第四章 第4讲 万有引力定律及其应用练案[13]
练案[13] 第4讲万有引力定律及其应用一、选择题(本题共10小题，1～7题为单选，8～10题为多选)1．(2023·河北邢台模拟预测)2022年2月27日11时06分我国在文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等22颗卫星发射升空。
卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星主要用于提供商业遥感信息、海洋环境监测、森林防火减灾等服务( A ) A．火箭的发射速度应该大于7.9 km/sB．火箭发射过程中卫星不受地球吸引力C．火箭发射的最初阶段卫星处于失重状态D．若卫星的轨道为圆形，卫星进入轨道后的运行线速度大于11.2 km/s[解析]7.9 km/s是第一宇宙速度，为发射卫星的最小速度，故A正确；火箭发射过程中卫星仍受地球吸引力，且随高度增大越来越小，故B错误；火箭发射的最初阶段，卫星在向上加速，处于超重状态，故C错误；若卫星的速度大于11.2 km/s，则会逃逸出地球的引力场，故D错误。
2．(2023·海南海口一中模拟预测)已知光在真空中的传播速度为c，从太阳发出后经过时间t到达地球，地球绕太阳视为匀速圆周运动，公转周期为T，万有引力常量为G，则估测太阳质量的表达式为( A )A．M＝4π2c3t3GT2 B.M＝4π2c2t2GT2C．M＝4π2c2t2GT D.M＝4π2c3t3GT3[解析]太阳到地球的距离r＝ct，根据G Mmr2＝m4π2T2r，解得太阳质量M＝4π2c3t3GT2。
故选A。
3．(2023·重庆高三模拟)2022年1月14日，南太平洋岛国汤加一座海底火山喷发，给人类带来巨大灾难。
有科学家认为地球的自转将因火山、地震、海啸等自然现象而缓慢变快。
如果地球自转变快，下列说法正确的是( D ) A．地球南、北两极的重力加速度变大B．地球南、北两极的重力加速度变小C ．地球同步卫星的高度将变大D ．地球同步卫星的高度将变小[解析]由G Mm R 2＝mg 得g ＝GM R 2可知，南、北两极的重力加速度与地球自转无关，A 错误，B 错误；设地球的自转周期为T 0，同步卫星应满足GMm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 02，地球自转加快时，T 0变小，则r 变小，C 错误，D 正确。
4．(2023·浙江模拟预测)2022年2月27日，我国使用长征八号火箭成功发射22颗卫星，创造了我国航天一箭多星发射的新纪录。
其中有一颗卫星在离地面约400 km 的圆轨道上飞行。
则该卫星( A )A ．运行的角速度大于地球自转角速度B ．线速度大于地球第一宇宙速度C ．向心加速度大于地面的重力加速度D ．每天有24次经过地球的影区[解析]该卫星运行轨道高度小于同步卫星轨道高度，而同步卫星运行角速度等于地球自转角速度，根据G Mm r 2＝mω2r ，该卫星角速度大于地球自转角速度，故A 正确；第一宇宙速度是最大的环绕速度，该卫星线速度小于地球第一宇宙速度，故B 错误；根据G Mm r 2＝ma ，距离地面越近，加速度越大，故C 错误；同步卫星轨道高度约为36 000 km ，地球半径约为6 400 km ，则同步卫星轨道半径约为42 400 km ，题中卫星轨道半径约为6 800 km ，根据开普勒第三定律r 3同T 2同＝r 3T 2，解得，该卫星周期为T ≈1.5 h ，n ＝T 同T ＝16，该卫星每天有16次经过地球的影区，故D 错误。
5．(2023·广东高三阶段练习)2022年1月20日，中国国家航天局发布了由环绕火星运行的天问一号探测器及其正在火星表面行走的祝融号火星车发送回来的一组包含探测器与火星合影新图像引起了西方媒体的广泛关注。
已知天问一号探测器绕火星运动的周期为T ，火星的半径为R ，“祝融号”火星车的质量为m ，在火星表面的重力大小为G 1，引力常量为G ，忽略火星的自转，则下列不正确的是( B )A ．火星表面的重力的加速度为G 1mB ．火星的质量为R 2G mG 1C ．火星的平均密度为3G 14πRGmD ．天问一号距火星地面的高度为3G 1R 2T 24π2m －R[解析]“祝融号”火星车的质量为m ，设火星表面的重力加速度为g 1，“祝融号”质量不变，在火星表面G 1＝mg 1，解得g 1＝G 1m ，选项A 正确；忽略火星的自转，设火星质量为M ，在火星表面上则有G Mm R 2＝mg 1，解得M ＝R 2G 1mG 。
选项B 错误；火星的平均密度为ρ＝M43πR 3＝3G 14πRGm ，选项C 正确；天问一号绕火星运动过程有G Mm 0(R ＋h )2＝m 0(R ＋h )4π2T 2，解得天问一号距地面的高度为h ＝3G 1R 2T 24π2m －R ，选项D 正确。
本题选不正确项，故选B 。
6．(2022·辽宁葫芦岛二模)“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)。
通过FAST 测量水星与太阳的视角θ(水星B 、太阳S 分别与地球A 的连线所夹的角)，如图所示。
若视角的正弦值最大为a ，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为( D )A.3a 2B.1a 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a 3D.a 3[解析]当视角最大时，地球和水星的连线恰好与水星的运动轨迹相切，设最大视角为θm ，根据几何关系有sin θm ＝r B r A ＝a ，又r 3A T 2A ＝r 3B T 2B ，解得T B T A＝a 3，选项D 正确，ABC 错误。
7．(2023·湖南高三模拟)宇航员驾驶宇宙飞船绕质量分布均匀的一星球做匀速圆周运动，测得飞船线速度大小的二次方与轨道半径的倒数的关系图像如图中实线所示，该图线(直线)的斜率为k ，图中r 0(该星球的半径)为已知量。
引力常量为G ，下列说法正确的是( C )A ．该星球的质量为G kB ．该星球自转的周期为r 20kC ．该星球表面的重力加速度大小为k r 20D ．该星球的第一宇宙速度为k r 30[解析]根据G Mm r 2＝m v 2r ，得到v 2＝GM ·1r ，可知斜率k ＝GM ，该星球的质量M ＝k G ，故A 错误；显然自转周期没有条件可以求解，故B 错误；由GM ＝gR 2，可得g ＝k r 20，故C 正确；由第一宇宙速度v ＝GM R ，可得v ＝k r 0，故D 错误。
8．(2022·湖南衡阳三模)科学家发现。
距离地球2 764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。
假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m 和M 的A 、B 两颗星体组成。
这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则( BD )A．因为OA>OB，所以m>MB．两恒星做圆周运动的周期为2πL3G(M＋m)C．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星A的周期缓慢增大D．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢减小[解析]设A、B两颗星体的轨道半径分别为r1、r2，双星之间的万有引力提供向心力，则有GmML2＝m4π2T2r1①，GmML2＝M4π2T2r2②，两式联立得mr1＝Mr2③，OA>OB，即r1>r2，所以有m<M，A错误；联立①②两式可得两颗星的周期为T ＝2πL3G(M＋m)，若m缓慢增大，其他量不变，由上式可知周期T变小，故B正确，C错误；由几何关系r1＋r2＝L，结合③式可得r1＝MM＋mL，若m缓慢增大，其他量不变，由上式可知A的轨道半径将缓慢减小，D正确。
9．(2023·海南海口一模)2022年11月下旬，“神舟十五号”发射升空并完成对接后，“天宫”空间站将呈现6舱盛况，包含“天和”核心舱、“问天”实验舱、“梦天”实验舱，“天舟五号”货运飞船、“神舟十四号”载人飞船、“神舟十五号”。
组合体总质量将达到97.4吨，呈现100吨级空间站的盛况！空间站离地面高度为400 km，则( AB )A．空间站的线速度小于7.9 km/sB．空间站的加速度小于地球表面的重力加速度C．空间站的线速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度D ．空间站的加速度小于地球赤道上物体随地球自转的加速度[解析]假定地球质量为M ，卫星轨道半径为r ，引力常数为G ，空间站质量为m ，则有G Mm r 2＝m v 2r ，则有v ＝GMr ，可知轨道半径越大，运行速度越小，而7.9 km/s 是轨道半径为地球半径时的速度，空间站的半径大于地球半径，则空间站的速度小于7.9 km/s ，故A 正确；依题意有G Mm r 2＝ma ，空间站的加速度为a ＝GM r 2。
因为地球表面的加速度为g ＝GM R 2，所以空间站的加速度小于地球表面的重力加速度，故B 正确；据前面分析，空间站的运行速度为v ＝GMr ，轨道半径越大，运行速度越小，因同步卫星的半径大于空间站的半径，则空间站的速度大于同步卫星的速度；根据v ＝ωr ，可知同步卫星的速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，所以空间站的线速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，故C 错误；据前面分析，空间站的运行加速度为a ＝GM r 2，轨道半径越大，加速度越小，可知空间站的加速度大于同步卫星的加速度，根据a ＝ω2r ，可知同步卫星的加速度大于地球赤道上物体随地球自转的加速度，则空间站的加速度大于地球赤道上物体随地球自转的加速度，故D 错误。
10．(2023·山东临沂高三模拟)2022年3月23日，中国空间站“天宫课堂”第二课开讲。
空间站轨道可简化为高度约400 km 的圆轨道，认为空间站绕地球做匀速圆周运动。
在400 km 的高空也有非常稀薄的气体，为了维持空间站长期在轨道上做圆周运动，需要连续补充能量。
下列说法中正确的是( BC )A ．如果不补充能量，系统的机械能将增大B ．如果不补充能量，空间站运行的角速度将变大C．空间站的运行速度小于第一宇宙速度D．空间站的运行速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间[解析]如果不补充能量，克服阻力做功，系统的机械能将减小，轨道半径减小，G Mmr2＝mrω2，角速度会变大，故A错误，B正确；第一宇宙速度是最大的卫星环绕速度，所以空间站的运行速度小于第一宇宙速度，故C正确，D错误。
二、非选择题11．(2023·江苏高三专题练习)举世瞩目的北京冬奥会成功举行，比赛实况通过在地球同步轨道的“中星9B卫星”向全球直播。
高考物理总复习 第四章 第4节 万有引力与航天练习(含解析)-人教版高三全册物理试题
第4节万有引力与航天1.(2018·河北张家口期末)第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折,牛顿在他们的研究根底上,得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律.如下说法中正确的答案是( D )A.开普勒通过研究、观测和记录发现行星绕太阳做匀速圆周运动B.太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星C.库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值D.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律解析:开普勒发现行星绕太阳沿椭圆轨道运动,选项A错误;万有引力定律适用于任何可看成质点的两物体之间,选项B错误;卡文迪许测量出了引力常量的数值,选项C错误;牛顿在发现万有引力定律的过程中认为太阳吸引行星,同样行星也吸引太阳,选项D正确.2.(2018·江苏卷,1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.今年5月9日发射的“高分五号〞轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号〞轨道高度约为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号〞相比,如下物理量中“高分五号〞较小的是( A ) A.周期 B.角速度C.线速度D.向心加速度解析:“高分五号〞的运动半径小于“高分四号〞的运动半径,即r五<r四,由万有引力提供向心力得=mr=mrω2=m=ma,如此T=∝,T五<T四,选项A正确;ω=∝,ω五>ω四,选项B错误;v=∝,v五>v四,选项C错误;a=∝,a五>a四,选项D错误.3.(2019·江苏扬州测试)(多项选择)2017年9月25日后,微信启动页面采用“风云四号〞卫星成像图.“风云四号〞是我国新一代静止轨道气象卫星,如此其在圆轨道上运行时( CD )A.可定位在赤道上空任意高度B.线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间C.角速度与地球自转角速度相等D.向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大解析:同步卫星只能在赤道上空,且高度保持不变,故A错误;第一宇宙速度为人造卫星的最大运行速度,气象卫星的线速度小于第一宇宙速度,故B错误;同步卫星的周期等于地球的自转周期,所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转的角速度相等,故C正确;同步卫星与月球都是万有引力提供向心力,由=ma可得a=,所以同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大,故D正确.4.(2019·陕西西安模拟)一些星球由于某种原因而发生收缩,假设该星球的直径缩小到原来的四分之一,假设收缩时质量不变,如此与收缩前相比( D )A.同一物体在星球外表受到的重力增大到原来的4倍B.同一物体在星球外表受到的重力增大到原来的2倍C.星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍D.星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍解析:当直径缩小到原来的四分之一时,半径也同样缩小到原来的四分之一,重力加速度g=增大到原来的16倍,第一宇宙速度v=增大到原来的2倍.5.(2019·重庆巴蜀中学月考)“嫦娥五号〞卫星预计由长征五号运载火箭发射升空,自动完成月面样品采集,并从月球起飞,返回地球.这次任务的完成将标志着我国探月工程“三步走〞顺利收官.引力常量为G,关于“嫦娥五号〞的运动,以下说法正确的答案是( B )A.“嫦娥五号〞的发射速度小于同步卫星的发射速度B.假设“嫦娥五号〞在月球外表附近做匀速圆周运动的周期,如此可求出月球的密度C.“嫦娥五号〞的发射速度必须大于11.2 km/sD.“嫦娥五号〞在月球外表附近做匀速圆周运动的线速度大小为7.9 km/s解析:“嫦娥五号〞的运行轨道高度大于同步卫星的运行轨道高度,故“嫦娥五号〞的发射速度大于同步卫星的发射速度,故A错误;由G=m()2r和M=πR3ρ可得ρ=()3,当在月球外表时,r=R,只需知道周期T,就可以求出月球的密度,故B正确;“嫦娥五号〞的发射速度小于11.2 km/s,故C错误;“嫦娥五号〞在月球外表附近绕月球做匀速圆周运动的线速度v=,g和R均比地球的要小,故v<7.9 km/s,故D错误.6.(2019·安徽六校教育研究会第一次联考)地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆),如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,如此地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( B )A. B.C. D.解析:根据开普勒第三定律有==k,天体公转的角速度ω=,一定时间内扫过的面积S==,所以扫过的面积速率之比等于单位时间内的面积比,代入角速度可得面积速率之比为.7.(2019·江苏连云港模拟)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说,它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化,某同学根据的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如下列图图像,如此可求得地球质量为(引力常量为G)( A )A. B.C. D.解析:由=m r可得=,结合图线可得,=,故M=.8.(2019·河北石家庄质检)(多项选择)如下列图为某飞船从轨道Ⅰ经两次变轨绕火星飞行的轨迹图,其中轨道Ⅱ为圆轨道,轨道Ⅲ为椭圆轨道,三个轨道相切于P点,P,Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点,S是轨道Ⅱ上的点,P,Q,S三点与火星中心在同一直线上,且PQ=2QS,如下说法正确的答案是( AC )A.飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要减速B.飞船在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是飞船在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间的1.5倍C.飞船在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等D.飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小小于在轨道Ⅲ上P点的速度大小解析:飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要做减速运动,选项A正确;因为PQ=2QS,所以飞船在轨道Ⅱ上运行的轨道半径R2==1.5QS,飞船在轨道Ⅲ上运动轨迹的半长轴R3==QS,由开普勒第三定律=k知,==1.84,选项B错误;由牛顿第二定律知G=ma,解得a=,由于飞船在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点到火星中心的距离相等,故飞船在两点的加速度大小相等,选项C正确;飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小等于在轨道Ⅱ上P点的速度大小,飞船在P点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需要减速运动,故飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小大于在轨道Ⅲ上P点的速度大小,选项D错误.9.(2019·安徽合肥测试)宇航员在月球外表上做自由落体实验,将铁球由距月球外表高h处静止释放,经时间t落在月球外表.引力常量为G,月球的半径为R.求:(1)月球外表的重力加速度g.(2)月球的质量M.(3)月球的“第一宇宙速度〞的大小v.解析:(1)由自由落体运动的规律可知h=gt2解得月球外表重力加速度g=.(2)在月球外表,万有引力近似与重力相等G=mg得月球的质量M=(3)万有引力提供向心力,即G=m解得v=.答案:(1)(2)(3)10.(2018·山东泰安一模)由中国科学家设计的空间引力波探测工程“天琴计划〞,采用三颗全同的卫星(SC1,SC2,SC3)构成一个边长约为地球半径27倍的等边三角形,阵列如下列图.地球恰好处于三角形中心,卫星在以地球为中心的圆轨道上运行,对一个周期仅有 5.4分钟的超紧凑双白星(RXJ0806.3+1527)产生的引力波进展探测.假设贴近地球外表的卫星运行速率为v0,如此三颗全同卫星的运行速率最接近( B )v0000解析:由几何关系可知,等边三角形的几何中心到各顶点的距离等于边长的,所以卫星的轨道半径r与地球半径R的关系为r=27×R=9R;根据v=可得=≈0.25,如此v同=0.25v0,故B正确.11.(2019·吉林第二次调研)(多项选择)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星,它运行时能到达南、北极地区的上空,需要在全球范围内进展观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道.如下列图,假设某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟,如此( AB )A.该卫星的运行速度大小一定小于7.9 km/sB.该卫星的轨道半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶4C.该卫星的加速度大小与同步卫星的加速度大小之比为2∶1D.该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能解析:由题意可知,卫星的周期 T=×45 min=180 min=3 h;由于卫星的轨道半径大于地球的半径,如此卫星的线速度小于第一宇宙速度,即卫星的线速度大小小于7.9 km/s,选项A正确;由万有引力提供向心力得G=m()2r,解得r=,该卫星的轨道半径与同步卫星的轨道半径之比===,选项B正确;由牛顿第二定律得G=ma,解得a=,该卫星的加速度大小与同步卫星的加速度大小之比==2=,选项C错误;由于不知该卫星与同步卫星的质量关系,故无法比拟其机械能大小,选项D错误.12.(2019·河北邯郸质检)2017年10月中国科学院国家天文台宣布FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星,其中一颗的自转周期为T(实际测量为1.83 s,距离地球1.6万光年).假设该星球恰好能维持自转不瓦解,令该星球的密度ρ与自转周期T的相关量为q星,同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍,地球的密度ρ0与自转周期T0的相关量为q 地,如此( A )A.q地=q星B.q地=q星C.q地=q星D.q地=7q星解析:星球恰好能维持自转不瓦解,对该星球赤道外表的物体m有=m R,密度ρ=,可得q星==,同理对地球同步卫星有=m0··7R0,ρ0=,可得q地==,所以q地=q星.13.(2019·某某南宁二中月考)石墨烯是近年发现的一种新材料,其超高强度与超强导电、导热等非凡的物理性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化.科学家们设想,用石墨烯制作超级缆绳,搭建“太空电梯〞,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换.地球的半径为R,自转周期为T,地球外表重力加速度为g,如下说法正确的答案是( B )A.“太空电梯〞上各点的角速度不一样B.乘“太空电梯〞匀速上升时乘客对电梯仓内地板的压力逐渐减小C.当电梯仓停在距地面高度为处时,仓内质量为m的乘客对电梯仓内地板的压力为零D.“太空电梯〞的长度L=解析:“太空电梯〞上各点在相等的时间内转过的角度相等,故角速度一样,A错误.由牛顿第二定律有G-F N=mω2r,随着r的增大,F N逐渐减小,由牛顿第三定律可知B正确.当电梯仓停在距地面高度为处时,有G-F N=G-F N=mω2(+R),F N一定不等于零,由牛顿第三定律可知C错误.“太空电梯〞的长度为同步卫星到地面的距离,由万有引力提供向心力得G=m r,由r=R+L,GM=gR2(黄金代换),得L=-R,D错误.14.(2018·湖南衡阳一模)(多项选择)据报道,一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动,如下列图,假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食〞另一颗体积较大星体的外表物质,导致质量发生转移,在演变过程中两者球心之间的距离保持不变,双星平均密度可视为一样.如此在最初演变的过程中( BC )A.它们间万有引力大小保持不变B.它们做圆周运动的角速度不变C.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变大,线速度变大D.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变小,线速度变大解析:设体积较小的星体质量为m1,轨道半径为r1,体积较大的星体质量为m2,轨道半径为r2,双星间的距离为L,转移的质量为Δm.如此它们之间的万有引力为F=G,根据数学知识得知,随着Δm的增大,F先增大后减小,故A错误.对m1星体有G=(m1+Δm)ω2r1,对m2星体有G=(m2-Δm)ω2r2,得ω=,总质量m1+m2不变,两者距离L不变,如此角速度ω不变,故B正确.ω2r2=,由于ω,L,m1均不变,当Δm增大时,如此r2增大,即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大;又由v=ωr2可知线速度v也增大,故C正确,D错误.15.(多项选择)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日〞.据报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日;4月9日火星冲日;5月11日土星冲日;8月29日海王星冲日;10月8日天王星冲日.地球与各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示,如此如下判断正确的答案是( BD )地球火星木星土星天王星海王星轨道半径1.0 1.5 5.2 9.5 19 30(AU)A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析:金星运动轨道半径小于地球运动轨道半径,运行周期小于地球,因此可能发生凌日现象而不会发生冲日现象,选项A错误;地球周期T地=1年,如此ω地=,同理得T木=年,如此ω木=,木星于2014年1月6日冲日,如此(ω地-ω木)·t=2π,解得t=年≈1年,明确2015年内一定会出现木星冲日现象,B选项正确;根据开普勒第三定律,天王星周期年,远大于地球周期,说明天王星相邻两次冲日间隔近似一年,同理土星周期为年,也会出现类似情况,故C错误;周期越长,相邻两次冲日间隔越接近一年,D项正确.。
万有引力定律的应用练习题含答案及解析
万有引力定律的应用练习题含答案及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，行星半径为求：(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g；(3)行星的第一宇宙速度v．【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出:(3)在行星表面求出:【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．2．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m的物体P置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
若在另一星球N上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q在弹簧上端点由静止释放，物体Q的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中虚线所示。
两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N半径为地球半径的3倍。
忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。
求：(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比； (2)地球和星球N 的质量比；(3)在星球N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。
【答案】(1)2:1(2)2:9(3)0032v a x = 【解析】 【详解】（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g 1=a 0 星球N 表面处的重力加速度为 g 2=00.5a 则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2∶1 （2）在星球表面，有2GMmmg R = 其中，M 表示星球的质量，g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。
则M =2gR G因此，地球和星球N 的质量比为2∶9（3）设物体Q 的质量为m 2，弹簧的劲度系数为k 物体的加速度为0时，对物体P ：mg 1=k·x 0对物体Q ：m 2g 2=k ·3x 0联立解得：m 2=6m在地球上，物体P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为E p ，整个上升过程中，弹簧和物体P 组成的系统机械能守恒。
第4讲 万有引力定律与航天
6.4×106
m/s
＝7.9×103 m/s。 方法二：由 mg＝mvR21得
v1＝ gR＝ 9.8×6.4×106 m/s＝7.9× 103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速
度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π Rg＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤ v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线
上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的 乘积成正比、与它们之间 距离 r 的 二次方 成反比。
2．表达式：F＝Gmr1m2 2，G 为引力常量，其值为 G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
3．适用条件：(1)公式适用于 质点 间的相互作用。当两个物体
解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可
得 GMr2m＝mvr2，解得线速度 v＝
GrM，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大
于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项 B 错
误；由万有引力提供向心力，可得 GMr2m＝mr2Tπ2，解得周期 T＝2π GrM3 ，所
答案：D
对点清
1. 四个分析 “四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半
径的关系。
GMr2m＝mmmωvar→22→r→av＝ω＝G＝rM2
高考物理大一轮复习 第4章 第4讲 万有引力与航天精练(含解析)-人教版高三全册物理试题
第4讲 万有引力与航天◎根底巩固练1．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的19，设月球绕地球运动的周期为27天，如此此卫星的运转周期大约是( )A.19天B.13天 C ．1天D ．9天解析： 由于r 卫＝19r 月，T 月＝27天，由开普勒第三定律可得r 3卫T 2卫＝r 3月T 2月，如此T 卫＝1天，故C 正确。
答案： C 2.如下列图是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，如下说法正确的答案是( )A ．线速度v A <vB <vC B ．万有引力F A >F B >F C C ．角速度：ωA >ωB >ωCD ．向心加速度a A <a B <a C解析： 因为卫星的质量大小关系不知，所以卫星的万有引力大小关系无法判断，B 错误；卫星绕地球做圆周运动，有G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝ma 向，得v ＝GMr ，ω＝GM r 3，a 向＝GMr2，由于r A <r B <r C ，如此v A >v B >v C ，ωA >ωB >ωC ，a A >a B >a C ，故A 、D 错误，C 正确。
答案： C3．(多项选择)美国宇航局发射的“好奇号〞火星车发回的照片显示，火星外表曾经有水流过，使这颗星球在人们的心目中更具吸引力。
火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12。
如下关于人类发射的关于火星探测器的说法正确的答案是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23解析： 根据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；M 火＝M 地9，R火＝R 地2，如此v 火v 地＝GM 火R 火∶GM 地R 地＝23，选项D 正确。
20高考物理：第4章 第4讲 万有引力定律及其应用
2019年4月27日
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考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造
卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
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[解析] 在两极处万有引力等于重力，则有 mg0＝GMRm2 ，由此可得地球质量 M＝g0GR2；在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得
g0R2 GMRm2 －mg＝m4Tπ22R，而密度公式 ρ＝MV ，则 ρ＝43πGR3＝GT23πgg0－0 g，故 B 正确，A、
• C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
• D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的 万有引力大小是相同的
• [解析] 牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数 值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了 自然界一种基本相互作用的规律，A、B错误C正确；地球绕太阳在 椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不 相同的，D错误。
(2)对于圆轨道，公式Ta32＝k 中的 a 是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引 力等于向心力；
(3)公式Ta32＝k 中的 k 是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无 关。
2019年4月27日
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知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积 成正比，跟它们距离的平方成反比。
高中物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题及解析
高中物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt；(3)2【解析】 【详解】(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =月月球表面的重力加速度大小02v g t=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有2=MmGmg R 月 月球的质量202R v M Gt=(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期2T π=2．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ．卫星B 沿半径为r （r <h ）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：（1）卫星B 做圆周运动的周期；（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．【答案】（1）3/2()r T h （2）3/23/23/2π()r h r -(arcsin R h+arcsin Rr )T 【解析】试题分析：（1）设卫星B 绕地心转动的周期为T′，地球质量为M ，卫星A 、B 的质量分别为m 、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：2Mm G h ＝mh 224T π① 2Mm G r '＝m′r 224T π'② 联立①②两式解得：T′＝3/2()rT h③（2）设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t ，在时间间隔t 内，卫星A 和B 绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝t T ×2π，β＝tT '×2π ④ 若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsinR h＋arcsin Rr ） ⑤由③式知，当r ＜h 时，卫星B 比卫星A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥由③④⑤⑥式联立解得：t ＝3/23/23/2()r h r π-（arcsin R h＋arcsin R r ）T 考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．3．为了测量某行星的质量和半径,宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,登陆舱在行星表面着陆后,用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码,读数为F. 已知引力常量为G.求该行星的半径R 和质量M 。
高考物理 专题四 万有引力定律及其应用【高考复习课件】
A．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的 角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后 沿圆轨道运动的加速度
答案：BC
解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以 A 不正 确；飞船在圆轨道上时的万有引力提供向心力，航天员出舱前 后都处于失重状态，B 正确；飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步卫星运动的周期 24 小时，根据 T＝2ωπ可知，飞船
易错点：人造卫星变轨问题
【例 1】一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作
用则将会出现( B )
A．速度变小
B．动能增大
C．角速度变小
D．半径变大
错解分析：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做 功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由卫星速度 v ＝ GrM可知，v 减小则半径 r 必增大，又因 ω＝vr，故 ω 变小， 可见应该选 A、C、D.
r＝R，由于 ρ＝4πMR3，结合 A 中分析结果得：ρT2＝3Gπ，可见 D 3
不能够估算；地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的 引力，由 mg＝GMRm2 得：M＝RG2g，可见 B 能够估算．
2．(单选)(2011 年肇庆检测)“嫦娥二号”卫星于 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒在西昌卫星发射中心发射升空，“嫦娥 二号”卫星在距月球表面约 100 km 高度的轨道上绕月运行，较 “嫦娥一号”距月表 200 km 的轨道要低，若把这两颗卫星的运 行都看成是绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是( B )
速度、向心加速度是矢量．选项 D 正确． 4．在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．
第四章第4讲万有引力定律及其应用
［课时作业］单独成册方便使用A. 1-dB.1+R、单项选择题［基础题组］ 1.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运 动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的 不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为（已知引力常量为G ）（） 2 2 "4 na 4 nb A.~Gb B.~GaGb D.^na2 3解析：由9罟—m4n^可得令一罗学，结合题图图线可得, a b — 4 n ，故M -嚳, A 正确. 答案：A 2.长期以来“卡戎星（Charon ）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半 19 600 km,公转周期T i = 6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小 卫星，其中一颗的公转轨道半径 「2= 48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于 A. 15 天 B. 25 天 D. 45 天 3 3解析：由开普勒第三定律T 2xr 3有井—卷2,代入数据解得T 2最接近于25天，本 C. 35天 题只有选项B 正确. 答案：B 3.假设地球是一半径为 R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比R— d2 C. (~~^)R 2 D. (R—d)解析：设位于矿井底部的小物体的质量为 m,则地球对它的引力为半径为（R— d）的部分“地球”对它的引力，地球的其他部分对它的引力为零，有普；对位于地球表面的物体m有m g=譽，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得晋=~^—丄，由以上三式可得g厂1—R,选项A正确.答案：A4•有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（忽略其自转影响）（）A.4B. 4倍C. 16 倍9g3解析：天体表面的重力加速度 g= GM"，又知尸MV=4^3，所以 M = 16 n P G3,答案：D5. （2018山东高密模拟）据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星•假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍•那么，一个在地球表面能举起 64 kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少（地球表面重力加速度g= 10 m/s2）（）A. 40 kgB. 50 kgC. 60 kgD. 30 kg解析：根据万有引力等于重力G MR T = mg得g=罟，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量、「m0 64 ―为 m= 16= 16 kg = 40 kg，故 A 正确.答案：A 二、多项选择题 6. （2016高考海南卷）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量.假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量.这两个物理量可以是（）A.卫星的速度和角速度B.卫星的质量和轨道半径C.卫星的质量和角速度D.卫星的运行周期和轨道半径解析：根据线速度和角速度可以求出半径 r = Y，根据万有引力提供向心力，则3Mm v2v3有G^r^ = m—，整理可得M = G3，故选项A正确；由于卫星的质量 m可约掉,故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则G^Mm = 口（帑2「，整理得M =攀，故选项D正确.答案：AD 7•宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地.若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.已知该星球的半径与地球半径之比为 R星：R地=1 : 4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g'，空气阻力不计.则（）A.g'： g= 1 : 5B.g’： g = 5 : 2C.M 星：M 地=1 : 20D.M 星：M 地=1 : 80解析：由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t=警，因此得5g g 5t1 M m g R2M星g' R ii 1 1 c 15, A正确，B错误；由二mg得M二g R，因而仏二-g R^二尹（4）= 8），C错误，D正确.答案：AD8.如图所示，两星球相距为I ，质量之比为m A : m B = 1 : 9，两星 片 球半径远小于I .沿A 、B 连线从星球A 向B 以某一初速度发射一 探测器，只考虑星球A 、B 对探测器的作用.下列说法正确的是（ ）A .探测器的速度一直减小B. 探测器在距星球A 为4处加速度为零C.若探测器能到达星球B,其速度可能恰好为零D.若探测器能到达星球B,其速度一定大于发射时的初速度 解析：设探测器距星球A 的距离为x 时，两星球对探测器的引力相等，即 =G 卫笔，解得x=4I ，根据牛顿第二定律可得，此时探测器的加速度为零，选I — x 4项B 正确；探测器从A 向B 运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测 器先减速后加速，故选项 A 错误；探测器到达星球 B 的过程中，因为A 的质量 小于B 的质量，从A 到B 万有引力的合力做正功，贝劇能增加，所以探测器到 达星球B 的速度一定大于发射时的初速度，故选项 C 错误，选项D 正确. 答案：BD［能力题组］、选择题 9.如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨 道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动， 发现每经过 时间t 通过的弧长为I ，该弧长对应的圆心角为0弧度.已知万有引力常量为G,则月球的质量是（ ） I 2 0 A.Gft B .GI 2t 严I 3 丄 CGB 2D©3ftO_m A m Gm?"t 通过的弧长为I ，故卫星的线速度为V =角速度为3R=3 = n 则根据万有引力定律及牛顿第二定律得：答案：C10.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处， 以相同的速 率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 : {7.已知该行星质量约为 地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为（ ）B.7RD粤R解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 x = v o t ，在竖直方向上做自由 落体运动，即h= ^gt 2，所以 X i/ ，两种情况下，抛出的速度相同，高度M 行g 行7MmGM g 行 R 行 i相同，所以—=7，根据公式GMRm = mg 可得g = G M"，故—= =7，解得R 行g 地 4 R Rg 地 M 地 4R 地=2R,故C 正确.答案：C 11.为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T;登陆舱在行星表面着陆后，宇航员又用弹簧测力计称量一质量为 m的砝码，读数为F.已知引力常量为G.则下列选项错误的是（ ）F^44nFT 2m解析：因为每经过时间n f ，卫星的运行半径为 mF ，则月球的质量 M =兽=，选项C 正确. A.2R C. 2RA .该行星的质量为 B.该行星的半径为C.该行星的密度为 3 nGT 2D.该行星的第一宇宙速度为222 nm4 2FT 2M m 4 T t解析：据 F = mg o = m 斤^R,得 R= 4 <m , B 选项符合题意；由 G R ^ = my z R,4 2R 3 FT ? 卩3丁4 M 3 得M 二"GT 厂，又R 二话，则M 二16岔m 3, A 不符合题意；密度 尸M 二G 寺, C 不符合题意；第一宇宙速度v={g 0R=^nm ，D 不符合题意•故选B.答案：B 12.（多选）某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据 （用字母表示）：地 球半径R ，地球质量m,日地中心距离r,地球的近地卫星绕地球运行的周期 T i ,地球的同步卫星绕地球运行的周期 T o ,地球绕太阳运行的周期「由此可知（ ）r 3T 12mA •太阳质量为r RT mR 3T 2mB.太阳质量为C.地球同步卫星离地面的高度为 （普2—i ）RD. 地球同步卫星离地面的高度为（華1）Rmm， 4 2 3丁2R 3G R 2 = m’ T /R,得M = ；3；丁, A 正确，B 错误；由开普勒第三定律有 讦二T O2 ,可得地球同步卫星离地面的高度为 h=（ —1）R, C 正确，D 错误.答案：AC 、非选择题13. 一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长 的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定在 0点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕0点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示.F i 、F 2已知，引力常量为G,忽略各种阻力•求:解析：设太阳质量为M ,由万有引力提供向心力有24 n 亠…4+十亠 = m斤2r,在地球表面有Qn(1)星球表面的重力加速度；⑵星球的密度.解析：(1)最高点绳对小球的拉力小于最低点绳对小球的拉力，从乙图可得最低点绳的拉力为F1,最高点绳的拉力为F2.设小球在最低点的速度为V1，最高点的速度为V2,绳长为L.根据牛顿第二定律和向心力公式得曰血上 L mv11 2最低点：F1 — mg=~L~亠_ mv孑最咼点：F2+ mg=—厂从最低点到最高点，只有重力对小球做功，根据机械能守恒定律得 2mgL= 2mv i2—F1 — F2由以上三式得g= 6m .(2)在星球表面处有 mg= ¥弊，则M = 譽.密度尸号，而V= 垮，所以密度p3g F1— F2=4G7R将⑴中g代入得=8 7GRm- 答案：⑴晋⑵8nRm14.(2018 山西省实验中学月考)土星拥有许多卫星，至目前为止所发现的卫星数已经有30多个•土卫一是土星8个大的、形状规则的卫星中最小且最靠近土星的一个，直径为392千米，与土星平均距离约1.8X105千米，公转周期为23小时，正好是土卫三公转周期的一半，这两个卫星的轨道近似于圆形•已知引力常量为G = 6.67X 10—11 N m2/kg2，求：1 土卫三的轨道半径(已知却2= 1.26,结果保留两位有效数字);2 土星的质量(结果保留一位有效数字).答案：(1)2.9X 105km (2)5X 1026kgR 3解析：（1）根据开普勒第三定律 亍=k,可知土卫一的轨道半径r i 、周期T i 与土卫三的轨道半径「2、周期T 2满足寻=牟，所以R 2^^T 2R 1 =（32）2X 1.8X 105km=2.9X 105km.Mm 4 n4 nR 3GpF = mR 1Td ，可得土星质量 M = GT 12266.67X 10- 11X 23X 3 600 2旳一5X 10如（2）根据土卫一绕土星运动有 4X 3.142X 1.8X 108 3。
2020年度高考物理一轮复习 第四章 第4讲 万有引力定律及其应用学案
第4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律的内容、公式自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律. 二、万有引力定律 1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比.2.表达式F ＝G m 1m 2r2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.4.天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.(2)基本公式：G Mmr2＝ma＝⎩⎪⎨⎪⎧mv2r→vmrω2→ωmr⎝⎛⎭⎪⎫2πT2→Tmvω自测2我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km，“神舟八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案 B解析航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr⎝⎛⎭⎪⎫2πT2＝ma，解得v＝GMr，T＝4π2r3GM，ω＝GMr3，a＝GMr2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确.三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度.(4)第一宇宙速度的计算方法.由GMmR2＝mv2R得v由mg＝mv2R得v2.第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km/s.3.第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s.自测3 教材P48第3题 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？ 答案 8.9 m/s 27.3 km/s解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg ＝GMm R 2故g 金g 地＝M 金M 地·(R 地R 金)2金星表面的自由落体加速度g 金＝g 地×0.82×(10.95)2m/s 2≈8.9 m/s 2由万有引力充当向心力知GMm R 2＝mv 2R得v ＝GMR所以v 金v 地＝M 金M 地·R 地R 金＝0.82×10.95≈0.93v 金＝0.93×7.9km/s≈7.3 km/s.命题点一 开普勒三定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3.开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )图1A.从P 到M 所用的时间等于T 04B.从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C.从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D.从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为12T 0，根据开普勒第二定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于14T 0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确.变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D 错误.变式2 (多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )图2A.T 卫<T 月B.T 卫>T 月C.T 卫<T 地D.T 卫＝T 地 答案 AC解析 设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r 卫、r 同和r 月，因r 月>r 同>r 卫，由开普勒第三定律r 3T2＝k ，可知，T 月>T 同>T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T 地，故有T 月>T 地>T 卫，选项A 、C 正确.变式3 如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是( )图3A.卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度B.卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度C.卫星由A 运动到B 过程中动能减小，势能增加D.卫星由A 运动到B 过程中引力做正功，机械能增大 答案 B解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝θt知，卫星在A 点的角速度小于B 点的角速度，选项A 错误；设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，卫星的轨道半径为r ，由万有引力定律得G mMr2＝ma ，解得a ＝GM r2，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度，选项B 正确；卫星由A 运动到B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C 错误；卫星由A 运动到B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D 错误. 命题点二 万有引力定律的理解1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向.(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋m ω2R . (2)在两极上：G Mm R2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G Mm R2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和.越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg . 2.星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmMR ＋h2，得g ′＝GMR ＋h2.所以g g ′＝R ＋h 2R 2.3.万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力. ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.(2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝GM ′mr 2. 例2 如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )图4A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大 答案 D解析 设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r ，则物体m 所受的万有引力F ＝G ·ρ·43πr 3·mr 2＝43πG ρmr ，此处的重力加速度a ＝F m ＝43πG ρr ，故选项D 正确. 例3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二.若地球半径为R ，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )A.R －d R ＋hB.R －d2R ＋h2C.R －dR ＋h2R3D.R －dR ＋hR2答案 C解析令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G MR2 .由于地球的质量为：M＝ρ·43πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝GMR2＝G·ρ43πR3R2＝43πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝43πGρ(R－d)，所以有g′g＝R－dR.根据万有引力提供向心力GMmR＋h2＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝GMR＋h2，所以ag＝R 2R＋h2，g′a＝R－d R＋h2R3，故C正确，A、B、D错误.变式4“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A.0B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2答案 B命题点三天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法例4 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πg 0－g GT 2g 0 B.3πg 0GT2g 0－g C.3πGT 2D.3πg 0GT 2g答案 B解析 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G Mm R 2，又M ＝43πR 3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2g 0－g，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误.变式5 观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G ，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( )图5A.2πl 3G θt 2B.l 3G θt 2C.l 3θGt 2D.lG θt 2答案 B解析 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为：v ＝l t，角速度为ω＝θt；根据线速度和角速度的关系式：v ＝ωr ，可得其轨道半径r ＝v ω＝lθ；“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，GMm r 2＝m ωv ，解得M ＝l 3G θt 2，故选B.变式6 据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( )A.3πGT 2B.π3T 2C.3πb aGT 2D.3πabGT 2答案 C解析 万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：G M 地m R 2＝m 4π2RT2，且ρ地＝3M 地4πR3，联立得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a，因而ρ星＝3πbaGT2.命题点四 卫星运行参量的分析例5 (多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380km 的圆轨道上飞行，则其( )A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度 答案 BCD解析 根据万有引力提供向心力得，GMmR ＋h2＝m (R ＋h )ω2＝mv 2R ＋h＝m (R ＋h )4π2T 2＝ma ，解得，v ＝GMR ＋h ，ω＝GM R ＋h3，T ＝4π2R ＋h3GM，a ＝GM R ＋h2，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A 错误，C 正确；由第一宇宙速度为GMR 可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B 正确；由地面的重力加速度g ＝GM R2可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D 正确.变式7 (2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( ) A.周期变大 B.速率变大 C.动能变大 D.向心加速度变大答案 C变式8 (2017·河北石家庄二模)2016年10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功，如图6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T ，已知地球半径为R ，对接体距地面的高度为kR ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，下列说法正确的是( )图6A.对接后，飞船的线速度大小为2πkRTB.对接后，飞船的加速度大小为g＋k2C.地球的密度为3π＋k2GT 2D.对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接 答案 B解析 对接前，飞船通过自身加速使轨道半径变大从而靠近天宫二号实现对接，D 错误.对接后，飞船的轨道半径为kR ＋R ，线速度大小v ＝2πk ＋RT，A 错误.由GMm k ＋2R2＝ma及GM ＝gR 2得a ＝g＋k 2，B 正确.由GMm k ＋2R2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2(k ＋1)R 及M ＝ρ·43πR 3得地球的密度ρ＝3π＋k3GT 2，C 错误.1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( ) A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值 答案 D2.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案 B解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A 错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，B 正确；根据万有引力提供向心力，列出等式GMmR ＋h2＝m4π2T 2(R ＋h )，其中R 为地球半径，h 为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T 为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h 也为一定值，故C 错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，故D 错误.3.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T ，万有引力常量为G ，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是( )A.4πGT 2B.3πGT 2C.2πGT 2D.πGT2答案 B解析 根据万有引力提供向心力有：G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，根据密度公式有：ρ＝M43πR3，联立可得密度为3πGT2，B 正确.4.(2018·河南洛阳模拟)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( ) A.1232⎛⎫⎪⎝⎭ B.2332⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3232⎛⎫ ⎪⎝⎭D.⎝ ⎛⎭⎪⎫322答案 C解析 开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的运动关系，当轨道为圆轨道时，公式中的a 为半径r ，则有r 同3T 同2＝r 中3T 中2，得T 同T 中＝3232⎛⎫ ⎪⎝⎭.5.(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23答案 CD解析 根据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，则v 火v 地＝GM 火R 火∶GM 地R 地＝23，选项D 正确. 6.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110B.1C.5D.10 答案 B解析 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r3GT 2，所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒M 太＝r 行3T 地2r 地3T 行2＝(120)3×(3654)2≈1，故选项B 正确.7.(2018·广东中山质检)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19600km ，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r 2＝48000km ，则它的公转周期T 2最接近于( ) A.15天B.25天C.35天D.45天 答案 B解析 根据开普勒第三定律得r 31T 21＝r 32T 22，所以T 2＝r 32r 31T 1≈25天，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误.8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，运动周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，下列说法中正确的是( )A.卫星的线速度大小为v ＝2πRTB.地球的质量为M ＝4π2R3GT2C.地球的平均密度为ρ＝3πGT2D.地球表面重力加速度大小为g ＝4π2r3T 2R2答案 D9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )图1A.2042年B.2052年C.2062年D.2072年答案 C解析 根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，可得r 彗3T 彗2＝r 地3T 地2，且r 彗＝18r 地，得T 彗＝542T 地，又T 地＝1年，所以T 彗＝542年≈76年，故选C.10.(2017·北京理综·17)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 答案 D解析 不考虑地球的自转，地球表面物体受到的万有引力等于重力，即GM 地m R 2＝mg ，得M 地＝gR 2G ，所以根据A 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 地m 卫R 2＝m 卫v 2R 和T ＝2πR v ，得M 地＝v 3T2πG，所以根据B 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 地m 月r 2＝m 月4π2T 2r ，得M 地＝4π2r3GT 2，所以根据C 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 太m 地r 2＝m 地4π2T 2r ，得M 太＝4π2r3GT 2，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D.11.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图2所示.一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示，则选项所示的四个F 随x 变化的关系图中正确的是( )图2答案 A解析 因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x 处(x ≤R )物体所受的引力为F ＝GM 1mx 2＝G ·43πx 3ρ·mx 2＝43G πρmx ∝x ，故F －x 图线是过原点的直线；当x >R 时，F ＝GMmx2＝G ·43πR 3ρ·mx 2＝4G πρmR 33x 2∝1x2，故选项A 正确. 12.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为R .若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为k ，则矿井的深度为( ) A.(1－k )R B.kR C.⎝⎛⎭⎪⎫1－1k R D.kR 答案 A解析 设地球的平均密度为ρ，地表处的重力加速度为g ＝GM R2＝G ρ43πR 3R2＝43πG ρR ；设矿井深h ，则矿井底部的重力加速度g ′＝43πG ρ(R －h )，g ′∶g ＝k ，联立得h ＝(1－k )R ，选项A 正确.13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入. (1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h 的某处以速度v 0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x .已知月球半径为R 月，引力常量为G ，试求出月球的质量M 月.答案 (1)3gR 2T 24π2 (2)2hv 02R 月2Gx2解析 (1)设地球质量为M ，根据万有引力定律及向心力公式得GMM 月r 2＝M 月(2πT )2r ，G MmR2＝mg 联立解得r ＝3gR 2T 24π2(2)设月球表面处的重力加速度为g 月，小球飞行时间为t ，根据题意得x ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2GM 月m ′R 月2＝m ′g 月 联立解得M 月＝2hv 02R 月2Gx2.。
高中物理 第四章 第四课时万有引力定律及应用解析
第四课时万有引力定律及应用第一关：基础关展望高考基础知识一、万有引力定律知识讲解1.内容:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们距离的二次方成反比.2.公式式中r表示两质点间的距离,m1\,m2表示两质点的质量,G表示引力常量,×10-11 N\5m2/kg2.3.适用条件①万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算.②对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式,如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看做质点;均匀球体可视为质量集中于球心的质点.③当研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力.例如将物体放在地球的球心时,由于物体各方面受到相互对称的万有引力,故合外力为零.活学活用1.如图所示，两球的半径分别是r1和r2,而球的质量分布均匀，大小分别是m1和m2，则两球间的万有引力大小为()解析:万有引力定律中，两个物体间的距离r,对于相距很远可以看成质点的物体是两个质点的距离；如果不能看成质点但两物体是球体而且质量分布均匀，r是两球心之间的距离.因此：答案:D二、三个宇宙速度知识讲解1.第一宇宙速度:要想发射人造卫星,必须具有足够的速度,发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度,v=7.9 km/s.但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度.2.第二宇宙速度:当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km11.2 km/s时,卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行,成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去,我们把11.2 km/s称为第二宇宙速度,也称脱离速度.3.第三宇宙速度:当物体的速度等于或大于16.7 km/s时,物体将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间中去,我们把16.7 km/s称为第三宇宙速度,也称逃逸速度.活学活用2.我国将要发射一颗绕月球运行的探月卫星“嫦娥一号”，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速度约为()A. km/sB.1.8 km/sC.11 km/sD.36 km/s得近地(月)卫星的线速度为,则近月卫星与近地卫星的线速度之比为，所以近月卫星的线速度为.所以选项B正确.答案:B三、近地卫星和同步卫星知识讲解1.近地卫星所谓近地卫星,是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供.它的运行速度为第一宇宙速度,也是卫星的最大环绕速度.2.地球同步卫星的六个一定①位置一定(必须位于地球赤道的上空)地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定,与地球的赤道面重合.如图所示,假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合,同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用,绕地轴做圆周运动,F的一个分力F1提供向心力,而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面,最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部提供向心力),不可能定点在我国某地的正上方.②周期(T)一定a.同步卫星的运行方向与地球自转方向一致.b.同步卫星的运转周期与地球自转周期相同,T=24 h.③角速度(ω)一定由公式得，地球同步卫星的角速度,因为T恒定，π为常数，故ω也一定.④向心加速度(a)大小一定地球同步卫星的向心加速度为a,则由牛顿第二定律和万有引力定律得⑤距离地球表面的高度(h)一定由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫⑥环绕速率一定在轨道半径一定的条件下,同步卫星的环绕速率也一定,且为活学活用3.用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则地球同步通信卫星的线速度v为()A.ω0(R0+h)B.CD解析:设地球同步卫星离地心的高度为r,则r=R0+h所以线速度：v=ωr=ω0(R0+h)同步卫星做圆周运动由万有引力提供向心力：得：,又因为：则，故选项A、B、C、D均正确.答案:ABCD第二关：技法关解读高考解题技法一、万有引力定律的应用技法讲解应用万有引力定律分析天体运动的基本方法：在地球上，通常物体的质量都较小，所以通常物体之间的万有引力很小，分析地球上物体的受力情况时，一般都不考虑物体之间的万有引力（重力除外）.但天体的质量很大，所以天体之间的万有引力很大，实际上，正是天体之间的万有引力决定了天体的运动规律.中学阶段我们处理天体问题，有两个基本出发点：（1）把天体的运动看作是匀速圆周运动；（2）万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力.然后，利用牛顿第二定律把这两点联系起来.所以牛顿第二定律是分析天体运动的基本规律，即：1.求天体质量通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、半径r，由牛顿运动定律得：故天体的质量为：注意，这种方法只能求处在圆心上的天体质量.2.测天体的密度设天体的质量为M，半径为R，则其体积为，若天体的某颗卫星的质量为m，其轨道半径为r，运行周期为T，由得：故天体的密度为：当卫星的轨道半径r与天体的半径相等时，即r=R时，典例剖析例1某行星运行一昼夜时间T=6 h，若弹簧秤在其“赤道”上比“两极”处测同一物体重力时，读数小10%.（1）则该行星的密度为多大？（2）设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时该行星的自转周期是多少？解析：（1）在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，；在赤道上，万有引力分解为两个分力，其一是物体重力，其二为物体随行星转动的向心力，即所以密度对物体原来有飘起来时：由上述两式得×103 kg/m3(2)1.9 h二、同步卫星问题技法讲解×104 km处.1.高度的求法设地球质量为M，地球半径为R=6.4×106 m，卫星质量为m，根据牛顿第二定律有：又GM=R2g以上两式联立解得：同步卫星距地面的高度为：×107×106×107 m.或根据将各已知量代入求出同步卫星的高度h.2.同步卫星与其他卫星的区别所有卫星的轨道平面都通过地球球心.同步卫星的轨道半径、运行周期、运行速率都是确定的；一般卫星的轨道半径、运行周期、运行速率是可以变化的，但运行速率的最大值不能超过7.9 km/s,最小周期不能小于85 min.典例剖析例2地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（）①a是地球半径，b是地球自转角速度，c是地球表面处的重力加速度②a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度③a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度④a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度A.①②B.①③C.④D.③④解析：可确定r、T的关系式，故能求解.对同步卫星有，在地面处有.故选项C正确.答案：C三、估算问题技法讲解1.物理估算，一般是依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对分析物理量的数值或取值范围进行大致的推算.2.物理估算是一种重要方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下，可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算.在这种情况下，估算就成为一种既符合科学又有实用价值的特殊方法.3.有一些天体方面的估算题，常需要利用一些隐含条件或生活中的物理常识，应有意识地加以利用.如在地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力；地球表面附近重力加速度g=9.8 m/s2，地球自转周期T=24 h，公转周期T′=365天，月球绕地球自转周期约为30天等.典例剖析例3已知地球的半径为R0=6.4×106m，又知月亮绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动，则可以估算出月球到地心的距离为多少？（结果保留两位有效数字）解析：月球到地心的距离就是月球的轨道半径.已知月球绕地球运动的周期为T=30天，设地球、月亮的质量分别为M、m，轨道半径为r，则有，地球表面附近，则有GMmR20=mg，联立上面两式代入数据得r=4.0×108 m.答案：4.0×108 m第三关：训练关笑对高考随堂训练1.2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日“神舟七号”飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，万有引力常量为G.下列说法不正确的是()A.“神七”运行的线速度大小为B.“神七”运行的线速度小于第一宇宙速度C.“神七”运行时的向心加速度大小为D.地球表面的重力加速度大小为解析：“神舟七号”航天飞船线速度大小为，选项A错误；向心加速度大小，选项C正确;用M表示地球的质量，对航天飞船m有在地球表面由以上两式解得选项D正确.答案：A2.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r,周期为T,万有引力常量为G,下列说法中不正确的是()A.图中航天飞机正在加速飞向B处B.航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速C.根据题中条件可以算出月球质量D.根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小答案：D3.如图所示，a是静止在地球赤道上的物体，b、c是两颗人造地球卫星，其中c是地球的同步卫星，a、b、c在同一平面内沿不同的轨道绕地心做匀速圆周运动，三者绕行方向相同（为图中顺时针方向），已知Rb<Rc.若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示，那么再经过6小时，a、b、c的位置可能是下图中的()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：物体a和同步卫星c的运行周期均为24 h，卫星b的运行周期介于84 min和24 h之间.经过6 h，三者仍可能在同一直线上，也可能不在同一直线上,但c始终处在a的正上方，故选项D正确.答案：D4.A×104 km×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示)（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比.（2）求岩石颗粒A和B的周期之比.×105 km×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍.解析：（1）设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r,线速度为v,根据牛顿第二定律和万有引力定律有解得对于A、B两颗粒分别有设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则对于A、B两颗粒分别有（3）设地球质量为M，地球半径为r0，地球上的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0′×105 km处的引力为G0′，根据万有引力定律得解得答案：5.2008年9月25日，我国继“神舟五号”“神舟六号”载人飞船后又成功地发射了“神舟七号”“神舟七号”载人飞船绕地球的运行看做是同一轨道上的匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，且已知地球半径为R、地球表面重力加速度为g、万有引力常量为G.你能计算出下面哪些物理量？能计算的量写出计算过程和结果，不能计算的量说明理由.(1)地球的质量；（2）飞船线速度的大小；（3）飞船所需的向心力.解析：（1）能求出地球的质量M解法一：在地球表面，对地表物体m有地球的质量解法二：对人造地球卫星，由万有引力提供向心力得地球的质量（写出一种方法即可）（2）能求出飞船线速度的大小v线速度（3）不能算出飞船所需的向心力，因飞船质量未知.答案：见解析课时作业十七万有引力定律及应用1.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°“天链一号01星”，下列说法正确的是()A.运行速度大于7.9 km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析:由题知成功定点后的“天链一号01星”为地球同步卫星，故其运行速度小于第一宇宙速度（7.9 km/s)，故A错误；由-R，故该卫星距地高度一定，且相对地面静止，B正确；同步卫星的运行周期为1天，月球绕地球的转动周期约30天，由ω=知C正确；因“天链一号01星”与赤道上物体的运转周期相同，由r知a星＞a物，故D错误.答案:BC2.如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.下列说法正确的是()A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力知C正确.若卫星受地球引力大就不会绕月球做圆周运动了，所以D错误.答案:C3.如右图所示，圆a的圆心在地球自转的轴线上，圆b\,c\,d的圆心均在地球的地心上，对绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星而言，下列说法错误的是()A.卫星的轨道可能为aB.同步卫星的轨道只能为bC.卫星的轨道可能为cD.卫星的轨道可能为d解析:卫星要想稳定运行必须使地球对它的引力全部用来充当向心力，故a轨道错误.答案:A“深4.2005年北京时间7月4日下午1时52分（美国东部时间7月4日凌晨1时52分）度撞击”探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是()A.绕太阳运动的角速度不变B.近日点处线速度大于远日点处线速度C.近日点处加速度大于远日点处加速度D.其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个与太阳质量有关的常数可知，距离越近引力越大，加速度也越大，故C正确.答案:BCD5.某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动.如图，为了使飞船较安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器做出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为()A.与v的方向相反B.与v的方向一致C.垂直v的方向向右D.垂直v的方向向左解析:要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，因此B正确.答案:B6.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为()A.0.2B.2C.20D.200,(太阳到月球距离近似等于太阳到地球距离）.地球对月球的万有引力.两式联立得.若地球和月球的公转均看作匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得，对地球：,TE为地球公转周期365天，对月球：,故有.选B.答案:B7.在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，则()A.卫星运动的速度为B.卫星运动的周期为C.卫星运动的加速度为g/2D.卫星的动能为mgR/4解析:卫星绕地球运动，万有引力提供向心力，由，结合,可得卫星的线速度,运行周期，向心加速度a=g,动能EK=mgR，故B、D正确.答案:BD8.2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，然后，卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A.卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期长B.卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期短C.卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的加速度D.卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度等于沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的加速度即R越大，T越大，故B对；由牛顿第二定律可知P点加速度，即同一位置a相同故D 对.答案:BD9.设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v1、R和引力常量G表示为____.太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍.为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为.解析:由牛顿第二定律则太阳的质量.由则因答案10.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可计算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量.（引力常量为G）解析:设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有ω1=ω2①r1+r2=r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有联立以上各式解得根据角速度与周期的关系知联立③⑤⑥式解得答案:11.某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a=g/2的加速度匀加速竖直上升到某位置时（其中g为地球表面处的重力加速度），其身下体重测试仪的示数为1220 N.设地球半径R=6400 km，地球表面重力加速度g=10 m/s2（求解过程中可能用到 =1.03， 1.02).问：（1）该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？（2）该位置距地球表面的高度h为多大？解析:(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G=mg，得m=84 kg.在h高度处对宇航员受力分析有F-mg′=ma，得g′g=.（2）根据万有引力公式：在地面处有在h高度处有得h=0.02R=128 km答案:(1) (2)128 km12.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面.求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（有M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）.解析:如图，O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点.根据对称性，过A点的另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点.卫星在BE上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有式中，T1①②式得设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应用式中，α=∠CO′A,β=∠CO′rcosα=R-R1⑤r1cosβ=R1⑥由③④⑤⑥式得答案:。