高斯-马尔可夫过程
随机过程马尔科夫过程
(k ) P ( n) 显然， { X n , n 0}在n时的k步转移概率矩阵
是一随机矩阵. 特别 k＝０时，约定
p
(0) ij
1 i j ij , i, j S , n 0 0 i j
此时 P(0) (n) I为单位矩阵.
实际中常会碰到具有时齐性的马氏链
r
0
p0
（2）移动前i 0处
p0 , r0 0, p0 r0 1
r0
qa
a
1
（3）移动前i a处
qa , ra 0, qa ra 1
a-1
ra
设Xn表示质点在n时刻所处的位置
§1
马尔可夫过程的定义
一.基本概念
1．马尔可夫性 定义 设 { X (t ), t T } 是一个随机过程，如果
P( X n1 j X n i) P(1 2 i j)
例4（卜里耶模型）设一个坛子里有b个黑球和r个红 球，每次随机地从坛子中摸出一个球后再放回去， 并加入c个与摸出球同颜色的球。重复以上步骤将摸 球进行下去，设Xn表示第n次摸球放回后坛子中的黑 球数，试写出其一步转移概率矩阵和状态空间
(它表示系统{ X n , n 0}在n时处于状态i的条件下
经过k步转移,于n+k时到达状态j的条件概率).
(k ) 称以pij (n)为第i行底j列元素的矩阵
(k ) P( k ) (n) ( pij (n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
特别 当k=1时，
对n 2, t1 t2
tn T , i1 , i2 ,
, in S ,
, X (tn 1 ) in 1 )
随机过程-正态马尔可夫过程
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
高斯马尔科夫过程
高斯马尔科夫过程
高斯马尔可夫过程是一种常见的随机过程，用于描述具有连续时间和离散状态的现象。
这个过程可以使我们更好地理解很多自然现象和现实世界中的计算问题。
让我们深入了解一下这个过程。
高斯马尔可夫过程是一个随机系统，其中时间和状态都是连续的。
这个过程是由两个部分组成的：高斯部分和马尔可夫部分。
高斯部分描述的是系统在连续时间中的运动方式，它通常由随机过程的数学期望和方差描述。
而马尔可夫部分则描述了系统的离散状态之间的转移规律。
这种离散状态转移有一个特性，即只依赖于当前状态，而不受之前状态的影响。
这意味着高斯马尔可夫过程是满足马尔可夫性的。
高斯马尔可夫过程被广泛应用于许多领域中，如经济学、物理学、统计学等。
在经济学中，高斯马尔可夫过程被用来预测股票价格变化和货币汇率的波动。
在物理学中，它被用来描述原子的无序运动和液体的流动。
在统计学中，它被用来分析时间序列数据。
虽然高斯马尔可夫过程可以很好地解决许多实际问题，但它也存在着一些问题。
例如，它假设系统状态是连续的，这在某些情况下可能会受到限制。
此外，它还假设了一些先验知识，例如状态转移的规律必须满足马尔可夫性，这些假设有时可能是不合理的。
总之，高斯马尔可夫过程是一种常见的随机过程，可以用来描述具有连续时间和离散状态的现象。
它被广泛应用于许多领域中，并被认为是解决许多实际问题的有用工具。
当然，我们还需要注意它的一些假设和局限性，以便更好地理解它。
第五章马尔可夫过程
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
高阶马尔可夫过程的定义：
如果马尔可夫过程在tn时刻的状态，只与tn时刻以前的tn-1, tn-2,… tn-k这k个时刻的状态有关，而与更前时刻的状态无关， 即
F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k) 或 f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k)
P{X(tn) < xn | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
转移概率分布函数和转移概率密度的定义：
把马尔可夫过程{X(t), t∊T}的条件概率分布函数，
F(x2 ; t2 | x1 ; t1}= P{X(t2) < x2 | X(t1) = x1}
称为马尔可夫过程的(状态）转移概率函数。
16 马尔可夫过程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高斯随机变量。试分析该过程的特性。
例1：解
1 & X t X t t 1 dX (t ) 1 变换: dt X (t ) t 1 求解后 : ln X (t ) ln X (t0 ) ln(t 1) [ ln(t0 1)] t0 1 于是X t = X t0 t 1
f xn , tn | xr , tr ) f ( xr , tr | xs , t s dxr f xs , t s ; xn , t n
4、相关例题（1）
设随机过程 X t , t t0 由下述方 程确定
1 & t X X t t 1
E[ X n | X n1 ,..., X1 ] E( X n | X n1 )
3、马尔可夫序列性质
已知现在，过去与未来相互独立
f ( xn , xs | xr ) f ( xn | xr ) f ( xs | xr ) nrs 转移概率密度函数满足：
f ( xn | xs )
t1 t2 ... tn 有
F xn , tn | xn 1 , tn 1 ; xn 2 , tn 2 ;...; x1 , t1 F xn , tn | xn 1 , tn 1
则称此过程为马尔可夫过程。
转移概率密度
f xn , tn | xn1, tn1
多个时刻构成的联合也是高斯分 布，因而是高斯随机过程！
例1：解
t2 t1 t0 , 容易求得 : t1 1 X (t2 ) X (t1 ) t2 1
证明高斯马尔科夫定理
证明高斯马尔科夫定理
高斯马尔科夫定理是统计物理学的一项基本定理，用来描述一个由大量粒子组成的系统的统计性质。
它指出，在经典的条件下，一个处于平衡状态的理想气体分子速度的分布是高斯分布。
高斯马尔科夫定理的证明可以通过以下步骤进行：
1. 假设气体分子速度的分布函数为f(v)，即f(v)dv表示速度在
v到v+dv范围内的分子数目。
2. 假设速度的三个分量v_x，v_y和v_z是独立的，并且符合
相同的概率分布。
3. 由于分子的速度是连续的，其分布函数满足归一化条件，即∫f(v)dvdvdw = 1
其中v和w是速度的一对坐标，积分范围是整个速度空间。
4. 考虑速度分布的一阶矩，即速度的平均值。
根据高斯马尔科夫定理，这个平均值为零，即
∫vf(v)dvdwdv = 0
5. 根据速度分布函数的性质，可以推导得到速度分布的二阶矩，即速度的方均根值（均方速度）。
根据高斯马尔科夫定理，均方速度与温度成正比，即
∫v^2f(v)dvdwdv = 3kT/m
其中k是玻尔兹曼常数，T是系统的绝对温度，m是分子的质量。
6. 根据速度分布的特性，可以证明整个速度空间的分布函数为高斯分布。
由于速度的三个分量是独立的，所以总的分布函数可以表示为：
f(v) = f(v_x)f(v_y)f(v_z)
其中f(v_x)、f(v_y)和f(v_z)都是单个分量速度的高斯分布。
综上所述，根据上述证明的步骤可以得出高斯马尔科夫定理的结论，即一个处于平衡状态的理想气体分子速度的分布是高斯分布。
高斯-马尔可夫模型计算方法
高斯-马尔可夫模型计算方法
高斯-马尔可夫模型计算方法涉及到高斯分布和马尔可夫链，以下为其详细步骤：
1.初始化参数：给定一组参数，包括初始速度、方向和夹
角，这些参数遵循高斯分布。
2.计算新速度和方向：根据模型参数和当前状态，计算下
一个时刻的速度和方向。
3.更新夹角：根据当前速度和方向，更新夹角。
4.重复步骤2和3，直到达到所需的时间或迭代次数。
5.输出结果：根据最终的速度、方向和夹角，输出结果。
此外，高斯-马尔可夫模型还可以用于线性回归模型中，其中误差满足零均值、同方差且互不相关，则回归系数的最佳线性无偏估计就是普通最小二乘法估计。
以上信息仅供参考，建议查阅统计学书籍或咨询统计学专业人士获取更多信息。
马尔可夫过程
马尔可夫过程 、独立 增量过程及独立随机过程
牛慧芳 2010-122010-12-25
1
7.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程 在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti时刻的 状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的 无后效性或马尔可夫性。此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。或者说，过去 只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在} 马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。 讨论的内容： 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
j =1
N
ij
=1
k=n时，n步转移概率pij(n)为： pi j ( n ) = pij ( m , m + 1) = P { X m + n = a j | X m = a i } , n ≥ 1 对应的n步转移概率矩阵为：
11
显然具有如下性质：
0 1、 ≤
N
pij ( n ) ≤ 1
ij
2、
2、马氏链的转移概率及其转移概率矩阵 (1)马氏链的转移概率 (1)马氏链的转移概率 马氏链“在tm时刻出现的状态为ai的条件下，tm+k时刻出现的 状态为aj”的条件概率可用pij(m,m+k)表示，即
齐次马氏链：若pij(m,m+k)与m无关，即pij(m,m+k)= pij (k) k=1时，一步转移概率pij为：
2
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高斯-马尔可夫过程
高斯-马尔可夫过程介绍如下：
高斯-马尔可夫过程（Gauss-Markov processes）是随时间变化的量，是其先前值和白噪声序列的线性函数。
当高斯-马尔可夫过程的特性已知时，可以在卡尔曼滤波中进行建模。
与更新间隔相比，马尔可夫过程一般变换缓慢。
在卡尔曼滤波中，通常假设其满足高斯分布。
卡尔曼滤波的基本假设：系统中模型化的误差为系统误差、白噪声或高斯-马尔可夫过程，也可以是他们的线性组合或积分。
例如：随机游走过程是白噪声的积分，一个常值加速度误差会导致速度误差随时间积累。
作为被估状态的误差源，一般假设是系统误差、马尔可夫过程或者他们的积分。
所有噪声源都假设为白噪声，需要注意的是马尔可夫过程含有白噪声的成分。
实际的导航系统误差并不完全满足这些分布，但是在许多情况下，可以近似为这几种误差分布形式，只要让模型化的误差充分包含其对应的实际误差即可。