2019精品高中物理奥赛辅导参考资料之04角动量守恒定律与刚体的定轴转动数学
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
高中物理奥林匹克竞赛专题力矩 刚体定轴转动定律 (共15张PPT)
解：以转台和二人为研究对象，所受外力只有重
力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所
以系统角动量守恒．各转动惯量分别为
J 1 m R2 ，2
JA
1 mR2 2
JB
1mR/22
2
以，地面为参照系，A处的人走动的角速度为
＋(v / R)，B处的人走动的角速度为
(2v1R)-(4v/R)
2
由角动量守恒定律
0
0
mg x k x 2
0 .2
2
J
2
4
0
2
12 .6 故： v R 1 .26 m / s
3、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘的 边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如 图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧 绳长之差为S时，绳的加速度的大小．
大小： M z F2rsin F 2 d
方向：
M
方向:
z
OZ
3、总力矩的大小= 所有外力力矩的代数和
M
正方向的规定：促进转动的力矩为正
z
1
§3-3 力矩 刚体定轴转动定律
二、定轴转动定律
F=mam d v
dt
dp
F=
dt
牛二
类比法
M z J
J
dw dt
已知： m i : p 点质量
M
z
dL dt
r
M
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长
分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳 的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的
角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
定轴转动刚体的角动量守恒定律
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 刚体对转轴的角动量 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 大小为
L = mvR
刚体对轴的角动量就是刚体上各质元对各自转动 中心的角动量的和
L = ∑ ∆mi vi ri = ∑ ∆mi ri ω
2 i i
= Jω
M =0
不变， 不变； 2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， ω ω 也变， 但 3）在冲击等问题中 冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 >>外力矩
太原理工大学物理系
4）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
太原理工大学物理系
二、刚体定轴转动的角动量定理 对质点系而言
dL =M dt
Mdt = t1
Mdt = ∫ dL = L末 − L初 = Jω − Jω 0
t1
t2
太原理工大学物理系
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 等于零 如合外力矩等于零 合外力矩等于
L = J ω = co n st.
∑
i
J iωi = ∑ J i 0ωi 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。 固定轴而言的。
r2
ω
r1
太原理工大学物理系
长为l 的均匀细棒， 例1 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通 平面内转动。 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 r 静止， 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v 0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的， 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与帮碰 r 撞后粘在一起， 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度 ω
L = mvR
刚体对轴的角动量就是刚体上各质元对各自转动 中心的角动量的和
L = ∑ ∆mi vi ri = ∑ ∆mi ri ω
2 i i
= Jω
M =0
不变， 不变； 2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， ω ω 也变， 但 3）在冲击等问题中 冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 >>外力矩
太原理工大学物理系
4）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
太原理工大学物理系
二、刚体定轴转动的角动量定理 对质点系而言
dL =M dt
Mdt = t1
Mdt = ∫ dL = L末 − L初 = Jω − Jω 0
t1
t2
太原理工大学物理系
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 等于零 如合外力矩等于零 合外力矩等于
L = J ω = co n st.
∑
i
J iωi = ∑ J i 0ωi 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。 固定轴而言的。
r2
ω
r1
太原理工大学物理系
长为l 的均匀细棒， 例1 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通 平面内转动。 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 r 静止， 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v 0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的， 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与帮碰 r 撞后粘在一起， 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度 ω
高二物理竞赛刚体的定轴转动课件
2） 任一质点运动
均相同，但
不同；
质心运动定理反映了物体的平动规律。
刚体绕定轴作匀变速转动
➢3.6 旋进 即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。
4 力矩的功 转动动能定理
➢3.7 刚体的平面运动
第三章 刚体的转动
3.1 刚体的定轴转动
一. 刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
力学研究对象。即每个质元之间的距离无
即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。
➢3.4 任取一质元 距转轴 ，则该质元动能：
☻☻ 匀变速转动公式
力矩的功
刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。
转动动能定理
只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。
➢3.5 角动量守恒定律 4 力矩的功 转动动能定理
dt
z
z
☻☻ 角量与线量的关系
d
dt
d d2
v
dt
rd2ett
a
an
r
at
e t v
v r
at r an r 2
a
ret
r
2en
车轮纯滚动时最上端和最下端的速度？
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
刚体绕定轴以角速度 旋转
即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。
定点转动：绕一固定点 转动。如陀螺。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三、刚体定轴转动的角速度和角加速度
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆心在轴线上，圆面垂直于轴线的
圆周运动； 2） 任一质点运动
高二物理竞赛：第二章刚体的定轴转动PPT(课件)
求：棒转到900角的角速度. 特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和 角加速度。
刚刚转体体是 :动(1实惯) 物际量体物受体力的作一用种I 时理,想组13的成m模它L型的2 各质量元之间的相对位
刚体: (1) 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的相对位
第二任章意刚位体置的力定矩轴转动mg L cos 式中IC 为刚体对通过质心的2轴的转动惯量, m是刚 mg
令 miri2I 转动惯量
firisin i 0 F irisin i M
MI 转动定律
转动惯量:转动中惯性大小的量度,与m,转轴 位置,质量分布有关.
10
三.转动惯量的计算:
质点系
I miri2
质量连续分布 I r2dm
线分布
dm dl
面分布 体分布
dm ds
dmdV
11
例:计算质量为m、长为L,的均匀细棒对中 心或一端并与棒垂直的轴的转动惯量。
取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为
y R
·r
o
dr
x
dm2rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
20
Iz
Rr2 dm
0
R2πr3 dr
0
2π Rr3 dr 1mR2
0
2
根据垂直轴定理 Iz Ix Iy
由于对称性, I x I y , 所以
Iz
2Ix
1 mR2 2
例 速:度不转为计动u滑时定轮,律物质体量m 上,人升与g的L 2物速c体度o质.s量相1 3等m ,人加2L速上爬,求当人相对于绳
周运动。
24
角加速度 3g cos
2L
角速度 d d td d d d td d mg
刚刚转体体是 :动(1实惯) 物际量体物受体力的作一用种I 时理,想组13的成m模它L型的2 各质量元之间的相对位
刚体: (1) 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的相对位
第二任章意刚位体置的力定矩轴转动mg L cos 式中IC 为刚体对通过质心的2轴的转动惯量, m是刚 mg
令 miri2I 转动惯量
firisin i 0 F irisin i M
MI 转动定律
转动惯量:转动中惯性大小的量度,与m,转轴 位置,质量分布有关.
10
三.转动惯量的计算:
质点系
I miri2
质量连续分布 I r2dm
线分布
dm dl
面分布 体分布
dm ds
dmdV
11
例:计算质量为m、长为L,的均匀细棒对中 心或一端并与棒垂直的轴的转动惯量。
取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为
y R
·r
o
dr
x
dm2rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
20
Iz
Rr2 dm
0
R2πr3 dr
0
2π Rr3 dr 1mR2
0
2
根据垂直轴定理 Iz Ix Iy
由于对称性, I x I y , 所以
Iz
2Ix
1 mR2 2
例 速:度不转为计动u滑时定轮,律物质体量m 上,人升与g的L 2物速c体度o质.s量相1 3等m ,人加2L速上爬,求当人相对于绳
周运动。
24
角加速度 3g cos
2L
角速度 d d td d d d td d mg
高中物理奥林匹克竞赛专题 第5章 刚体的定轴转动(共81张PPT)
— 刚体平动
B
平动的特点
A B
(1) 刚体中各质点 rA rB AB
的运动情况相同
rA rB
D B
A
B
AB 常矢量 d AB 0
vA vB aA aBdt
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
刚体的平动
刚体运动时，在刚体内任意两点连线长度不变，方向不 变，始终保持和自身平行.
A
A A B
B B
平动的特点：
z
rB rA AB
rA rB
v v
A
B
MrB
B B1 B2 B3 A3
rA A A1 A2
Bn An
a a
O
y
A
B
x
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动.
描述刚体的平动的自由度：3个
二、刚体的定轴转动
m
P mv
F
d (mv )
ma
dt
EK
1 mv2 2
动能定理 动量定理 动量守恒
b
A F ds EK
t a
t
Fdt
0
P
F 0, P 0
Jz
L J z
转动质量 角动量
Mz
d(J z)
dt
Jz
转动定律
EK
1 2
三、解决刚体动力学问题的一般方法
原则:质点系的三个定理 利用刚体的特征化简到方便形式( 简便 好记)
1.刚体的平动 质点模型 运用质心运动定理
高中物理奥林匹克竞赛专题 第三章 刚体的转动(共20张PPT)
力矩
M
转 r动 F定 律（回忆）
二. 转动定律
M
I
dMLLdrdLLvdIm dr2dmr2IdmI
dt dt
r dm v
L
r
mv
M
dL
dt
3.5 角动量守恒定律
一. 刚体绕定轴转动L 的 角I 动量
mi 到转轴的垂直距离
与 I dI 有何不同 ？
一些刚体的转动惯量
均质细杆
均质圆环 均质圆盘 平行轴定理 垂直轴定理
IC
1 mL2 12
IB
1 3
mL2
IO mR2
IO直 径
1 2
mR 2
IO
1 2
mR 2
IO直 径
1 4
mR 2
I IC md 2
Iz Ix Iy
二. 角动量定理
M
dL
dt
角冲量
dH Mdt dL
H
t2
M
dt
L2
d
L
L2
t1
L1
I
2
L1
2
I11
即动：量转的动增物量体所受的H合外I力2矩2的角I冲1量1 等于角
3.5 角动量守恒定律
一. 角动量
L
I
二. 角M动 量 定dL理 dt
A
例2．一质量为M，半径为R的均质圆盘， 从水平位置起绕与直径平行的水平切线 转动，求转到竖直位置时，A点的速度
高中物理奥林匹克竞赛专题--04角动量守恒习题解答
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:20:5109:20:5109:209/12/2020 9:20:51 AM
•
11、人总是珍惜为得到。20.9.1209:20: 5109:2 0Sep-2 012-Se p-20
•
12、人乱于心，不宽余请。09:20:5109:20:5109:20Saturday, September 12, 2020
所受的合外力矩的大小M =
3 2
mgl
，此时该系统角加速度的
大小β= 2g 3l 。
解 M 2mg l mg l 3 mgl
2 22
M J
2m
o
mg
2mg
m
M J
3 2
mgl
2mg
l 2
2
mg
l 2
2
2g 3l
第7页
二、填空题
2.半径为R、具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质 量为m的物体，绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动， 若物体下落的加速度为a，则定滑轮对轴的
ml 2 3
mx2
O
1l m m
2
第9页
三、计算题
1. 如图所示，一质量为M的均匀细棒，长为l，上端可绕水平轴O自 由转动，现有一质量为m的子弹，水平射入其下端A而不穿出，此 后棒摆到水平位置后又下落。棒的转动惯量J= Ml2/3 ，如不计空气 阻力并设 mM。求 （1）子弹射入棒前的速度v0； （2） 当棒转到与水平位置的夹角为30时，A点的速度及加速度。
Байду номын сангаас刚体力学-角动量习题
第1页
一、选择题
1. 已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R
题解5-角动量守恒定律和刚体的定轴转动(已修改)
2
1
解：（1）用隔离体法，分别画出 N a N ' f T T 2 2 三个物体的受力图，从而得： m1 g T1 m1a m2 g T2 f T2 N m2a N m2 g T1 mg
T1r T2r J
a r
T1
m1 m2 a g 2 m1 m2 J / r m2 m2 J / r 2 T1 m1 g 2 m1 m2 J / r 2 m1 m1 J / r T2 m2 g 2 m1 m2 J / r
1 M mg l cos J Jd / dt 2
J
J mr , mA mB , RA RB J A J B
2
L
r 2 dm r 2 dm mr 2
L
11、B 12、C 该系统所受的外力（重力、支持力）的方向都平行于 转台的转轴，不产生相对于转轴的力矩，所以该系统 的角动量守恒。但机械能不守恒。 13、C 小球和杆所组成的系统在碰撞时其角动量守 恒，即： mvl mv ' l J m(l)l (ml 2 / 3)
m1g T1 m1a T2 m2 g m2a m1 m2 T1R T2 R J Ja / R Ja / R (m1 m2 ) g J J T1 T2 2 a 2 0 T1 T2 2 R R m1 m2 J / R
7、 B
角动量守恒和刚体的定轴转动——题解
一、选择题
1、 C 根据动量和角动量的定义可知，当质点作匀速 率圆周运动时，其动量的大小不随时间变化， 但方向要不断随时间变化，其对圆心的角动量 的大小和方向都不随时间变化。
2、 C
1
解：（1）用隔离体法，分别画出 N a N ' f T T 2 2 三个物体的受力图，从而得： m1 g T1 m1a m2 g T2 f T2 N m2a N m2 g T1 mg
T1r T2r J
a r
T1
m1 m2 a g 2 m1 m2 J / r m2 m2 J / r 2 T1 m1 g 2 m1 m2 J / r 2 m1 m1 J / r T2 m2 g 2 m1 m2 J / r
1 M mg l cos J Jd / dt 2
J
J mr , mA mB , RA RB J A J B
2
L
r 2 dm r 2 dm mr 2
L
11、B 12、C 该系统所受的外力（重力、支持力）的方向都平行于 转台的转轴，不产生相对于转轴的力矩，所以该系统 的角动量守恒。但机械能不守恒。 13、C 小球和杆所组成的系统在碰撞时其角动量守 恒，即： mvl mv ' l J m(l)l (ml 2 / 3)
m1g T1 m1a T2 m2 g m2a m1 m2 T1R T2 R J Ja / R Ja / R (m1 m2 ) g J J T1 T2 2 a 2 0 T1 T2 2 R R m1 m2 J / R
7、 B
角动量守恒和刚体的定轴转动——题解
一、选择题
1、 C 根据动量和角动量的定义可知，当质点作匀速 率圆周运动时，其动量的大小不随时间变化， 但方向要不断随时间变化，其对圆心的角动量 的大小和方向都不随时间变化。
2、 C