江苏省宿迁市高中数学 第1章 导数及其应用导数 第14课时 最大值与最小值导学案(无答案)苏教版选修22
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3最大值与最小值课件苏教版选修2_2
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
答案：A
3．函数 y＝x3－3x＋3 在区间[－3，3]上的最小值为( )
A．1答案：D
4．函数 f(x)＝x＋x1的最大值为________． 答案：12
求函数的最值 求下列函数的最值： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0，2π]； (2)f(x)＝－13x3＋2x2－3x，x∈[0，4]．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)定义在闭区间[a，b]上的连续函数 f(x)一定有最大值和最小 值．( √ ) (2)定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最大值．( × ) (3)函数的所有极小值中最小的一个就是最小值．( × )
2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4(舍去)．
(1)a>0 时，x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1，0)
0
(0，2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值 b
所以当 x＝0 时，f(x)取极大值，f(0)＝b. 又 f(2)＝b－16a，f(－1)＝b－7a， 由于 a>0，所以 f(0)>f(－1)>f(2)， 所以当 x＝0 时，f(x)取最大值，即 b＝3， 当 x＝2 时，f(x)取最小值，即 3－16a＝－29，所以 a＝2.
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)，
由 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝3.
列表：
x 0 (0，1) 1 (1，3) 3 (3，4) 4
江苏省宿迁市高中数学第1章导数及其应用导数第13课时极大值与极小值(2)导学案(无答案)苏教版选修2_2
第13课时 极大值与极小值【学习目标】1.根据函数的极值、单调性等特征可以画出函数图象，借助图像进而解决去其他问题；2.理解利用导数研究函数的图像，其实是对函数的整体性质的研究，是导数应用的核心内容. 【问题情境】1. 如何利用导数判断函数的单调性？2.【合作探究】 1.探究一如图所示，射线OP 以圆O 上OA 为起始位置旋转，（1）若∠AOB=120°，射线OP 按怎样的方式旋转就能与OB 重合？有什么规律？用什么样的数学模型来刻画？（2）若 OB 是角α的终边，射线OP 按怎样的方式旋转就能与OB 重合？有什么规律？用什么样的数学模型来刻画？2. 探究二在直角坐标系中，Ox 为起始边，OB 为第四象限的角平分线， （1）终边与OB 重合的角有多少个？写出他们的集合？（2）终边与y 轴正半轴重合的角的集合是什么？与坐标轴重合呢?3.知识建构（1）角的概念_____________________________________________.（2）任意角：_______________叫做正角，_______________叫做负角，_________________叫做零角.（3）象限角_________________________________________.（4）与角α终边相同的角的集合为___________________________________ 4.概念巩固（1）判断下列说法是否正确: ①第二象限角比第一象限角大;②若0°≤α≤90°,则α是第一象限角; ③第一象限角一定不是负角;④钝角一定是第二象限角;第二象限角一定是钝角； ⑤三角形内角一定是第一或第二象限角。
（2）画出30°;390°;-330°的终边，写出与30°终边相同的角的一般形式. 【展示点拨】例1 (1)写出几个与50°角终边相同的角。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值课
(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在区间(a，b)上的 极值 . ②将第①步中求得的 极值 与 f(a) ， f(b) 比较，得到f(x)在区间[a，b] 上的最大值与最小值.
题型探究
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； 解 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x<－1或x>1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0， 所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1).
解答
(2)当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值. 解 由(1)可知，当 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2，f(x)的极 小值为 f(1)＝－2. 又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18， 所以当 x∈[－ 3，3]时，f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2.
解答
(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值.
解答
类型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为 －29，求a，b的值.
解答
反思与感悟
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维， 一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点， 根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实 数a的取值范围是__(－__1_，____11_)__.
江苏省宿迁中学高中数学选修1-1导学案：第3章 导数及
第14课时 最大值与最小值 【学习目标】1.掌握函数的最大值与最小值的概念；2.能熟练利用导数求函数的最值，掌握其思想方法. 【问题情境】1. 如图，指出函数()f x 的极值点，它们对应的函数值是最大值或最小值吗？【合作探究】1.探究一函数的极值与最值有什么区别与联系？2. 探究二如何求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值？3.知识建构(1)、最大值、最小值的概念： . .（2）、设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：① .② .4.概念巩固（1）下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值（2）设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－ 1］上的最小值是 .【展示点拨】例1 求2()=-43f x x x + 在区间[1,4]- 上的最大值与最小值.例2. 求1()=+sin 2f x x x 在区间[0,2]π 上的最大值与最小值.例3. 设213a <<，函数323()2f x x ax b =-+(11)x -≤≤的最大值为1，最小值为2-，求常数a ，b ．拓展延伸：设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．【学以致用】1. 函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为__________2. 函数y =122+-x x x 的最大值为___________3. 设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则________,________a b ==4. 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，试求实数m 的取值范围.第14课时 最大值与最小值同步训练【基础训练】1.有下列命题：①函数()f x 在0x x = 处取得最大值的必要条件是0()0f x '= ；②在区间[,]a b上，函数的极大值中最大的就是函数的最大值；③ 在区间[,]a b 上，函数的极小值不一定是最小值；④函数的最大值一定大于函数的最小值；⑤有的函数可能有两个最小值.其中正确命题的序号是____________;2.若函数42()25f x x x =-+ 在区间[2,2]- 上恒有()f x m < 成立，则实数m 的取值范围是__________;3.设函数32()6f x ax ax b =-+ 在区间[1,2]- 上的最大值为3，最小值为-29，且0a > ，则_______,________a b == ;4.函数()ln f x x x =- 在区间[1,3] 上的最大值是_________,最小值是________________;5.已知函数()sin cos [,]22f x x x x ππ=+∈-， ，当x = ______时，函数()f x 有最大值_______;当x = ______时，函数()f x 有最小值_______;当x = ______时，函数()f x 有极值.6.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()cos2,[,];22f x x x x ππ=-∈- (2)21(),[0,4];1x f x x x -=∈+ 【思考应用】7. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()sin 2,[,];22f x x x x ππ=-∈- (2)(),[0,1];x f x xe x -=∈8.求函数1(),0f x x x a x =+≤≤ 的最小值.9. 求函数322()1(0)a f x x a x =++> 在区间[1,2] 上的最小值.10.已知函数1()ln(1),01x f x ax x x-=++≥+ ，其中0a > .若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.【拓展提升】11. 已知函数22(),[1,)x x a f x x x ++=∈+∞ (1)当12a = 时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞> 恒成立，试求实数a 的取值范围.12. 已知函数3232()39,()32,f x x x x m g x x a x a =-+++=--且()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20.(1)求实数m 的值.(2)是否存在实数1a ≥ ，使得对于1[2,2]x ∀∈- ，总存在0[0,1]x ∈ ，都有01()()g x f x = 成立？ 若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.第14课时最大值与最小值同步训练答案。
高中数学第一章导数及其应用1.3.2极大值与极小值课件苏教版选修22
第二十五页，共36页。
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，图略． 由已知应有－2＋2＋a>a0<，0， 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2,2)．
第三页，共36页。
函数极大(小)值的概念 设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值 都要大 ，我们称f(x1) 为函数f(x)的一个极大值； 设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值 都要小 ，我们称f(x2) 为函数f(x)的一个极小值． 函数的极大值、极小值统称为函数的 极值(jí．zhí)
第十五页，共36页。
ห้องสมุดไป่ตู้
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解． ∴1－23＝－23a， ×－23＝b3， ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c， 由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1. ∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1. ∴f′(x)＝3x2－x－2.
第三十四页，共36页。
5．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
【解】 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
江苏省宿迁市高中数学 第3章 导数及其应用 第14课时 最大值与最小值导学案(无答案)苏教版选修1-1
第14课时 最大值与最小值【学习目标】1.掌握函数的最大值与最小值的概念；2.能熟练利用导数求函数的最值，掌握其思想方法.【问题情境】1. 如图，指出函数()f x 的极值点，它们对应的函数值是最大值或最小值吗？【合作探究】1.探究一函数的极值与最值有什么区别与联系？2. 探究二如何求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值？3.知识建构(1)、最大值、最小值的概念： . .（2）、设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：① .② .4.概念巩固（1）下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值（2）设y=|x|3,那么y在区间［－3，－ 1］上的最小值是 .【展示点拨】例1 求2()=-43f x x x+在区间[1,4]-上的最大值与最小值.例2. 求1()=+sin2f x x x在区间[0,2]π上的最大值与最小值.例3. 设213a<<，函数323()2f x x ax b=-+(11)x-≤≤的最大值为1，最小值为，求常数a，b．拓展延伸：设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．【学以致用】1. 函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为__________2. 函数y =122+-x x x 的最大值为___________3. 设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则________,________a b ==4. 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，试求实数m 的取值范围.第14课时 最大值与最小值同步训练【基础训练】1.有下列命题：①函数()f x 在0x x = 处取得最大值的必要条件是0()0f x '= ；②在区间[,]a b 上，函数的极大值中最大的就是函数的最大值；③ 在区间[,]a b 上，函数的极小值不一定是最小值；④函数的最大值一定大于函数的最小值；⑤有的函数可能有两个最小值.其中正确命题的序号是____________;2.若函数42()25f x x x =-+ 在区间[2,2]- 上恒有()f x m < 成立，则实数m 的取值范围是__________;3.设函数32()6f x ax ax b =-+ 在区间[1,2]- 上的最大值为3，最小值为-29，且0a > ，则_______,________a b == ;4.函数()ln f x x x =- 在区间[1,3] 上的最大值是_________,最小值是________________;5.已知函数()sin cos [,]22f x x x x ππ=+∈-， ，当x = ______时，函数()f x 有最大值_______;当x = ______时，函数()f x 有最小值_______;当x = ______时，函数()f x 有极值.6.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()cos 2,[,];22f x x x x ππ=-∈- (2)21(),[0,4];1x f x x x -=∈+ 【思考应用】7. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()sin 2,[,];22f x x x x ππ=-∈- (2)(),[0,1];x f x xe x -=∈8.求函数1(),0f x x x a x =+≤≤ 的最小值.9. 求函数322()1(0)a f x x a x =++> 在区间[1,2] 上的最小值.10.已知函数1()ln(1),01x f x ax x x-=++≥+ ，其中0a > .若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.【拓展提升】11. 已知函数22(),[1,)x x a f x x x ++=∈+∞ (1)当12a = 时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞> 恒成立，试求实数a 的取值范围.12. 已知函数3232()39,()32,f x x x x m g x x a x a =-+++=--且()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20.(1)求实数m 的值.(2)是否存在实数1a ≥ ，使得对于1[2,2]x ∀∈- ，总存在0[0,1]x ∈ ，都有01()()g x f x = 成立？ 若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.。
高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值课件苏教版
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
解 f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) －60 －3 (－3， －1) ＋ ↗ －1 0 极大值4 (－1,0) － ↘ 0 0 极小值3 (0,1) ＋ ↗ 1 0 极大值4 (1,2) － ↘ －5
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，
f(x)极小值＝－1.
而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，
最小值为－17.
解析答案
1
2
3
4
5
无 填“有”或“无”)最大值. 3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)____( 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
π ∴f(x)在0，2 上是单调增函数，
π ∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f ＝ 2
e .
解析答案
π 2
1
2
3
4
5
5.已知 f(x) ＝ 2x3 － 6x2 ＋ a(a 为常数 ) 在 [ － 2,2]上有最小值 3 ，那么 f(x) 在 [ － 43 ____. 2,2]上的最大值是 解析 令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1
设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))
处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
高中数学第1章导数及其应用1_3_3最大值与最小值知识导航苏教版选修2-2
1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a ，b ］上连续的函数f(x)在［a ，b ］上____________最大值与最小值；在(a ，b)上连续的函数或在［a ，b ］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤是：(1) ________________________________________________;(2) ________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b ］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b ］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值. 疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x 3,3-≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x 3,x∈［31-,1］. 思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x )=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f(3-)=0,f(3)=-18.∴f(x)max =2,f(x)min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0，∴x=±2.当x∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(-31)=27269. 绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可.变式训练：求下列函数的最值. (1)f(x)=sin2x-x(-2π≤x≤2π); (2)f(x)=xb x a -+122(0＜x ＜1,a ＞0,b ＞0). 解:(1)f′(x)=2cos2x -1,令f′(x)=0，得x=±6π. ∴f(6π)=623π-,f(-6π)=623π+-. 又f(2π)=-2π,f(-2π)=2π, ∴［f(x)］max =2π,［f(x)］min =2π-. (2)f′(x)=2222222222)1()1()1(x x x a x b x b x a ---=-+-. 令f′(x)=0,即b 2x 2-a 2(1-x)2=0,解得x=b a a +. 当0＜x ＜b a a +时,f′(x)＜0,当ba a +＜x ＜1时,f′(x)＞0. ∴函数f(x)在点x=b a a +处取得极小值,也是最小值为f(ba a +)=(a+b)2,即［f(x)］min =(a+b)2.【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0)时,f(x)=x 3-ax(a∈R ).(1)当x∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a ＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a ，使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3.(2)f′(x)=-3x 2+a.∵x∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］.∴-3x 2≥-3.∵a＞3,∴-3x 2+a ＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a -3x 2;令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时,x=±33a .又∵x∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1.∴f′(x)在(0, 33a )上大于0，在(33a ,1)上不小于0. ∴f(x)极大值=f(33a )=19329333==-a a a a a a . ∴a=2233时，f(x)有最大值1. 绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=322)2(x x -在［-1，3］上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f′(x)=3)2(134--x x x . 在定义域内不可导点为x 1=0,x 2=2.令f′(x)=0，得x=1.又f(-1)=39,f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0,f(3)=39,∴在x=-1点和x=3点，y 有最大值f(-1)=f(3)=39.∴在x=0点和x=2点,y 有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】 已知x 、y 为正实数,且满足关系式x 2-2x+4y 2=0,求x·y 的最大值.思路分析:题中有两个变量x 和y,首先应选择一下主要变量,将x 、y 表示为某一个变量(x 或y 或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y 2=2x-x 2,∵y＞0,∴y=2221x x -. ∴x·y=21x·22x x -.由⎩⎨⎧≥->,02,02x x x 解得0＜x≤2. 设f(x)=xy=2221x x x -(0＜x≤2).当0＜x ＜2时,f′(x)=21［222)1(2xx x x x x --+-］=222)23(x x x x --. 令f′(x)=0，得x=23或x=0(舍)， ∴f(23)=833.又f(2)=0,∴函数f(x)的最大值为833,即x·y 的最大值为833. 方法二:由x 2-2x+4y 2=0,得(x-1)2+4y 2=1(x ＞0,y ＞0).设x-1=cos α,y=21sin α(0＜α＜π), ∴x·y=21sin α(1+cos α). 设f(α)=21sin α(1+cos α), 则f′(α)=21［-sin 2α+(1+cos α)·cosα］ =21(2cos 2α+cos α-1)=(cos α+1)(cos α-21). 令f′(α)=0,得cos α=-1或cos α=21. ∵0＜α＜π,∴α=3π,此时x=23,y=43. ∴f(3π)=833. ∴［f(3π)］max =833, 即当x=23,y=43时,［x·y］max =833. 绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M 在抛物线y 2=2px(p ＞0)上,问M 在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(p y 22,y),则d=|MP|2=(py 22-p)2+(y-p)2, d′=2(p y 22-p)·p y +2(y-p)=23py -2y+2y-2p. 由d′=0,得y=p 32.此时M(p p 332,21)为所求. 问题探究问题：怎样理解在闭区间［a,b ］上连续的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值? 导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.。
高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值课件苏教版选修22
t g′(t) g(t)
(0,1) ＋ 单调递增
1 0 极大值1－m
(1,2) － 单调递减
第二十六页，共38页。
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m. h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0. ∴m的取值范围为(1，＋∞)．
第二十七页，共38页。
1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值 来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略 (1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值； (2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值； (3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值； (4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．
t g′(t)
g(t)
0 －1－m
(0,1)
＋
单调 递增
1
0
极大值 1－m
(1,2)
－
单调 递减
2 －3－m
第二十九页，共38页。
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m， 存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立， 等价于g(t)的最小值g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， 所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
①无最值；
②有极值；
③有最大值； ④有最小值．
【解析】 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 无极值，也无最值．
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.3最大值与最小值讲义(含解析)苏教
1．3.3 最大值与最小值[对应学生用书P19]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．3．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)．问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定．问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是．1．最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．[对应学生用书P19][例1][思路点拨]求f′(x)→令f′(x)＝0得到相应的x的值→列表→确定函数取极值的点→求极值与端点处的函数值→比较大小确定最值[精解详析] f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.[一点通] 求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m.则M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：322．求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f(x)＝3e x－e x x2，∴f′(x)＝3e x－(e x x2＋2e x x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.[例2] 3，最小值为－29，求a，b的值．[思路点拨] 根据导数与单调性之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．[精解详析] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．取导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍)． (1)∵当a ＞0时，如下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (0)＝3，∴b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3＞f (2)＝－16a ＋3， ∴最小值f (2)＝－16a ＋3＝－29，a ＝2. (2)∵当a ＜0时，如下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最小值， ∴b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29＜f (2)＝－16a －29， ∴最大值f (2)＝－16a －29＝3，a ＝－2.综上，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a 的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a 的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而得出参数的值．3．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ，a ∈R .(1)若a ＝2，求函数在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[1，e]上的最小值． 解：(1)a ＝2时，f (x )＝12x 2－2ln x ，f (1)＝12，f ′(x )＝x －2x，f ′(1)＝－1，故切线方程为y －12＝－(x －1)，即2x ＋2y －3＝0.(2)依题意，x ＞0，f ′(x )＝x －a x ＝1x(x 2－a )，①a ≤1时，因为x ∈[1，e]，1≤x 2≤e 2，所以f ′(x )≥0(当且仅当x ＝a ＝1时等号成立)，所以f (x )在区间[1，e]上单调递增，最小值为f (1)＝12.②a ≥e 2时，因为1≤x 2≤e 2，所以f ′(x )≤0(当且仅当x ＝e ，a ＝e 2时等号成立)，所以f (x )在区间[1，e]上单调递减，最小值为f (e)＝12e 2－a .③1＜a ＜e 2时，解f ′(x )＝1x(x 2－a )＝0得x ＝±a (负值舍去)，f ′(x )的符号和f (x )的单调性如下表：f (x )在区间[1，e]上的最小值为f ()a ＝12a －12a ln a .综上所述，a ≤1时，f (x )的最小值为f (1)＝12；1＜a ＜e 2时，f (x )的最小值为f ()a ＝12a －12a ln a ；a ≥e 2时，f (x )的最小值为f (e)＝12e 2－a .4．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ， 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．[例3](1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m，对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[思路点拨] (1)可通过配方求函数f(x)的最小值；(2)h(t)<－2t＋m，即m>h(t)＋2t恒成立，从而可转化为求h(t)＋2t的最大值问题解决．[精解详析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.则g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．列表：由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.∵h(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等价于m>g(t)在(0,2)内恒成立．∴m>1.即实数m的取值范围是(1，＋∞)．[一点通] 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .5．已知g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：g (x )<x 2即ln x －a <x 2，所以a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x2x，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时h ′(x )>0，当22<x ≤e 时h ′(x )<0， 即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln22－12，＋∞. 6．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 在(ln a ，＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x－x －2)(e x －1)2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在惟一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在惟一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下(1)求f (x )在(a ，b ) 内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值． 3．求实际问题的最大值(最小值)的方法在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．函数f (x )＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________．解析：∵f (x )＝x －sin x ，∴f ′(x )＝1－cos x ≥0.∴函数f (x )＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为单调增函数， ∴当x ＝π时，f (x )取最大值π. 答案：π2. 函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：y ′＝(ln x )′·x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2， 令y ′＝0，则x ＝e.因此函数f (x )的最大值为f (e)＝1e .答案：1e3．函数f (x )＝x ·e －x，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )， 令f ′(x )＝0，得x ＝1. 而f (0)＝0，f (1)＝1e ，f (4)＝4e 4.因此函数f (x )的最小值为0. 答案：04．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1. 而f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154，∴a >－1. 而f (2)＝－4－4＋3＝－5， 因此f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－32(舍去)或a ＝－12.答案：－125．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4])上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取到最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， 因此f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3.所以a ＋b ＝103.答案：103二、解答题6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a ＞0)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(e ，f (e))处的切线方程；(2)当x ＞0时，求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x ＋1，f ′(x )＝2x ，f (e)＝3，k ＝f ′(e)＝2e，所以函数f (x )在(e ，f (e))处的切线方程为y －3＝2e(x －e)，即2x －e y ＋e ＝0.(2)令g (x )＝f (x )－1－a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x＝a ln x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x ＞0)，则g ′(x )＝a x －ax 2＝a (x －1)x 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以g (x )在x ＝1处取得极小值，也是最小值．因此g (x )≥g (1)＝0，即f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .7．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x 2－2x －3) ＝－3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )<0，则－3(x ＋1)(x －3)<0， 解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)结合(1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 又∵x ∈[－2,2]，∴x ＝－1.当－2<x <－1时，f ′(x )<0；当－1<x <2时，f ′(x )>0.∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点，该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最小值， 即f (x )min ＝f (－1)＝a －5.又函数f (x )的区间端点值为f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22，f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2.∵a ＋22>a ＋2，∴f (x )max ＝a ＋22＝20，∴a ＝－2.此时f (x )min ＝a －5＝－2－5＝－7.8．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x ＞0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．若对任意x ＞0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．解：由题意知f (1)＝－3－c .因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.对f (x )求导，得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4×1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意知f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，解得a ＝12.因为f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，并且此极小值也是最小值．所以要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2即可．整理得2c 2－c －3≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第14课时 最大值与最小值 【学习目标】
1.掌握函数的最大值与最小值的概念；
2.能熟练利用导数求函数的最值，掌握其思想方法. 【问题情境】
1. 如图，指出函数()f x 的极值点，它们对应的函数值是最大值或最小值吗？
【合作探究】
1.探究一
函数的极值与最值有什么区别与联系？
2. 探究二
如何求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值？
3.知识建构
(1)、最大值、最小值的概念： . .
（2）、设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
① .
② .
4.概念巩固
（1）下列说法正确的是( )
A ．函数的极大值就是函数的最大值
B ．函数的极小值就是函数的最小值
C ．函数的最值一定是极值
D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值
（2）设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是 .
【展示点拨】
例1 求2()=-43f x x x + 在区间[1,4]- 上的最大值与最小值.
例2. 求1()=+sin 2f x x x 在区间[0,2]π 上的最大值与最小值.
例3. 设213a <<，函数323()2
f x x ax b =-+(11)x -≤≤的最大值为1，最小值为，求常数a ，b ．
拓展延伸：设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在
0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．
【学以致用】
1. 函数y =
2342
13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为__________
2. 函数y =1
22
+-x x x 的最大值为___________
3. 设f (x )=ax 3－6ax 2
+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则________,________a b ==
4. 设321()252
f x x x x =-
-+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，试求实数m 的取值范围.
第14课时 最大值与最小值同步训练
【基础训练】
1.有下列命题：①函数()f x 在0x x = 处取得最大值的必要条件是0()0f x '= ；②在区间[,]a b 上，函数的极大值中最大的就是函数的最大值；③ 在区间[,]a b 上，函数的极小值不一定是最小值；④函数的最大值一定大于函数的最小值；⑤有的函数可能有两个最小值.其中正确命题的序号是____________;
2.若函数42()25f x x x =-+ 在区间[2,2]-上恒有()f x m < 成立，则实数m 的取值范围是__________;
3.设函数32()6f x ax ax b =-+ 在区间[1,2]- 上的最大值为3，最小值为-29，且0a > ，则_______,________a b == ;
4.函数()ln f x x x =- 在区间[1,3] 上的最大值是_________,最小值是________________;
5.已知函数()sin cos [,]22
f x x x x ππ=+∈-， ，当x = ______时，函数()f x 有最大值_______;当x = ______时，函数()f x 有最小值_______;当x = ______时，函数()f x 有极值.
6.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()cos 2,[,];22f x x x x ππ=-∈- (2)21(),[0,4];1
x f x x x -=∈+ 【思考应用】
7. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： (1)()sin 2,[,];22
f x x x x ππ=-∈- (2)(),[0,1];x f x xe x -=∈
8.求函数1(),0f x x x a x =+
≤≤ 的最小值.
9. 求函数
3
2
2
()1(0)
a
f x x a
x
=++>在区间[1,2]上的最小值.
10.已知函数
1
()ln(1),0
1
x
f x ax x
x
-
=++≥
+
，其中0
a> .若()
f x的最小值为1，求a的取值
范围.
【拓展提升】
11. 已知函数
22
(),[1,) x x a
f x x
x
++
=∈+∞
(1)当
1
2
a=时，求函数()
f x的最小值；
（2）若对任意[1,),()0
x f x
∈+∞>恒成立，试求实数a的取值范围.
12. 已知函数3232()39,()32,f x x x x m g x x a x a =-+++=--且()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20.
(1)求实数m 的值.
(2)是否存在实数1a ≥ ，使得对于1[2,2]x ∀∈- ，总存在0[0,1]x ∈ ，都有01()()g x f x = 成立？ 若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.
第14课时 最大值与最小值同步训练答案。