2023年新高考数学一轮复习8-1 空间几何体及其三视图和直观图(真题测试)含详解

专题8.1 空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）一、单选题1．（全国·高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱2．（湖南·高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．43．（2022·福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M在正（主）视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧（左）视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．3D．24.（2022·安徽蚌埠·高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（）A．26B．6C．23D．435．（2021·全国·高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A EFG-后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.514-B.512-C.514+D.512+7．（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A．2:1B．2:1C．1:2D．1:28．（北京·高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B ．C ．10D ．二、多选题 9．（2022·广东中山·高一期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（ ）A ．每个面都是直角三角形的四面体；B ．每个面都是等边三角形的四面体；C ．每个面都是全等的直角三角形的四面体；D ．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．10．（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B ．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台D ．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面11．（2021·福建省南安市侨光中学高一阶段练习）如图所示，E ，F 分别为正方体1111ABCD A B C D -的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的正投影可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥P ABC -的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，则（ ）A．该棱锥各面都是直角三角形B．直线AB与PC所成角为60︒C．点P到底面ABC的距离为1D．该棱锥的外接球的表面积为3π三、填空题13．（上海·高考真题（理））若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．14．（2019·全国·高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．15.（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB AD==AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.16．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．2，∠BAD=60°．以1四、解答题17．（2021·全国·高一课时练习）画出如图所示的三棱柱的三视图．18．（2022·全国·高二课时练习）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程.19．（2020·全国·高三专题练习（文））如图1，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.（1）根据图中所给的正视图､侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求P A.20．（2022·全国·高二课时练习）设圆锥的底面半径为1，母线与底面所成角为30°，过圆锥的任意两条母线作截面，求截面面积的最大值.21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值．22．（2022·全国·高二课时练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（Alberobello），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录（图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（图2），C，D是母线SA 的两个三等分点（点D靠近点A），E是母线SB的中点．如从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．专题8.1 空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）一、单选题1．（全国·高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】【详解】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．2．（湖南·高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【详解】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为r ，根据三角形面积公式有()11681068,222r r ++=⋅⋅=.3．（2022·福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M在正（主）视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧（左）视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．27B．25C．3D．2【答案】B【解析】【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【详解】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2．侧面展开图如下图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，故选：B．4.（2022·安徽蚌埠·高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（）A．B C．D．【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法可得原图，从而可计算原平面图形中最长边的长度.【详解】斜二测直观图如图（1）所示，原图如图（2）所示，其中：2,==OA OB故原平面图形中最长边为4823AB=+=.故选：C．5．（2021·全国·高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截-后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）去三棱锥A EFGA．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.514-B.512-C.514+D.512+【答案】C【解析】设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.依题意得h2＝12×2a×m，即h2＝am，①易知h2＋a2＝m2，②由①②得512m+=a（152m-=a舍去），所以51222ama a+=＝514+.故选C.7．（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A．2:1B．2:1C．1:2D．1:2【答案】C【解析】【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.【详解】根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l .若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有2cos45r l ︒=，l =. 该圆锥的底面积与侧面积比值为22r rl ππ故选：C.8．（北京·高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A ．8B ．C ．10D ．【答案】C【解析】【详解】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =，18A AB S =，110A AC S =，1A BC S =，所以四个面中面积最大的是10，故选C．二、多选题9．（2022·广东中山·高一期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（）A．每个面都是直角三角形的四面体；B．每个面都是等边三角形的四面体；C．每个面都是全等的直角三角形的四面体；D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．【答案】ABD【解析】【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确；对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确；对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误；对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确；故选：ABD．10．（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台D ．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面【答案】BD【解析】【分析】根据空间几何体的定义逐个分析判断即可【详解】根据空间几何体的定义，对于A ，如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误；对于B ，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于C ，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；对于D ，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确；故选：BD.11．（2021·福建省南安市侨光中学高一阶段练习）如图所示，E ，F 分别为正方体1111ABCD A B C D 的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的正投影可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】【分析】按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．【详解】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面11ABB A 、面11ADD A 上的射影．四边形1BFD E 在面ABCD 和面11ABB A 上的射影相同，如图B 所示；四边形1BFD E 在该正方体对角面的11ABC D 内，它在面11ADD A 上的射影显然是一条线段，如图C 所示． 故选：BC ．12．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥P ABC -的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，则（ ）A ．该棱锥各面都是直角三角形B ．直线AB 与PC 所成角为60︒C ．点P 到底面ABC 的距离为1D ．该棱锥的外接球的表面积为3π【答案】CD【解析】【分析】 根据三视图可知三棱锥几何特征，即可逐项分析.【详解】由三视图可知三棱锥P ABC -的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且1,2,3AB BC AC PA PC PB======，如图，其中PAC△为等边三角形，故A错误；由侧视图可知直线AB与PC所成角为45︒，故B错误；由正视图，侧视图可知点P到底面ABC的距离为1，故C正确；由条件可知三棱锥外接球的直径为PB，所以2432PBSππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故D正确.故选：CD三、填空题13．（上海·高考真题（理））若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．【答案】3π【解析】【详解】由题意得：1:(2)222rl h r l hππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π14．（2019·全国·高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 共26个面. 1.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==1． 15.（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ，同理得BD BF BD ∴==在ACE 中，1AC =，AE AD =30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =， 由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.16．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【解析】【分析】根据已知条件易得1D E =1D E ⊥侧面11B C CB ，可得侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 可得侧面11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E =111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =||EP =所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π=.. 四、解答题17．（2021·全国·高一课时练习）画出如图所示的三棱柱的三视图．【答案】作图见解析【解析】【分析】根据三棱柱画出三视图，标上对应的数据即可.【详解】三棱柱的三视图如图所示：18．（2022·全国·高二课时练习）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程.【答案】20cm【解析】【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为AC，利用勾股定理可求得结果.【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，则当昆虫的爬行路线为线段AC时，爬行的路程最短，圆柱体的底面周长为24cm，124122AD∴=⨯=；∴()20cm=.19．（2020·全国·高三专题练习（文））如图1，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.（1）根据图中所给的正视图､侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求P A.【答案】（1）俯视图答案见解析，其面积为36cm2；（2）.【解析】（1）由正视图和侧视图可判断俯视图为正方形多一条对角线；（2）PA可理解为正方体的体对角线，利用PA【详解】（1）该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2；俯视图（2）由侧视图可求得PD=，由正视图可知AD=6，且AD⊥PD，所以在Rt △APD 中，P A=.20．（2022·全国·高二课时练习）设圆锥的底面半径为1，母线与底面所成角为30°，过圆锥的任意两条母线作截面，求截面面积的最大值. 【答案】12【解析】【分析】利用面积公式可求截面面积的最大值.【详解】 因为母线与底面所成角为6π，故圆锥的轴与母线所成的角为3π， 故两条母线的夹角θ的范围为20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故截面面积为11111sin sin 222S θθ=⨯⨯⨯=≤， 当且仅当2πθ=时等号成立，故截面面积的最大值为12. 21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x ，y 的值． 【答案】32,310.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】根据长对正，高平齐，宽相等列方程组求解.【详解】由题意可知41064x y x y y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得323103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 22．（2022·全国·高二课时练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（Alberobello ），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收入世界文化遗产名录（图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （图2），C ，D 是母线SA 的两个三等分点（点D 靠近点A ），E 是母线SB 的中点．如从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度． 【答案】613m 【解析】【分析】将侧面沿母线SA 展开，A 点对于与A '，连接A C '，则A C '为最小长度，在A SC '△中由余弦定理计算可得.【详解】解：如图将侧面沿母线SA 展开，点A 对应于点A '，连接A C '，则A C '为最小长度．因为18SA =，12AB =，则12AA AB ππ'=⋅=．设ASA α'∠=，则1812απ=，所以23πα=．在A SC '△中，由余弦定理可得2222cos A C A S SC A S SC A SC ''''=+-⋅⋅∠， 即22221862186cos3A C π'=+-⨯⨯⨯，所以A C '= 即灯光带的最小长度为．。