2020-2021学年山东省实验中学高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则∁U（A∩B）＝（）A．{4}B．∅C．{1，2，4，5，6}D．{1，2，3，5，6} 2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝2x，g（x）＝B．f（x）＝|x|，g（x）＝C．f（x）＝，g（x）＝x+1D．f（x）＝•，g（x）＝3．（5分）命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥04．（5分）在同一坐标系中，函数f（x）＝ax+与g（x）＝ax2的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（）A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不确定6．（5分）若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）7．（5分）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．48．（5分）定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞）B．（﹣∞，2﹣]∪（0，2+]C．（﹣∞，﹣2﹣]∪（0，﹣2+]D．（﹣∞，﹣]∪（0，]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．{a1，a2}B．{a1，a2，a3}C．{a1，a2，a4}D．{a1，a2，a3，a4}10．（5分）设函数f（x）定义域（﹣1.1），且满足：①xe∈（﹣1，0）时，f（x）＞0；②f（x）+f（y）＝f（），x，y∈（﹣1，1）．则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）在定义域上是减函数D．f（x）在定义域上是增函数11．（5分）若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．“关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a＞0，b2﹣4ac≤0”D．“a＜1”是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件12．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称B．若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称C．若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）为偶函数D．若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为15．（5分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是M．（1）若a＝3，求解集M；（2）若M＝{x|＜x＜2}，解关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0．18．（12分）已知函数．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）解不等式f（x）＞1；（2）若f（x）+t＜0对任意实数x都成立，求实数t的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．（1）若a＝b＝1，求f（x）在[t，t+1]上的最大值；（2）若f（x）在区间[2，4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0的解；（2）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（3）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则∁U（A∩B）＝（）A．{4}B．∅C．{1，2，4，5，6}D．{1，2，3，5，6}【分析】求出A∩B＝{3}，由此能求出∁U（A∩B）．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，∴A∩B＝{3}，∁U（A∩B）＝{1，2，4，5，6}．故选：C．【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝2x，g（x）＝B．f（x）＝|x|，g（x）＝C．f（x）＝，g（x）＝x+1D．f（x）＝•，g（x）＝【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是同一函数．【解答】解：A．f（x）＝2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；B．f（x）＝|x|的定义域为R，＝|x|的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，g（x）＝x+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x≥0，x3+x＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）在同一坐标系中，函数f（x）＝ax+与g（x）＝ax2的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据a的符号判断一次函数的图象的倾斜角以及它与y轴的交点，二次函数的图象的开口方向，然后作出选择．【解答】解：当a＞0时，g（x）＝ax2的图象是开口向上的抛物线，函数f（x）＝ax+的图象是一条斜率为a直线，倾斜角为锐角，故A满足条件，B、C、D不满足条件．当a＜0时，g（x）＝ax2的图象是开口向下的抛物线，函数f（x）＝ax+的图象是一条斜率为a直线，倾斜角为钝角，且直线过定点（0，），4个选项都不满足条件．故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象特征，一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（）A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不确定【分析】设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，列出不等式组，把不等式组的右侧常数化为同一个数，得出不等式即可得出结论．【解答】解：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，由题意可知：，即，∴，∴22x+11y＞16x+20y，即2x＞3y．故A＞B．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．6．（5分）若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．【解答】解：因为y＝f（x）为偶函数，所以，所以不等式等价为．因为函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．7．（5分）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．8．（5分）定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞）B．（﹣∞，2﹣]∪（0，2+] C．（﹣∞，﹣2﹣]∪（0，﹣2+]D．（﹣∞，﹣]∪（0，]【分析】由题意可知函数f（x）是R上的奇函数，画出函数f（x）在[﹣2，2]上的大致图象，得到当x∈[﹣2，0）时，0＜f（x）≤1，由题意可知，从而求出t的取值范围．【解答】解：∵定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数f（x）是R上的奇函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）＝，∴利用函数的奇偶性画出函数f（x）在[﹣2，2]上的大致图象，如图所示：，当x∈[﹣2，0）时，0＜f（x）≤1，∵若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，∴，即，解得：x或0，故选：B．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．{a1，a2}B．{a1，a2，a3}C．{a1，a2，a4}D．{a1，a2，a3，a4}【分析】根据条件即可得出集合M一定含元素a1，a2，可能含a4，然后即可得出集合M 可能的情况．【解答】解：∵M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，∴集合M一定含元素a1，a2，可能含a4，∴M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．故选：AC．【点评】本题考查了列举法的定义，子集的定义，交集的定义及运算，属于基础题．10．（5分）设函数f（x）定义域（﹣1.1），且满足：①xe∈（﹣1，0）时，f（x）＞0；②f（x）+f（y）＝f（），x，y∈（﹣1，1）．则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）在定义域上是减函数D．f（x）在定义域上是增函数【分析】由条件②，令x＝y＝0，可得f（0）＝0，再令y＝﹣x，即可得到f（x）+f（﹣x）＝0，从而可得函数的奇偶性，判断选项A，B；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数f（x）的单调性，从而判断选项C，D．【解答】解：f（x）+f（y）＝f（），令x＝y0，则f（0）+f（0）＝f（0），所以f（0）＝0，令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，又因为x∈（﹣1，1），所以f（x）为奇函数，故A对，B错；任取﹣1＜x1＜x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（），因为﹣1＜x1＜x2＜0，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，所以1﹣x1x2＞0，所以＜0，因为+1＝＞0，所以＞﹣1，所以﹣1＜＜0，由条件①得f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣1，1）上单调递减，故C对，D错．故选：AC．【点评】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的判断，属于中档题．11．（5分）若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．“关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a＞0，b2﹣4ac≤0”D．“a＜1”是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件【分析】根据不等式的基本性质，可以判断选项A、B是否正确；通过举反例可以判断选项C错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D正确．【解答】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2，在c＝0时不成立，所以A错误；对于B：根据不等式的性质，若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，所以﹣a2＜﹣ab，﹣ab＜﹣b2，所以a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，选项B正确；对于C：a＝b＝0，c＝0时，不等式ax2+bx+c≥0也恒成立，所以选项C错误；对于D：方程x2+x+a＝0有两个异号的实根的充要条件是a＜0，所以a＜1是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D正确．故选：BD．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题．12．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称B．若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称C．若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）为偶函数D．若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，将f（x）的图象向右平移1个单位得到函数f（x﹣1）的图象，f（x）为奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，则函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，A正确；对于B，若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），即f（x﹣2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，其图象不一定关于直线x＝1对称，B错误，对于C，将f（x+1）的图象向右平移1个单位得到函数f（x）的图象，若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）的图象关于直线x＝0对称，即f（x）为偶函数，C正确，对于D，若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，即f（1+x）﹣1＝﹣[f（1﹣x）﹣1]，则f（x）的图象关于点（1，1）对称，D正确，故选：ACD．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，涉及函数的周期性分析，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．【分析】利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：原式＝﹣1﹣+＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．14．（5分）幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为m＝3【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，由此求得m的值．【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．15．（5分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为148.4元（用数字作答）【分析】先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加．【解答】解：高峰时间段用电的电费为50×0.568+150×0.598＝28.4+89.7＝118.1 （元），低谷时间段用电的电费为50×0.288+50×0.318＝14.4+15.9＝30.3 （元），本月的总电费为118.1+30.3＝148.4 （元），故答案为：148.4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为12．【分析】推导出A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，由此能求出A中所有元素的和．【解答】解：∵函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，∴A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，则A中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．故答案为：12．【点评】本题考查集合中所有元素的和的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是M．（1）若a＝3，求解集M；（2）若M＝{x|＜x＜2}，解关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0．【分析】（1）不等式为3x2+5x﹣2＞0化为（3x﹣1）（x+2）＞0，解得即可．（2），2是方程ax2+5x﹣2＝0的两根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：（1）当a＝3时，所以不等式为3x2+5x﹣2＞0，即（3x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞，所以集合M＝{x|x＜﹣2或x＞}，（2）∵M＝{x|＜x＜2}，∴，2是方程ax2+5x﹣2＝0的两根，∴×2＝﹣，∴a＝﹣2，∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，即（2x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜，故解集为{x|﹣3＜x＜}．【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．18．（12分）已知函数．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】解：（1）由已知g（x）＝f（x）﹣a，得g（x）＝1﹣a﹣，∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），即1﹣a﹣＝﹣（1﹣a﹣），解得a＝1 （5分）（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（6分）证明如下：设任意x1，x2满足0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0从而＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数（12分）【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）解不等式f（x）＞1；（2）若f（x）+t＜0对任意实数x都成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）分段求出不等式f（x）＞1的解集．再取并集即可．（2）分段求出f（x）的范围，再取并集得到f（x）的范围，进而求出﹣f（x）的范围，f（x）+t＜0对任意实数x都成立，等价于t＜﹣f（x）对任意实数x都成立，只需t小于﹣f（x）的最小值即可．【解答】解：（1）由题意f（x）＝，①当x＜﹣1时，f（x）＝x﹣5＞1，解得：x＞6，又∵x＜﹣1，∴无解，②当﹣1≤x≤2时，f（x）＝3x﹣3＞1，解得：x＞，又∵﹣1≤x≤2，∴，③当x＞2时，f（x）＝﹣x+5＞1，解得：x＜4，又∵x＞2，∴2＜x＜4，综上所述，不等式f（x）＞1的解集为：（，4）．（2）①当x＜﹣1时，f（x）＝x﹣5＜﹣6，②当﹣1≤x≤2时，﹣6≤f（x）＝3x﹣3≤3，③当x＞2时，f（x）＝﹣x+5＜3，所以f（x）≤3，所以﹣f（x）≥﹣3，∵f（x）+t＜0对任意实数x都成立，∴t＜﹣f（x）对任意实数x都成立，∴t＜﹣3，即实数t的取值范围为：（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．（1）若a＝b＝1，求f（x）在[t，t+1]上的最大值；（2）若f（x）在区间[2，4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．【分析】（1）对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；（2）由函数解析式可知函数在区间[2，4]上单调递增，可解出a，b的值．【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣2x+2，x∈[t，t+1]，因为对称轴x＝1，而，所以，①t+≤1，即t时，最大值f（t）＝t2﹣2t+2；②t+，即t时，最大值f（t+1）＝t2+1；综合可知，t时，最大值为t2﹣2t+2；t时，最大值t2+1；（2）因为函数f（x）图象的开口方向向上，且对称轴方程为x＝1，所以，函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，∴，解得，．【点评】本题考查了含参的二次函数求最值问题，已知最值求参数问题，属于中档题．21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（1）设每件定价为t元，由题意列关于t的不等式求解；（2）当x＞25时，不等式ax≥25×成立，分离参数a，再由基本不等式求最值，则答案可求．【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得，≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0，解得25≤t≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元；（2）依题意，当x＞25时，不等式ax≥25×成立，等价于x＞25时，a有解，由于，当且仅当，即x＝30时等号成立．∴a≥10.2．故当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了不等式的解法及利用基本不等式求最值，是基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0的解；（2）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（3）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接把a＝﹣3，m＝0代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，由函数在区间[﹣1，1]上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；（3）把对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立转化为函数y ＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．【解答】解：（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0化为x2﹣4x﹣5＝0，解得：x＝﹣1或x＝5；（2）∵函数f（x）＝x2﹣4x+a+3的对称轴是x＝2，∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：，即，解得﹣8≤a≤0．故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]；（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．f（x）＝x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下面求g（x）＝mx+5﹣2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．【点评】本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷(1)
Ⅱ 为何值时， 的长最小并求出最小值；
Ⅲ 当 的长最小时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
椭圆 的长轴长等于圆 的直径，且 的离心率等于 ，已知直线 交 于 、 两点．
Ⅰ 求 的标准方程；
Ⅱ 求弦 的长．
如图所示，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ，平面 平面 ， ， ， 为 的中点．
Ⅰ 求证： 平面 ；
【解答】
∵平面 的方程为 ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∵经过 直线 的方程为 ，
∴直线 的一个方向向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ， ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
6.
【答案】
B
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
由相交弦长 和圆的半径 及圆心 到过 的直线的距离 之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与 垂直时 最大，求出 的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】
由圆的方程可得圆心坐标 ，半径 ＝ ；
设圆心到直线的距离为 ，则过 的直线与圆的相交弦长 ＝ ，
当 最大时弦长 最小，当直线与 所在的直线垂直时 最大，这时 ＝ ，
所以最小的弦长 ＝ ，
7.
【答案】
A. B. C. D.
二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）
A. B. C. D.
已知曲线 ．（）
A.若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B.若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
Ⅱ 求平面 与平面 所成角的大小．
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1. 直线3x +2y −1=0的一个方向向量是（ ） A.(2, 3) B.(2, −3) C.(−3, 2)D.(3, 2)2. 椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√53 B.√133C.23D.593. 两条平行直线2x −y +3=0和ax −3y +4=0间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ） A.a =−6=−6，d ＝√63B.a =6，d ＝√63C.a =−6，d ＝√53D.a =6，d ＝√534. 如图，四棱锥P −OABC 的底面是矩形，设OA →＝a →，OC →＝b →，OP →＝c →，E 是PC 的中点，则（ ）A.BE →＝−a →−12b →+12c →B.BE →＝−12a →−12b →+12c →C.BE →＝−a →+12b →+12c →D.BE →＝−12a →−12b →−12c →5. 空间直角坐标系O −xyz 中，经过点P(x 0, y 0, z 0)且法向量为m →＝(A,B,C)的平面方程为A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，经过点P(x 0, y 0, z 0)且一个方向向量为n →＝(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l 的方程为x−x 0μ＝y−y 0υ＝z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x −5y +z −7=0，经过(0, 0, 0)直线l 的方程为x3＝y 2＝z−1，则直线1与平面α所成角的正弦值为（ ）A.√1035B.√1010C.√105D.√576. 已知圆x 2+y 2−6x ＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.47. 已知l ，m 是异面直线，A ，B ∈l ，C ，D ∈m ，AC ⊥m ，BD ⊥m ，AB =2，CD =1，则异面直线l ，m 所成的角等于（ ） A.45∘ B.30∘ C.60∘ D.90∘8. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为（ ） A.12B.23C.14D.13二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）过点P(2, 3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A.2x +y −4=0B.x +y −5=0C.3x −2y =0D.4x −2y +5=0已知曲线C:mx 2+ny 2=1．（ ）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上B.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上C.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nD.若m =0，n >0，则C 是两条直线已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m >0)若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90∘，则m 的可能取值为（ ）A.6B.7C.5D.8已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2＝1的左、右焦点，动点P(x 1，y 1)(y 1>12)在椭圆上，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点M(m, 0)，则m 的可能取值为（ ） A.2 B.1 C.0 D.−1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知平面α的一个法向量a →＝(x,1,−2)，平面β的一个法向量b →＝(−1,y,12)，若α⊥β，则y −x =________．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是线段DD 1的中点，F 是线段BB 1的中点，则直线FC 1到平面AB 1E 的距离为________．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 216＝1的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆的周长为2π，A ，B 两点的坐标是(x 1, y 1)(x 2, y 2)，则|y 1−y 2|=________．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0, −3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为A(−1, 4)，B(−2, −1)，C(2, 3)． (I)在△ABC 中，求边AC 中线所在直线方程；(II)求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标及边BC 的长度； (III)求△ABC 的面积．已知△ABC 的边AB 边所在直线的方程为x −3y −6=0，M(2, 0)满足BM →=MC →，点T(−1, 1)在AC 边所在直线上且满足AT →⋅AB →=0．（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求△ABC 外接圆的方程；（3）若动圆P 过点N(−2, 0)，且与△ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM =BN =a(0<a <√2)． (Ⅰ)求MN 的长；(Ⅱ)a 为何值时，MN 的长最小并求出最小值；(Ⅲ)当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2:x 2+y 2=4的直径，且C 1的离心率等于12，已知直线l:x −y −1=0交C 1于A 、B 两点． (Ⅰ)求C 1的标准方程； (Ⅱ)求弦AB 的长．如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1为菱形，∠AA 1B 1=π3，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =BC ，AC =√2AA 1＝2√2，E 为AC 的中点． (Ⅰ)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ)求平面EB 1C 1与平面BB 1C 1C 所成角的大小．已知点A(1, 0)，点P是圆C：(x+1)2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．(Ⅰ)求点E的轨迹方程；(Ⅱ)过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
2020-2021学年深圳实验中学高一上学期期中数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 12 页2020-2021学年深圳实验中学高一上学期期中数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．已知全集U ＝{﹣2，0，1}，集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＝0}，B ＝{x |﹣x 2+x ＝0}，则A ∪（∁U B ）＝（ ）A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．{﹣2，1}D ．{﹣2，0，1}2．若命题∃x 0∈R ，使得x 02+4x 0+2k ＜0”是假命题，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≤2B ．k ≥2C ．k ＜2D ．k ＞23．已知a ＞0，b ＞0，且4ab +2a +b ＝4，则2a +b 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．函数f （x ）＝x 2+3x +2在区问（﹣4，4）上的最大值、最小值分别为（ ）A ．30，6B ．30，−14C ．6，−14D ．无最大值，最小值为−145．函数f （x ）＝x 2﹣4x +3，x ∈[0，a ]的值域为[﹣1，3]，则实数a 的取值范围是（） A ．[2，4] B ．（0，4] C ．[2，+∞） D ．（0，2]6．已知偶函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则（ ）A ．f （1）＞f （2）B ．f （1）＜f （2）C ．f （1）＝f （2）D ．以上都有可能7．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y ＝x 2B ．f （x ）＝x 3C ．f （x ）=1xD ．y ＝﹣x8．若函数f （x ）满足f （x ）=x+3x+2，则f （x ）在[1，+∞）上的值域为（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（0，43]C ．（﹣∞，43]D ．（1，43]二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知函数f （x ）=2x−12x +1，下面说法正确的有（ ）A ．f （x ）图象关于原点对称B ．f （x ）的图象关于y 轴对称C ．f （x ）的值域为（﹣1，1）D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立。
2020-2021学年广东省实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2},{2,3}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{}1B ．{0,2,4}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,4}【答案】A 【分析】先计算UB ，再与集合A 进行交集运算即可求解.【详解】因为{0,1,2,3,4}U =，{2,3}B =， 所以{}U0,1,4B =，因为{1,2}A =， 所以(){}U1A B ⋂=，故选：A.2．全称量词命题：21,23x x x ∀≥+=的否定是（ ） A ．21,23x x x ∃<+≠ B ．21,23x x x ∃<+= C ．21,23x x x ∃≥+≠ D ．以上都不正确【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得正确答案. 【详解】命题：21,23x x x ∀≥+=的否定是21,23x x x ∃≥+≠， 故选：C.3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．12y x =与14y x = B ．xy x=与0y x =C ．y x =与yD ．2yx 与2(1)y x =+【答案】B【分析】逐一判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】12y x =与14y x =的定义域相同，但对应关系不一样；xy x=与0y x =的定义域相同，且都可化为1，是同一函数；y x =与y x ==，不是同一函数；2yx 与2(1)y x =+的定义域相同，但对应关系不一样故选：B4．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32B ．3C ．12D ．4【答案】D【分析】根据幂函数解析式的特点可得k 的值，再将点()2,4代入解析式可得α的值，进而可得k α+的值.【详解】因为(1)y k x α=-是幂函数，所以11k -=可得：2k =， 因为y x α=的图象过点()2,4，所以42α=，解得：2α=， 所以4k α+=， 故选：D.5．设322555111,,225a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数的单调性和性质，比较大小. 【详解】根据指数函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭是单调递减函数，所以3255110122⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <， 25115c -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以a b c <<.故选：C6．函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]2,2-上的最小值为（ ） A ．14B ．34C ．1316D ．13【答案】B【分析】先令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()21g t t t =-+，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解.【详解】解：令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则原函数等价于()21g t t t =-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 又二次函数g t 的对称轴为11,424t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故最小值是13=24g ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()f x 的最小值为34. 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题. 7．若函数(42)3,1()2,1xa x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,2)- B ．(2,2)-C ．[1,2)D ．(0,2]【答案】A【分析】首先求出当1≥x 时，()f x 的值域，再根据已知条件可求出1x <时()f x 的范围，得出关于a 的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】当1≥x 时，()2xf x =为单调递增函数，此时()[]2,f x ∈+∞，若函数(42)3,1()2,1xa x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ， 则当1x <时，()(42)3f x a x a =-+的值域应包含(),2-∞， 所以1x <时，()(42)3f x a x a =-+为单调递增函数，且()12f ≥，即42042+32a a a ->⎧⎨-≥⎩解得22a -≤<，所以a 的取值范围是：[2,2)-， 故选：A【点睛】思路点睛：分段函数的值域应为两段值域的并集，根据已知条件转化为1x <时()f x 的范围，根据一次函数性质可得满足条件的不等式组.8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为2xy =，值域为{1,2,4}的同族函数有（ ）A ．3个B ．4个C ．8个D ．9个【答案】D【分析】先分析出定义域里的可能取值，然后用分步乘法原理即可解决. 【详解】由21x =, 解得0x = 由22x =, 解得1x =± 由24x =, 解得2x =± 下面分三步安排定义域：要使值域里面有1，定义域里面必须有0，有1种安排方法；要使值域里面有2，定义域里面必须有-1或1或者都有，有3种安排方法； 要使值域里面有4，定义域里面必须有-2或2或者都有，有3种安排方法； 所以共有1339⨯⨯= 种取法 故选：D.9．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多选题10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．1ab ≤ B 2a b ≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】解：0a >，0b >，2a b +=，22a b ab ∴+=，1ab ，即1ab ，故A 正确；2()22()4a b a b aba b +=+++=，故2a b +，故B 错误；222()2422a b a b ab +=+--=，故C 正确；1111111()()1()122222b a a b a b a b a b +=++=+++⨯=，故D 正确； 故选：ACD.11．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【分析】A ．从圆的直径的角度分析问题；B ．根据sin y x =函数本身的特点进行分析；C ．举例分析；D ．分析函数3y x =与单位圆的关系，得到结论.【详解】A ．任何一个圆都有无数条直径，均可以平分圆的周长和面积，所以“优美函数”有无数个，故A 正确；B ．3y x =的图象关于原点对称，单位圆的图象也关于原点对称，所以3y x =是单位圆的“优美函数”，故B 正确；C.函数()f x 是奇函数，关于原点对称，且经过原点，若圆的圆心在原点，则()f x 与圆的交点关于圆心对称，此时()f x 是圆心在原点的无数个圆的“优美函数”，故C 正确. D ．如图所示：此时()f x 的图象平分圆的周长和面积，但是()f x 的图象不是中心对称图形，所以不是充要条件，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键理解题意，重点理解函数与圆的对称性.12．若实数x ，y 满足5544y x x y -=-，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．1x y << B ．0y x << C ．01x y <<< D ．x y =【答案】BCD【分析】构造函数()45,()54x xf x xg x x =+=+，得出函数(),()f x g x 都是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，实数,x y 满足5544y xx y -=-，可化为4554x yx y +=+，设()45,()54x xf x xg x x =+=+，由初等函数的性质，可得(),()f x g x 都是单调递增函数， 画出函数(),()f x g x 的图象，如图所示，根据图象可知，当0x =时，()()001f g ==；当1x =时，()()119f g ==， 做一条直线y m =，当9m >时，此时1x y >>，故A 不正确； 当1m <时，此时，0y x <<，故B 正确； 当19m <<时，此时01x y <<<，故C 正确；当1m =或9m =时，此时0x y ==或9x y ==，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过等式变形，根据等式，构造函数()45,()54x x f x x g x x =+=+第二个关键是发现()()001f g ==，()()119f g ==，再根据图象，转化为数形结合分析问题.三、填空题13．已知函数24310()x x f x -++=，则函数()y f x =的定义域为_________. 【答案】[)(]2,00,5-⋃【分析】根据偶次根式非负和0次幂的底数不能为0列不等式组，即可求解.【详解】由题意可得：231000x x x ⎧-++≥⎨≠⎩即231000x x x ⎧--≤⎨≠⎩ 所以()()5200x x x ⎧-+≤⎨≠⎩解得250x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以函数()y f x =的定义域为[)(]2,00,5-⋃， 故答案为：[)(]2,00,5-⋃. 14．函数1()1x f x a +=+(0a >且1a ≠)的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 【答案】()1,2-【分析】根据指数函数图象恒过点()0,1，再根据图象的平移变换即可求解.【详解】因为指数函数x y a =图象恒过点()0,1， 向左平移一个单位可得1x y a+=，此时恒过点()1,1-，再向上平移一个单位可得11x y a+=+，此时恒过点()1,2-，所以这个定点的坐标是()1,2-， 故答案为：()1,2-.15．已知集合{}128|xA x x R =<<∈，，{|3}1B x m x x R =+<<∈，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(),1-∞-【分析】先解不等式求出集合A ，再根据x A ∈是x B ∈的充分不必要的条件可得集合A 是集合B 的真子集，即可求解.【详解】{}{}{}03||128222|03xx A x x x x =<<=<<=<<，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈， 则集合A 是集合B 的真子集， 所以10+<m ， 解得：1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-【点睛】结论点睛：从集合的观点充分不必要条件（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．16．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=， 可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点．当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.四、解答题 17．化简下列各式 （1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2）)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）98；（2）ab. 【分析】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简.【详解】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281=⨯--⨯-10872198=---=； （2）原式()1110812232233354331127272333333a b a b ab a b a bab b a a b a b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值即可求解.【详解】（1）设0x <，则0x ->，因为f x （）是奇函数所以()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦（） 所以222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（） ， 列表如下： x … 3- 2-1-0 1 2 3 … y…3-11-3…函数图象如图所示：（2）由图知：函数f x （）的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-（3）不等式21f x m -≥（）在1[]3x ∈-，上有解， 等价于在21m f x ≤-（）在1[]3x ∈-，有解.可得max 21m f x ≤-（）， 由（2）可知f x （）在[11-，）上单调递减，在[1]3，上单调递增， 因为()()()211211f -=---⨯-=，()233233f =-⨯=所以()max 3f x =，所以2312m ≤-=，所以1m【点睛】方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.19．目前新冠肺炎疫情肆虐全球.我国一方面要防止境外疫情输入，另一方面要逐步复工复产.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(0m ≥)满足41kx m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按816xx+来计算) （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）()163601y m m m =--≥+；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【分析】（1）根据不搞促销活动可求得2k =，可得241x m =-+，再根据题意可得利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）根据基本不等式可求得结果.【详解】（1）不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即0m =时，2x =， ∴2401k =-+，解得2k =，∴2401x m =->+， ∴()816 1.581684xy x x m x m x +=⨯-+-=+- ()163601m m m =--≥+，（2）161636371372911y m m m m =--=--+≤-=++（） 当且仅当1611m m =++，即3m =时，等号成立， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20．已知函数1(),(,0)21x f x a a R b b =-∈>⋅+（1）求证：不论a 为何实数()f x 总是增函数； （2）当1b =时，确定a 的值，使()f x 为奇函数. （3）当1,2a b ==时，求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）证明见详解；（2）12a =；（3）1010 【分析】（1）根据单调性的定义，作差，定号即可；（2）若函数为奇函数，则()()f x f x -=-，列方程求解即可； （3）求解()()111f f x +-=，赋值即可得结果. 【详解】（1）∵()f x 的定义域为R ，设12x x <，则()()()()()12121212221121212121x x x x x x b f x f x a a b b b b --=--+=⋅+⋅+⋅+⋅+ ∵12x x <，∴12220x x -<，()()2121210,0xxb b b ⋅+⋅+>>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以不论a 为何实数，()f x 总为增函数.（2）当1b =时，1()21xf x a =-+∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即112121x x a a--=-+++，解得：12a =..（3）当1,a b ==时，()2fx = ∵()(1)112122x f x f x ⎛⎫+-=+=-+= ∴123202010102021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题综合考查函数：利用单调性的定义证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求解参数值，以及求解函数值的问题，属函数性质综合题.21．已知定义域为R 的函数()y f x =和()y g x =，它们分别满足条件：对mn R ∀∈，，都有()()()f m n f m f n +=+和()()()g m n g m g n +=⋅，且对0,()1x g x ∀>>. （1）求(0),(0)f g 的值；（2）证明函数()y f x =是奇函数；（3）证明0x <时，0()1g x <<，且函数()y g x =在R 上是增函数； （4）试各举出一个符合函数()y f x =和()y g x =的具体函数.【答案】（1）(0)0f =，()0g x =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()2;()2x f x x g x ==.(只要是正比例函数和指数函数均可).【分析】（1）通过赋值，令0m n ==，求()0f 和()0g 的值；（2）通过赋值，令,==-m x n x ，结合奇函数的定义，即可证明；（3）首先判断0x <时，()01g x <<，0x R g x ∀∈>，（），方法一，利用函数单调性的定义，证明当12x x <时，()()120g x g x -< ；方法二，证明()()121g x g x <， 【详解】解：（1）令0m n ==，则00000f f f f =+⇒=（）（）（）（）00000g g g g =⋅⇒=（）（）（）（）或01g =（）， 若00g =（），则0g x =（），与条件矛盾.故0g x =（）(也可令01a b ==，，则不需要检验)（2）f x （）的定义域为R ，关于数0对称，令m x n x ==-，，则f x f x -=-（）（）.故f x （）为奇函数.（3）当0x <时，01x g x ->->，（），又0101g x g x g g x ⋅-==⇒<<（）（）（）（） 故0x R g x ∀∈>，（） 证法一：设12x x ，为R 上任意两个实数，且12x x <，则120x x -<，121g x x -<（） 121222122[1]0[]g x g x g x x x g x g x x g x -=-+-=--⋅<（）（）（）（）（）（）.故g x （）为R 上的增函数.证法二：设12x x ，为R 上任意两个实数，且12x x <，()()()()()122112221g x x x g x g x x g x g x -+⎡⎤⎣⎦==-<∴g x （）为R 上的增函数.（4）()2;()2xf x xg x ==.(只要是正比例函数和1a >的指数函数均可)【点睛】关键点点睛：本题判断奇偶性时，运用赋值法，注意结合奇函数的定义，分别赋值x -和x ，判断奇偶性，判断单调性时，需结合函数值的分布区间，经常类似变形()2211x x x x =-+，再结合已知条件和单调性的定义，证明单调性.22．已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数2()f x bx cx d =++32()g x ax bx cx d =+++()0f x =的实根都是 [()]0g f x =的实根；反之，方程[()]0g f x =的实根都是 ()0f x =的实根．（Ⅰ）求d 的值；（Ⅱ）若0a =，求c 的取值范围；（Ⅲ）若1a =， (1)0f =，求c 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0d =；（Ⅱ）04c ≤<；（Ⅲ）1603c ≤<． 【详解】试题分析：（Ⅰ）比较方便由题意若()0f r =，则[()]0g f r =，即(0)0g d ==；（Ⅱ）关键是分析方程(())0g f x =的解的情况，()()f x x bx c =+，22(())()()g f x c bx c b x bcx c =+++，,b c 中只有一个为0时，两方程解相同，当0bc ≠时，由题意，220b x bcx c ++=无解，由此可得；（Ⅲ）由题意2(())()(()())g f x f x f x cf x c =-+，0c 符合题意，0c ≠时，方程2()()0f x cf x c -+=无实根，在240c c ∆=-<时，方程20t ct c -+=无实根，符合题意，当0∆≥时，方程20t ct c -+=有实根t =，此时要求2()f x x cx =-=无实根，综合以上分析可得c 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设r 是方程()0f x =的一个根，即()0f r =，由题设得[()]0g f r =， 于是(0)[()]0g g f r ==，即(0)0g d ==，即0d =；（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知2()f x bx cx =+，32()g ax cx x bx =++．由0a =得b ，c 是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+， 则22[()]()[()]()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++， 方程()0f x =就是()0x bx c += ①方程[()]0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++= ② （1）当0,0c b =≠时，方程①②的根都为0x =，符合题意； （2）当0,0c b ≠=时，方程①②的根都为0x =，符合题意； （3）当0,0c b ≠≠时，方程①的根都为10x =，2cx b=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220b x bcx c ++=的实根，由题意，方程220b x bcx c ++=无实根，故22()40bc b c ∆=-<，得04c <<． 综上所述，c 的取值范围是04c ≤<．（Ⅲ）由1a =，(1)0f =，得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，2[()]()[()()]g f x f x f x cf x c =-+ ③由()0f x =可以推断出[()]0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程[()]0g f x =的根． 当0c时，符合题意；当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④的根，因此，根据题意，方程④应无实根，那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意；当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，方程④得2()2c f x cx cx ±=-+=，即20cx cx -+= ⑤，则方程⑤应无实根，所以有2()402c c c +--⨯<且2()402c c c ---⨯<．当0c <时，只需220c --<，解得：1603c <<，矛盾，舍去；当4c ≥时，220c -+<，解得：1603c <<，因此1643c ≤<．综上所述，c 的取值范围是1603c ≤<．【解析】一元二次方程根的判别式．。
2020-2021青岛市高一数学上期中一模试题附答案
2020-2021青岛市高一数学上期中一模试题附答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1275．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．26．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 8．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,710．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<11．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201912．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 .14．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.15．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 16．已知()21f x x -=，则()f x = ____.17．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 18．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．19．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.24．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．5．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+=6．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．7．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算8．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.15．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.16．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力.17．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】令11t =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点18．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.19．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以4x c =-2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法．22．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【解析】【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+.故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故 当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =.当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==. 综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.24．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．25．（1）；（2）.【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可． 【详解】函数是奇函数，， 故， 故； 当时，恒成立， 即在恒成立， 令，， 显然在的最小值是， 故，解得：． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.26．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭。
2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(1)
2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(1)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．5．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)76．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-10．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 14．10343383log 27()()161255-+--+=__________．15．若4log 3a =，则22a a -+= ．16．计算：__________．17．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．18．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．19．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 . 20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 22．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；23．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．24．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.25．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域26．已知函数()f x A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．5．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数，所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.10．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得.故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值．二、填空题13．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.14．【解析】15．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a-+=+=. 考点：对数的计算16．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.17．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．18．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．19．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；20．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 22．(1) 0 ; (2) [0,1] 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值. (2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数，则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆,所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤.所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题. 23．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 24．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.25．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解；（2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.26．（1）{}2；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出A B I ；（2）由C B B =U ，可得出C B ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，结合C B ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）要使函数()f x ()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞. 对于函数()12xg x 骣琪=琪桫，该函数为减函数，10x -≤≤Q ，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；（2）C B B =Q U ，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件；当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
【精准解析】山东省潍坊市临朐县实验中学2020-2021学年高一上学期11月月考数学试卷
高一（2020级）上学期11月份学情检测数学试题命题人：马世珍 审核人：温志涛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 若集合{A x y =，{B x y =，则A B =（ ）A. )1,⎡+∞⎣B. )2,⎡+∞⎣C. [])3,11,⎡--⋃+∞⎣D.[])3,10,⎡--⋃+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】先化简两集合，再求交集，即可得出结果.【详解】{{}3A x y x x ===≥-，{{1B x y x x ===≤-或}1x ≥，因此[])3,11,A B ⎡⋂=--⋃+∞⎣. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2. 命题“0x R ∃∈，使得200250x x ++=”的否定是（ ）A. x R ∀∈，2250x x ++=B. x R ∀∈，2250x x ++≠C. x R ∀∉，2250x x ++=D. x R ∀∉，2250x x ++≠【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，从而可得出结果. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“0x R ∃∈，使得200250x x ++=”的否定是：x R ∀∈，都有2250x x ++≠．故选：B .【点睛】本题考特称查命题的否定，以及特称命题的否定是全称命题，属于基础题． 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. 2(),()f x g x ==B. 0()1,()f x g x x ==C. 21()1,()1x f x x g x x -=+=-D. (),()f x x g x ==【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】对A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同； 对B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同； 对C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞⋃+∞，定义域不同； 对D ：()(),f x g x 定义域都为R ，且()()g x x f x ==，故两函数相等； 故选：D .【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可.4. 已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ） A. 7 B. 7-C. 11D. 11-【答案】A 【解析】 【分析】先利用韦达定理得到关于a,b 的方程组，解方程组即得a,b 的值，即得解. 【详解】由题得23,1,6(2)3aa b b-+=⎧∴==⎨-⋅=-⎩，所以a+b =7. 故选A【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( ) A. 120 B. 130C. 150D. 180【答案】A 【解析】 【分析】设出3种书每本的数量，设出学生人数，根据已知条件列方程组，解方程组求得学生人数. 【详解】设毛诗x 本，春秋y 本，周易z 本，学生人数为m ，则94345x y z mxm y m z++=⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩， 解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故选A.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查方程的思想，属于基础题.6. 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)-()f x <0的x 的取值范围是（ ）A. 113⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. ()-1∞，C. 1-3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，D. 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数，故()(||)f x f x =，将f （2x -1）＜f （x ）转化后根据函数的单调性求解即可，【详解】由f (2x －1)-()f x <0可得f (2x －1)<()f x ∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)． 则f (|2x －1|)<f ()||x .又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<||x ，23410x x ∴-+<解得13<x <1. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题利用偶函数的性质，由f （2x -1）＜f （x ）转化为f (|2x －1|)< ()||f x ,以便利用f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增这一性质，脱去“f ”求解即可.7. 若xy 是正数，则221122⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y x 的最小值是（ ）A. 3B.72C. 4D.92【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到22222211112244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y y x x y x y ，再利用基本等式求最小值即可.【详解】22222211112244⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x y y x y y x x222211444⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y当且仅当22x y或2x y ==-时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题.8. 若函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-≤⎩，则(0)f =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解.【详解】由题意，函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-≤⎩，可得2(1)(11)1(221)1f f =+-=--=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件代入求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列命题正确的有（ ） A. A ⋃∅=∅ B. ()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋃ C A B B A ⋂=⋂ D. ()U U C C A A =【答案】CD 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【详解】对A ，因为A A ⋃∅=，故A 错误；对B ，因为()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋂，故B 错误； 对C ，A B B A ⋂=⋂，故C 正确； 对D ，()U U C C A A =，故D 正确． 故选：CD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．10. 下列函数中，对任意x ，满足2()(2)f x f x =的是（ ）A. ()||f x x =B. ()2f x x =-C. ()||f x x x =-D.()1f x x【答案】ABC 【解析】 【分析】对A 、B 、C 、D 选项逐项验证即可．【详解】对于A ，2()2f x x =，(2)22f x x x ==，故满足2()(2)f x f x =； 对于B ，2()4f x x =-，(2)4f x x =-，故满足2()(2)f x f x =；对于C ，2()22f x x x =-，(2)2222f x x x x x =-=-，故满足2()(2)f x f x =； 对于D ，2()22f x x =-，(2)21f x x =-，故不满足2()(2)f x f x =； 故选：ABC .【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．11. 下列不等式，其中正确的是（ ） A. 2 32x x +>（R x ∈） B. 3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C 22 2a b +≥（1a b --） D. ()22211f x x x =+≥- 【答案】AC 【解析】 【分析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断．【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<，D 错误．12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（ ）．A. ()D x 的值域是{0,1}B. x ∀∈R ，都有()()0D x D x -+=C. 存在非零实数T ，使得()()D x T D x +=D. 对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x D x a x D x b >=> 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对应法则，x 是有理数时，()1D x =，x 是无理数时，()0D x =，故A 正确；根据函数奇偶性的定义，可得()D x 是偶函数，故B 错误，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，可判断C 正确，由()0D x =或1可知D 正确.【详解】对于选项A ，根据函数的对应法则，x 是有理数时，()1D x =x 是无理数时，()0D x =，故A 正确对于选项B ，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数 所以x ∀∈R ，都有()()D x D x -=，故B 错误 对于选项C ，若x 是有理数，则x T +也是有理数 若x 是无理数，则x T +也是无理数所以任取一个不为零的实数T ，对于任意的x 都有()()D x T D x +=，故C 正确 对于选项D ，因为()0D x =或1，所以对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x D x a x D x b >=> 故D 正确综上：正确的有ACD【点睛】本题考查的是解决一个新定义的函数的值域，奇偶性，周期性等问题，较为综合.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知集合{}2,3,44A m =--，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m =______.【答案】2 【解析】 【分析】根据子集的定义，列出等式，即可求出．【详解】由B A ⊆知，244m m =-，即()220m -=，所以2m =. 【点睛】本题主要考查子集的定义应用．14. 已知命题:p x R ∀∈，220x x a ++>是假命题，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】根据“x R ∀∈，220x x a ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】∵命题“x R ∀∈，220x x a ++> ”是假命题，∴∃x ∈R , 220x x a ++≤是真命题，即存在()22211a x x x ≤--=-++； 因为()222111x x x -=-++≤ ∴实数a 的取值范围是(−∞,1]. 故答案为：(−∞,1].【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.15. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】2518y x x x =-+- 2518x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 8≤．当且仅当5x =时，等号成立，max8y x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．16. 已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 【答案】2021 【解析】 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解．【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f（x ）﹣1x]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1x+1， 则f （12020）＝2021．故答案为：2021【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()f x =A ，{}210B x Z x =∈<<，{C x R x a =∈<或}1x a >+.（1）求A ，()RA B ⋂；（2）若A C R ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}37A x x =≤<，(){7,8,9}R A B ⋂=；（2）36a ≤<. 【解析】 【分析】（1）先根据函数解析式求出定义域，得到A ；再由补集和交集的概念，即可得出()RA B ⋂；（2）根据并集的结果，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由()f x =3070x x -≥⎧⎨->⎩，解得{}37A x x =≤<， 所以{3RA x x =<或}7x ≥，又{}{}2103,4,5,6,7,8,9B x Z x =∈<<=， 所以(){7,8,9}RA B =；（2）因为A C R ⋃=，{C x R x a =∈<或}1x a >+， 所以只需371aa ≤⎧⎨>+⎩，所以36a ≤<，即实数a 的取值范围为36a ≤<.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及由并集的结果求参数，考查求具体函数的定义域，属于常考题型.18. 已知p ：28200x x --≤；q ：2211m x m -≤≤+． （1）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求出p ，q 成立的等价条件，根据p 是q 的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即q 是p 的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．解：由x 2﹣8x ﹣20≤0得﹣2≤x ≤10，即P ：﹣2≤x ≤10，又q ：1﹣m 2≤x ≤1+m 2．（1）若p 是q 的必要条件，则2212110m m ⎧-≥-⎨+≤⎩，即2239m m ⎧≤⎨≤⎩，即m 2≤3，解得m ≤≤，即m 的取值范围是⎡⎣．（2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即2212110m m ⎧-≤-⎨+≥⎩，即m 2≥9，解得m ≥3或 m ≤﹣3即m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．19. 已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)将1a =代入，利用分解因式解出不等式；(2)分解因式，并讨论3a =，3a >和3a <三种情况，分别解出不等式即可．【详解】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<，解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥；当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥；当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥；综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞；当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．20. 已知函数()2++=x bx a f x x,若函数()f x 是定义域()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()12f =.（1）求,a b 的值;（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性,并用定义进行证明.【答案】（1）1a =,0b =.（2）函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.见解析【解析】【分析】（1）因为()2++=x bx a f x x,化简可得:()a f x x b x =++,根据奇函数定义,结合已知条件,即可求得答案;（2）由（1）可知1()f x x x =+,故函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增,利用单调性的定义,即可求得答案.【详解】（1）()2++=x bx a f x x化简可得:()a f x x b x =++, 函数()f x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,故任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,都有()()f x f x -=-成立,即:⎛⎫--+=-++ ⎪⎝⎭a a xb x b x x 解得:20=b ,即0b = 又(1)2f =,∴12a +=,即1a =,综上可得1a =,0b =.（2）由（1）可知1()f x x x=+, 故函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.证明:任取211x x >>,则()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2121212121111--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x 211x x >>,∴210x x ->,211>x x ,∴()()210f x f x ->,即()()21f x f x >,∴函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.【点睛】本题主要考查了根据奇函数性质求参数和证明函数的单调性,解题关键是掌握奇偶性的定义和利用单调的定义证明单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 21. 为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速()km/h 度值的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)（1）若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用;（2）为使运输总费用不超过1260元,求汽车行驶速度的范围;（3）若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【答案】（1）1244元 （2）[40,90]（3）每小时60千米【解析】【分析】（1）根据运输的总费用=运费+装卸费+损耗费,即可求得答案;（2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,利用12060100021260⨯++≤x x,即可求得答案;（3）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,利用运输的总费用=运费+装卸费+损耗费，可得运输的总费用:1207200601000221000x x x x⨯++=++,根据均值不等式,即可求得答案. 【详解】（1）从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元, 又运输的总费用=运费+装卸费+损耗费当汽车的速度为每小时50千米时∴运输的总费用为:120601000250124450⨯++⨯=（元） （2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时运输的总费用=运费+装卸费+损耗费 ∴12060100021260⨯++≤x x, 化简得213036000-+≤x x解得:4090x ≤≤∴运输的总费用不超过1100元,汽车行驶速度的范围为:[40,90].（3）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,运输的总费用=运费+装卸费+损耗费∴运输的总费用:120720060100022100010001240⨯++=++≥+=x x x x 当且仅当72002=x x即60x =时取得等号 ∴若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式和均值不等式的解决实际问题,解题关键是掌握一元二次不等式的解法和灵活使用均值不等式,在使用均值不等式时,要注意等号的验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.22. 已知2(2)f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是(0,5).（1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围； （3）若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2t f x ⋅≤恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-. 【解析】【分析】（1）由已知条件可知0,5是一元二次方程220x bx c ++=的两个实数根，利用根与系数的关系可求出,b c 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩得055x x k x k⎧⎨-<<-⎩或，而不等式组的的正整数解只有一个，由此可得该正整数解就是6，从而可求出k 取值范围；（3）由()2t f x ⋅≤得2510tx tx --≤，当0t =时显然成立，当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增，只要有510t t --≤，由此可求出t 的取值范围.【详解】解：（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程220x bx c ++=的两个实数根， 可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩ 所以2()210f x x x =-； （2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得657k <-≤，解得21k -≤<-，所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2t f x ⋅≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立，当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩， 解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-.【点睛】此题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，利用函数单调性求二次函数的最值，属于中档题.。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1. 直线3x +2y −1=0的一个方向向量是（ ） A.(2, −3) B.(2, 3) C.(−3, 2)D.(3, 2)2. 椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√133B.√53C.23D.593. 两条平行直线2x −y +3=0和ax −3y +4=0间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ） A.a =6，d ＝√63 B.a =−6=−6，d ＝√63C.a =−6，d ＝√53D.a =6，d ＝√534. 如图，四棱锥P −OABC 的底面是矩形，设OA →＝a →，OC →＝b →，OP →＝c →，E 是PC 的中点，则（ ）A.BE →＝−12a →−12b →+12c →B.BE →＝−a →−12b →+12c →C.BE →＝−a →+12b →+12c →D.BE →＝−12a →−12b →−12c →5. 空间直角坐标系O −xyz 中，经过点P(x 0, y 0, z 0)且法向量为m →＝(A,B,C)的平面方程为A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，经过点P(x 0, y 0, z 0)且一个方向向量为n →＝(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l 的方程为x−x 0μ＝y−y 0υ＝z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x −5y +z −7=0，经过(0, 0, 0)直线l 的方程为x3＝y 2＝z−1，则直线1与平面α所成角的正弦值为（ ）A.√1010B.√1035C.√105D.√576. 已知圆x 2+y 2−6x ＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47. 已知l ，m 是异面直线，A ，B ∈l ，C ，D ∈m ，AC ⊥m ，BD ⊥m ，AB =2，CD =1，则异面直线l ，m 所成的角等于（ ） A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.90∘8. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为（ ）A.23B.12C.13D.14二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）过点P(2, 3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A.x +y −5=0B.2x +y −4=0C.3x −2y =0D.4x −2y +5=0已知曲线C:mx 2+ny 2=1．（ ）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nD.若m =0，n >0，则C 是两条直线已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m >0)若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90∘，则m 的可能取值为（ ）A.7B.6C.5D.8已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2＝1的左、右焦点，动点P(x 1，y 1)(y 1>12)在椭圆上，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点M(m, 0)，则m 的可能取值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知平面α的一个法向量a →＝(x,1,−2)，平面β的一个法向量b →＝(−1,y,12)，若α⊥β，则y −x =________．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是线段DD 1的中点，F 是线段BB 1的中点，则直线FC 1到平面AB 1E 的距离为________．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 216＝1的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆的周长为2π，A ，B 两点的坐标是(x 1, y 1)(x 2, y 2)，则|y 1−y 2|=________．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0, −3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为A(−1, 4)，B(−2, −1)，C(2, 3)． (I)在△ABC 中，求边AC 中线所在直线方程；(II)求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标及边BC 的长度； (III)求△ABC 的面积．已知△ABC 的边AB 边所在直线的方程为x −3y −6=0，M(2, 0)满足BM →=MC →，点T(−1, 1)在AC 边所在直线上且满足AT →⋅AB →=0．（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求△ABC 外接圆的方程；（3）若动圆P 过点N(−2, 0)，且与△ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM =BN =a(0<a <√2)． (Ⅰ)求MN 的长；(Ⅱ)a 为何值时，MN 的长最小并求出最小值；(Ⅲ)当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2:x 2+y 2=4的直径，且C 1的离心率等于12，已知直线l:x −y −1=0交C 1于A 、B 两点． (Ⅰ)求C 1的标准方程； (Ⅱ)求弦AB 的长．如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1为菱形，∠AA 1B 1=π3，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =BC ，AC =√2AA 1＝2√2，E 为AC 的中点． (Ⅰ)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ)求平面EB 1C 1与平面BB 1C 1C 所成角的大小．已知点A(1, 0)，点P是圆C：(x+1)2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．(Ⅰ)求点E的轨迹方程；(Ⅱ)过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1. 直线3x +2y −1=0的一个方向向量是（ ） A.(2, 3) B.(2, −3) C.(−3, 2)D.(3, 2)2. 椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√53 B.√133C.23D.593. 两条平行直线2x −y +3=0和ax −3y +4=0间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ） A.a =−6=−6，d ＝√63B.a =6，d ＝√63C.a =−6，d ＝√53D.a =6，d ＝√534. 如图，四棱锥P −OABC 的底面是矩形，设OA →＝a →，OC →＝b →，OP →＝c →，E 是PC 的中点，则（ ）A.BE →＝−a →−12b →+12c →B.BE →＝−12a →−12b →+12c →C.BE →＝−a →+12b →+12c →D.BE →＝−12a →−12b →−12c →5. 空间直角坐标系O −xyz 中，经过点P(x 0, y 0, z 0)且法向量为m →＝(A,B,C)的平面方程为A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，经过点P(x 0, y 0, z 0)且一个方向向量为n →＝(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l 的方程为x−x 0μ＝y−y 0υ＝z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x −5y +z −7=0，经过(0, 0, 0)直线l 的方程为x3＝y 2＝z−1，则直线1与平面α所成角的正弦值为（ ）A.√1035B.√1010C.√105D.√576. 已知圆x 2+y 2−6x ＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.47. 已知l ，m 是异面直线，A ，B ∈l ，C ，D ∈m ，AC ⊥m ，BD ⊥m ，AB =2，CD =1，则异面直线l ，m 所成的角等于（ ） A.45∘ B.30∘ C.60∘ D.90∘8. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为（ ） A.12B.23C.14D.13二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）过点P(2, 3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A.2x +y −4=0B.x +y −5=0C.3x −2y =0D.4x −2y +5=0已知曲线C:mx 2+ny 2=1．（ ）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上B.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上C.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nD.若m =0，n >0，则C 是两条直线已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m >0)若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90∘，则m 的可能取值为（ ）A.6B.7C.5D.8已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2＝1的左、右焦点，动点P(x 1，y 1)(y 1>12)在椭圆上，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点M(m, 0)，则m 的可能取值为（ ） A.2 B.1 C.0 D.−1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知平面α的一个法向量a →＝(x,1,−2)，平面β的一个法向量b →＝(−1,y,12)，若α⊥β，则y −x =________．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是线段DD 1的中点，F 是线段BB 1的中点，则直线FC 1到平面AB 1E 的距离为________．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 216＝1的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆的周长为2π，A ，B 两点的坐标是(x 1, y 1)(x 2, y 2)，则|y 1−y 2|=________．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0, −3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为A(−1, 4)，B(−2, −1)，C(2, 3)． (I)在△ABC 中，求边AC 中线所在直线方程；(II)求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标及边BC 的长度； (III)求△ABC 的面积．已知△ABC 的边AB 边所在直线的方程为x −3y −6=0，M(2, 0)满足BM →=MC →，点T(−1, 1)在AC 边所在直线上且满足AT →⋅AB →=0．（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求△ABC 外接圆的方程；（3）若动圆P 过点N(−2, 0)，且与△ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM =BN =a(0<a <√2)． (Ⅰ)求MN 的长；(Ⅱ)a 为何值时，MN 的长最小并求出最小值；(Ⅲ)当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2:x 2+y 2=4的直径，且C 1的离心率等于12，已知直线l:x −y −1=0交C 1于A 、B 两点． (Ⅰ)求C 1的标准方程； (Ⅱ)求弦AB 的长．如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1为菱形，∠AA 1B 1=π3，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =BC ，AC =√2AA 1＝2√2，E 为AC 的中点． (Ⅰ)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ)求平面EB 1C 1与平面BB 1C 1C 所成角的大小．已知点A(1, 0)，点P是圆C：(x+1)2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．(Ⅰ)求点E的轨迹方程；(Ⅱ)过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。