(新课改省份专用)高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十三)抛物线(含解析)新人教A版
高中数学课时跟踪检测(十二)抛物线的简单几何性质(含解析)新人教A版选修1_1
课时跟踪检测（十二） 抛物线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0， 即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C ．2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ·AF ＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ＝(x ，y )，AF ＝(1－x ，－y )， 所以OA ·AF ＝x －x 2－y 2＝－4．②由①②可解得x ＝1，y ＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1． ∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋－＝5×12＝215．5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212．由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94．6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3， ∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2．∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52．因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72．答案：728．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________． 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13．答案：139．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2． 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3． ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x ，解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2＋4k2．由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4．层级二 应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x ．故选C ． 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B ．3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，得k >－1．则由k ＋k 2＝4，得k ＝2．故选C ．4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ·MB ＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2＋k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k x 1－，y 2＝k x 2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－x 1＋x 2＋4]. ③∵MA ·MB ＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．5．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3，消去y 得x2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48．答案：486．顶点为坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15，则抛物线方程为________．解析：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则Δ＝(4－a )2－16>0，得a >8或a <0．设直线与抛物线的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14．所以|AB |＝＋22x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15， 解得a ＝12或a ＝－4．所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ． 答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x7．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10 时，求实数k 的值．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋消去x ，得ky 2＋y －k ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知k ≠0，则y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1．由A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，可知y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，则y 21y 22＝x 1x 2． 因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB ．(2)设直线与x 轴交于点N ． 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON |·|y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10． 解得k ＝±16．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p．所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p．由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．所以C 的方程为y 2＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4． 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝4(m 2＋1)． 又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3．将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0．设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m2|y 3－y 4|＝1＋1m2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝m 2＋2m 2＋1m 2．由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝m2＋2m2＋．m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．。
高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(五十六) 抛物线 理
课时跟踪检测(五十六) 抛 物 线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·江西九校联考)若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若|AF |＋|BF |＝5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝5，即x 1＋14＋x 2＋14＝5，解得x 1＋x 2＝92，所以线段AB 的中点到y 轴的距离x 1＋x 22＝94.答案：945．(2016·长春二模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4y －4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为42，从而△OAB 的面积为2 2.答案：2 2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·北京石景山模拟)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B 依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6.2．(2015·绵阳二诊)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14解析：选B 由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.3．(2016·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y解析：选D 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .4．(2016·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.5．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23C ．34D ．43解析：选A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．(2015·荆门质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．解析：由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －，y 2＝4x ，化简得y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24－1，解得y ＝23±4，所以△AFB 的边长为8±4 3. 答案：8±4 37．(2016·北京密云模拟)已知两点A (1,0)，B (b,0)．如果抛物线y 2＝4x 上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，那么实数b ＝________.解析：依题意，线段AB 的垂直平分线x ＝b ＋12(b >－1)与抛物线y 2＝4x 的交点C ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12，n满足|CA |＝|AB |＝|b －1|(其中n 2＝2(b ＋1))，于是有⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12－12＋n 2＝(b －1)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12－12＋2(b ＋1)＝(b －1)2，化简得3b 2－14b －5＝0，即(3b ＋1)(b －5)＝0，解得b ＝5或b ＝－13.答案：5或－138．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝________.解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px得到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，kp 2，P ，Q 的坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得到，消去x 得，ky 22p －y －kp2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝1＋1k2·|y 1|1＋1k2·|y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kp 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2， ∴|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0. 答案：09．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3y 1＋y3y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．10．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ·ON ＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋y 1＋y2my 1＋my 2＋＝－8mp ＋8mp my 1＋my 2＋＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ·ON ＝2，所以4＋y N y M ＝2， 即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 2－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 20－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·大连仿真考试)设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若EA ＋FB ＋FC ＝0，则|EA |＋|FB |＋|FC |＝( )A ．4B ．6C ．9D ．12解析：选C 由题意得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵EA ＋FB ＋FC ＝0，∴点F 是△ABC 的重心，∴x 1＋x 2＋x 3＝92.由抛物线的定义可得|FA |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32， |FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32，|FC |＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|EA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9.2．(2015·河北五校联考)已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B两点．(1)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB (O 为坐标原点)面积的最大值． 解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0. 依题意应有Δ＝64＋32b ＞0，解得b ＞－2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ， 设圆心Q (x 0，y 0)， 则应有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆的半径为r ＝|y 0|＝4， 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋y 1－y 22＝y 1＋y 22－4y 1y 2]＝＋32b .所以|AB |＝2r ＝＋32b ＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，所以圆心为⎝⎛⎭⎪⎫245，－4.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16.(2)因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以b ＜0， 又l 与抛物线交于两点，由(1)知b ＞－2， 所以－2＜b ＜0，直线l ：y ＝－12x ＋b 整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线l 的距离d ＝|－2b |5＝－2b5，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－4b 22＋b ＝42b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2＜b ＜0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋43，由上表可得g (b )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3227.故S △AOB ≤42×3227＝3239. 所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.。
高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课时跟踪检测(五十六) 抛物线 Word版含解析
课时跟踪检测(五十六) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·江西九校联考)若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹为( )．圆．椭圆．抛物线．双曲线解析：选依题意，点到直线＝－的距离等于它到点()的距离，故点的轨迹是抛物线．．设抛物线＝－上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是( )．．．．解析：选依题意，点到该抛物线的焦点的距离等于点到其准线＝的距离，即等于＋＝.．抛物线＝的焦点坐标是( )．．．．解析：选抛物线的标准方程为＝，所以焦点坐标是.．已知是抛物线＝的焦点，，是该抛物线上的两点，若＋＝，则线段的中点到轴的距离为．解析：设(，)，(，)，则由抛物线定义可得＋＝，即＋＋＋＝，解得＋＝，所以线段的中点到轴的距离＝.答案：．(·长春二模)过抛物线＝的焦点作倾斜角为°的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则△的面积为．解析：由题意知，抛物线焦点为()，直线的方程为＝－，与抛物线方程联立，得(\\(＝－，＝，))消去，得－－＝，设，的坐标分别为(，)，(，)，则＋＝，＝－，两交点纵坐标差的绝对值为，从而△的面积为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．(·北京石景山模拟)设抛物线＝上一点到轴的距离是，则点到该抛物线准线的距离为( )．．．．解析：选依题意得，抛物线＝的准线方程是＝－，因此点到该抛物线准线的距离为＋＝.．(·绵阳二诊)若抛物线＝上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则△的面积为( )．．．．解析：选由题意知，抛物线准线方程为＝－.设(，)，由抛物线的定义可知，点到准线的距离为，所以＝，代入抛物线方程＝，解得＝±，所以△＝××＝.．(·运城期末)已知抛物线＝与直线＝－相交于，两点，若中点的横坐标为，则此抛物线方程为( )．＝．＝．＝．＝－解析：选设点(，)，(，)．由(\\(＝，＝－))消去，得－＋＝，所以＝＝，即＝，因此所求的抛物线方程是＝.．(·铜川一模)已知抛物线＝的弦的中点的横坐标为，则的最大值为( )．．．．解析：选设(，)，(，)，则＋＝，利用抛物线的定义可知，＋＝＋＋＝，由图可知＋≥⇒≤，当且仅当直线过焦点时，取得最大值.．(·长春一模)过抛物线＝(>)的焦点且倾斜角为°的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于( )．．．．解析：选记抛物线＝的准线为′，如图，作⊥′，⊥′，⊥，垂足分别是，，，则有∠＝＝＝，即°＝＝，由此得＝.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习8_7抛物线课时规范练(文)(含解析)新人教A版
8-7 抛物线课时规范练 A 组 基础对点练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( C ) A.⎝⎛⎭⎪⎫116，0B.(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 D.(0,1)2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( B ) A ．4 B.3 C ．2D.13．(2018·桂林、百色、崇左联考)若角θ终边上的点A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线上，则cos 2θ＝( A ) A.12 B.32 C ．－12D.－32解析：抛物线x 2＝－4y 的准线方程为y ＝1.因为点A (－3，a )在抛物线的准线上，所以a ＝1，即A (－3，1)．根据三角函数的定义可得cos θ＝－3－32＋12＝－32，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝12，故选A .4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C ) A.72 B.52 C ．3D.25．(2018·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( D )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析：在△AFB 中，由余弦定理得 cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |＋|BF |2－2|AF |·|BF |－|AB |22|AF |·|BF |＝43|AB |2－|AB |22|AF |·|BF |－1＝13|AB |22|AF |·|BF |－1. 又|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF |·|BF |，所以|AF |·|BF |≤13|AB |2，所以cos ∠AFB ≥13|AB |22×13|AB |2－1＝－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.故选D .6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( A ) A ．3 B.4 C ．5D.2＋17．(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是__9__.8．(2018·成都诊断检测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则p的值为 2 2 .解析：由题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，±p ，所以|AF |＝|PF |＝p ，所以△AFP 是等腰直角三角形，所以以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为22|AF |＝2p2＝2，所以p ＝2 2.9．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.由题易知，方程必有两个不等实根， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB |为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12， 即4＋4p ＝12，解得p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)中(*)可化为y 2－4my ＋8＝0， 得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8，设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，即m ＝±3，所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.B 组 能力提升练1．已知抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PA |＝2，则直线AF 的倾斜角为( D ) A.4π3 B.2π3 C.3π4D.5π6解析：由抛物线方程得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0. ∵|PF |＝|PA |＝2， ∴P 点的横坐标为2－32＝12.∵P 在抛物线上，且在第一象限， ∴点P 的纵坐标为3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3， ∴AF 的斜率为0－332－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－33，∴AF 的倾斜角为5π6，故选D.2．已知点F 是抛物线C ：y ＝ax 2(a ≠0)的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是( C ) A ．相离 B.相交 C ．相切D.无法确定解析：抛物线C 的标准方程为x 2＝1a y (a ≠0)，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过点A 作准线y ＝－14a 的垂线，垂足为A 1，AA 1交x 轴于点A 2(图略)，根据抛物线的定义得|AA 1|＝|AF |.由梯形中位线定理得线段AF 的中点到x 轴的距离为d ＝12(|OF |＋|AA 2|)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14|a |＋|AA 1|－14|a |＝12|AF |，故以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是相切，故选C.3．(2018·石家庄模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( A )A ．2 B.1 C ．2 2D.4解析：如图所示，过点M 作MM ′⊥l ，垂足为M ′，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MM ′|.因为|MA ||MF |＝2，所以sin ∠MAM ′＝|MM ′||MA |＝22，则∠MAM ′＝45°，所以△MAM ′为等腰直角三角形，所以|MM ′|＝|M ′A |＝|MF |.在△AMF 中，∠MAF ＝45°，由正弦定理得|MF |sin ∠MAF ＝|MA |sin ∠MFA ，所以sin ∠MFA ＝|MA ||MF |·sin ∠MAF ＝2×22＝1，所以∠MFA ＝90°，所以MF ∥M ′A .又|MF |＝|M ′A |＝|MM ′|，所以四边形AM ′MF 为正方形，则|AF |＝|MF |＝2，所以△AMF 的面积S ＝12×2×2＝2，故选A .4．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( B )A ．3 B.6 C ．9D.12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①.设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2.又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2，3)，所以|AB |＝6，故选B.5．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( D ) A.316B.38C.233D.433解析：由图(图略)可知，与C 1在点M 处的切线平行的渐近线方程为y ＝33x ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 22p ，则利用求导得切线的斜率为2t 2p ＝33，p ＝3t .易知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 22p 共线，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3t 2，(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫t ，3t 6共线，所以0－3t 22－0＝3t6－3t 2t －0，解得t ＝43，所以p ＝433.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为__8__.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝ 2 3 .解析：易得双曲线y 2－x 2＝1过点⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是__t >0或t <－3__. 解析：因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3. 9．已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为655－1 . 解析：如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1.连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.10．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__[1，＋∞)__．解析：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在C 点，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即a ≤a (a >0)，所以a ≥1.11．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解析：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.12．(2018·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解析：(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p pk 2＋23≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
高考数学一轮复习 课时跟踪检测(五十二)抛物线 理(普通高中)
课时跟踪检测（五十二） 抛物线(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,0)D ．(2,0)解析：选A 由抛物线x 2＝2py (p ＞0)的准线为y ＝－p2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12C.32D.52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 3．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)解析：选A 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．已知点F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点．若|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.74B.54C.34D ．1解析：选B 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋p ＝3，则AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，y A ＋y B 2到y 轴的距离d ＝x A ＋x B 2＝3－p 2＝54.5．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4.6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为4，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：选D 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1,0)．当AB ⊥x 轴时，|AB |＝4，S △AOB ＝12|OF |·|AB |＝2，不成立，所以y 2y 224－1＝y 1y 214－1⇒y 1y 2＝－4.由△AOB 的面积为4，得12|y 1－y 2|×1＝4，所以y 21＋y 22＝56，因此|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝y 21＋y 224＋2＝16.7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：28．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 39．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：210．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，点A 在第一象限， 则|AF |＝x A ＋1＝3，所以x A ＝2，y A ＝22， 所以直线AB 的斜率为k ＝222－1＝2 2.则直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立整理得2x 2－5x ＋2＝0，x A ＋x B ＝52，所以x B ＝12，所以|BF |＝x B ＋p 2＝12＋1＝32.答案：32B 级——中档题目练通抓牢1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点．若|PQ |＝2|QF |，则直线PF 的方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选B 如图，过点Q 作QM ⊥l 于点M .∵|QF |等于点Q 到准线的距离|QM |，∴|PQ |＝2|QM |，∴∠PQM ＝45°，∴∠PFO ＝45°，∴直线PF 的倾斜角为135°，即斜率k ＝－1，∴直线PF 的方程为y －0＝－1×(x －2)，即x ＋y －2＝0.2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选C 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ， 则|PF |＝|PM |＋12，∴|PM |＝|PF |－12.∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.将x ＝72代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±7.∵7＜4，∴点A 在抛物线的外部．∴当P ，A ，F 三点共线时，|PA |＋|PF |有最小值．∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴|AF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋－2＝5.∴|PA |＋|PM |有最小值5－12＝92.3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ， 设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ， 由抛物线的定义得，|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°， 在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 2|AE |＝|AC |，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x .4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA ―→＝(－a －x 0，a －x 20)，CB ―→＝(a －x 0，a －x 20)． ∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0. ∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.7.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．C 级——重难题目自主选做1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′两点，以线段A ′B ′为直径的圆C 过点E (－2,3)，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝17 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝26解析：选B 设直线AB 的方程为x －1＝ty .由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝ty ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－1，y 1)，B ′(－1，y 2)． ∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.又∵以A ′B ′为直径的圆C 过点E (－2,3)， A ′E ――→＝(－1,3－y 1)，B ′E ――→＝(－1,3－y 2)， ∴A ′E ――→·B ′E ――→＝1＋(3－y 1)(3－y 2)＝0，即y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋10＝－4－12t ＋10＝0，解得t ＝12.∴y 1＋y 2＝2， ∴圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－1－12，y 1＋y 22＝(－1,1)．半径R ＝|y 1－y 2|2＝y 1＋y 22－4y 1y 22＝ 5.∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝5.2．(2018·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA ―→·NB ―→＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝12x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k2，y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫18k 2，14k .设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2， 将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m 8k 2＝0.∵直线l 与抛物线Γ相切， ∴Δ＝1－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝m －k 2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA ―→·NB ―→＝0，则NA ⊥NB . ∵M 是AB 的中点， ∴|MN |＝12|AB |.由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k2.∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12. 故存在k ＝±12，使NA ―→·NB ―→＝0.。
2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第7节抛物线课时跟踪检测理新人教A版
第七节 抛物线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B 由x 2＝2px 的焦点到准线的距离为p ，得x 2＝4y 中的焦点到准线的距离为2，故选B ．2．(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y 2＝24ax (a >0)上的点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20x解析：选A 抛物线y 2＝24ax (a >0)的准线方程为x ＝－6a ，点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M (3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴y2＝8x ，故选A ．3．(2019届石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：选A 解法一：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A ．解法二：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF |∶|MF |＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2，故选A ．解法三：∵M (2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF |＝3.又1|MF |＋1|NF |＝2p ＝1，∴|NF |＝32，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A ． 解法四：设直线l 的倾斜角为α，则|MF |＝p 1－cos α，|NF |＝p1＋cos α，∴|NF |∶|MF |＝(1－cos α)∶(1＋cos α)，又M (2，22)，F (1，0)，∴tan α＝22，∴cos α＝13，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A ．4．(2019届江西五校联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与抛物线C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，所以|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |.因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，即在△MNN ′中，cos ∠MNN ′＝12，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°.又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B ．5．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．32D ．4解析：选C 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线AB 的方程代入抛物线的方程得y 2－2my －2t ＝0，Δ＝4m 2＋8t >0，所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2t .由题意得OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212×y 222＋y 1y 2＝0，得y 1y 2＝－4，所以－2t ＝－4，即t ＝2，故直线AB 恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32，故选C ．6．(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 过P 1作P 1M ⊥准线l ，垂足为M ，过P 2作P 2N ⊥准线l ，垂足为N ，由抛物线定义知|P 1F |＝|P 1M |＝y 1＋1，|P 2F |＝|P 2N |＝y 2＋1，∴|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋y 2＋2＝8，故选C ．7．(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A ．18B ．14C ．2D ．4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12.又∠OFA ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan ∠OFA ＝2＝ 2 12p ，则p ＝2，故选C ．8．(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．解析：由y 2＝6x ，知p ＝3，由抛物线定义得，x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入y 2＝6x 中，得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)． 答案：3 39．(2020届成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p .由抛物线的定义知|BE |＝|BF |.设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m＝p m ，所以|AF |＝pm p －m .由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1， 解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x . 答案：y 2＝2x10．(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________．解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：1011．(2019届昆明市高三诊断测试)过点E (－1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，F 是抛物线C 的焦点．(1)若线段AB 中点的横坐标为3，求|AF |＋|BF |的值； (2)求|AF |·|BF |的取值范围．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. 由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 则|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ＝16m 2－16>0，得m 2>1，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 则|AF |·|BF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝m 2y 1y 2＝4m 2. 因为m 2>1，所以|AF |·|BF |>4. 故|AF |·|BF |的取值范围是(4，＋∞)．12．(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N .R 为准线上一点．(1)若AR ∥FN ，求|MR ||MN |的值；(2)若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．解：由已知，得F (1，0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线y 2＝4x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由题知M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，设R (－1，y R )．(1)∵AR ∥FN ，即AR →∥FN →，AR →＝(－1－x 1，y R －y 1)，FN →＝(－2，y 2)，∴0＝(－1－x 1)y 2＋2(y R －y 1)＝(－2－my 1)y 2＋2(y R －y 1)＝－2(y 1＋y 2)－my 1y 2＋2y R ＝－4m ＋2y R ，∴y R ＝2m ＝y 1＋y 22，∴R 是MN 的中点，∴|MR ||MN |＝12.(2)若R 是MN 的中点，则R (－1，2m )，RA →·RB →＝(x 1＋1，y 1－2m )·(x 2＋1，y 2－2m )＝(my 1＋2，y 1－2m )·(my 2＋2，y 2－2m )＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋(y 1－2m )(y 2－2m )＝(m 2＋1)y 1y 2＋4m 2＋4＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0.∴RA →⊥RB →，即RA ⊥RB ， ∴点R 在以AB 为直径的圆E 上.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |＝( )A ．2B ． 3C ．2 3D ．3解析：选A 如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵y2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH |＝2，|PF |＝|PQ |.∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN ∥QF .∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR .∵|PQ |＝|PF |，∠NFR ＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF ⊥PQ .又M 为PQ 的中点，∴F 为HR 的中点，∴|FR |＝|FH |＝2.故选A ．14．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 由题意知，抛物线的焦点为F (1，0)，设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k ，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，所以0－2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x －1)．点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，故选A ．15．(2019届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点S (0，3)，SA ，SB 与圆C ：x 2＋y 2－my ＝0(m >0)和抛物线x 2＝－2py (p >0)都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA ∥ON ，则点A 到抛物线准线的距离为( )A ．4B ．2 3C ．3D ．3 3解析：选A 连接OM ，∵SM ，SN 是圆C 的切线，∴|SM |＝|SN |，|OM |＝|ON |.又SA ∥ON ，∴SM ∥ON ，∴四边形SMON 是菱形，∴∠MSN ＝∠MON .连接MN ，由切线的性质得∠SMN ＝∠MON ，则△SMN 为正三角形，又MN 平行于x 轴，所以直线SA 的斜率k ＝tan 60°＝ 3.设A (x 0，y 0)，则y 0－3x 0＝ 3 ①.又点A 在抛物线上，∴x 20＝－2py 0 ②.由x 2＝－2py ，得y ＝－x 22p，y ′＝－1p x ，则－1p x 0＝ 3 ③，由①②③得y 0＝－3，p ＝2，所以点A 到抛物线准线的距离为－y 0＋p 2＝4，故选A ．16．(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A (0，1)，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶2，则实数a 的值为________．解析：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线定义知|MF |＝|MK |.因为|FM |∶|MN |＝1∶2，所以|KN |∶|KM |＝3∶1.又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433. 答案：43317．(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d1＋d2)min＝3.答案：3。
2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(检测)2.1函数及其表示
课时跟踪检测（五） 函数及其表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·重庆五校联考)下列函数中，与y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝lg 10xC ．y ＝x 2xD ．y ＝(x －1)2＋1解析：选B 选项A ，y ＝x 2＝|x |与y ＝x 的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B ，y ＝lg 10x＝x ，是相同函数；选项C ，y ＝x 2x＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同；选项D ，函数的定义域不相同，不是相同函数．故选B.2．(2019·山西名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( )A ．1B ．4C ．0D ．5－e 2解析：选A 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.3．(2019·马鞍山质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018解析：选A 由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 020中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝44.4．(2019·邯郸调研)函数y ＝－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析：选C 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y ＝－x22x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12或－12<x <1.5．(2019·衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2a ，x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B.6．(2019·乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3x －，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43D ．[2，＋∞)解析：选A 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1，∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·玉溪模拟)与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：选C 函数y ＝10lg(x －1)的定义域为{x |x >1}．y ＝x －1与y ＝|x －1|的定义域都为R ，故排除A ，B ；y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，故排除D ；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12的定义域为{x |x >1}，解析式可化简为y ＝x －1，因此正确，故选C.2．(2019·全国名校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a x，x ≤1，log a x ＋，x >1，且f (1)＝6，则f (2)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 由题意，得f (1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f (2)＝log 2(2×2＋4)＝log 28＝3，故选C.3．(2019·山西名校联考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：选B 令t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝9×t －23＋8＝3t ＋2.所以f (x )＝3x ＋2，故选B.4．(2019·郑州外国语学校月考)若函数f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C 由于f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则当1－2x ＝12时，x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15.故选C.5．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.故选A. 6．(2019·邵阳检测)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)解析：选B ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示， 由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增， 需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4，故选D.8．(2019·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f x ＋－x 2－3x ＋4的定义域是________． 解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f (x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数y ＝f x ＋－x 2－3x ＋4有意义，则－x 2－3x ＋4>0，∴－4<x <1，∴函数y ＝f x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．答案：(－1,1)9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝3，f －＝f，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ＋2，－1<x <1，1x －1，x ≥1，已知f (a )>1，求a 的取值范围．解：法一：(数形结合)画出f (x )的图象，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )>1的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 法二：(分类讨论)①当a ≤－1时，由(a ＋1)2>1，得a ＋1>1或a ＋1<－1，得a >0或a <－2， 又a ≤－1，∴a <－2；②当－1<a <1时，由2a ＋2>1，得a >－12，又∵－1<a <1，∴－12<a <1；③当a ≥1时，由1a －1>1，得0<a <12，又∵a ≥1，∴此时a 不存在．综上可知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.。
高考数学一轮复习 课时跟踪检测(五十二)抛物线 理(重点高中)
课时跟踪检测（五十二） 抛物线(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP ―→＝4FQ ―→，则|QF |＝( )A ．3 B.52C.72D.32解析：选A 已知F (2,0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ―→＝(－4，t )，FQ ―→＝(x 0－2，y 0)．由题设可得4(x 0－2)＝－4，即x 0＝1，所以|QF |＝x 0＋2＝3.3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32C ．1D ．2解析：选D 设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)，过点M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，垂足为N ，过点A 作AC ⊥l 于点C ，过点B 作BD ⊥l 于点D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，当且仅当直线AB 过焦点F 时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的最短距离d min＝3－1＝2.故选D.4．已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点．若A ，B 是以点M (0,10)为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( )A.52B.53C.56D.59解析：选C 如图，因为|MA |＝|OA |，所以点A 在线段OM 的垂直平分线上．又因为M (0,10)，所以可设A (x,5)．由tan 30°＝x 5，得x ＝53.将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5代入方程x 2＝2py ，得p ＝56.5．(2018·太原模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A. 6 B ．2 2 C ．2 3D ．4解析：选A 因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，因为|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16＝26，所以△AOB 的面积为12×1×26＝6，故选A. 6．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E ，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：537．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA ―→＝(－a －x 0，a －x 20)，CB ―→＝(a －x 0，a －x 20)． ∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0. ∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)9.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1， 故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·m2－－＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.10.(2018·合肥模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1时，不符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为y ＝y 02x 0(x ＋x 0)，整理得，x ＝2x 0yy 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0， 所以直线AB 与抛物线C 相切． B 级——拔高题目稳做准做1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值为( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝4k 2＋2，y A y B ＝1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理：FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立．4．(2018·长春模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4y －4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝42，从而△OAB 的面积为12×p2×|y 1－y 2|＝2 2.答案：2 25.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ， 代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3y 1＋y3y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．6．(2018·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA ―→·NB ―→＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝12x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k2，y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫18k 2，14k .设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2， 将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m 8k 2＝0.∵直线l 与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝m －k 2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA ―→·NB ―→＝0，则NA ⊥NB . ∵M 是AB 的中点， ∴|MN |＝12|AB |.由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k 2. ∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12. 故存在k ＝±12，使NA ―→·NB ―→＝0.。
2020版高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第5节抛物线课时作业文(含解析)新人教A版
第5节 抛物线课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42(C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．(改编题)若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )(A)y 2＝233x(B)y 2＝3x (C)y 2＝23x(D)y 2＝33x A 解析：根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 5．(改编题)已知直线l 1：4x －3y ＋7＝0和直线l 2：x ＝－2，抛物线y 2＝8x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值是( )(A) 5 (B)2 5 (C)3(D)3 5C 解析：如图所示，过点P 作PH 1⊥l 1，PH 2⊥l 2，连接PF ，H 1F ，过F 作FM ⊥l 1，交l 1于M ，由抛物线方程为y 2＝8x ，得l 2为其准线，焦点为F (2，0)，由抛物线的定义可知|PH 1|＋|PH 2|＝|PH 1|＋|PF |≥|FH 1|≥|FM |＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0，1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)． 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1），消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．(2018岳阳一模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22. 答案：229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________． 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14，所以|BF |＝x 2＋1＝54.答案：5410．(2018湖南十四校)在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1，0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4，2)，过点N (4，0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1，0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4，0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．(2018烟台二模)已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734 (D)161534 C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2，0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2，0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734. 故选C.12．已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k FA ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p2－x M＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2（5＋1），将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×（5－1）p2（5＋1），解得p ＝2.故选C.13．(2018新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ， 因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．C 解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0，则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m2，可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )．②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立，解得m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．所以存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．。
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（新课改省份专用）高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十三）抛物线（含解析）新人教A版 课时跟踪检测（五十三） 抛物线 一、题点全面练 1．(2019·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选B 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B. 2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－x B.x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 解析：选D (待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y. 3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A．y2＝－12x B.y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.
又AB的中点到y轴的距离为2，∴－x1＋x22＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B. 4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为( )
A.13 B.33
C.32 D．1 解析：选B 设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m， 垂足分别为A′，N′，B′. 因为直线l过抛物线的焦点， 所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|. 又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以|NN′|＝12(|BB′|＋|AA′|)＝12(|BF|＋|AF|)＝12|AB|＝12|MN|，所以∠MNN′＝60°， 则直线MN的倾斜角是120°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是33.故选B. 5．(2018·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A.13 B.23
C.23 D.223 解析：选D 设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)， 如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB， 由|FA|＝2|FB|， 知|AM|＝2|BN|， ∴点B为线段AP的中点，
则|OB|＝12|AF|， ∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1， ∵k＞0， ∴点B的坐标为(1,22)，
∴k＝22－01－－2＝223.故选D. 6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.
直线OA的方程y＝33x， 代入y2＝2x，得x2－6x＝0， 解得x＝0或x＝6. 即得A的坐标为(6,23)． ∴|AB|＝43，正三角形OAB的面积为12×43×6＝123. 答案：123 7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________. 解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限， 则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝22，
所以直线AB的斜率为k＝222－1＝22. 则直线AB的方程为y＝22(x－1)， 与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝52，
所以xB＝12，所以|BF|＝12＋1＝32. 答案：32 8．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－p2作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|. ∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|， ∵直线AB的倾斜角为60°， ∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|， 即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.
∵|AF|＝2，∴|BF|＝23，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝83.
设直线AB的方程为y＝3x－p2，代入y2＝2px， 得3x2－5px＋3p24＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝53p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝83，∴p＝1. 答案：1 9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC―→＝OA―→＋λOB―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝22x－p2， 与y2＝2px联立， 消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9， 所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x. (2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0， 即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4， 于是y1＝－22，y2＝42， 从而A(1，－22)，B(4,42)．
设C(x3，y3)，则OC―→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2. 10．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. 解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1. (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以∠ABM＝∠ABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0.
由 y＝kx－2，y2＝2x得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝2k，y1y2＝－4. 直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2x1＋2x2＋2.① 将x1＝y1k＋2，x2＝y2k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋ y1)＝2y1y2＋4ky1＋y2k＝－8＋8k＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠
ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分 1．(2019·大同模拟)点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A．y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝112x2或y＝－136x2
解析：选D 抛物线标准方程为x2＝1ay(a≠0)，当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，则抛物线方程为y＝112x2； 当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为－14a－3＝6，解得a＝－136，则抛物线方程为y＝－136x2.
2．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________． 解析：如图，设C(x0，x20)(x20≠a)，A(－a，a)，B(a，a)，
则CA―→＝(－a－x0，a－x20)， CB―→＝(a－x0，a－x20)．
∵CA⊥CB，∴CA―→·CB―→＝0， 即－(a－x20)＋(a－x20)2＝0， 整理得(a－x20)(－1＋a－x20)＝0. ∴x20＝a－1≥0，∴a≥1. 答案：[1，＋∞) 3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，
则FA―→·FB―→＋FC―→·FD―→的最大值为________． 解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
依题意可得，FA―→·FB―→＝－(|FA―→|·|FB―→|)． 又因为|FA―→|＝yA＋1，|FB―→|＝yB＋1，