刘三阳线性代数第二版第一章答案

第一章 矩阵及其应用习题解答

本章需要掌握的是：

1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则；

5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；

6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7； 7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。

1、 设方阵A 满足2003A 2=5A +16E ，求(A −E)−1。

题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即AB =BA =E →A −1=B, B −1=A 。因此无论题中给出的有关矩阵A 的多项式（如本题是2003A 2=5A +16E ）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E ”即可，即本题是要配成（A-E ）*(?)=E 。

解：∵ 2003A 2−5A −16E =0

2003A 2−2003A +1998A −16E =0 %配出2003A 可提取的（A-E ） 2003A (A −E )+1998A −1998E +1982E =0 %配出1998可提取的（A-E ） 2003(A −E )+1998(A −E )+1982E =0 %提取公因式（A-E ）

(A −E )(2003A +1998E )=−1982E %将只有单位阵的那一项移至等式右端 (A −E )(2003A+1998E )

−1982

=E %写成“AB=BA=E ”的形式

(2003A+1998E )

−1982

(A −E )=E

∴(A −E )−1=

(2003A+1998E )

−1982

%由逆阵定义可知

巩固练习：教材第38页第13题

2、 设A =[1021

]，求A k 。其中k 为正整数。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算A 2，A 3，

最多到A 4，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。

解：A 2=[1021][1021]=[102∗21]，A 3=[102∗21][1021]=[10

2∗31]，因此推论A k =

[10

2k 1

]，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，A =[10

2∗11]成立；

2）假设当k=n-1时，上式成立，即A n−1=[10

2∗(n −1)1

]，则有

当k=n 时，A n =A n−1A =[102(n −1)1][

1021]=[10

2∗n 1

]也成立。 所以 A k =[10

2k 1

]

巩固练习：教材第41页二、填空题（3）

3、 设A=E-uu T ，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零列向量，u T 为u 的转置，证明： 1） A 2=A 的充要条件是u T u=1； 2） 当u T u=1时，A 是不可逆的。

题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u 为n 为非零向量是指u 是一个只有一行

或一列的矩阵，题中有u T u =1即告诉我们u 是一个n*1阶列矩阵即列向量[u 1u 2

⋮u n

]。

解：1）充分性证明，即u T u=1⇒A 2=A

A 2=（E-uu T ）（E-uu T ）=E-2 uu T + uu T uu T %注意u T u ≠uu T ！u T u 是个数，uu T 是个n 阶方阵

∵u T u =1，

∴A 2=E −2uu T +uu T =E −uu T =A

必要性证明，即A 2=A ⇒u T u=1

∵A 2=A,即E −2 uu T + uu T uu T =E −uu T ,化简得

uu T uu T − uu T =0 ，∵u T u 是个数 % 是数就可以提取到矩阵外

∴（u T u ） uu T − uu T =0，则（u T u −1） uu T =0 又∵u 为非零向量，∴uu T ≠0 ∴u T u −1=0，即u T u =1

2）反证法

由1）可知，当u T u=1时，A 2=A ，则如果A 可逆，有

A −1A 2=A −1A ，则有A=E ，这与已知矛盾。所以A 不可逆。

巩固练习：教材第42页二、填空题（15）

4、 设A =[1−201

],g (x )

=x 2+2x −3,求g (A )。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的多项式，要熟练掌握矩阵多项式的各项性质，尤其是多项式中的常数项在矩阵多项式中必须乘以单位阵！否则矩阵与数无法相加。 解：g (A )=A 2+2A −3E % 关键点在于常数项的变化！

=[1−201][1

−201]+2[1−201]−3[1001

] %简单的矩阵运算 =[

0−8

00

] 巩固练习：教材42页二、第14题

5、 设n 维行向量α=(12,0,⋯,0,1

2),矩阵A =E −αT α,B =E +2αT α,其中E 为n 阶单位阵，求AB 。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵乘法，一般这种题型都是有简化的计算，不可能是一一代入求解，虽然这也能求出结果，但是计算量很大。所以通常解题思路是先把AB 的表达式求出，看表达式里有何规律可寻。

解：AB =(E −αT α)(E +2αT α)=E +αT α−2αT ααT α % α是行向量，则要知道αT α是n 阶方阵，而ααT 是个数

∵ααT

=(12,0,⋯,0,12)[ 1

20⋮012]

=12

∴AB =E +αT α−2αT ααT α= E +αT α−2∗1

2αT α=E

巩固练习：教材第41页二、填空题（1）

6、 设3阶方阵A,B 满足关系式A −1BA =6A +BA ,求矩阵B ，其中A =[

1

3000

14

00

017]

。 题型分析：此类题型类似求解矩阵方程，考核的知识点主要是逆阵的定义与性质，尤其是对角矩阵的逆阵也是对角矩阵，其主对角线上的元为原对角矩阵主对角线元的倒数。解题思路是先将矩阵方程化简成所求矩阵的表达式，再代入具体矩阵求解。如本题中应将方程