例谈求解高考数学填空题后的检验方法
高考数学小题解题技巧及检查方略
高考数学小题解题技巧及检查方略学习是一种能力，考试也是一种能力.全国II卷的选择填空占80分，我们追求的是快速且准确，有些题目，在考试时可不必恋战，通过一些“特殊”方法和技巧得到答案，如取特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等方法，有助于降低题目难度，使解题过程简洁而高效.当然，所谓“技巧”，权当锦上添花之用，限时训练和考试过程中，不妨一试，但平时解题要讲求通性通法，提高自身“硬实力”，切不可本末倒置.一、例题分析（一）特殊数列例1 在各项均为正数的等比数列中，若，则A. 12B. 10C. 8D.解析：取常数列即可，选B.例2 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则.解析：取数列，则 .（二）特殊函数例3 若函数是偶函数，则的对称轴是（）A. B. C. D.解析：因为若函数是偶函数，取特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C.例4 函数在区间上是增函数，且，则函数在上A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值解析：取特殊函数，特殊区间，则，选C.例5 （吉大三摸考试压轴）若定义在的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），则称为M函数. 已知，则对于任意的M函数，下列不等式恒成立的是A． B．C． D．解析：由知在递增.令，取，排除B和C；令取，排除A和C.选择D.（三）特殊值例6 若，则A．R P Q B．P Q R C．Q P R D．P R Q解析：取a＝100，b＝10，此时P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg ，比较可知选P Q R.例7 已知，则的值为．解析：取，则．例8 （2015浙江）存在函数满足：对任意的都有A． B．C． C．解析：对于A，分别取得到，这与函数定义矛盾，排除；同理，对于B，取排除；对于C，取排除；所以选D.（四）特殊图形例9 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为30，则四面体AB1CD1的体积为.解析：视平行六面体为正方体，可简单地求出结果为5.例10 已知的外心为O，垂心为H，且，则实数m的值为.解析：构造直角三角形，则O为斜边AB中点，H与C重合，此时，因此例11 已知为内的两点，且，则与的面积之比为.解析：把特殊化为等腰直角三角形，设，，则，，所以，又， .（五）特殊位置例 12 如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为A．3∶1 B．2∶1C．4∶1 D．∶1解析：将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，（此时仍满足条件，都为0）易得故选B.例13 (2015全国Ⅰ压轴)在平面四边形ABCD中，，则AB的取值范围是.解析：如图，作，，作直线AD使，四边形ABCD就是符合题意的四边形，将AD在内部平移，当C、D重合时，AB有最小值，当A、D、P重合时，AB有最大值，所以AB的取值范围是，注意边界值取不到.（六）排除法例14 函数的定义域是A. B.C. D.解析：令，则原函数无意义，排除A、C；令，真数的分母等于0，排除B，故选D.例15 函数的值域为A. B. C. D.解析：令，则，排除A，D；令，则，排除C；选B.例16 已知函数若则实数a的取值范围是A. B.C. D.解析：取，满足题意，排除A、C；取，所以满足题意，排除B；选D.4 / 4。
数学检验答案的常用方法
数学检验答案的常用方法2021年中考数学辅导检验答案不仅能纠正错误，还能有效培养我们思维的严谨性、灵活性、深刻性。
下面以数学学科为例，谈谈高考检验答案的常用方法，希望大家能及早防范。
方法一：特殊情形检验法问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例或极端状态来检验答案是非常快捷的方法，因为矛盾的普遍性寓于特殊性之中。
方法二：量纲要求检验法有些错误的答案，从量纲中就可快速检出。
如：正四棱锥的底面积为S，侧面积为*，则体积为S*-S。
这个答案显然是错误的，因为S和*的量纲都是面积单位，则SS-*的量纲是面积单位的平方而非体积单位。
正确的答案为16S*2-S2……姨量纲检验法在物理、化学中有着更为广泛的应用，同时在对记忆公式、检验错题等方面也有一定的应用，应引起大家足够的重视。
方法三：基本概念检验法基本概念、法则、公式是同学们复习时最容易忽视的，因此在解题时极易发生概念性错误，所以，概念检验法是一种对症下药的方法。
如：下列函数中，是幂函数的有几个?1y=2x22y=x3+23y=x-24y=x-1-3答：有三个。
错了，我们先来回想一下幂函数的定义：一切形如y=xaa∈R的函数称为幂函数。
对照定义形式，仅3为幂函数，故只有一个。
方法四：对称原理检验法对称的条件势必导致结论的对称此结论通常被称为不充足理由律，利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。
如：因式分解，xy+1x+1y+1+xy=xy-y+1xy+x+1结论显然错误。
左端关于x、y对称，所以右端也应关于x、y对称，正确答案应为：xy+1x+1y+1+xy=xy+y+1xy+x+1。
方法五：不变量检验法某些数学问题在变化、变形过程中，其中有的量保持不变，如图形的平移、旋转、翻折时，图形的形状、大小不变，基本量也不变。
利用这种变化过程中的不变量，可以直接验证某些答案的正确性。
方法六：等价关系检验法等价关系不仅广泛用于解题时的等价转换，而且在检验答案时也可收到事半功倍的效果。
高中数学填空题解题技巧剖析
高中数学填空题解题技巧剖析填空题是高中数学试卷中常见的一种题型，通常考查考生对基础知识的掌握程度以及对解题思路的把握。
以下将对高中数学填空题的解题技巧进行剖析。
一、审题与理解首先，对于填空题，我们需要认真审题，理解题意，确定题目的求解目标和题目所给出的信息。
在阅读题目时，我们要注重以下几个方面的内容：1.题目要求：明确题目的求解目标和所需填空的个数。
2.已知条件：理解题目中已给出的条件，包括数据、等式、图形等，这些已知条件是解题的基础。
3.隐含条件：有些题目会有一些隐含条件，需要我们根据题目的描述自行推断。
通过仔细审题，我们可以对题目的信息做到心中有数，才能在解题过程中根据所给条件与已知知识来推导解答。
二、关注关键词在填空题的解题过程中，识别和把握题目中的关键词是非常重要的。
常见的数学关键词包括“最大值”、“最小值”、“相似”、“比例”、“约分”、“倍数”、“公因数”等。
在解题时，我们可以通过关键词的提示，判断题目的解题思路和逻辑。
举个例子，如果题目中出现了“比例”，那么我们就要考虑使用比例的性质来求解；如果出现了“最大值”、“最小值”，那么就要通过极值的方法来求解。
三、思路明确解题思路的明确是填空题的解题关键之一。
仔细阅读题，在弄清题目的目标，所给条件之后，要通过思考，明确解题的思路。
对于一些简单的题目，需要使用基本公式，例如利用勾股定理解三角形边长，利用圆周率求圆的面积和周长等；对于一些复杂的题目，则需要结合已有的知识和技巧来思考如何解决问题。
四、记忆公式高中数学包含很多的公式和定理，掌握这些公式和定理是解题的必要条件。
在平时的学习过程中，要注意理解和记忆公式的使用方法和注意事项，以便在考试中运用自如。
五、检查答案检查结果在填空题中非常必要，因为填空题的答案相对比较简单，在计算过程中容易出现错别字、错位、运算符号错误等小错误，所以我们需要反复检查计算过程，确保每一个空都填对了，并且运算过程没有错误。
高考数学填空题蒙题技巧
高考数学填空题蒙题技巧
高考数学填空题蒙题技巧如下：
1. 排除法。
根据题设和有关知识，排除明显不正确选项。
2. 数形结合法。
根据数量关系的通常表现形式——表格、图像、曲线等，用形作为手段，数作为基础，其直观性一目了然，而且可以把冗长的文字表述简化。
3. 特殊值检验法。
对于具有一般性的数学问题，有时通过特殊值代入验证能快捷、简捷地得出答案。
4. 极限推理法。
有些题目，从一般条件出发不易推出结论，则可以考虑使用极限思维法。
5. 跳跃法。
比如有一道选择题，当中有很多项都是对的，只是其中的一项错了，而你又不知道是那一项错了，那么可以采用跳跃法来得到正确答案。
6. 特征法。
根据试题的特征，如形式、结构、比例、图形、排列、方法等，运用数形结合、数学运算、逻辑推理进行判断或选择。
7. 概率法。
有些题目可以通过计算可能性的大小来帮助判断选项，如计算事件A发生的概率P(A)，若P(A) > 1/2则选项A正确。
8. 直接法。
有些题目可以直接根据题目条件得出答案，不需要额外推理或计算。
9. 整体法。
有些题目可以将整个问题看作一个整体，通过整体观察或计算来得出答案。
以上是高考数学填空题蒙题技巧，但请注意，这些技巧不能完全依赖，还是要认真学习和掌握数学知识，提高自己的数学能力。
数学考试检查答案的几种方法
数学考试检查答案的几种方法河北省唐山市丰南区银丰学校 裴义明 邮编 063300在每次数学考试中，都会有一些同学因为没有检查答案的习惯和方法，导致本来会的题目做错了，该得分的题目得不到分，考不出理想的成绩。
那么，在考试中如何快速准确的检查考卷答案，充分发挥出自己的水平，让考试不留遗憾？本文结合实例介绍几种检查解题答案的方法，供老师和同学们参考。
方法一 复查核对法复查核对法就是对解题步骤从头到尾重新审查，各步推理、运算是否正确，依据是否可靠，解题步骤是否完善，书写是否有误。
这种检查方法几乎对任何题目都适用，但易受思维定势的影响，不宜发现问题。
使用这种方法要对解题的关键环节仔细斟酌，反复核对。
例1、把1)743()43()71()416(----++--写成省略加号和括号的形式，并计算结果。
错解：1)743()43()71()416(----++--17434371416---+-= 1)74371()43416(--+--=731117337-=---= 复查核对检验：仔细检查每一步，尤其是关键步骤，通过复查核对可知以上解答的第一步两处符号出现了错误。
本题正确解答是：1)743()43()71()416(----++--17434371416-+---= 1)74371()43416(-+-+--=74417337-=-+-= 方法二 代入检验法代入检验法就是将解得的值代入原题进行计算。
比如解方程一类的题目，可以把得到的未知数的值代入原方程进行计算，看方程两边是否相等（检验一元二次方程的解也可代入根与系数关系的公式）。
对一些应用题可将求得结果代入原题的数量关系进行检验。
对于一些代数式的化简变形和某些选择题的解答，代入检验法也是一种省时省力的方法。
例2、解方程：1612122-+=+--x x x x 错解：方程两边同乘以)1)(1(-+x x 得6)1(2)1(2+=--+x x x ，去括号得62222+=--+x x x ，解得6-=x 。
高考数学选填题解题技巧总结
高考数学选填题解题技巧总结高考数学解题技巧特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
极端性原则：极将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
剔除法：剔除利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
顺推_法：顺利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
正难则反法：正从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
特征分析法：特对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
高考数学选填技巧快速解题技巧一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。
对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
快速解题技巧二、利用图形的特殊性(平面解析、立体几何常用)将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
高考数学中的填空题解题技巧
高考数学中的填空题解题技巧高中生们，你们好！今天我们将会谈论高考数学部分中的填空题，这是学生在高考数学中必定要迈过的里程碑。
填空题看似简单，但是它考验学生严密的思维和深厚的数学基础。
所以我们需要精密的技巧来解答这些题目。
一、技巧1：不忽略任何已知条件解决填空题需要仔细观察题目，对于任何一个给出的条件都不容忽视。
这可以将题目的复杂程度降低很多，通过对所有已知条件的详细考察，我们可以发现问题的关键点和解决方案。
这些关键点和解决方案让我们在填写答案时隐藏它们，并将它们自然地融入答案之中。
因此，需要读.清楚题目，注意一步步推进，确定性质。
二、技巧2：使用多种方法来解决问题在解决填空题时，还应该计算比较多的策略来找到题目的解决方案。
1.利用代数运算求解通过代数的方法解决问题常常是最常见的。
首先根据已知量列出等式，然后解方程，慢慢逼近答案。
2.依据对称性解题对于存在对称性的填空题，如果我们根据对称性的特点将题目中的某些数值互相替换，那么产生的等式将变得更加简单和方便。
这种方法相对简单，但也要看具体情况是否适用。
3.深入分析求解有时候，也有一些需要更认真深入思考的填空题。
这种类型的问题通常有轻微的规律可循，需要认真分析。
我们可以借助一些分析工具来深入分析题目，找到其中隐藏的规律或者性质，从而得到解决方案。
三、技巧3:注意陷阱题的存在好的填空题就像一道迷题，学生需要认真解答每一个小题，但是常常会在不经意间掉进陷阱之中。
灵活运用自己的思维，辨别陷阱，才可以顺利地解决填空题。
在高考数学中，老师也经常用到填空题来考察学生的识别陷阱和找出解决方案的能力。
四、技巧4:多训练，勤练习最后，作为考生，需要认真训练并多做习题来提高解题水平。
多解决各种难度级别的空缺题，熟悉不同题型，这样在考试中就可以毫不费力地应对各种填空题。
结语：在高考数学中，填空题是非常重要的一部分，所以需要同学们认真对待，从各方面加强理解和训练。
如果同学们能够熟练掌握填空题的解题技巧，并且多训练，那么在高考数学中取得好成绩并不是一个难题。
高考数学填空题6大解题方法+减少丢失分数的7大检验方法
高考数学填空题解题技巧数学填空题在新课标高考数学试卷中总计4题，20分，占总分的14%。
它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。
为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
例1、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。
3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
解：三名主力队员的排法有33A 种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有27A 种排法，故共有排法数33A 27A =252种。
例2、102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 。
填空题的检验方法
填空题的检验方法因为填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，相对难度不是很大，而且填空题在试卷中所占的比重不小，所以要想数学考出理想的成绩，填空题的准确率至关重要.再者，由于填空题不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.如何提高准确率呢？必要的检验是非常重要的.常见的检验方法如下：方法1 回顾检验解完题后再回顾（回头看看），即再审题，避免审题上带来某些明显的错误，这是最起码的一个环节.例1 函数()2021xx y x =≥+的值域为_________________. 错解：2,20,01211x x x y y y y=∴=>∴<<+- ，故所求的值域为()0,1. 分析：回头看一下，0,21x x ≥∴≥ ，故以上答案肯定是错了. 正解：2,2211x x x y y y=∴=+- ， 又0,21x x ≥∴≥，即11y y ≥-，解得112y ≤<，故所求的值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 例2 满足条件1cos 2α=-且παπ-≤<的角α的集合为_______________. 错解：21412cos ,cos ,32323πππα⎛⎫±=-=-∴=± ⎪⎝⎭或43π，故所求的集合为224,,333πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 分析：回头看一下，求出的值43π不在παπ-≤<内，故以上答案肯定是错了. 正解：由1cos 2α=-，得22,Z 3k k παπ=±+∈. 因为παπ-≤<，所以23πα=±.故角α的集合为22,33ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 方法2 赋值检验若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.例3 已知数列{}n a 的前n 项和为2321n S n n =++，则通项公式n a =_________.错解：()()2213213121161,61n n n n a S S n n n n n a n -⎡⎤=-=++--+-+=-∴=-⎣⎦. 分析：当1n =时，1615a =-=，而113216S a =++=≠，故以上答案是错误的.正解：当1n =时，113216a S ==++=；当2n ≥时，()()2213213121161n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=-⎣⎦. 1a 不适合求出的()612n a n n =-≥，故()()61,612.n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩例4 若对于任意x ∈R ，都有()()222240m x m x ----<恒成立，则实数m 的取值范围是____________.错解：依题意，有()()220,221620,m m m -<⎧⎪⎨∆=--+-<⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得22m -<<，∴实数m 的取值范围是()2,2-.分析：取2m =，原不等式可化为40-<，显然恒成立，故以上答案是错误的. 正解：（1）当2m =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立，符合题意；（2）当2m ≠时，应有()()220,221620,m m m -<⎧⎪⎨∆=--+-<⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得22m -<<. 综上可知，所求实数m 的取值范围是(]2,2-.方法3 逆代检验若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.验证方程的根常用这种方法.例5 设z 是复数，则方程313z z i +=-的解是_____________.错解：设(),z a bi a b =+∈R，则(3313a bi i +=-，根据复数相等的定义得31,33,a b ⎧⎪+=⎨=-⎪⎩解得0,1a b =⎧⎨=-⎩或3,41.a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故z i =-或34z i =-. 分析：把求出的z 代入方程，可以检验出34z i =-是增根. 正解：由错解及分析可知方程313z z i +=-的解是i -.方法4 估算检验当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.例61lg x >-的解集是_____________.错解：两边平方得()21l g 1l g x x +>-，即()l g l g 30,0l g 3x x x -<<<，解得3110x <<.所以所求不等式的解集是{}3110x x <<. 分析：取4410,1lg1030x =-=-<41lg10>-也成立，但410不在()31,10内，故上述解法是错误的.正解：当1lg 0x -<，且1lg 0x +≥，即10x >时，不等式成立；当1lg 0x -≥，且1l g 0x +≥，即11010x ≤≤时，原不等式等价于()21l g 1l g x x +>-，即()l g l g 30,0l g 3x x x -<<<，解得3110x <<，故110x <≤. 综上，原不等式的解集是{}1x x >.方法5 作图检验当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免脱离事实而主观臆断致错.例7 函数2l o g 1y x =+的单调递增区间是____________.错解：()1,+∞. 分析：()()()()22log 11,log 11,x x y x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩作出函数图象如图所示，由图象知答案()1,+∞是错误的.正解：由图象可知，正确答案为[)[)0,12,+∞和.方法6 换法检验一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.特别是解排列组合问题时，可以利用直接法和间接法中的一种方法求出答案，用另一种方法检验.例8 若()11a a x y x y++=∈、、R 且x y +的最小值是16，则a =____________.错解：11a x y x y =+≥+≥≥ ，由题意得16=，又0a > ，解得16a =.分析：上述错解在于两次使用均值不等式，等号不能同时取到.正解：换一种解法为：()1a x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 11y ax a a x y =+++≥++1a =++.由题意得116a ++=，又0a > ，解得9a =.方法7 极端检验当难以确定区间端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全而致误.解概率问题检验概率值是否大于1，解三角函数值问题检验求出的正弦值或余弦值是否大于1.例9 已知关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________.错解：（1）当2a =时，240a -=，不等式可化为410x -≥，其解集为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不是空集，不符合题意；（2）当2a =-时，240a -=，不等式可化为10-≥，其解集为空集，符合题意；（3）当240a -<，即22a -<<时，又由()()222440a a ∆=++-≤，解得662,255a a -≤≤∴-<≤. 综上，实数a 的取值范围是62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 分析：把所求的区间端点65a =代入不等式()()224210a x a x -++-≥，化简，得26480250x x -+≤，即()2850x -≤，则58x =，故解集不是空集，区间端点65取不到.正解：第（1）、（2）两种情况都对，在第（3）种情况中，应有()()222440a a ∆=++-<，故正确答案为62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 评析：有些学生往往不能确定求出的范围是写成闭区间还是写成开区间，而出现错误，其实，把端点值代入检验一下即可.方法8 相关检验对求出的答案，用考查知识点相关的内容进行检验.如定义域是否写成集合或区间的形式等.例10 函数tan 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是________________.错解：tan 2tan 266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求的单调递减区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 分析：因为函数tan 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期是2π，所以单调区间中的k π是错误的，又正切函数tan y x =的单调区间是开区间，所以单调区间写成了闭区间是错误的.正解：由2,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得,2623k k x k Z ππππ-<<+∈，故所求的单调递减区间是(),2623k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.。
高考数学填空题解题方法与策略
高考数学填空题解题方法与策略高考数学填空题解题方法一、解填空题的常用方法和技巧1.直接推理法：直接法是从题设条件出发，通过计算、分析推理得出正确结论的方法. 解题过程中要注意优化思路、少算多思，尽量减少运算步骤，合理跳步，小题小（巧）做，以节约时间.例2：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员、与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱文员，则不同的选法共有_____(用数字作答). 解法1：分四类：①选甲不选乙有112322CC A ⋅⋅=12种；②选乙不选甲，同上有12种；③甲乙都选上有2123AC ⋅=6种；④甲乙二人都不选有33A =6种. 共有选法12+12+6+6=36种.解法2：从反面考虑，共有32542AA -=36种.点评：本题考查有限制条件的排列组合问题，两种解法显然解法2更简捷. 另外题目要求用数字作答，就不能用32542AA -等形式表示.例3：如图，平面内有三个向量OAu u u r 、 OBuuu r 、OCu u u r ，其中OAu u u r 与OBuuu r 夹角为0120，OA u u u r 与OCu u u r 的夹角为030，且||||1OA OB ==u u u r u u u r，||OC =u u u rOCu u u r=OA OBλμ+u u u r u u u r(,R λμ∈)，则λμ+的值为________.解法1：∵OAu u u r 与OBuuu r 夹角为0120，OA u u u r 与OCu u u r 的夹角为030，∴OCu u u r与OBuuu r 夹角为090，∴OB OC⋅u u u r u u u r =0，即()0OB OA OB λμ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，∴2OB OA OB λμ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，∴102λμ-+=，即2λμ=…………①. O ABC又cos ,||||OA OCOA OC OA OC ⋅<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u ru u u r u u u r u u u ru u u r u u u r1λμ-∴132λμ-=…………② 由①,②解得2,4μλ==. ∴6λμ+=.解法2：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A,1(2B -,∴OCu u u r =OA OBλμ+u u u r u u u r=1()2λμ-， ∴12OA OC λμ⋅=-u u u r u u u r=01cos30⨯=3，则(3,)2OC μ=u u u r .∴2222||3)2OC μ=+=u u u r ，得2μ=±，由图可知μ＞0，则2μ=，4λ=. 故6λμ+=.例4：定义在R 上的函数f(x)，对于任意实数x 都有(3)f x +≤()3f x +和(2)f x +≥()2f x +，且f(1)=1，则f(2011)=________________.解：由f(x+3)≤f(x)+3得：f(2011)≤f(2008)+3,f(2008)≤f(2005)+3,f(2005)≤f(2002)+3,…,f(7)≤f(4)+3,f(4)≤f(1)+3,共进行670次，将上述同向不等式相加可得：f(2011)≤f(1)+3×670，即f(2011)≤2011. 由(2)f x +≥()2f x +得：f(2011)≥f(2009)+2,f(2009)≥f(2007)+2,f(2007)≥f(2005)+2,…,f(5)≥f(3)+2,f(3)≥f(1)+2,共进行1005次，将上述同向不等式相加可得：f(2011)≥f(1)+2×1005，即f(2011)≥2011. 从而f(2011)=2011. 例5：数列{}na 定义如下：1a =1，且当n ≥2时，21n a +(当n 为偶数时) 11n a -(当n 为奇数时)解：由题设易知0na>，又由11a=可得，当n 为偶数时，1na>，所以当n(n ＞1)为奇数时11nn aa -=＜1. ∵32na=＞1，∴n 为偶数，32n a ==21n a+，2112n a=<，∴2n 为奇数，212112n naa -==，1221n a-=>，∴12n -为偶数，212421n n aa --==+，∴24n a -=1.∴214n aa -=，即214n -=，即6n =. 例6：设函数f(x)的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2xD∈，使12()()2f x f x C +=(C 为常数)成立，则称函数f(x)在D 上均值为C ，下列五个函数：①4sin y x =；②3y x =；③lg y x =；④2xy =；⑤21y x =-.则满足其定义域上均值为2的所有函数的序号是_________________.解：对于①，若124sin 4sin 22x x+=，则12sin sin 1x x+=，因为2x 不唯一，①不合题意；对于②，若331222x x +=，则2x=是唯一的，②符合题意；对于③，若12lg lg 22x x +=，则42110x x =是唯一的，③符合题意；na =已知32na =，则正整数n对于④，若122222x x +=，12224x x +=，则2x 可能不存在，④不合题意；对于⑤，若12212122x x-+-=，则213xx =-是唯一的，⑤符合. 故填②③⑤.2. 特例法：当填空题的答案暗示是与变量无关的一个定值时，常可用特例法(特殊值、特殊图形、特殊位置等)迅速求解.例7：如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ， 若AB mAM=u u u r u u u u r，AC nAN=u u u r u u u r ，则m + n 的值为__________.解1：∵O 是BC 的中点，∴1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r =2m AM u u u u r+2n AN u u u r ，∴,,M O N 三点共线，∴122m n+=，得2m n +=. 解2：用特例法. 取M 与B 重合，N 与C 重合，此时m = n =1，得m + n = 2 .点评：本题利用特殊位置迅速得解.3.充分应用已知结论：因为填空题不必写出解答过程，要提高解题速度，可以应用一些典型习题的重要结论或方法，心算、笔算结合，能减少运算步骤，简化计算. 例8：已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()aa a a a a ++++的值等于___________________.分析：在二项式()()nf x ax b =+的展开式中有结论：其展开式各项系数的和为(1)f ；奇数项的系数和为1[(1)(1)]2f f --；偶数项的系数和AB O NCM为1[(1)(1)]2f f +-. 解：分别令x=1、x=-1，得012345aa a a a a +++++=0，0123aa a a -+-+4a -5a =32，由此解得02416aa a ++=，13516a aa ++=-.∴024135()()aa a a a a ++++=-256.例9顶点都在一个球的面上，则此球的体积为_________________. 分析：当一个正n 棱柱各顶点都在球面上，则有结论：正n 棱柱的体对角线即为外接球的直径.解：正六棱柱的外接球的球心在正六棱柱的体对角线的中点上，如图所示.∵11112FC A F ==1F F =∴四边形11F FCC为正方形，∴1FC =∴外接球直径2R =R =∴343V R π==.例10：已知O e 的方程是2220x y +-=，O 'e 的方程是2x +2y -8x +10=0. 由动点P 向O e 和O 'e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是_____________________.分析：有关圆的切线长有结论：若圆方程为220x y Dx Ey F ++++=(2D + 2E4F-＞0)，则由点P(x,y)引圆的切线长为解：设P(x,y) D1得动点P 的轨迹方程为32x =. 4.观察法：通过仔细观察，抓住题设中的隐含条件或特征，挖掘出题目的内在规律进行求解. 例11：已知数列{}na 对于任意,*p q N ∈，有p q p qaa a ++=，若119a =，则36a =______________. 解：令p n =，1q =，则11n n aa a ++=，∴1119n n aa a +-==，所以数列{}na 是等差数列. ∴36136aa ==4.5.图解法：有些填空题涉及的问题可以转化为数与形的结合，数以形而直观，形以数而入微，利用图形往往直观易懂，又可节省时间.例12：已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为______________. 解法1：设双曲线方程为22221x y a b -=，顶点(,0)a ，焦点(,0)c ，渐近线0bx ay +=，则有2==ab c，6=3ce a==. 解法2：如图，A 、F 则||||||||OF FC OA AB =，即632c a ==. 6.等价转化法：通过命题的等价转换，将所给命题转化为熟悉的或容易解决的命题形式. 例13：若函数()f x =R ，则a 的取值范围为____________________.解：函数()f x =的定义域为R ，即222x ax a--≥1对x R ∈恒成立，等价于22xax a--≥0对x R ∈恒成立.∴Δ=2(2)4a a--≤0⇒(1)a a +≤0，∴-1≤a ≤0 .例14：函数|cos ||cos 2|()y x x x R =+∈的最小值是__________________.分析：本题关键在于去掉绝对值符号. 由2cos 22cos 1x x =-=22|cos |1x -，可设|cos |t x =，将原函数转化为关于变量t的函数，最后利用转化的思想将问题转化为关于求解t 的绝对值的函数的最小值问题. 解：令|cos |t x =∈[0,1]，则2|21|y t t =+-.当12t ≤≤时，221y tt =+-=2192()48t +-，得22y ≤≤；当02t ≤<时，221y tt =-++=2192()48t --+，得928y ≤≤.∴y 的最小值是2.训练题1. (1) 把10个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法种数是__________________.(2) 方程x + y + z = 15的非负整数解的个数是_____________.(3) 把10个相同的小球放入三个编号为①、②、③的三个盒子中，要求放入各盒的个数不少于它们的编号数，则共有不同的放法_________________种.2. 给出定义：若1122m x m -<≤+(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =. 在此基础上给出下列关于函数f (x) = | x – {x}|的四个命题：①函数y = f (x)的定义域是R ，值域是1[0,]2；②函数y = f (x)的图像关于直线x =2k (k ∈Z)对称；③函数y = f (x)是周期函数，最小正周期是1；④函数y = f (x)在11[,]22-上是增函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号).3. 定义一种新运算“⊗”如下：当a b ≥时，a b a ⊗=；当a b <时，2a b b ⊗=. 对于函数f (x) = [(–2)x ⊗]2)x x ⋅-⊗,(2,2)x ∈-(“⋅”和“-”仍是通常的乘法和减法). 把f (x)的图像按向量ar 平移后得到g (x)的图像，若g (x)为奇函数，则ar=_______________.4. 在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP = MC ， 则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的______________.ABC D PAB C DAB C DAB C DABCD甲乙丙丁5. 给出下列定义：连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度. 已知平面点集M 由不等式组 2220x x --≤10x y -+≥ 给出，则M 的长度是__________________.0y ≥6. 已知M 是△ABC 内的一点，且AB AC ⋅=u u u r u u u r30BAC ∠=，定义：f (M) = (m , n , p ), 其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若 f (P) =1(,,)2x y ，则14x y+的最小值是_________________.7. 在数列{}na 中，若()111,231n n n a aa n +==+≥，则该数列的通项na =__________.8. 口袋里装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥，现从中随机摸出两个球，若摸出的两个球是同色的概率等于摸出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数有____________个.9. 已知椭圆2211612x y +=的长轴为12A A ，短轴为12B B 。
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例谈求解高考数学填空题后的检验方法
作者：李忠贵
来源：《新高考·高三数学》2012年第06期
在高考中，总有一些同学宁愿花费很多时间和精力去钻研那些毫无头绪或困难重重的难题，却不愿去检查那些力所能及的基础题（特别是填空题）的解答是否无误.这样做的结果往往是完成的基础题失分较多，难题又没有做出来，常常后悔莫及.
另一方面，更多的同学虽然能意识到检验的必要性，懂得检验的意义和作用，但是检验的方法欠妥，常常沿着“原路”做简单的重复，因此容易受定势思维的影响而重蹈覆辙，不仅未能及时地发现问题、纠正错误，还浪费了宝贵的时间.
因此，掌握常用的检验方法，有助于提高我们的数学成绩.
一、回顾检验
例1 满足条件 cos α=-12，且- π ≤α＜ π 的角α的集合为 .
-12 ，
●错●解因为 cos 2 π 3=-12， cos 4 π 3=
所以答案为2 π 3或4 π 3.
●检●验
根据题意，首先，答案中的α=4 π 3不满足条件- π ≤α＜ π ，应改为α=-
2 π 3；其次，角α的取值要用集合表示.故正确答案为2 π 3，-2 π 3.
●评●注解题时可能会忽视一些条件和要求，应在解题后立即做回顾检验.
二、换一种解法检验
例2 已知函数y= log a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0（mn＞0）上，则2m+1n的最小值为 .
●错●解显然函数y= log a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1），
所以-2m-n+1=0，即2m+n=1.
又因为m，n＞0，所以1≥22mn，即1mn≥22.
又因为2m+1n≥22mn，
所以2m+1n≥ 22×22 =8.
所以2m+1n的最小值为8.
●检●验因为2m+n=1且m，n＞0，所以2m+1n=2m+1n（2m+n）=5+2nm+mn≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时取等号.所以2m+1n的最小值为9.
“错解”看上去没有问题，但得到的结果为什么和上述解法不同呢？因为“错解”中
两次用了基本不等式，而两次等号成立的条件分别是“2m=n”和“m=2n”，它们不相同，故此解法是错误的.
●评●注用某种方法解答之后，再用其他方法解答，看它们的结果是否一致，从而可以避免因方法单一而造成的策略性错误.
三、赋值检验
例3 已知数列{a n}的前n项和S n=3n 2+2n+1，则其通项公式a n= .
●错●解a n=S n-S n-1 =3n 2+2n+1- ［3（n- 1） 2+2（n-1）+1］=6n-
1.
●检●验取n=1，由条件得a 1=S 1=6，但由以上结论得a 1=5.
故正确答案为a n=6， n=1, 6n-1，n≥2.
●评●注若答案是无限的、一般性的结论时，可赋特殊的值进行检验，以避免知识性错误.
四、逆代检验
例4 复数方程3z+|z|=1-3 i 的解是 .
●错●解设z=a+b i （a，b∈R），则（3a+a 2+b 2）+3b i =1-3 i ，
由复数相等定义，得3a+a 2+b 2=1， 3b=-3.
解得a=0，
b=-1或a=34， b=-1.
故z=- i 或z=34- i .
●检●验若z=- i ，则原方程成立；若z=34- i ，则原方程不成立.
故原方程有且只有一解，即z=- i .
●评●注若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免产生增解.
五、估算检验
例5 不等式1+ lg x＞1- lg x的解集是
.
●错●解两边平方，得1+ lg x＞（1- lg x） 2，即 lg x（ lg x-3）＜0，得0＜ lg x＜3，解得1＜x＜10 3.
●检●验由1+ lg x≥0,得x≥110.若x＞1,则1+ lg x＞1，1- lg x＜1，原不等式成立；若110≤x≤1，则1+ lg x≤1- lg x，原不等式不成立.故正确答案为{x|x>1}.
●评●注当解题过程中的某些变形是否等价难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免因忽视等价性（充要条件）而产生逻辑性错误.
六、作图检验
例6 函数y=| log 2|x-1||的递增区间是 .
●错●解显然是（1，+∞）.
●检●验实际上，y=| log 2（x-1）|，x＞1，
| log 2（1-x）|，x＜1.
图1
作出其图象，如图1，可知正确答案为［0，1）和［2，+∞）.
●评●注当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
七、极端检验
例7 已知关于x的不等式（a 2-4）x 2+
（a+2）x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围 .
●错●解由Δ=（a+2） 2+4（a 2-4）＜0，解得 -2 ＜a＜65.又当-2＜a＜65时，a 2-4＜0,满足题意.
●检●验若a=-2，则原不等式为-1≥0，解集是空集，满足题意；若a=65，则原不等式为
64x 2-80x+25≤0，即（8x-5） 2≤0，解得x=58，不满足题意.
故正确答案为-2≤a＜65.
●评●注当难以确定某些极端情况是否成立时，可直接对这些极端情况进行检验.
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故其对结果正确性的要求比解答题更高、更严格.为此，在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒“小题大做”；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.。