(新课标)高考数学大一轮复习第8章第9节直线与圆锥曲线的位置关系课时作业理【含答案】
(浙江专版)高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系教师用书-人教版
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有2个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有1个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有0个公共点．(2)当a ＝0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝x 1－x 2＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [解析] (1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切． (2)错．当直线l 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切． (3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确． (4)错．当直线l 为对称轴时，l 与抛物线有一个交点． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 3．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.]4．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为__________. 【导学号：51062308】x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， 两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1， 直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]5．(2017·某某质检)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为__________．22[设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22.]直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． [解] (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1，2分又点P (0,1)在曲线C 1上，所以0a 2＋1b2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.6分(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，8分消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0. ①12分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.14分所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.15分 [规律方法] 1.判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x (或y )，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点．但应注意两点：(1)消元后需要讨论含x 2(或y 2)项的系数是否为0； (2)重视“判别式Δ”起的限制作用．2．对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程．[变式训练1] 如图891，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．图891(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.2分由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .6分 (2)当p ＝1时，曲线C ：y 2＝2x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0).8分 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2＋2y －2b ＝0.(*)12分因为P 和Q 是抛物线l 的两相异点，则y 1≠y 2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b )＝8b ＋4>0.(**) 因此y 1＋y 2＝－2，所以y 0＝－1. 又M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 所以点M (1，－1)，此时b ＝0满足(**)式． 故线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1).15分直线与圆锥曲线中弦长问题(2017·某某镇海中学模拟)如图892，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F (1,0)，且已知直线l 的方程为x ＝－2.图892(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意ca ＝22且c ＝1，知a ＝2，则b ＝1，3分 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，8分 将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.10分若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2.13分因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.15分[规律方法] 1.求弦长时可利用弦长公式，由直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．2．当涉及过焦点的弦的问题，可灵活利用圆锥曲线的定义求解．[变式训练2] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值. 【导学号：51062309】[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c . 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3， 于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.3分又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.6分(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，7分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由于Δ＝48k 2＋48>0恒成立， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.9分因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝ 6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝ 6＋2k 2＋122＋3k2.12分由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.15分有关弦的中点问题椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点．若AB＝22，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，3分依题意得ax 21＋by 21＝1，且ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，5分 又y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .8分再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，12分将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.15分[规律方法] 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．[变式训练3] 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________．x ＋2y －8＝0 [设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2. 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.][思想与方法]1．直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．2．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)． 3．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．[易错与防X]1．直线与圆锥曲线有一个公共点，易误认为直线与曲线一定相切，也可能是直线与双曲线，直线与抛物线相交于一点．2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数． 3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．课时分层训练(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．] 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.] 3．(2017·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) 【导学号：51062310】 A.32 B.233 C.932D.2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)． 由题设k OM ＝y 0x 0＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得y 2＋y 1y 2－y 1x 2＋x 1x 2－x 1＝－ab.又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32， 所以a b＝32.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B.x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 245＋y 236＝1 A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.]二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. 【导学号：51062311】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，ba＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.]8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b2＝b24－b2≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，3分解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.13分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.15分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值X 围.【导学号：51062312】[解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.9分 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，13分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2，对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝20－y ′，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(2017·某某质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋ 3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝b a(2a －c )， 化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.]3．如图893已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图893(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程. 【导学号：51062313】[解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.9分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2.13分 由|AB ||CD |＝534得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.15分。
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。
高考一轮数学(浙江专版)(课件)第8章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系
y1－y2 2 2 2 两式相减得 y1－y2＝2(x1－x2)，即 ＝ ＝1， x1－x2 y1＋y2 直线 AB 的斜率为 1， 直线 AB 的方程是 y－1＝x－2，即 x－y－1＝0.]
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第十二章
选考部分
5．(2017· 杭州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上 的一个动点．若点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大 值为__________．
第十二章
选考部分
抓 基 础 · 自 主 学 习
第八章 平面解析几何
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
明 考 向 · 题 型 突 破
课 时 分 层 训 练
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第十二章
选考部分
1．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线 C：F(x，y)＝0，
Ax＋By＋C＝0， 由 Fx，y＝0
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第十二章
选考部分
[ 解] (1)椭圆 C1 的左焦点为 F1(－1,0)， 所以 c＝1，2 分 又点 P(0,1)在曲线 C1 上， 0 1 所以 2＋ 2＝1，得 b＝1，则 a2＝b2＋c2＝2， a b x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 ＋y ＝1.6 分 2
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第十二章
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第十二章
选考部分
2 y ＝4x， 由 y＝kx＋m，
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第十二章
选考部分
(2)当 a＝0 时，圆锥曲线 C 为抛物线或双曲线．
平行或重合 当 C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线___________ ，它们的公共点有__ 1个
或__ 0 个．
2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版
2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5. 3．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( ) A ．6 B ．2 6 C. 3 D ．2 3解析：选D.设双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y ＝±b a 9－a 2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×b a9－a 2＝43，与a 2＋b 2＝9联立得，a 2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．(xx·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C.由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12（a 2－50）10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12（a 2－50）10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1，故选C. 6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ＞1)，则λ的值为( ) A ．5 B ．4 C.43D.52解析：选B.根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.7．(xx·宜宾模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝|PF 2|，所以2c ＝b 2a，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋2ac－a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.答案：2－18．(xx·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5539．(xx·高考江西卷)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2.又因为b 2＝a 2－c 2， 所以a 2＝2(a 2－c 2)，所以a 2＝2c 2，所以c a ＝22. 答案：2210．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条． 答案：311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解：由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．(xx·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.1．(xx·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 2．(xx·高考山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.答案：2＋ 33．(xx·衡水调研)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2，所以△AF 2B 的面积为12|AB |r＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227， 化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， 所以r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．(xx·高考湖南卷)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理北师大版
第九节 圆锥曲线的综合问题[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．(对应学生用书第148页)[基础知识填充]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |. [知识拓展] 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [解析] (1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切． (2)错．当直线l 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切． (3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确． (4)错．当直线l 为对称轴时，l 与抛物线有一个交点． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条C [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]4．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．16 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.]第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(对应学生用书第149页)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.x 或，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点注意两点：消元后需要讨论含2或2项的系数是否为重视“判别式”起的限制作用2.对于选择题、要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.[跟踪训练] 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：4＋2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(2018·广州综合测试(二))已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.【导学号：79140304】(1)设椭圆C 的方程；(2)设动点M ，N 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m的最大值．[解] (1)双曲线x 25－y 2＝1的焦点坐标为(±6，0)，离心率为305.因为双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ＝6，且a 2－b 2a ＝306，解得b ＝1.故椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1.(2)因为|MN |＝433＞2，所以直线MN 的斜率存在．因为直线MN 在y 轴上的截距为m ， 所以可设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m . 代入椭圆的方程x 26＋y 2＝1中，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6(m 2－1)＝0. 因为Δ＝(12km )2－24(1＋6k 2)(m 2－1) ＝24(1＋6k 2－m 2)＞0， 所以m 2＜1＋6k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝－12km1＋6k 2，x 1x 2＝6(m 2－1)1＋6k2则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2. 因为|MN |＝433，则1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2＝433. 整理得m 2＝－18k 4＋39k 2＋79(1＋k 2). 令k 2＋1＝t ≥1，则k 2＝t －1.所以m 2＝－18t 2＋75t －509t ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤75－⎝⎛⎭⎪⎫18t ＋50t ≤75－2×309＝53.等号成立的条件是t ＝53，此时k 2＝23，m 2＝53满足m 2＜1＋6k 2，符合题意．故m 的最大值为153. 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况[跟踪训练] (2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 的面积．[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22， 由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2， 故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.(1)在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )【导学号：79140305】A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0(2)如图891，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．则实数m 的取值范围为________． (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞ [(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②， 得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，因为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－14， 所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.(2)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63.]根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解[跟踪训练两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( ) A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .]。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高考数学一轮复习第9章解析几何8直线与圆锥曲线课件新人教A版
2
2
5
−
2
2
点,则双曲线离心率的取值范围是(
A.(1,2)
C.(1, 3)
=1(a>0,b>0)恒有两个公共
)
B.(2,+∞)
D.( 3,+∞)
关闭
2
2
∵斜率为 2的直线与双曲线 2 − 2 =1 恒有两个公共点,根据双曲线
的几何性质可得, > 2,
2
∴e= = 1 + 2 > 1 + 2 = 3,
该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共
点.(
)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个
公共点.( × )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个
5 3
4
,求直线 l
-20考点1
考点2
考点3
考点4
= 3,
解 (1)由题设知
=
1
,
2
2 = 2 - 2 ,
解得 a=2,b= 3,c=1,
2
∴椭圆的方程为 4
2
+ 3 =1.
(2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,
2||
,
5
∴圆心到直线 l 的距离 d=
1 2
中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节直线与圆锥曲线的位置关系课时分层训练
课时分层训练(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．] 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12 D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.] 3．(2017·绍兴模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) 【导学号：51062310】 A.32 B.233 C.932D.2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)． 由题设k OM ＝y 0x 0＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得y 2＋y 1y 2－y 1x 2＋x 1x 2－x 1＝－ab.又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32，所以a b ＝32.] 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B.x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 245＋y 236＝1 A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.]二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. 【导学号：51062311】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－4＝0，ba＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.]8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b2＝b2－b2≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，3分解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.13分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.15分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围.【导学号：51062312】[解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.9分 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋2，13分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2，对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(2017·衢州质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋ 3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝b a(2a －c )， 化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.]3．如图893已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图893(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程. 【导学号：51062313】[解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.9分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2.13分 由|AB ||CD |＝534得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.15分。
届高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第9节 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关
2．弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝__1_＋__k_2_·__x_1_＋__x_2_2_－__4_x_1_x_2
＝
1＋k12·|y1－y2|
＝___1_＋___k1_2·___y_1＋__y_2__2－__4_y_1_y_2 .
不同的两点，则k的取值范围是
()
A．－
315，
15 3
B．0，
15 3
C．－ 315，0
D．－ 315，－1
解析
[谨记通法] 直线与圆锥曲线位置关系的 2 种判定方法及 2 个关注点 (1)判定方法 ①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即 为交点个数，方程组的解即为交点坐标． ②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判 断公共点个数．如“题组练透”第 1 题．
A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝
－12，则m的值为
()
A．32
B．52
C．2
D．3
解析
[方法归纳]
处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式
相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，
y1－y2 x1－x2
三个未知量，这样就直
()
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：
直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)
且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系课时分层训练
课时分层训练(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．] 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12 D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.] 3．(2017·绍兴模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) 【导学号：51062310】 A.32 B.233 C.932D.2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)． 由题设k OM ＝y 0x 0＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得y 2＋y 1y 2－y 1x 2＋x 1x 2－x 1＝－ab.又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32，所以a b ＝32.] 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B.x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 245＋y 236＝1 A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.]二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. 【导学号：51062311】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－4＝0，ba＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.]8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b2＝b24－b2≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，3分解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.13分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.15分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围.【导学号：51062312】[解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.9分 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，13分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2，对函数y ＝t＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝20－y ′，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(2017·衢州质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋ 3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝b a(2a －c )， 化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.]3．如图893已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图893(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程. 【导学号：51062313】[解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.9分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2.13分 由|AB ||CD |＝534得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.15分。
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课时作业(五十六) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0答案：B 解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求的交点个数为2.2．(2015·潍坊模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点且斜率为3的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则|AB |的值为( )A.163B ．83C ．873D ．1673答案：A解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程得3x 2－10x ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝103.根据抛物线的定义，可知|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝163.3．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2答案：D解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大， 此时F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2.4．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋4y －13＝0B ．4x ＋3y －13＝0C ．3x －4y ＋5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0答案：A解析：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.5．(2015·山东师大附中模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λμ＝316，则该双曲线的离心率为( )A.322B ．355C.98 D ．233答案：D解析：由题意可知A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .由OP →＝λOA →＋μOB →，可知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，b ＝c λ－μ又λμ＝316，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝34，μ＝14.∴b ＝12c ，即c ＝2b .又c 2＝a 2＋b 2，故a ＝3b .∴e ＝c a ＝233.故选D. 二、填空题6．(2014·安顺5月)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0， 令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 得12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.7．(2014·郑州三模)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案：0或－8解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1，②由①－②，得x 21－x 22＝y 21－y 223，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝13(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，也即2x 0＝13·y 1－y 2x 1－x 2·2y 0＝13·(－1)·2y 0，∴y 0＝－3x 0，③又P 在直线y ＝x ＋m 上，∴y 0＝x 0＋m ，④由③④解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，34m . 代入抛物线y 2＝18x ，得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，∴m ＝0或－8.经检验m ＝0或－8均符合题意．8．(2015·日照模拟)直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆的离心率e 为________．答案：5－12解析：由题意，直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点．∴点(c ，c )在椭圆上，∴c 2a 2＋c 2b2＝1.∵b 2＝a 2－c 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0. ∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3±52.∵0<e <1，∴e ＝5－12. 9．设直线l ：2x ＋y －2＝0与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 是椭圆上的动点，则使得△PAB 的面积为13的点P 的个数为________．答案：4解析：由题知直线l 恰好经过椭圆的两个顶点(1,0)，(0,2)， 故|AB |＝5，要使△PAB 的面积为13，即12·5·h ＝13， 所以h ＝235.联立y ＝－2x ＋m 与椭圆方程x 2＋y 24＝1，得8x 2－4mx ＋m 2－4＝0，令Δ＝0，得m ＝±22，即平移直线l 到y ＝－2x ±22时与椭圆相切，它们与直线l 的距离d ＝|±22＋2|5都大于235，所以一共有4个点符合要求． 三、解答题10．(2015·青岛模拟)已知动圆P 与圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝81相切，且与圆F 2：(x －3)2＋y 2＝1相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点F 2作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两个不同的点．(1)求曲线C 的方程；(2)试探究|MN |和|OQ |2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；(3)记△QMN 的面积为S ，求S 的最大值． 解：(1)设圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为R .由于动圆P 与圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝81相切，且与圆F 2：(x －3)2＋y 2＝1相内切， 所以动圆P 与圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝81只能内切．∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝9－R ，|PF 2|＝R －1，∴|PF 1|＋|PF 2|＝8>|F 1F 2|＝6，∴a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝7， 故圆心P 的轨迹C ：x 216＋y 27＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)， 直线OQ ：x ＝my ，则直线MN ：x ＝my ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 216＋y27＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝112m 27m 2＋16，y 2＝1127m 2＋16.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝112m 37m 2＋16，y 23＝1127m 2＋16.∴|OQ |2＝x 23＋y 23＝112m 27m 2＋16＋1127m 2＋16＝m 2＋7m 2＋16.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 216＋y27＝1，可得(7m 2＋16)y 2＋42my －49＝0，∴y 1＋y 2＝－42m 7m 2＋16，y 1y 2＝－497m 2＋16.∴|MN |＝m 2＋1|y 2－y 1| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－42m 7m 2＋162－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－497m 2＋16 ＝m 2＋7m 2＋16.∴|MN ||OQ |＝m 2＋7m 2＋16m ＋7m 2＋16＝12. ∴|MN |和|OQ |2的比值为一个常数，这个常数为12.(3)∵MN ∥OQ ，∴△QMN 的面积＝△OMN 的面积． ∵O 到直线MN ：x ＝my ＋3的距离d ＝3m 2＋1，∴S ＝12|MN |·d ＝12×m 2＋7m 2＋16×3m 2＋1 ＝84m 2＋17m 2＋16. 令m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，S ＝84t t 2－＋16＝84t 7t 2＋9＝847t ＋9t.∵7t ＋9t≥27t ·9t ＝67，当且仅当7t ＝9t ，即t 2＝97，亦即m ＝±147时取等号，∴当m ＝±147时，S 取最大值27. 11．(2015·贵州省六校联盟第一次联考)已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解：(1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433， 得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 60° ＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)， 从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －x 1＋x 2x 1x 2＝2k －(k －4)4k k －2k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.12．(2015·邯郸高三质检)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 1：y ＝kx ＋m ，l 2：y ＝kx ＋n (直线l 1，l 2不重合)，若l 1，l 2均与椭圆C 相切，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，则有F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 2P →＝(x －c ，y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1ax 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由PF 1→·PF 2→的最小值为0，得1－c 2＝0，c ＝1，a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)把l 1的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 1与椭圆C 相切，∴Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝1＋2k 2， 同理可得n 2＝1＋2k 2，∴m 2＝n 2，若m ＝n ，则l 1，l 2重合，不符合题意， ∴m ＝－n ，即m ＋n ＝0.设在x 轴上存在点Q (t,0)，使点Q 到直线l 1，l 2的距离之积恒为1，则|kt ＋m |k 2＋1·|kt －m |k 2＋1＝1，即|k 2t 2－m 2|＝k 2＋1，把1＋2k 2＝m 2代入并去绝对值整理，得k 2(t 2－3)＝2或k 2(t 2－1)＝0，前式显然不恒成立，而要使得后式对任意的k ∈R 恒成立， 则t 2－1＝0，解得t ＝±1.综上所述，满足题意的定点Q 存在，其坐标为(－1,0)或(1,0)．。