北京四中圆锥曲线基础题

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北京第四中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(包含答案解析)

一、填空题1．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x +=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.2．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．3．已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，若点P 是双曲线的左支上一点，A ，则APF 周长的最小值为______．4．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.5．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．6．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.8．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.9．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.11．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.二、解答题14．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．15．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为23()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中，短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直，且焦距为22.（1）求椭圆的标准方程.（2）如图，已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.17．已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点3(),2Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：OA OB ⊥．18．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --= 的对称点落在直线2x a =上；（1）求椭圆C ：的方程；（2）设()4,0P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 斜率的取值范围；（3）证明直线ME 与x 轴相交于定点．19．已知命题:p 方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值. 21．已知椭圆的两焦点分别为()13,0F -、()23,0F ，短轴长为2. （1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度. 22．已知点Q 是圆M ：()22116x y ++=上一动点（M 为圆心），点N 的坐标为()1,0，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）求直线1y x =-与曲线E 的相交弦长；（3）曲线E 的右顶点为B ，直线l ：y kx m =+与椭圆E 相交于点S ，T ，则直线BS ，BT 的斜率分别为1k ，2k 且123k k +=，BD ST ⊥，D 为垂足，问是否存在某个定点A ，使得以AB 为直径的圆经过点D ？若存在，请求出A 的坐标；若不存在，请说明理由？23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，椭圆上的点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到两焦点的距离之和为4；（2）离心率为35，短轴长为824．已知椭圆22:1126y x Γ+=，F 是Γ的下焦点，过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两点，（1）求F 的坐标和椭圆Γ的焦距；（2）求MNF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程；（3）在y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在，求出定点S 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB ，求直线l 的倾斜角． 26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想解析：【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-，所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.2．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(3【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率211c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2b a 213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(3．故答案为：(3．【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．3．34【分析】把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值【详解】双曲线中即设是双曲线的左焦点则∵在双曲线的左支上∴即∴周长为显然当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立∴周长的最小值为故答案为：3 解析：34【分析】把P 到右焦点F 的距离转化为P 到左焦点的距离后易得最小值．【详解】双曲线22145x y -=中，2,a b ==，3c ==，即(3,0)F ，设F '是双曲线的左焦点，(3,0)F '-，则15AF AF ===' ∵P 在双曲线的左支上，∴24PF PF a '-==，即4PF PF '=+， ∴APF 周长为41519l PF PA AF PF PA PA PF ''=++=+++=++，显然15PA PF AF ''+≥==，当且仅当P 是线段AF '与双曲线的交点时等号成立．∴APF 周长l 的最小值为151934+=．故答案为：34．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是PF ，则把PF 转化为到另一焦点的距离，如果涉及的是1PF e，则转化为到相应准线的距离． 4．【分析】利用双曲线的定义可求得再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】由双曲线的定义可得又则所以因此双曲线的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接解析：(]1,3【分析】利用双曲线的定义可求得22PF a =，再由2PF c a ≥-结合1e >可求得双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【详解】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==，又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3.故答案为：(]1,3.【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、c 表示，转化为e 的关系式，进而求解． 5．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得．【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-．设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小．当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=．故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．6．【分析】设联立方程组可得由可得进而可得再由椭圆的焦点坐标可得即可得解【详解】设将直线:代入椭圆方程消去x 化简得所以又所以所以所以化简得又直线:过椭圆的左焦点所以所以所以或（舍去）所以椭圆离心率故答案解析：22【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240aa b a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b -+==++，又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b--=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=，又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ，所以()1,0F -，所以2221a b c -==，所以22a =或21a =（舍去），所以a =2c e a ==.故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解. 7．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =，在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：7e =故答案为：74. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【解析】设由余弦定理知所以故填解析：134 【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以134c a =13 9．【分析】利用双曲线的性质推出通过解三角形求出的关系再根据即可得到的关系从而得到渐近线方程【详解】解：双曲线的右焦点为双曲线的右支上一点它关于原点的对称点为满足且设左焦点为连接由对称性可得可得所以所以解析：62y x =±【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =，190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以6b a =，故渐近线为62y x =± 故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查 21 【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m aQF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩，此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯；所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．11．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系1【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以1PF =，因为21||||2PF PF a +=，所以2c a =，即3131ca ，所以1e =.1.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.12．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考 2 【分析】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有()()222+2++x d x x d =，解得3x d =；由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，21BF a BF ==；在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =． 2. 【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.13．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是解析：5 【分析】过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF F C CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=，解得：55c e a ==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.二、解答题14．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果；（2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23xt y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.15．（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y Ea b a b +=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()221416120mxmx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C D x x m=+，214CD m∴==+， ∴点O 到直线CD 的距离d =214214CODS CD d m∴=⋅=⨯+△，设214m t +=，则4t >，CODS ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．16．（1）22142x y +=；（2）220x y ++=或220x y .【分析】（1）由已知即可得b c ==2a =，写出椭圆方程即可.（2）由面积关系知M 为AB 的中点，法一：()2,0A -设()00,M x y 有()0022,2B x y +，由M 在圆上，B 在椭圆上，代入求00,x y ，进而得到直线方程；法二：设直线AB 的方程为()2y k x =+，联立抛物线方程求得B 的横坐标，即可得到M 的坐标，由M 在圆上求k 值，即可得直线方程. 【详解】（1）由短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直且焦距为易得：b c ==2a =，即椭圆的方程为22142x y +=.（2）因为2AOB AOM S S =△△，所以2AB AM =，即M 为AB 的中点，方法一：根据椭圆的方程22142x y +=，有()2,0A -，设()00,M x y ，则()0022,2B x y +，∴22089x y +=①，()()2200222142x y ++=②，得200918160x x --=，解得023x =-，083x =(舍去)，把023x =-代入①，得023y =±，有12AB k =±. 因此，直线AB 的方程为()122y x =±+，即220x y ++=或220x y . 方法二：设直线AB 的方程为()2y k x =+，由()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222128840k xk x k +++-=，∴()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，∴()2224212B M x k x k+--==+，()22212M M ky k x k =+=+，代入2289x y +=，得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得422820k k +-=，即()()2272410kk +-=，解得12k =±，所以，直线AB 的方程为()122y x =±+，即220x y ++=或220x y . 【点睛】关键点点睛：（1）根据已知确定,,a b c 关系并求值，写出椭圆方程即可.（2）由直线与圆、椭圆的关系，以及三角形面积的数量关系确定M 为AB 的中点，通过设点或直线方程，结合点在曲线上求参数，即可得到直线方程. 17．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.【详解】解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =，由4QF =可得，42pm +=， ∵03p <<， ∴2p =，3m =．抛物线的方程为24y x =．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B(4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-，2121212121()1616016OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立，综上可得，OA OB ⊥．【点睛】关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证OA OB ⊥. 18．（1）22143x y +=（2）1(2-，0)(0⋃，1)2（3）证明见解析.【分析】（1）由题意知12c e a ==，则2a c =，求出椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点，可求a ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线PN 的方程为(4)y k x =-代入椭圆方程，根据判别式，可求直线PN 的斜率范围；（3）求出直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，即可得出结论．【详解】（1）由题意知12c e a ==，则2a c =，设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(,)m n ，则·212?5022n mm n ⎧=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，4m ∴=，2n =-，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上．24a ∴=，1c ∴=，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-．代入椭圆方程，可得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．① 由2222(32)4(43)(6412)0kk k ∆=--+->，得2410k -<，1122k ∴-<< 又0k =不合题意，∴直线PN 的斜率的取值范围是：1(2-，0)(0⋃，1)2．（3）设点1(N x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(M x ，1)y -．直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+ 代入②整理，得1x =．∴直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程，设出直线与椭圆方程联立，消元后，利用二次方程的判别式求k 的取值范围，求出与x 轴交点的坐标表达式，化简即可证明交点为定点，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19．（1）13m -<<；（2）[)1,3. 【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p ，q 为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果. 【详解】（1）若命题q 是真命题，则关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；则判别式244(23)0m m ∆=-+<，即2230m m --<，得13m -<<（2）∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆.∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是11m -<<；由（1）知，若命题q 为真命题，则实数m 的取值范围是13m -<<若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题，若p 真q 假，则1131m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p 假q 真，则1311m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m ≤<.综上，实数m 的取值范围是[)1,3. 【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q 为真命题，求出m 的取值范围是解题关键.20．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程；（2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】（1）依题意有，221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+，又1222223P y y m y m +-==+，2323Px m =+，2P PQ x =-=212PQMN =，令t =，1t≥，上式24554t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭，当254t =，即12m =±时，PQ MN【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式：直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 21．（1）2214x y +=；（2）5. 【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度．【详解】（1）由()1F ，)2F，短轴长为2，得：1c b ==，又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y +=（2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-= 由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以5AB ==【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．22．（1）22143x y +=；（2）247；（3）存在；()2,1A -.【分析】（1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上，所以EQ EN =，再由题意得42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>=，所以点E 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，从而可得其方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去x ，利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求得答案；（3））联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，再利用根与系数的关系，342834km x x k +=-+，234241234m x x k -=+ ，从而得()()()3434343412224324kx x m k x x m k k x x x x +-+-+==-++，解得2m k =-或21m k =--，经验证21m k =--，则直线()21y kx m k x =+=--，且过定点()2,1-，从而可得答案【详解】解：（1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上，所以EQ EN =又QM 是圆的半径，所以42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>= 所以点E 的轨迹是椭圆因为24a =，所以2a =，1c = 所以23b =所以动点E 的轨迹方程为22143x y +=（2）设直线1y x =-与曲线E 相交于1122(,),(,)x y x y 联立2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得27880x x --=，则121288,77x x x x +==-，于是28478288∆=+⨯⨯=所以弦长122477l x x =-==（3）设3344(,),(,)S x y T x y ，联立223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120kxkmx m +++-=判别式()()2222226416483419248144k m m kkm ∆=--+=-+342834km x x k +=-+，234241234m x x k-=+ ()()()()()()344334343412222222kx m x kx m x y yk k x x x x +-++-+=+=---- ()()()34343434224324kx x m k x x mx x x x +-+-==-++化简得()()()343423264120k x x m k x x m -+-++--= 即()()()()()()2223412268412340k m m k km m k--+-+--++=也即()()2210m k m k +++= 解得2m k =-或21m k =--当2m k =-时，直线()2y kx m k x =+=-过点B ，不合题意所以21m k =--，此时直线()21y kx m k x =+=--，且过定点()2,1- 又因为D 在以AB 为直径的圆上所以A 在直线()21y kx m k x =+=--上所以存在定点()2,1A -满足条件. 【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合已知条件列方程求解，考查计算能力，属于中档题23．（1）22143x y +=；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.【分析】（1）由椭圆的定义求得2a =，再根据点在椭圆上可得23b =，从而可得答案；（2）根据离心率为35，短轴长为8，列方程组求得,a b 的值，注意讨论焦点的位置即可. 【详解】（1）因为椭圆上的点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭到两焦点的距离之和为4，所以24,2a a ==，因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设椭圆方程为22214x y b+=，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得 22941134b b+=⇒=，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）因为椭圆离心率为35，短轴长为8 所以2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若椭圆焦点在x 轴上，则方程为2212516x y+=；若椭圆焦点在y 轴上，则方程为2212516y x+=.【点睛】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.24．（1）(0,F，焦距为2c =2）MNF直线l的方程为6y =+；（3）存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．（2）设直线:6l y kx =+，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得122122kx x k -+=+，122242x x k =+，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点(0,2)S ，即可．【详解】（1）椭圆22:1126y x Γ+=，可得a =b，所以c =(0,F，焦距为2c =；（2）由题意得直线l 的斜率存在，设直线:6l y kx =+，由2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22212240k x kx +++=，所以()()2221449624840k k k ∆=-+=->，故240k ->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122122kx x k -+=+，122242x x k =+，所以12MN x =-=====(或用MN = 点F 到直线l的距离d =所以)21622MNFS MN d k =⋅==+△，令0t =>，则))216666MNF tS t t t==++△，所以6MNF S ≤=△，当且仅当k =时取等号，所以MNFl的方程为6y =+；（3）当直线l 的斜率存在时，由（2）得122122kx x k -+=+，122242x x k =+，因为RSM RSN π∠+∠=，所以0MS NS k k +=，即12120y t y tx x --+=，所以()()21120x y t x y t -+-=，所以()()2112660x kx t x kx t +-++-=，所以()()1212260kx x t x x +-+=，所以()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++，因为0k ≠，所以2t =，所以()0,2S ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点()0,2S ，故y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将RSM RSN π∠+∠=恒成立转化为0MS NS k k +=，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．25．（1）2214x y +=；（2）4π或34π．【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c ⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩， 2a = ，1b =，c =。

北京四中圆锥曲线经典题目

椭圆中的最值、定值问题的求解1,（2015年新课标2高考）已知椭圆C ：)0(9222>=+m m y x ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，B A C l ,有两个交点与,线段M AB 的中点为（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值。

（2）若l 过点),3(m m ，延长线段OM 与,P C 交于点四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率：若不能，说明理由。

2、（2015年安徽高考题）设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，点O 为坐标原点，上，在线段点）的坐标为（点）的坐标为（AB M b B a A ,,0,0,105,2的斜率为直线满足OM MA BM =。

（1），求E 的离心率。

（2）设的方程。

，求的对称点的纵坐标为关于直线的中点，点为线段），，的坐标为（E AB N AC N C 27b -03、（2015陕西高考），已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦点为c ，原点O 到经过两点c 21),0(),0,(的直线的距离为b c 。

（1），求椭圆E 的离心率。

（2）如图，AB 是圆M ：两点，经过的一条直径，若椭圆B A E y x ,25)1()2(22=-++ 的方程。

求椭圆E4、（2015年陕西师范大附中）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆015222=--+x y x 的半径，则椭圆的标准方程是5、（济南一中）设椭圆的两个焦点分别是，圆于点作椭圆长轴的垂线交椭过P F F F 221,,若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是6、（福建高考）若双曲线，的左右焦点分别是，21221169:F F y x E =-点p 在双曲线E 上，且==等于则21,3PF PF7、（1）（辽宁高考题）已知点（2,3）在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距是4，则它的离心率是（2），设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率是8、直线两点，相交于点与双曲线B A y x ax y ,13122=-+= （1），求线段AB 的长，（2）当a 为何值时，以AB 的直径的圆经过坐标原点？9、已知双曲线),2,1(p 12:22于点=-y x C（1），是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点是P ？（2），若Q （1,1），试判断以点Q 为中点的弦是否存在？。

圆锥曲线基础训练题及答案

圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为（）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为（）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是（） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是（）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是（）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为（）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为（）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是（）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是（）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是（）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为。

圆锥曲线基础练习与答案

直线与圆一、考点容1、求直线斜率方法（1）知直线l 倾斜角)1800(00<≤αα，则斜率090(tan ≠=ααk 即倾斜角为090的直线没有斜率（2）知直线l 过两点),(11y x A ，),(22y x B ，则斜率___________=k )(21x x ≠ （3）知直线l 一般式方程0y x =++C B A ，则斜率________=k 知直线l 斜截式方程b kx y +=，可以直接写出斜率 2、求直线方程方法——点斜式知直线l 过点),(b a ，斜率为k ，则直线方程为__________________，化简即可！特别在求曲线在点))(,(a f a 处切线方程，往往用点斜式！ 4、平行与垂直问题若21//l l ，则1k ______2k ；若21l l ⊥，则1k =2k _________ 5、距离问题（1）两点间距离公式若点),(21x x A 、),(22y x B ，则=||AB _________________ （2）点到直线距离公式点),(n m 到直线0y x =++C B A 距离=d _________________ 注意：直线必须化为一般式方程！（3）两平行线间距离公式两平行线0y x 0y x 21=++=++C B A C B A 与的距离=d _________________ 注意：两平行线必须把x 与y 系数化为一样！ 6、圆与方程（1）标准方程222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为__________，半径为______（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x ，条件0422>-+F E D圆心坐标为__________，半径为____________ 7、直线与圆位置关系（1）相离：公共点个数为_____个，此时d ______ r (d 为圆心到直线距离)（2）相切：公共点个数为_____个，此时d ______r (圆心与切点连线垂直于切线) （3）相交：公共点个数为_____个，此时d ______r (弦长=L _________)二、课堂练习1．原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．52．经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心G ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ C ）A .x -y +1=0B .x -y -1=0C .x +y -1=0D .x +y +1=03．经过圆0222=+-y x x的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是（ A ）A ．012=-+y xB ．220x yC ．210x yD ．022=++y x 4.以) 0 , 1 (为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是( A ) A ．8)1(22=+-y x B ．8)1(22=++y x C ．16)1(22=+-y x D ．16)1(22=++y x5．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ C ）A ．1710B ．8C ．2D ．1756.直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ A ）A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心7.圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ B ）A 、 2B 、21+C 、221+D 、221+ 8.圆心在原点,并与直线3x-4y-l0=0相切的圆的方程为___422=+y x _________.9．直线y x =被圆22(2)(4)10x y -+-=所截得的弦长等于.<十>圆锥曲线[椭圆]一、考点容:1、椭圆的定义: 12||||2MF MF a +=2、椭圆的简单几何性质:离心率(0,1)ce a=∈．,,a b c 间的关系 222a b c =+（0a b >>，0a c >>）二、基础练习:1 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ D ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 2.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. 则椭圆C 的离心率为_____22____ 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．求椭圆的方程；（x 24＋y 23＝1.）4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.求椭圆C 的标准方程；（x 26＋y 22＝1.）5．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22,求椭圆C 的方程.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.求椭圆C 的方程;22184x y +=7.椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;2214x C y ∴+=椭圆的方程为：[双曲线] 一、考点容:（1）双曲线定义：a PF PF 2|||-|||21=（2）标准方程：焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点坐标为：_______________________ ____________________________ 顶点坐标为：_______________________ ____________________________渐近线方程：_______________________ ____________________________ （3）性质：离心率_______=e )1(>e(4),,a b c 间的关系: ____________________________ 二、基础练习:1．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2 B.62 C.52D ．1 2.已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±1 ．双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A ．21 B ．22 C ．1D ．24．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是（ C ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >5.已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于( C )A14C 32D 436.双曲线 x 24－y 2＝1的离心率等于___52_____．7．双曲线221169x y -=的离心率为___45_____.8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x ym m -=+m 的值为2．9.设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为___ x 2－y 2＝1_____．[抛物线]（1）定义：抛物线上任意一点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离. （2）标准方程与性质二、基础练习:1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( A )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－123 ．抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ D ）A ．B ．2C D ．12．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =_2___;准线方程为_1x =-____.5.抛物线y 2＝4x 的准线方程为_____ x ＝－1___．6．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为___2213y x -=___.7. 已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2,求抛物线C 的方程; 24x y =。

北京四中---高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)

高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。

多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。

本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。

一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。

从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。

然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。

有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。

1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。

在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。

因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。

一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。

（1）向弦中点问题转化例1.已知双曲线=1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围。

略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m<0或m>4④于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长问题转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。

分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦A D、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。

北京四中高中数学精品全套-高三数学-圆锥曲线与方程- 7页

目录曲线与方程（无答案版） (2)椭圆及其性质（无答案版） (3)双曲线及其性质（无答案） (5)抛物线（无答案版） (6)曲线与方程（无答案版）——北京四中一、知识要点1. 曲线与方程；2. 已知轨迹求方程；3. 未知轨迹求方程.二、典型例题例1. 已知椭圆221 2xy+=.⑴求斜率2k=时的平行弦中点的轨迹；⑵求过点(2,1)A的弦中点的轨迹；(3)以点11(,)22P为中点的弦所在直线的方程.例2. 设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, 2AF FB=.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.椭圆及其性质（无答案版）——北京四中一、知识要点1、椭圆的标准方程：2、椭圆的几何性质3、代数性质：二、典型例题例1.51-.设22221(0)x ya ba b+=>>是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则ABF∠等于（）（A）60︒（B）75︒（C）90︒（D）120︒例2.如果方程222x ky+=表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。

例3.已知F是椭圆225945x y+=的左焦点，P是此椭圆上的动点，(1,1)A是一定点.⑴求3||||2PA PF+的最小值，并求点P的坐标；⑵求||||PA PF+的最大值和最小值.例4.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，6y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。

双曲线及其性质（无答案）——北京四中一、知识要点：1.椭圆和双曲线比较；2.双曲线的性质.二、例题分析例1. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．例2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1例3. 已知两点A(-2，0)，B(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，且22||PA PB PH⋅=．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，设MN的中点为R，过R与点Q(0，-2)作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围．抛物线（无答案版）——北京四中一、知识要点：1、定义及方程：2、抛物线的几何性质：3、直线与抛物线的位置关系：二、例题分析：例1、如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．例2、在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．例3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.22 B. 2 C.322D．2 2例4. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x＝－1相切，点C在l上．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为3的直线与曲线M相交于A，B两点．（ⅰ）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ⅱ）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．。

圆锥曲线基础题有答案

2一、选择题:1. 已知椭圆2x25 2. 3. 4. 5. 圆锥曲线基础训练+ Z =1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 16 A . 2 若椭圆的对称轴为坐标轴, 2 2x y , —=1 9 16 A . B . B . 3 长轴长与短轴长的和为 2 2x y , 一+L=1 C. 25 16 25 C 5 18，焦距为 2+— =1 或 16动点 A . P 到另一焦点距离为P 到点M (1,0)及点N(3,0)的距离之差为 D . 7则椭圆的方程为2+ — =1 D .以上都不对 16 25 2，则点P 的轨迹是双曲线抛物线y 5 A .2 若抛物线 B.双曲线的一支 22=10x 的焦点到准线的距离是 C.两条射线D . —条射线 15C. 2 y 2=8x 上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A . (7, ±用 B . (14,±届) C. (7, ±2714) D . (—7, ±2714) B . 5 D . 10二、填空题 6. 7. 8.9. 3 若椭圆x 2+my 2 =1的离心率为 —，则它的长半轴长为 _______________2 双曲线的渐近线方程为 x ±2y = 0 ,焦距为10 ,这双曲线的方程为2 2 若曲线 +丄 =1表示双曲线，则k 的取值范围是 4+k 1 -k抛物线y 2 = 6x 的准线方程为 ■ 10.椭圆5x 2 +ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k = 三、解答题 11. k 为何值时，直线y = kx +2和曲线2x 2 + 3y 2= 6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点?12.在抛物线y =4x 2上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短。

13.双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1(0, -5), F 2(O,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。

数学课程圆锥曲线基础练习题及答案

数学课程圆锥曲线基础练习题及答案1、请写出圆锥曲线的定义和常见的几种形式，并说明它们的性质。

圆锥曲线是平面解析几何的一个分支，由平面上固定点F称为焦点，和到该点的固定比例e（离心率）的点P构成。

根据e的不同取值，圆锥曲线可以分为以下几种形式：1）当离心率e=0时，圆锥曲线是一个圆。

圆具有以下性质：- 圆上任意两点的距离相等；- 圆的内切线与切点相垂直；- 圆的半径相等。

2）当离心率0 < e < 1时，圆锥曲线是一个椭圆。

椭圆具有以下性质：- 椭圆上任意两点到两个焦点的距离之和等于常数2a；- 椭圆的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之和等于2a；- 椭圆的准线是对称轴；- 椭圆的离心率e满足0 < e < 1；- 椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。

3）当离心率e=1时，圆锥曲线是一个抛物线。

抛物线具有以下性质：- 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；- 抛物线的准线与焦点所连的直线垂直；- 抛物线的准线是对称轴；- 抛物线的离心率e=1；- 抛物线的焦距等于顶点到准线的距离。

4）当离心率e>1时，圆锥曲线是一个双曲线。

双曲线具有以下性质：- 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；- 双曲线的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之差等于2a；- 双曲线的准线是对称轴；- 双曲线的离心率e满足e > 1；- 双曲线的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。

2、给定一个椭圆的方程为x^2/25 + y^2/9 = 1，确定椭圆的中心、两个焦点和两个顶点的坐标。

根据椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，我们可以得到以下信息：- 中心的坐标为(0, 0)；- 焦点的坐标为(0, ±√(a^2 - b^2)) = (0, ±√(25 - 9)) = (0, ±√16) = (0, ±4)；- 顶点的坐标为(±a, 0) = (±5, 0)。

04圆锥曲线.doc

第四讲圆锥曲线
北京四中李伟
一、复习
椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程
二、直线与圆锥曲线的位置关系
1.相离
2.相切
3.相交
三、典型例题
例1(1)已知点P 在焦点为12F F 、的椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b +=>>上，则以1PF 为直径的圆C 1与圆O ：222x y a +=的位置关系是。

(2)1F 、2F 是椭圆122
22=+b
y a x (0)a b >>的两个焦点，M 是椭圆上与1F 、2F 不共线的任意点，21MF F ∆ 的内心是点P ，MP 交21F F 于N ，则PM NP 等于 . 例2（1）设12F F 、是双曲线224x y -=的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，
从1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程为 .
（2）P 是双曲线229x 16y 144-=右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为 .
小结：
1.圆锥曲线的定义：
2.圆锥曲线的方程：
3.直线与圆锥曲线位置关系的判定。

北京四中高中数学高清课堂高中数学课堂之高考冲刺第8讲直线与圆锥曲线

高考冲刺第8讲直线与圆锥曲线
一、知识要点
1、曲线与方程
2、直线
3、圆
4、椭圆
5、双曲线
6、抛物线
二、典型例题
例1、方程2
x y表示的曲线是（）
||11(1)
（A）半个圆（B）两个圆（C）两个半圆（D）两条相交直线
例2、已知直线l: ax+by+c=0和圆O: x2+y2=1, 那么a2+b2≥c2是直线l和圆相交的( ) 条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）既非充分也非必要
例3、椭圆15
y 9x 2
2的左，右焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任一点，点A(1，1)，则|PA|+|PF 1|满足( )
(A)最大值26,26最小值(B)最大值2
323，最小值(C)最大值26，无最小值(D)最小值2-6，无最大值例4、直线y=x+3与曲线19y 4|x |x 2
的公共点个数是( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例5、已知抛物线x 2=y ，若其上总存在两个不同的点M ，N 关于直线29
kx y 对称，则实
数k 的取值范围是( )
(A)1111
(,)(,)()(,)4444B (C)1
111
,()[,]
4444D 例6、设，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 上运动，点Q 满足BQ QA uu u r uu r ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP uuu r uuu r ,求点P 的轨迹方程。

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1.椭圆)0(,112:222>=+m m y x C 的离心率2
1=e ，则m 的值为：2.若双曲线C 的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则双曲线C 的离心率=e 3.P 是抛物线:C x y 42=上的一动点，则P 到抛物线C 的准线距离与到点)2,0(A 距离之和的最小值为：
4.过点)1,1(P 作直线l 交抛物线:C x y 42=于B A ,两点，若P 恰是B A ,的中点，则直线l 的方程为：
5.双曲线C 的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上，过右焦点2F 作x 轴的垂线，交双曲线C 的渐近线于B A ,两点，若�1201=∠B AF ，则双曲线C 的离心率=
e 6.P 是椭圆14
22
=+y x 上的动点，给定点)0,1(A ，则||PA 的最小值为7.如图动圆圆P 与圆9)4(:22=+−y x F 相外切，且圆P 与直线:l 1−=x 相切，动
圆P 的圆心P 的轨迹为C
(1)试求：轨迹C 的标准方程
(2)过圆F 的圆心F 作直线1l 与轨迹C
相交于B A ,两点，若B A ,的中点Q
在圆F 外，试求直线1l 斜率的取值范围。

8.中心在坐标原点的椭圆C 过两定点)3,32(),3,2(B A −，21,F F 是椭圆的两焦点
(1)试求：椭圆C 的标准方程和离心率
(2)过点2F 作直线l 交椭圆C 于N M ,两点，若N MF 1∠为锐角，试求l 斜率的取值范围.
9.已知双曲线1C 与椭圆112
16:2
22=+y x C 有共同的焦点，且在一象限的公共点的横坐标为2
(1)试求：双曲线1C 的标准方程及离心率
(2)设直线l 平行于双曲线1C 的一条渐近线，l 交x 轴于点)0,(m M ，若椭圆2C 上存在两点B A ,关于l 对称，试求:m 的取值范围.
圆锥曲线练习题答案1.3或4 2.3
5 3.5 4.12−=x y 5.13 6.6
7.解：(1)显然P 到F 得距离与
到直线4:−=′x l 的距离相等
∴C 是以F 为焦点，以l ′为
准线的抛物线
抛物线C 的标准方程为：x
y 162=(2)显然直线1l 的斜率存在，设其为k
1l :)4(−=x k y ○1
8.设椭圆的方程为：1
22=+ny mx 由题意知：⎩⎨⎧=+=+1
3121
94n m n m 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==
12
1
16
1n m 椭圆的标准方程为：1
12162
2
=+y x 焦点为：),
0,2(),0,2(21F F −
离心率2
1
=e (2)当直线的斜率不存在时合题意
当斜率存在时设其为k
)
2(:−=x k y l 9.解：(1)显然双曲线C 的焦点为
),
0,2(),0,2(21F F −双曲线与椭圆的公共点为)
3,2(P ,
3||,5||21==PF PF 设双曲线的标准方程为：
)
0,0(12222
>>=−b a b y a x 由上面知：1
,2==a c 132
2=−y x 为所求
离心率2
=e (2)不妨设l 为：)(3m x y −
=。