故P n+2=,P P n n 31321++ ∴P n +2-P n+1=-().P P n n -+131即b n +1=-.b n 31 所以{b n }是以P2-P1=91为首项，以-31为公比的等比数列. ………7分(Ⅲ)∵b n =P n+1-P n =91×(-31)n-1=(-31)n+1,∴P n -P n-1=(-31)n , ∴P n =(P n -P n -1)+(P n -1-P n -2)+…+(P 2-P 1)+P 1 =(-31)n +(-31)n-1+…+(-31)2+32 =.n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+314143 故{P n }的通项公式为P n =.n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+314143 ………………10分 ∞→n lim P n =∞→n lim [n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+314143]=.43………………12分20．解：以直线AB 为x 轴，直线AD 为z 轴建立间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2). (Ⅰ)∵E 为AD 中点，∴E(0，1，0).又F 为PC 中点，∴F (1，1，1).∴().,,EF 101= 又().,,PB 202-= ∴cos<PB ,EF >=90°,∴异面直线EF 和PB 所成角的大小为90°.……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF ⊥PB ，又∵()(),,,,,,101020== ∴,0=•∴EF ⊥BC .∴EF ⊥平面PBC ， 又EF ⊂平面PCE ， ∴平面PCE ⊥平面PBC . ……………………8分(Ⅲ)过点D 作DH ⊥PC 于H .在Rt △PDC 中，PD =2,2DC =2，PC =2,3 则CH =PH ,332：HC =2：1， 又P(0，0，2)，C(2，2，0).∵H (323434,,).∴,,,DH ⎪⎭⎫⎝⎛-323234又()101,,EF =，∴cos<,>=,2323622=⨯ ∴<EF ,DH >=30°. ………………12分∴二面角E-PC-D 的大小为30°.21.解：(Ⅰ)∵e =,a b ,a b ,23132=∴=⎪⎭⎫⎝⎛+∴∴双曲线方程可设为.ay a x 122222=-过M (1，0)，斜率为1的直线方程为y=x -1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=222221ay x ,x y 得x 2+2x -2a 2-1=0, ∴x 1+x 2 = -2, x 1·x 2=-2a 2-1. ………………3分∵()()211323y ,a x y ,a x -•-=• =(x 1-a 3)(x 2-a 3)+y 1·y 2 =(x 1-a 3)(x 2-a 3)+(x 1-1)(x 2-1) =2x 1x 2-(a 3+1)(x 1+x 2)+3a 2+1=-a 2+2a 3+1=4，∴(a -3)2=0， ∴a =3.∴双曲线的方程为.y x 16322=-…………………6分(Ⅱ)(1)若l 与x 轴垂直，由双线的对称性知，原点O (0，0)与右顶点(3，0)间任何点都适合题意. …………………7分(2)若l 与x 轴不垂直，过点F (3，0)的直线l 的方程设为y=k (x -3) 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，N (t ，0) (0<t <3).由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=62322y x x k y 得(2-k 2)x 2+6k 2x -9k 2-6=0, ∵直线l 与双曲线C 右支于P 、Q 两点，∴()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>+-+=∆≠-.k k x x ,k k x x ,k k k ,k 0266026069243602224322432242解得k >2或k <-2. ………………9分∵∠PNF =∠FNQ , ∴K NP =-K NQ ,∴,tx y t x y --=-4433 ∴即()(),tx x k t x x k ---=--443333s ∵|k |>2，∴2x 3x 4-(t +3)(x 3+x 4)+6t =0，将x 3+x 4=-22432226626k k x x ,k k -+-=-代入上式， 整理得t =1.综上所述：存在点N (1，0)使结论成立.…………………12分22.解：(Ⅰ)g (x )=()222241221xm x x m x x x g ,x ln x x m -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--='+-. ………………2分 (1)当m -041≥即m ≥41时，g ′(x )≤0,g (x )在[21,2]上单调递减，∴g (x )max =g (21)=2m -21-ln 2. ………………4分(2)当-2≤m <41时，由g ′(x )=0得x 1=.m x ,m 241124112-+=-- 显然-1≤x 1<21,21<x 2≤2，∴x 1<.,x ,,,x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴∉≤<2212212212122又g ′(x )=-()().x x x x x 221--当21≤x ≤x 2时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增； 当x 2<x ≤2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )max =g (x 2)=241124114112mlnm mm -++-+--+ =-.mlnm 241141-++- 综上所述：①当m ≥41时，g (x )max =2m -221ln -； ②当-2≤m <41时，g (x )max =-.mln m 241141-++- ……………………8分(Ⅱ)因为函数y =log 31[8-f (x )]在[1，+∞]上是单调减函数，则其导数在[1，+∞）上恒小于等于零.所以y ′=()13log [8()]8ef x f x '•-- ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--•--x x m xx m elog 22318=()082312≤-++e log m x x x mx 恒成立.………………11分因为log 31e <0，所以()0822≥-++mx x mx 在[1，+∞）恒成立.即0822≥-++mx m x 在[1，+∞）恒成立.因为⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+08022m x x ,m x 在[1，+∞）上不恒成立.所以⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+08022m x x ,m x 在[1，+∞）上恒成立.得⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥xx m x m 822在[1，+∞）上恒成立.所以-1≤m<9. ……………14分。
2020年日照市数学高考一模试题含答案
为奇函数，排除
D
选项
根据解析式分母不为 0 可知,定义域为 x x 1 ,所以 y 轴右侧虚线部分为 x=1，
当 x=0.01 时，代入 f x 可得 f x 0 ，排除 C 选项
当 x=1.001 时，代入 f x 可得 f x 0 ，排除 B 选项
所以选 A 【点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注 意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
x
，
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
19．若 4a 5b 100 ，则 2( 1 2) _____________． ab
20．若函数 f (x) x2 x 1 a ln x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 a 的最小值是
22．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ，
CA CB CD BD 2. （1）求证： AO 平面 BCD；
（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；
（3）求点 E 到平面 ACD 的距离．
23．已知复数 z1 m 2i ，复数 z2 1 ni ，其中 i 是虚数单位， m ， n 为实数. （1）若 m 1， n 1 ，求 z1 z2 的值；
a b ·a 0 4 33 2 0 1
考点：向量垂直与坐标运算
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C42 6 个； 第二类：与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C14 4 个； 第三类：与信息 0110 没有位置上的数字相同有 C04 1个， 由分类计数原理与信息 0110 至多有两个数字对应位置相同的共有 6 4 1 11个，
【4月山东日照一模数学】2020年山东省日照市高三第一次模拟考试数学试卷及答案解析
=
i+2 5
，
∴复数
z
在复平面内对应的点的坐标为
2 5
，1 5
，在第一象限．故选
A．
2．【答案】B
【解析】由 x2 2x 0 ，得 x (0, 2) ，所以 M N {1} ，故选答案 B．
3．【答案】B
【解析】由祖暅原理知：“ S1, S2 总相等”一定能推出“V1,V2 相等”，反之：若两个同样的圆
的最小正周期为
4
，即
2π
=4，
=
π 2
所以
f (x)
2 sin( πx ) ， 2
g(x) 2 sin[ π(x 1)] 所以只需把 y f (x) 的图像向左平移1个单位得到 y g(x) 的 2
图像，故选 A
8．【答案】C
【解析】由直角坐标系可知，
A1,1, B1, 2,C 2,3, D2, 4, E 3,5, F 3,6 ，
锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同，故选 B
4．【答案】C 【解析】由圆 C : x2 y2 1 的圆心到直线 l : ax y 4 0 的距离 d 2 得，
a , 3 3,
5．【答案】D
【解析】由于 a
1，所以
y
ax
1 a
x
为 R 上的递减函数，且过 0,1 ；y
b
得
x4
b 1+k
；
所以
x3
x4
2kb 1 k2
， 所 以 AD和BC
的中点重合，所以
AB = CD ，所以 AC = BD 恒成立．故 A 正确．
因为
AD和BC
的中点重合为 P
2019-2020年山东省日照市高三一模数学试题及答案解析评分准则
b
得
x4
b 1+k
；
所以
x3
x4
2kb 1 k2
， 所 以 AD和BC
的中点重合，所以
AB = CD ，所以 AC = BD 恒成立．故 A 正确．
因为
AD和BC
的中点重合为 P
,所以
AB
=
CD
，又
SBOC
=
1 3
S
AOD
，所以
BC
=1 3
AD
，
所以 AB = BC = CD .故 B 正确．
当 BC 过点1,0 且 BC 垂直于 x 轴时， AOD 的面积最小值为1．
=
i+2 5
，
∴复数
z
在复平面内对应的点的坐标为
2 5
，1 5
，在第一象限．故选
A．
2．【答案】B
【解析】由 x2 2x 0 ，得 x (0, 2) ，所以 M N {1} ，故选答案 B．
3．【答案】B
【解析】由祖暅原理知：“ S1, S2 总相等”一定能推出“V1,V2 相等”，反之：若两个同样的圆
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．ACD 10．AC 11．AC 12．ABD
9．【答案】ACD
【解析】图（1）中体重在区间 90,100， 100,110， 110,120内的人数分别为 8，10，2； 图（2）中体重在区间 80,90， 90,100， 100,110内的人数分别为 6，8，6；
1 4
山东省日照市2020届高三数学第一次模拟考试(2020年日照一模,无答案)文 新人教B版
绝密★启用前 型：A山东省日照市2020届高三第一次模拟考试文 科 数 学2020.03本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
教试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。
2、第I 卷共2页。
答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
在试卷上作答无效。
参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高； 圆柱的侧面公式：,2Rl s π=圆锥侧面其中R 为圆柱的底面半径，l 为圆柱的母线。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}}{Z n n x x N x x M ∈+==<-=,12,042，则集合N M ⋂等于（A ）｛-1，1｝ （B ）｛-1，0，1｝ （C ）｛0，1｝ （D ）｛-1，0｝（2）函数)1(12)(---=x g x x f 的定义域是（A ）（2，+∞） （B ）（-∞，2） （C ）（1，2） （D ）（1，+∞）（3）已知定义在复数集C 上的函数)(x f 满足{)1( )(1 )1(i f x f Rx x R x x i +=∈+∉- 等于（A ）2 （B ）0 （C ）（1，2］ （D ）（2+ i ）（4）如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（A ）4π （B ）5π（C ）6π （D ）7π（5）曲线nx x x f 1)(=在x=e 处的切线方程为（A ）y=x (B)y=x-e (C)y=2x+e (D)y=2x-e(6)已知程序框图如右，则输出的=i（A ）7 （B ）8（C ）9 （D ）10（7）数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1=1,a n+1=3S n (n ≥1),则a 6=(A)3×44+1 (B)3×44 (C)44 (D)44+1 （8）已知点p(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点P 到直线3x-4y-9=0的距离的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）514 （D ）56（9）设y a 、、β为平面，m 、n 、l 为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（A ）l m a a ⊥=⋂⊥,1,ββ （B ）a m n a n ⊥⊥⊥,,β（C ）a m y r a ⊥⊥⊥,,β （D ）y y a m y a ⊥⊥=⋂β,,（10）已知双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（A ）y=±x 23 (B)y=±x 23 (C)y=±x 33 (D)y=±x 3 (11)函数xx og y 21=的图象大致是（12）定义在R 上奇函数)(x f 满足对任意x 都有)4()1(x f x f -=-，且)23,0(,)(∈=x x x f ，则)2010()2012(f f -等于 （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1第II 卷（共90分）注意事项：第II 卷共2页。
2019-2020年山东省日照市高考数学一模试卷(文科)(有答案)
山东省日照市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i3．已知平面向量=（﹣，m），=（2，1）且⊥，则实数m的值为（）A．B．C．D．4．函数y=x2cosx部分图象可以为（）A． B．C．D．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）A．B．C．D．9．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，=（）x﹣6，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga求实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知角α为第二象限角，，则cosα=______．12．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，体积为______14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为______．15．在锐角△ABC 中，已知，则的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．2015年9月3日，抗日战争胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到世界人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会等环节．受邀抗战老兵由于身体原因，可选择参加纪念大会、阅兵式、招待会中某几个环节，也可都不参加．现从受邀抗战老兵中随机选取60人进行统计分析，得到参加纪念活动的环节数及其概率如表所示：参加纪念活动的环节数0 1 2 3 概率 a b （Ⅰ）若a=2b ，按照参加纪念活动的环节数，从这60名抗战老兵中分层选取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为2的抗战老兵中选取的人数；（Ⅱ）某医疗部门决定从（Ⅰ）中选取的6名抗战老兵中随机选取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足（2a ﹣b ）cosC ﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若三边a ，b ，c 满足a+b=13，c=7，求△ABC 的面积．18．如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=AD=CD=1．点P 为线段C 1D 1的中点． （Ⅰ）求证：AP ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求证：平面BCC 1⊥平面BDC 1．19．已知数列{a n }前n 项和S n ，． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若为数列{c n }的前n 项和，求不超过T 2016的最大的整数k ．20．已知函数f （x ）=lnx ．（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，求实数a的值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．21．已知椭圆的离心率为，上顶点M，左、右焦点分别为F1，F2，△MF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）作直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点，若△TMN 的面积是△TEF的面积的倍，求实数t的值．山东省日照市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件先求集合M和N，再由交集的运算法则计算M∩N．【解答】解：由题意知M={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：A．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程同除i，右侧复数的分子、分母同乘复数i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由z•i=2﹣i得，，故选A3．已知平面向量=（﹣，m），=（2，1）且⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得==0，解得m即可的得出．【解答】解：∵⊥，∴==0，解得m=2．故选：B．4．函数y=x2cosx部分图象可以为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数y=x2cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，且函数y在（0，）上为正实数，结合所给的选项，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=x2cosx为偶函数，可得它的图象关于y轴对称，故排除C、D．再根据函数y=x2cosx在（0，）上为正实数，故排除A，故选：B．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：由框图，模拟执行程序，可得：S=0，i=1S=1，i=2满足条件S＜30，S=4，i=3满足条件S＜30，S=11，i=4满足条件S＜30，S=26，i=5满足条件S＜30，S=57，i=6不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．故选：C．8．设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M 内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】画出图形，求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：如图，区域M的面积为2，区域N的面积为，由几何概型知所求概率为P=．故选B．9．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（﹣2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．10．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），且当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）=（）x ﹣6，若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣log a （x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．D ． 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据指数函数的图象可画出：当﹣6的图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），画出[2，6]的图象．画出函数y=log a （x+2）（a ＞1）的图象．利用在区间（﹣2，6]内关于x 的f （x ）﹣log a （x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，即可得出．【解答】解：如图所示，当﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），画出[2，6]的图象．画出函数y=log a （x+2）（a ＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x 的f （x ）﹣log a （x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，∴log a 8＞3，log a 4＜3，∴4＜a 3＜8，解得＜a ＜2．故选：D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知角α为第二象限角，，则cosα=．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】由，可得sinα=，根据角α为第二象限角，则cosα=﹣，即可得出．【解答】解：∵，∴sinα=，∵角α为第二象限角，则cosα=﹣=﹣，故答案为：﹣．12．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是30 ．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果．【解答】解：根据频率分布直方图，得；消费支出超过150元的频率（0.004+0.002）×50=0.3，∴消费支出超过150元的人数是100×0.3=30．故答案为：30．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，体积为【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为正方形，高为1．【解答】解：由三视图可知几何体为斜四棱锥，棱锥的底面为边长为1的正方形，棱锥的高为1．所以棱锥的体积V==．故答案为．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为217 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，类比36的所有正约数之和的方法，有：（1+5+52），100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217．故答案为：217．15．在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以则的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．2015年9月3日，抗日战争胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到世界人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会等环节．受邀抗战老兵由于身体原因，可选择参加纪念大会、阅兵式、招待会中某几个环节，也可都不参加．现从受邀抗战老兵中随机选取60人进行统计分析，得到参加纪念活动的环节数及其概率如表所示：参加纪念活动的环节数0 1 2 3概率 a b（Ⅰ）若a=2b，按照参加纪念活动的环节数，从这60名抗战老兵中分层选取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为2的抗战老兵中选取的人数；（Ⅱ）某医疗部门决定从（Ⅰ）中选取的6名抗战老兵中随机选取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由题意可知：a+b++=1，又a=2b，由此能求出参加纪念活动的环节数为2的抗战老兵中应抽取的人数．（Ⅱ）抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，2名参加了1个环节，1名参加了2个环节，2名参加了3个环节，由此利用列举法能求出这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a+b++=1，又a=2b，解得a=，b=，故这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为0，1，2，3的抗战老兵的人数分别为10，20，10，20，其中参加纪念活动的环节数为2的抗战老兵中应抽取的人数为10×=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为A，2名参加了1个环节，记为B，C，1名参加了2个环节，分别记为D，2名参加了3个环节，分别记为E，F，从这6名抗战老兵中随机抽取2人，有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15个基本事件，记“这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3”为事件M，则事件M包含的基本事件为（A＜E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F）（E，F），共9个基本事件，所以P（M）==．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（Ⅱ）∵C=，a+b=13，c=7，∴由余弦定理可得：72=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=132﹣3ab，解得：ab=40，∴S△ABC=absinC=40×=10．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=AD=CD=1．点P为线段C1D1的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：平面BCC 1⊥平面BDC 1．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出四边形ABC 1P 为平行四边形，从而AP ∥BC 1，由此能证明AP ∥平面BDC 1． （Ⅱ）推导出BD ⊥BC ，CC 1⊥BD ，从而BD ⊥平面BCC 1．由此能证明平面BCC 1⊥平面BDC 1． 【解答】证明：（Ⅰ）∵点P 是线段C 1D 1的中点，∴PC 1=，由题意PC 1∥DC ，∴PC 1，又AB，∴PC 1AB ，∴四边形ABC 1P 为平行四边形， ∴AP ∥BC 1，又∵AP ⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1， ∴AP ∥平面BDC 1． （Ⅱ）在底面ABCD 中， ∵AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=AD=，∴BD=BC=，在△BCD 中，BD 2+BC 2=CD 2，∴BD ⊥BC ， 由已知CC 1⊥底面ABCD ，∴CC 1⊥BD ， 又BC∩CC 1=C ，∴BD ⊥平面BCC 1．又∵BD ⊂平面BDC 1，∴平面BCC 1⊥平面BDC 1．19．已知数列{a n }前n 项和S n ，．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若为数列{c n }的前n 项和，求不超过T 2016的最大的整数k ．【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（I ）由，可得a 1=1﹣2a 1，解得a 1，当n ≥2时，a n ﹣1=1﹣2S n ﹣1，可得a n ﹣a n ﹣1=﹣2a n ，利用等比数列的通项公式即可得出； （II ）b n =2n ﹣1，c n ===1+．利用“裂项求和”即可得出T n ．【解答】解：（I ）∵，∴a 1=1﹣2a 1，解得a 1=，当n ≥2时，a n ﹣1=1﹣2S n ﹣1，可得a n ﹣a n ﹣1=﹣2a n ，化为．∴数列{a n }是等比数列，首项为与公比都为，可得a n =．（II ）b n ==2n ﹣1，c n ===1+．∴数列{c n }的前n 项和T n =n+×++…+=n+×（1﹣）=n+．∴T 2016=2016+，∴不超过T 2016的最大的整数k=2016．20．已知函数f （x ）=lnx ． （Ⅰ）若曲线在点（2，g （2））处的切线与直线x+2y ﹣1=0平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若m ＞n ＞0，求证．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得g （x ）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值； （Ⅱ）求得h （x ）的导数，由题意可得h′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，运用参数分离和基本不等式可得右边的最小值，即可得到所求范围；（Ⅲ）运用分析法可得即证＜ln ，令=t （t ＞1），h （t ）=lnt ﹣，求得导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）g （x ）=lnx+﹣1的导数为g′（x ）=﹣，可得在点（2，g （2））处的切线斜率为﹣，由在点（2，g （2））处的切线与直线x+2y ﹣1=0平行，可得： ﹣=﹣，解得a=4； （Ⅱ）h （x ）=lnx ﹣的导数为h′（x ）=﹣， 由h （x ）在定义域（0，+∞）上是增函数，可得h′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， 即有2b ≤=x++2在（0，+∞）上恒成立， 由x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取得最小值4，则2b ≤4，可得b 的取值范围是（﹣∞，2]； （Ⅲ）证明：若m ＞n ＞0，要证，即证＜ln ，令=t （t ＞1），h （t ）=lnt ﹣，h′（t ）=﹣=＞0，可得h （t ）在（1，+∞）递增，即有h （t ）＞h （1）=0， 即为lnt ＞，可得．21．已知椭圆的离心率为，上顶点M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，△MF 1F 2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 的下顶点为N ，过点T （t ，2）（t ≠0）作直线TM ，TN 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，若△TMN 的面积是△TEF 的面积的倍，求实数t 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，△MF 1F 2的面积为，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）S △TMN =|MN|•|t|=|t|，直线TM 方程为y=，联立，得，求出E 到直线TN ：3x ﹣ty ﹣t=0的距离，直线TN 方程为：，联立，得x F =，求出|TF|，由此根据三角形面积的比值能求出实数t 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，上顶点M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，△MF 1F 2的面积为，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为．（Ⅱ）∵S △TMN =|MN|•|t|=|t|， 直线TM 方程为y=，联立，得，∴E（，）到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离：d==，直线TN方程为：，联立，得x=，F|=|t﹣|=，∴|TF|=|t﹣xF∴S==•=，△TEF∴==，解得t2=4或t2=36．∴t=±2或t=±6．。