现代设计方法三维图形的几何变换分解
三维变换及三维观察
x
y
y
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 s
x
y
z
x s s
y s
式中s≥1 时，图形整体缩小；
0<s<1时，图形整体放大；
s<0时，图形关于原点做对称等比变换， 当-1<s<0时，图形关于原点做对称整体放大；
当s<-1，图形关于原点做对称整体缩小。
需要注意的是，由于使用的三维坐标系一般是右手坐标系， 因此当沿坐标轴往坐标原点看过去时，沿逆时针方向旋转 的角为正向旋转角，如图所示，即满足右手法则，大拇指 指向旋转轴的正方向，四指转的方向为旋转正方向。反向 旋转将旋转角取负值即可。
三维基本几何变换——旋转变换
绕Z轴旋转时，三维物体的z坐标
保持不变，而x,y坐标发生变化，
三维基本几何变换——旋转变换
z
y X
图7-3 三维旋转的方向与角度
17
三维基本几何变换——旋转变换
三维旋转变换可以分解为多次的二维旋转变换。分别取x,y, z为旋转轴，绕每个旋转轴的三维旋转可以看成是在另外两
个坐标轴组成的二维平面上进行的二维旋转变换，而将二
维旋转变换组合起来，就可得到总的三维旋转变换。
T
1 RZ
cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0 0 0 0
37
三维复合变换
同二维复合变换类似，三维复合变换是指图形作一次以上的变
换。三维复合变换也具有同样的齐次坐标计算形式，变换结果
是每次变换矩阵的乘积。
P' P T P (T1 T2 T3 Tn )
计算机图形学(三维几何变换)
有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标 范围限定在区间{x, y, z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内，称为 标准化设备坐标系
Y
P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)
sin cos 0 0 x 0 y (3) 1 z
X
x cos y sin z 0
Z
旋转的图示
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
18
以图形中心为中心的缩放变换
以图形中心为中心的缩放 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放 的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
A
放缩
17
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心的缩放变换
为了使缩放变换后的图形仍在原位臵附近，可另 以图形中心为中心的缩放 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
视口
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
Yv
世界坐标系
Y
y2 o x y z x2
观察坐标系
y1
X
立体几何变换学习平移旋转和放缩等立体几何变换方法
立体几何变换学习平移旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换学习平移、旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换是一种在三维空间中改变物体位置、方向、形状和大小等属性的方法。
其中，平移、旋转和放缩是最基础的立体几何变换方法。
本文将介绍这三种方法的原理和应用。
一、平移平移是将一个物体在空间中移动到不同的位置，保持其大小和形状不变。
在二维几何中，平移是沿着平行于坐标轴的直线将物体移动到新的位置。
在三维几何中，我们可以通过向量表示物体的平移变换。
在三维空间中，设物体初始位置为P(x,y,z)，平移向量为T(a,b,c)，则物体移动到新位置P'(x',y',z')后，有以下关系：x' = x + ay' = y + bz' = z + c平移变换可以用于物体的移动和场景的布局。
在计算机图形学中，平移变换通常用于物体的位移，以及相机在场景中的位置变换。
二、旋转旋转是围绕某个中心点将物体按照特定角度进行旋转。
在二维几何中，我们可以通过角度表示旋转的大小，并通过中心点进行旋转变换。
在三维几何中，我们使用旋转矩阵来表示旋转变换。
对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的旋转：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθz' = z其中，θ表示旋转角度。
旋转矩阵可以通过矩阵乘法的方式来计算，将初始点P(x,y,z)与旋转矩阵相乘，得到旋转后的点P'(x',y',z')。
旋转变换可以用于物体的姿态调整、动画效果的制作等方面。
在计算机图形学中，旋转变换是非常常用的一种变换方法。
三、放缩放缩是通过改变物体的尺寸来进行变换。
在二维几何中，我们通常使用一个比例因子来表示放缩的大小。
在三维几何中，我们可以通过三个比例因子来表示物体在不同维度上的放缩。
对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的放缩变换：x' = kxy' = kyz' = kz其中，k表示放缩因子，可以是正数、负数或零。
图形变换的三种方式课件
实例2
在平面几何中，将三角形ABC沿垂直 方向向上平移2个单位，得到三角形 A'B'C'。
03
旋转变换
旋转变换的定义
01
旋转变换是指通过旋转一定角度 ，将图形从一个位置移动到另一 个位置的变换方式。
02
旋转变换通常以一个点为中心， 将图形围绕该点进行旋转。
旋转变换的性质
旋转变换不改变图形 的大小和形状，只改 变其方向和位置。
在计算机图形学中，旋转变换是常用的图形变换手段之一，用于实现图形的旋转动画、旋转 视图等效果。
04
缩放变换
缩放变换的定义
缩放变换是指通过改变图形中所有点的坐标值，使其在x轴或y轴方向上扩大或缩 小，从而改变图形的大小。
缩放变换可以分为两种类型：均匀缩放和非均匀缩放。均匀缩放是指图形在x轴 和y轴方向上同时扩大或缩小，而非均匀缩放是指图形在x轴和y轴方向上缩放的 比例不同。
旋转变换可以应用于 平面图形和三维图形 。
旋转变换具有旋转不 变性，即旋转前后图 形的性质保持不变。
旋转变换的实例
• 以直角坐标系为例，旋转变换可以用矩阵表示，例如绕原点逆 时针旋转θ角度的变换矩阵为
旋转变换的实例
``` [ cosθ sinθ
sinθ cosθ ]
旋转变换的实例
```
在几何图形中，旋转变换可以用于旋转三角形、矩形、圆形等基本图形，以及旋转复杂的组 合图形。
状和大小变化。
在计算机图形学中，缩放变换被 广泛应用于图像处理和动画制作 等领域，例如调整图片大小、改
变视频的播放速度等。
在建筑设计领域，通过缩放变换 可以模拟建筑物的实际尺寸和比 例，以便更好地进行设计和规划
。
三维图形观察与变换-Read
三维主要问题
☆三维主要问题 ● 平行投影概念 ● 透视投影概念 ● 深度提示概念 ● 可见线面标识 ● 面绘制 ● 分解/剖面图 ● 三维立体视图 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 不论是显示器屏幕，还是绘图纸，它们都是二维的：三 维物体如何在二维输出设备上输出？(三维图形观察与变 换)
– 也可简单地移去不可见线。
• 去掉隐线也就去掉了物体背面形状的信息。这些可见 线方法也可用来标识物体的可见面。
• 当物体表面以颜色或明暗显示时，应用表面绘制程序来 处理可见面，因此，隐面是暗的。
– 在观察平面上逐个个象素地建立可见性； – 将物体表面作为一个整体来决定其可见性。
三维显示：面绘制
☆三维主要问题 ● 平行投影概念 ● 透视投影概念 ● 深度提示概念 ● 可见线面标识 ● 面绘制 ● 分解/剖面图 ● 三维立体视图 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 根据景物中的光线条件及根据指定表面的特性来建立物 体表面的明暗度，可获得额外的显示真实性。 • 光照描述包括光源的强度和位置以及景物的总的 背景照明。 • 物体的表面性质包括了透明程度和表面的粗糙、 平滑程度。 – 可以用程序来产生景物的正确的照明和阴影区域。 – 面绘制方法和透视及可见面判别组合，产生被显示 景物的某种程序的真实感。
“照相机” 显示平面
视图产生：平行投影
☆三维主要问题 ● 平行投影概念 ● 透视投影概念 ● 深度提示概念 ● 可见线面标识 ● 面绘制 ● 分解/剖面图 ● 三维立体视图 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 产生实体的视图的一种方法是：将物体表面上的点沿平 行线投影到显示平面上。 – 通过选择不同的观察位置，可以将物体上的可视点 投影到显示平面上来获得该物体的不同的三维视图。 • 在平行投影中，三维景物中的平行线投影到二维显示平 面中仍然是平行线。 – 这个技术被用在工程和建筑设计中通过一组体现物 体相对比例的视图来表示一个物体。实体的外貌可 以从这些主要视图中获得重建。
三维空间几何坐标变换矩阵ppt课件
19
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
yA
• P’2
P• ’1
x
z
其中旋转轴A=[ax,ay,az]为
传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋 转的变换。与之相比，这种方法更直观。
20
7.2.4 三维变换矩阵的功能分块
（1）三维线性变换部分 （2）三维平移变换部分 （3）透视变换部分 （4）整体比例因子
P(x,y,z)
y
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
3
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
z
y 其中
x 为正值。
4
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
y (2)
y
（xf,yf,zf) x
z
（xf,yf,zf) x
y y
y
z
x
z
xz
(a)
xz (b)
(d) x
(c)
12
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’•
z
(2)
P• ’1 P2’’•
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
三维图形观察与变换-Read
三维观察概念
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 三维景物视图的计算机生成类似照片拍摄：
• • 首先，用景物的一特殊点给相机定位； 然后，确定相机方向、相机朝向及绕视线的旋转；
☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影
三维坐标系定义
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ● 三维坐标系定
义 ● 三维坐标表示 ● 三维缩放变换 ● 三维旋转变换 ◘ 坐标轴旋转 ◘ 任意轴旋转 ◘ 任意旋转矩阵 ◘ 坐标对齐矩阵 ● 三维反射变换 ● 三维错切变换 ● 三维坐标系变 换
• 右手坐标系
– 右手的四个手指按照x轴向y轴旋转90度的方向握住 z轴，大拇指所指的方向与z轴正向一致。
– 一般地，当拇指与某一坐标轴同向时，四指所指的 方向为绕该轴的正向旋转方向。
x轴：y→z；
y轴：z→x；
z轴：x→y。
Y Z Y Z X y
•
最后，按下快门。
– 拍摄时，可以走动，并以任何角度、各种距离和方 向。 – 景物按相机镜头的大小来修剪，光线从可视表面投 影到相机胶片上。在取景器中出现的都被投影到胶 片上； – 相机镜头的类型和大小决定景物出现在最终相片中 的部分。
三维观察与变换特点
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 对三维图形应用而言，照相机“照相”概念思想渗入三 维图形包中，但图形包生成景物的视图有更大的灵活性 和更多的选择。
计算机图形学第六章三维变换与投影.ppt
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
Tx，Ty，Tz是平移参数。
P’
（6-3）
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为：
x'
y'
xSx yS y
z' zS z
因此，三维比例变换矩阵为：
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
Sx，Sy，Sz是比例系数
A’ A
（6-4）
6.2.3 旋转变换
三维基本几何变换是指将 P(x, y点, z) 从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P'(的x, y过, z'程) 。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似， 这里只给出结论。
关于y轴反射变换的坐标表示为：
xy''
x y
z' z
因此，关于y轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-9）
3、关于z轴的反射
关于z轴反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z' z
因此，关于z轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
（6-7）
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为：关于坐标轴的反射和 关于坐标平面的反射两类。
深入浅出3D模型的几何变换
在3D图形建模时，开发者最经常问的问题是，为什么一个三维空间，由顶点数据构成的模型，最后会映射在屏幕上显示。
实际上，三维数据变换处理经过以下三步骤，模型-视图变换（Model-View）-》透视（Projection）-》视口变换（ViewPort）。
本文从尽量简单的角度，介绍一下3D模型的显示原理 【编著】局部坐标->世界坐标->相机坐标->视口坐标->屏幕坐标了解齐次坐标系由向量导出齐次坐标系：首先，在三维空间的坐标系中，向量是很重要的概念，为什么需要向量？因为我们不但需要知道空间中一个点的位置，有时还需要标明方向，比如人眼的视角，物体的运动等。
我们复习一下：物理定义：向量是具有如下两条性质的量• 方向• 长度: |v|在了解了向量之后，需要解决向量如何在坐标系中表示在n维空间中，任意n个线性无关的向量构成空间的基，给定空间的一组基v1, v2 ,…, vn，空间中任意向量v都可以表示为v = α1v1+ α2v2 +…+ αnvn，其中{αi}是唯一的也就是说给定一组基（3D世界里，基就是世界坐标系或某一视角坐标系），那么该标量组{α1, α2 , …, αn}就可以表示其中的任意向量与基的关系，就解决了向量如何在坐标系中数学表示的基础。
即：但是这样是不足以表示点的，那么可以在基向量组中增加一个点(称为原点)，从而构成一个frameFrame是由(O, v1, v2 ,…, vn)确定的，在这个Frame中，每个向量可以表示为v = α1v1+ α2v2 +…+ αnvn每个点可以表示为P = O + β1v1+ β2v2 +…+ βnvn从而得到n+1维齐次坐标表示，即引入了齐次坐标系向量：v = [α1, α2 ,…,αn, 0]T点：P = [β1, β2 ,…, βn, 1]T齐次坐标系：齐次坐标是所有计算机图形系统的关键，可以大大简化计算 • 所有标准变换(旋转、平移、放缩)都可以应用4×4阶矩阵的乘法实现• 硬件流水线体系都设计为四维计算• 对于正交投影，可以通过w = 0保证向量，w = 1保证点• 对于透视投影，可以进行特殊的处理：透视除法模型-视图变换（Model-View）-》透视（Projection）-》视口变换（ViewPort）有了齐次坐标系，就可以讨论到底如何将模型数据最终投影到平面上并显示出来，首先看一下模型的格式，每个模型有许多组三角型顶点组成，每组顶点数据包含：x,y,z,(vertex，顶点)，x,y,z(normal，法向量，表示该顶点所在平面的方向，比如说，光照向量夹角和法向量就可以决定入射光强度), s,t(纹理坐标)，顶点顺序（index，即描述每个三角型的顶点描画顺序）这些数据将经过以下步骤进行处理将顶点数据转换为齐次坐标系下的坐标：P = [X, Y, Z]T -》 P = [X, Y, Z, 1]T w=1然后进行Model-View变换（把模型摆放到人眼观察的位置，常见的有平移，旋转和缩放），和透视（投影到二维平面上），再通过计算纹理坐标st在对应纹理上的颜色值，对显示屏幕进行适配（ViewPort），就可以显示三维模型到屏幕上（为了说明过程，这里简化了很多流程）。
三维图形几何变换与投影变换
1 实验目的1）掌握4*4矩阵乘法运算的编程实现。
2）掌握平移、比例、旋转三种基本三维几何变换矩阵生成。
3）掌握正交投影图的生成和绘制方法。
2 实验要求1）三维坐标系的原点位于屏幕中心，X轴水平向右，Y轴垂直向上，Z轴垂直于坐标屏幕，指向屏幕外。
2）设计实现三维图形变换类，具有平移、比例、旋转三维几何变换功能，以及正交投影变换功能.3）使用第二章的直线类绘制正四面体的是三维线框模型,要求体心位于坐标原点，使正四面体同时绕Y轴匀速旋转，并相对于体心点来回缩放。
4）使用双缓冲机制，绘制正四面体三维线框模型的二维正交投影图，要求投影到XOY平面。
3 详细设计3。
1 核心算法及类型设计void CTrans3DView：:BuildPointEdge(）｛double d=400;P[0]。
x=d/2; P[0］.y=d/2; P[0］.z=d/2；P［1］。
x=d/2； P［1]。
y=-d/2; P［1].z=-d/2；P[2］。
x=—d/2； P[2]。
y=—d/2; P[2]。
z=d/2；P[3].x=-d/2; P［3].y=d/2; P［3]。
z=—d/2；E[0]。
SetPointsIndex(0，1）；E［1].SetPointsIndex（0,2）;E[2］。
SetPointsIndex（0，3)；E[3］。
SetPointsIndex（1，2);E[4]。
SetPointsIndex（1,3)；E［5］.SetPointsIndex(2,3);｝void CTrans3DView：：OnDraw(CDC＊pDC){CTrans3DDoc* pDoc = GetDocument()；ASSERT_VALID（pDoc);if（!pDoc）return;// TODO：在此处为本机数据添加绘制代码CRect rect;GetClientRect(&rect);pDC-〉SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);pDC-〉SetWindowExt（rect.Width()，rect.Height()）;pDC—>SetViewportExt(rect.Width（），—rect.Height（）);pDC—〉SetViewportOrg（rect.Width（）/2，rect。