云南师大附中2021届高三高考适应性月考卷(七)理科数学试卷及答案2021.3
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(五)数学(理)试题及答案
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B D A A C D D C B A B 【解析】1．因为{101}A −，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217−=，故选D ．2．121()f x x x −==，()f x 的定义域为(0)+∞，，因此A ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，B 正确，故选B ．3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +> = − ，，，，≤当8y =时，098x x > += ，或2018x x −=≤，，解得3x =−，故选D ．4．因为c r 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k =+=++=+= r r r r r r r g ，又0k >，所以223k =，故选A ． 5．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，B 错误；()(0)()f b f f c >>，C ，D 错误；()()()f c f d f e <<，A 正确，故选A ．6．对Γ：22123x y λλ+=−，当2(3)0λλ−<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=−时，Γ：22166y x −=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，B ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，C 错误，故选C ． 7．由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人，先按人数进行分组，共有24C 种分法，再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选D ．8．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a +，则864864211111222a a a a +++++++++++ 221341+=，故选D ．9．如图1，设截面为α，设BD AM O =I ，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以αI 平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴αI 平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形，故选C ． 10．因为22|||i |1z x y x y =+=+=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +−=++−=++−，所以|12i |z +−表示圆O 上的动点到定点(12)A −，的距离，所以min |12i |z +−为||51OA r −=−，故选B ． 11．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ∈，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x ′=−=−，令()2cos h x x =− sin x x ，则()3sin cos h x x x x ′=−−，则()0h x ′<在π04 ，上恒成立，所以()h x 在π04，上单调递减，又ππ220442h =−×>，所以()0g x ′>在π04x ∈ ，上恒成立，所以()g x 在π04 ，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ∈−U ，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选A ．12．如图2，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥.所以二面角P AB C −−的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC △的垂心，所以点C在1MO 的延长线上.因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 223，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，所以3PM =，11MO =．又2O 为△PAB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在△PMC 中，利用余弦定理，可得29212x x +−=，所以3MC x ==．再在2O MC △中，利用余弦定理，可得222CO =，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案0.8 5 2 59【解析】13．因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =×+=． 图2图114．因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>．又11111611()1102a a S a +==<，所以60a <，所以6500a a < > ，，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5． 15．如图3，设焦点F 关于直线33y x =的对称点为P ，C 的左焦点为F ′，PF 与直线33y x =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF ′的中点，可得OQ PF ′∥，所以90F PF OQF ′∠=∠=°，则OP OF =，又3tan 3QOF ∠=，所以30QOF ∠=°，则60POF ∠=°．又因为P 在渐近线上，所以tan 3b POF a ∠==，所以212b e a =+= ． 16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C −，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧»BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作B C BC ′′∥，其中B C ′′分别交AB ，AC 于点B ′，C ′，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ′′′′=+u u u r u u u u r u u u u r ，则由B ′，P ，C ′共线，可得1x y ′′+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ′′===，则AP x AB y AC x k AB ′′′′′=+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u r y k AC xAB y AC ′=+u u u r u u u r u u u r ，所以x x k ′=，y y k ′=，()x yk x y k ′′+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ′′，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+． 方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r 可得()AP x AP PB ++u u u r u u u r u u u r ()y AP PC +u u u r u u u r ，所以(1)(*)x y AP xPB yPC −−=+u u u r u u u r u u u r ，则101x y x y −−>⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R −−=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=−=，所以上式整理可得3622125xy x y =+−．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令图3图4t x y =+，则2950250t t −+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形， ∴(13)M ，，3A =． 又2π2ππ42T ω===， ∴π()3sin2f x x =． ………………………………………………………（6分） （2）πππ()3sin (1)3sin 444g x x x =+=+， 令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10．设P 为两个标本来源于不同采样地的概率， 则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++×+×+×===×．………………………………………………………（6分） （2）由表格数据可得，5152********.5597229.7 3.3360052795i i i i i x y x yb x x==−−×===−=−−×−∑∑$， ∴$36 3.327125.1a y bx =−=+×=$，∴y 与x 的线性回归方程是$ 3.3125.1y x =−+， ∴当30x =时，$26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） 解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒−+=， 解得4p =(舍)或1，∴C ：22y x =，(22)A ，． …………………………………………………（4分）（2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my −−=， 设11()M x y ，，22()N x y ，，则121222y y m y y += =− ，， ∴22221212||1()42(1)(2)MN m y y y y m m =++−=++．又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=−+， ∴2211||212PQ m m =++ ， ∴2222111||||2(1)(2)122MNPQ S MN PQ m m m m ==++++ 四边形 2222112(1)1(2)2m m m m =++++g 2222122252m m m m ++++g ． ∵2212m m+≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴24912MNPQ S ×=四边形≥， ∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ，∵PB PD =，O 为BD 的中点，∴PO DB ⊥． 同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =I ，PO ，OQ ⊂平面POQ ，∴BD ⊥平面POQ ． 图5又BD ⊂平面ABCD ，∴平面POQ ⊥平面ABCD ． ……………………………………………（5分） （2）解：（法一：建系法）如图6，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ，则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形，∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==×=， ∴334323223MA MC AP ===×=． ∴MO AC ⊥，由（1）得MO ，OB ，OC 两两垂直． 又32332AO =×=， ∴223MO MA AO −． 如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(030)A −，，，(300)B ，，，(030)C ，，，(003)M ，，， ∴(330)AB =u u u r ，，，(303)MB =−u u u r ，，，(330)BC −u u u r ，，．设111()x y z α=u r ，，，222()x y z β=u r ，，分别为平面AMB 与平面MBC 的法向量， 则1111330(313)330x y x z α += ⇒=− −= u r ，，，， 2222330(313)330x y x z β −+= ⇒= −=u r ，，，． 设θ为二面角A MB C −−的平面角，由于αu r ，βur 均指向半平面的外部， ∴5cos cos 7||||αβθαβαβ=−〈〉=−=−u r u r u r u r g u r u r ， ． ………………………………………………………（12分） （2）（法二：定义法）分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形， 图6∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==×=， ∴334323223MA MC AP ===×=， ∴MAAB BC CM ===． 取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥，∴AEC ∠为二面角A MB C −−的平面角． 又32332AO =×=， ∴223MO MA AO −． 又3OB =，∴226MB OB OM =+=， ∴2226421222AE AM ME CE =−=−==． 又26AC AO ==， 222423652cos 42272AE EC AC AEC AE EC −+−∠===−g ．……………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）∵11ln ()(2ln )22x f x x x x x x −−′=−+=g ， ∴当(01)x ∈，时，()0f x ′>，()f x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x ′<，()f x 单调递减，∴max()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．…………………………………………………（4分）（2）()(2ln )3g x x x ax =−+−， 令t x =，则2x t =， ∴(2ln )3x x ax −+−=222ln 3t t t at −+−．令2()22ln 3t t t t at ϕ=−+−， ∵函数t x =是(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ϕ⇔存在极大值，且()g x 取到极大值0()()g x t ϕ⇔取到极大值0()t ϕ，其中00t x =，且00()()g x t ϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ′=−−+=−+， ∴222()2at t a t tϕ−−+′′=+=， ∴10t a ∈，时，()0t ϕ′′<，()t ϕ′单调递减； 1t a ∈+∞，时，()0t ϕ′′>，()t ϕ′单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ ′′==+=+． ①当1e a ≥时，10a ϕ ′≥，则()0t ϕ′≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a<，1e a <， 有(1)20a ϕ′=>，(e)22e 220a ϕ′=−+<−+=， ∴()t ϕ′在(1e)，上有唯一零点，设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ′>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ′<， ∴当10e a <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ．………………………………………………（8分）∵000()2ln 20t t at ϕ′=−+=， ∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=−+−=−+−=0002ln 3t t t −−， 令()2ln 3m t t t t =−−， 则()2ln 1ln 1m t t t ′=−−=−+， ∴()m t 在(0e)，上单调递增．又(e)2e e 3e 30m =−−=−<，∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10e a <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． ………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y −+=， 即2220x y x +−=为曲线C 的普通方程， 将222cos sin x y x y ρθρθρ = = +=，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ−=， 即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………………………（5分） （2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos AOA ρθ==， 11111||π2(sin cos )2sin 4B OB ρθθθ=== ++ ， ∴11112cos 1||||2tan 12(sin cos )OA OB θθθθ==++g ． 又1ππ43θ ∈，， ∴1tan (13)θ∈，， ∴622||||22OA OB −∈g ， ． ………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =−， ∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =−+−=−+−+， 由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a −−−+=−≥， 其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a −−+≤，∴min()|43|f x a =−， ∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =−+−⇔−≥≥，∴432a −≥或432a −−≤，即23a ≤或2a ≥． ………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥，222b c bc +≥222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥，∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥3()ab bc ca ++， ∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===．………………………………………………（10分）。
云南师大附中2021届高考数学适应性月考试题（一）理（含解析）
云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性计划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量散布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】一、已知全集U 和集合A 如图1所示，那么()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B ={5,6}.那么选B.【思路点拨】此题要紧考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，明白得集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】二、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，那么12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，因此212(1i)2i.z z =-+=-那么选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法那么进行计算.【题文】3、已知向量,a b 知足6a b -=，1a b •=，那么a b +=D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，因此2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即+=a b 那么选C.【思路点拨】碰到求向量的模时，一样利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，那么a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，因此 2.a =那么选B.【思路点拨】明白得导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】五、在△ABC 中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形必然是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，因此22a b =，即a b =.那么选C. 【思路点拨】判定三角形形状，能够用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】六、函数()2sin cos f x x x x=在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是A.1B.C.32 D.1+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 21π()sin cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.那么选C. 【思路点拨】一样研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 知足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，那么z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9] 【知识点】简单的线性计划问题E5【答案解析】B 解析：依照线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部份．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=， min 230 2.z =+⨯=那么选B.【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】八、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割取得，那么毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.310B.510C.710D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，那么母线长5cm l =，因此圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，因此所求比值为910．那么选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特点.【题文】九、假设任取x,y ∈[0,1]，那么点P(x,y)知足2y x >的概率为A.23B.13C.12D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易患点(,)P x y 知足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，因此所求的概率为23．那么选A.【思路点拨】当整体个数有无穷多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左核心为F ，右极点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是A.3B.2C.13D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e ===∴∴．那么选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一样先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的概念解答即可.【题文】1一、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，那么AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24 C.3 D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：成立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C那么AC 与DM 所成角的余弦值为24.因此选C. 此题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用概念法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】1二、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，那么实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，因此由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，因此1a ≤．那么选A.【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)【题文】13、概念一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654⊗-⊗=_______. 【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，明白得所概念的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，假设11a =，那么4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】碰到等差数列与等比数列，假设无性质特点，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】1五、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1CC 17n n nnn -+=+=，故6n =，因此第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，因此，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，因此π6x =或5π6．【思路点拨】一样碰到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】1六、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，那么a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 大体不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，那么问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数取得abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题. 三、解答题(共70分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)假设有放回的从口袋中持续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率； (2)假设不放回地从口袋中随机掏出3个球，求取到白球的个数ξ的散布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的散布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．因此ξ的散布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的散布列一样先确信随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得散布列并计算期望.【题文】1八、(本小题总分值12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 别离是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2)217解析：方式一：（1）证明：∵点O 、E 别离是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=221d =11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．方式二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B，(0,2,C ．（1）证明：∵OE=10,,2⎛- ⎝⎭，1(0,1,AC =，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ． （2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,0,0,x y A B n y A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得1,1,n ⎛=- ⎝⎭，∴11sin cos ,AC n θ=〈〉==，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角能够先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方式求解.【题文】1九、设数列{}n a 知足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故因此11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b =====-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的概念证明，碰到与数列的和有关的不等式可先考虑可否求和再证明.【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在概念域内的极值点的个数； (2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点． （2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增， ∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤．【思路点拨】一样碰到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答. 【题文】2一、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)假设直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1)2y x = (2) min 11t =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =． （2）方式一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方式二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方式进行解答.请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】2二、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 通过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)假设1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，假设点P的坐标为(，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】解析：（1）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．由3,,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l的方程为30x y +-=． 因此，圆C 的圆心到直线l=．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，因此12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一样由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)假设不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. (2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为5,1,a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥ 又∵515,1x x --≥≤，因此15a -≤≤且a ≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方式，关于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(五)数学(理)试题(解析版)
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（五）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,A x x x Z =≤∈，则满足条件B A 的集合B 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.【详解】因为{}{}1,101A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=， 故选：C ．2．已知函数12()f x x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象恒在x 轴上方 B ．f （x ）的图象经过原点 C ．f （x ）是R 上的减函数 D ．f （x ）是偶函数【答案】A【分析】先化简()f x 的表达式，结合函数的定义域、单调性、奇偶性、图像性质对选项进行判定.【详解】化简得11221()f x xx x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()f x 的定义域为(0+)∞，， 对于A ，()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，故A 正确； 对于B ，该函数不经过原点，故B 错误；对于C ，函数()f x 的定义域为(0+)∞，，在定义域内是减函数，并不是在R 上的减函数，故C 错误；对于D ，函数定义域并不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，不是偶函数，故D 错误； 故选：A3．已知如图的程序框图，则当输出的y 的值为8时，输入的x 的值为（ ）A ．-3，3，-1B ．-1，-3C ．-3D ．-1【答案】C【分析】读懂程序框图的分段函数，令8y =，计算出x 的值即可.【详解】该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-≤⎩，，，， 当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ≤⎧⎨-=⎩，，解得3x =-.故选：C ．4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，13c a kb =+（k ＞0），则k 的取值是（ ）A ．13B ．23C 6D 22【答案】D【分析】由题意知21c =，按照向量数量积的定义进行计算求值. 【详解】由题意知1,1,1,0a b c a b ===⋅=，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=+⋅+=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以22k =故选：D5．已知定义域为R 的函数f （x ）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （0）B ．f （0）＜f （c ）＜f （d ）C ．f （b ）＜f （0）＜f （c ）D ．f （c ）＜f （d ）＜f （e ）【答案】D【分析】根据导数图判断函数的单调性，即可判断函数值的大小关系.【详解】由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，A 错误；()(0)()f b f f c >>，B ，C 错误；()()()f c f d f e <<，D 正确.故选：D6．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是（ ） A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆 C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线 D ．曲线Γ不能表示抛物线【答案】B【分析】理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可.【详解】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误. 故选：B ．7．4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有（ ） A ．72种 B ．64种C ．36种D ．24种【答案】C【分析】由题意，先按人数进行分组，再将三组人分别安排到三个地方.即可求解. 【详解】由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人， 先按人数进行分组，共有24C 种分法， 再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选：C ．8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a n 步演变，出现只穿有第n 环的状态，则a n ＋1＝2a n ＋1，且a 1＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a 8＋1＋a 6＋1＋a 4＋1＋a 2＋1＋1＝（ ） A ．345 B ．344C ．341D ．340【答案】C【分析】令1n n b a =+，由题设可得数列{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，求出其通项公式，即可求出结果.【详解】由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+， 则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=， 则864864211111222a a a a ++++++++=+++221341+=， 故选：C9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对【答案】B【分析】画出图形，设截面为α、BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1//BD α推出//MN AP ，从而推出截面AMNP 为梯形.【详解】如图，设截面为α，设BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1//BD α可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行， ∴α平面11BB C C MN =，由//MN AP 且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形.故选：B10．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ） A 51 B 5C ．3 D ．2【答案】A【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为22|||i |1z x y x y =++=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-++-所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=， 故选：A ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.11．已知函数f （x ）＝cos x ，若x 1，2,00,44x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，有122221()()f x f x x x <，则（ ）A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．2212x x > D ．2212x x < 【答案】D【分析】将不等式122221()()f x f x x x <转化为221122()()x f x x f x <，然后构造函数2()cos g x x x =，利用导数研究()g x 的单调性，结合()g x 为偶函数确定正确选项. 【详解】因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数．当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ2044h ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <.故选：D【点睛】方法点睛：求解不等式有关的问题，可采用构造函数法，利用导数研究函数的单调性来求解.12．已知在三棱锥P -ABC 中，PA ＝PB ，ABC 为锐角三角形，且点P 在平面ABC 上的投影O 1为ABC 的垂心，O 2为PAB 的重心．若二面角P -AB -C 的余弦值为13，且1PO =PC =CO 2＝（）A ．B ．3C ．3D ．1【答案】A【分析】画出图形，延长2PO 交AB 于点M ，说明PM AB ⊥.推出1MO AB ⊥.得出二面角PAB C 的平面角即为1PMO ∠，然后通过转化，利用余弦定理求出2CO 即可.【详解】如图，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥．所以二面角PAB C 的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC 的垂心，所以点C 在1MO 的延长线上．因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 223，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，所以3PM =，11MO =．又2O 为P AB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在PMC 中，利用余弦定理，可得29212x x +-=，所以3MC x ==．再在2O MC 中，利用余弦定理，可得2219123183CO =+-⨯⨯⨯=，得22CO =故选：A ．【点睛】找二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、填空题13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X 为他投篮一次命中的个数，则X 的期望是________． 【答案】0.8【分析】求出投篮一次命中和未命中的概率，再求期望即可.【详解】因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =⨯+= 故答案为：0.814．在等差数列{}n a 中，110a =，令n S 为{}n a 的前n 项和，若10110S S <，则使得0n a >成立的最大整数n 为__________. 【答案】5【分析】由图可得10110,0S S ><，进而可得6500a a <⎧⎨>⎩，即可得出结论. 【详解】1100a =>，10110S S <，则10110,0S S ><，因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>，又11111611()1102a a Sa +==<，所以60a <，所以6500a a <⎧⎨>⎩，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5. 故答案为：5.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，若其右焦点F 关于直线3y x =的对称点在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】2【分析】分析得出直线b y x a =的倾斜角为3π，可求得b a 的值，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率.【详解】如图，设焦点F 关于直线33y x =的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线33y x =的交点为Q ，则由Q 、O 分别为PF 、FF '的中点，可得//OQ PF ，所以2F PF OQF π'∠=∠=，则OP OF =，又3tan 3OQF ∠=，所以6QOF π∠=，则23POF QOF π∠=∠=，又因为P 在渐近线by x a =上，所以tan 33b a π== 所以22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭．故答案为：2.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．在锐角ABC 中，4cos 5A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x ＋y 的最大值为________． 【答案】59【分析】设ABC 的外接圆半径为5，以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，若ABC 为锐角三角形，过点P 作//B C BC ''，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ，根据向量共线的推论1x y ''+=，设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，可得()x y k x y k ''+=+=，为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大即可.【详解】不妨设ABC 的外接圆半径为5．如图：取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作BQC 的外接圆P ，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=， 所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点． 当ABC 为锐角三角形时，过点P 作//B C BC ''，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ． 设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设|||||| |||||| ABAC APkAB AC AR''===，则AP x AB y AC x k AB'''''=+=+y k AC xAB y AC'=+，所以x x k'=，y y k'=，()x y k x y k''+=+=，所以为使k取最大值，只需使||||APAR最大．过A作x轴的垂线交B C''，BC分别于点M，N，则||||=||||AP AMAR AN，又||||||||||AM AMAN AM MN=+1||1||MNAM=+，所以当||5AM r==时，max||154||915APAR==+．故答案为：59【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线推论的应用，解题的关键是建立坐标系，利用B'，P，C'共线，得出1x y''+=，考查了计算能力、转化为能力.三、解答题17．如图为函数()f x Asin xω=（0A>，0>ω）在一个周期内的图象，其中点M 是图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且OM MB⊥，点B为()4,0．（1）求函数()f x的表达式；（2）若将()y f x=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数()y g x=的图象，求函数()g x在R上的单调减区间．【答案】（1）()3sin2f x xπ=；（2）[]1858k k++，（k Z∈）．【分析】（1）由题设条件可知OMC为边长为2的等边三角形，进而可得点M的坐标，从而可求得A 的值，由点B 的坐标结合2Tπω=可得ω的值，从而得出函数的解析式；（2）先由函数图象平移规则得到函数()y g x =的解析式()44g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令3222442k x k ππππππ+≤+≤+（k Z ∈），解不等式即可得到函数的单调递减区间. 【详解】（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴22OB MC OC ===，又OM MC =，∴OMC 为边长为2的等边三角形，∴(1M ，A =又2242T πππω===，∴()2f x x π；（2）1()(1)2244g x x x πππ⎡⎤⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令3222442k x k ππππππ+≤+≤+（k Z ∈），得1858k x k +≤≤+（k Z ∈），∴()g x 在R 上的单调减区间为[]1858k k ++，（k Z ∈）．【点睛】方法点睛：确定()y Asin x b ωϕ=++ (0A >，0>ω)的步骤：①求A 和b ，确定函数的最大值为M ，最小值为m ，则2M mA，2M mb； ②求ω，通过2Tπω=确定； ③求ϕ.18．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP 15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．（1）将五个采样地分别记作A ，B ，C ，D ，E ，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A ，C ，D 的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y 与纬度x 存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y 与x 的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长．xy x y ⋅2x51i ii x y =∑521ii x=∑27 36 972 729 5008.5 3600参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）5587；（2） 3.3125.1y x =-+；26.1厘米． 【分析】（1）可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10，再直接计算概率即可； （2）利用表中数据代入公式即可求解.【详解】解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10． 设P 为两个标本来源于不同采样地的概率，则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++⨯+⨯+⨯===⨯．（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795i ii ii x yx y b xx==--⨯===-=--⨯-∑∑， ∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+，∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率和回归方程的求解，解题的关键是正确分析数据，根据公式正确计算.19．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4． （1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值．【答案】（1）抛物线C 的方程为22y x =，(22)A ，；（2）12．【分析】（1）设抛物线标准方程，利用点A 在抛物线上，及其到准线的距离求解参数p 即得结果；（2）先设直线MN 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长MN ，再利用垂直关系设PQ 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长PQ ，计算面积1||||2S MN PQ =⋅，结合基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴042px =，得02x p=， ∴点A 到准线的距离为025222p p x p +=+=，即2540p p -+=， 解得4p =或1p =，又焦点到准线的距离为p ，4p <，故1p =，022x p==， ∴抛物线C 的方程为22y x =，(22)A ，．（2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my --=，设11()M x y ，，22()N x y ，，则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，，∴MN = 又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=-+，同理，用1m -代换上式的m ，可得||PQ = ∴四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ =⋅===． ∵2212m m+≥，当且仅当21m =时，等号成立.23=，当且仅当21m =时，等号成立. ∴22312S ≥⨯⨯=，当且仅当21m =时，等号成立. ∴当1m =±时，四边形MPNQ 的面积取得最小值为12． 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中的弦长问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与圆锥曲线的方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.20．如图甲，三棱锥P ABD -，Q BCD -均为底面边长为棱锥，且四边形ABCD是边长为（点,P Q 在平面ABCD 的同侧），,AC BD 交于点O ．（1）证明：平面PQO ⊥平面ABCD ；（2）如图乙，设,AP CQ 的延长线交于点M ，求二面角A MB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）57-．【分析】（1）连接,,PO OQ PQ 根据题意可得PO DB ⊥， QO DB ⊥结合线面垂直判定定理可证BD ⊥平面POQ ，根据面面垂直判定定理得证；（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可；法二：通过题意和图形证明AEC ∠为二面角A MB C --的平面角，在三角形中利用解三角形求出cos AEC ∠即为所求.【详解】（1）证明：如图，连接,,PO OQ PQ因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO DB ⊥．同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =， ,PO OQ ⊂平面POQ ， 所以BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， 所以平面POQ ⊥平面ABCD ． （2）解： 法一：如图，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ，则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为,AO OC 的三等分点，且12//PO QO ，12=PO QO ,112PO O O ⊥，所以四边形12PO O Q 为矩形， 所以//PQ AC ．且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，所以33432322MA MC AP ==== 所以MO AC ⊥，由（1）得,,MO OB OC 两两垂直． 又3233AO ==， 所以223MO MA AO -如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OM 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,3,0)A -，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)M ，所以(3,3,0)AB =，(3,0,3)MB =-，(3,3,0)BC =-．设111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =分别为平面AMB 与平面MBC 的法向量，则1111330(3,1,3)330x y m x z ⎧+=⎪⇒=-⎨-=⎪⎩，， 2222330(3,1,3)330x y n x z ⎧-+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，． 所以5cos 7m n m n m n⋅〈〉==⋅，，由图可得所以二面角A MB C --的平面角的余弦值为57-.法二：分别过,P Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为,AO OC 的三等分点， 且12//PO QO ，12=PO QO ，112PO O O ⊥， 所以四边形12PO O Q 为矩形， 所以//PQ AC ．且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，所以33432322MA MC AP ==== 所以MA AB BC CM ===．取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥，所以AEC ∠为二面角A MB C --的平面角．又3AO ==，所以MO又OB =MB =所以AE CE ===． 又26AC AO ==，222423652cos 42272AE EC AC AEC AE EC -+-∠===-.所以二面角A MB C --的平面角的余弦值为57-.【点睛】利用向量法求二面角问题步骤：（1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；（2）求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量1n 、2n ；（3）计算：求1n 与2n 所成锐角θ，1212cos n n n n θ⋅=⋅；（4）定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为πθ-. 21．已知()ln )f x x =-，g （x ）＝f （x ）＋ax -3，其中a ∈（0，＋∞）． （1）判断f （x ）的单调性并求其最值；（2）若g （x ）存在极大值，求a 的取值范围，并证明此时g （x ）的极大值小于0． 【答案】（1）当(01)x ∈，时，()f x 单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()f x 单调递减；最大值为2，无最小值；（2）10ea <<；证明见解析． 【分析】（1）求出()'f x ，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）()ln)3g x x ax =-+-，令t =2x t =，可得2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，求出导函数，且min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭，讨论1e a ≥或10e a <<，确定函数的单调性，可得函数的极大值，并求出极大值，即可求解. 【详解】解：（1）∵1()ln )2f x x x x-'=-=，∴当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴max ()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．（2）()ln )3g x x ax =-+-，令t =，则2x t =，ln )3x ax -+-=222ln 3t t t at -+-． 令2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，∵函数t =是(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ϕ⇔存在极大值， 且()g x 取到极大值0()()g x t ϕ⇔取到极大值0()t ϕ，其中0t =00()()g x t ϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ'=--+=-+， ∴222()2at t a t tϕ--+''=+=， ∴10t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''<，()t ϕ'单调递减；1t a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''>，()t ϕ'单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭．①当1e a ≥时，10a ϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥，则()0t ϕ'≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a<，1e a <， 有(1)20a ϕ'=>，(e)22e 220a ϕ'=-+<-+=， ∴()t ϕ'在(1e)，上有唯一零点， 设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'<，∴当10ea <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ． ∵000()2ln 20t t at ϕ'=-+=，∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=-+-=-+-=0002ln 3t t t --，令()2ln 3m t t t t =--， 则()2ln 1ln 1m t t t '=--=-+， ∴()m t 在(0e)，上单调递增． 又(e)2e e 3e 30m =--=-<， ∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10ea <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． 【点睛】关键点点睛：本题考查了；利用导数研究函数的单调性、最值、极值，解题的关键是利用换元法将函数化为2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，求导判断函数的单调性，考查了分类讨论的思想、数学运算.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．若以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求出曲线C 的极坐标方程；（2）若射线1θθ=与曲线C 、直线l 分别交于A ，B 两点，当1,43θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】（1）2cos ρθ=；（2）||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． 【分析】（1）先写出曲线C 的普通方程，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程即可；（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得A OA ρ=，B OB ρ=代入即可.【详解】（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程， 将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴1||||2(sin OA OB == ．又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴1tan (1θ∈，∴||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，难度不大，能够正确写出极径表达式是关键.23．已知a ＋b ＋c ＝3．（1）若c ＝1，且f （x ）＝|x -a |＋|x -2b |≥2恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：ab ＋bc ＋ca ≤3．【答案】（1）23a ≤或2a ≥；（2）证明见解析． 【分析】（1）若1c =，则2b a =-，()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，利用绝对值三角不等式可得()|43|f x a ≥-，根据题意可得|43|2a -≥，即可求得答案. （2）因为222a b ab +≥，222bc bc +≥，222c a ca +≥，所以可得222a b c ab bc ca ++≥++，所以2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++，利用基本不等式，即可得证.【详解】（1）若1c =，则2a b +=，2b a =-，∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥，当且仅当()(42)0x a x a --+≤时等号成立，∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥，∴432a -≥或432a --≤，解得23a ≤或2a ≥． （2）证明：∵222ab ab +≥，222bc bc +≥，222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++≥++，即222a b c ab bc ca ++≥++，∴2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++， ∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 当且仅当1a b c ===时等号成立．【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式、绝对值的三角不等式，并灵活应用，在应用基本不等式时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，推理证明的能力，属中档题.。
2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷(三)数学试题(PDF版)
2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数13i2iz -=+的虚部为 A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-2. 设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣, 若A B A =U , 则实数m 的取值范围是 A. ∅B. [3,1]--C. (1,3)-D. [1,3]-3. 已知()f x 为幂函数, 且1(8)4f =, 则(4)f = A. 12D.1164. 已知某地区成年女性身高X (单位:cm)近似服从正态分布()2160,N σ, 且(158160)0.2P X <=…, 则随机抽取该地区 1000 名成年女性, 其中身高不超过162cm 的人数大约为 A. 200B. 400C. 600D. 7005. 已知{}n a 为等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和. 若10370,0S a a <+>, 则当n S 取最大值时,n 的值为 A. 3B. 4C. 5D. 66. 设抛物线24x y =的焦点为F , 若222:(4)(0)M x y r r +-=>e 与抛物线有四个不同的交点, 记y 轴同侧的两个交点为, A B , 则||||FA FB ⋅的取值范围是 A. (0,4)B. (5,9)C. (0,9)D. (4,9)7. 在()522x x +-的展开式中, 含4x 的项的系数为A. -120B. -40C. -30D. 2008. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家, 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD 中,AB BD ==将ABD V 沿BD 进行翻折, 使得AC =. 按张衡的结论, 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为A. 72B.C.D. 二、不定项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)9. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下22⨯列联表.零假设为0H :旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得2 4.087χ≈,则下列说附: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名, 其小于 40 岁的概率为1950B. 在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取 6 人, 再从中随机选取 2 人做进一步的访谈,则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为35C. 根据0.01α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄没有关联, 且犯错误概率不超过0.01D. 根据0.05α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄有关联, 且犯错误概率不超过0.05 10. 已知222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=e e . 则下列说法中, 正确的有A. 若(1,1)-在1O e 内, 则0m …B. 当1m =时, 1O e 与2O e 共有两条公切线C. 若1O e 与2O e 存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫⎪⎝⎭D. m ∃∈R , 使得1O e 与2O e 公共弦的斜率为1211. 函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图 1 所示,则下列说法中, 正确的有 A. ()f x 的最小正周期T 为π B. ()f x 向左平移38π个单位后得到的新函数是偶函数 C. 若方程()1f x =在(0,)m 上共有 6 个根, 则这 6 个根的和为338πD. 5()0,4f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的动点M 到直线240x y -+=的距离最小时, M 的横坐标为4π12. 公元前 300 年前后, 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著, 书中描述: 把一条线段分割为两部分, 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值, 则这个比值即为“黄金分割比”, 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”. 黄金双曲线 2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一个顶点为A , 与A 不在y 轴同侧的焦点为,F Γ的一个虚轴端点为.B PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦, M 为PQ 中点. 设双曲线Γ的离心率为e , 则下列说法中, 正确的有A. 12e =B. 2||||||OA OF OB =C. OM PQ k k e ⋅=D. 若OP OQ ⊥, 则2211||||e OP OQ +=恒成立三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)13. 已知(2,9),(1,0)a b ==-r r, 则a r 在b r 上的投影向量为_____. (用坐标表示) 14. ()ln f x x x =在1x =处的切线方程为_____.15. 各数位数字之和等于 8 (数字可以重复) 的四位数个数为_____.16. 已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-, 则22x y +的最小值为_____. 四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)还原糖不达标会影响糖果本身的风味, 同时还原糖偏高又会使糖果吸潮, 易使糖果变质, 不耐贮存, 影响糖果的质量. 还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等. 现采用碘量法测定还原糖含量, 用0.05mol /L 硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液, 记录耗用硫代硫酸钠的体积数(mL), 试验结果见下表.附：回归方程ˆˆˆybx a =+中,()()()1122211ˆˆˆ,nny iii ii i nni ii i x x y x y nxybay bx x x xnx -====--===---∑∑∑∑. (1) 由如图 2 散点图可知,y 与x 有较强的线性相关性, 试求y 关于x的线性回归方程; (2) 某工厂抽取产品样本进行检测, 所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL , 则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?18. (本小题满分 12 分)在ABC V 中, 角,,A B C 成等差数列, 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . (1) 若2A C π-=, 求:a c 的值;(2) 若a ab b a b c+=++, 判断ABC V 的形状.19. (本小题满分 12 分)某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为35. 由于受心理因素的影响,每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变, 若前一次击中目标, 下一次击中目标的概率为34; 若第一次末击中目标, 则下一次击中目标的概率为12.(1) 记该运动员第n 次击中目标的概率为n P , 证明: 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出 {}n P 的通项公式;(2) 若该运动员每击中一次得 2 分, 未击中不得分, 总共射击 2 次, 求他总得分X 的分布列与数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图 3, 在三棱锥D ABC -中, 二面角D AB C --是直二面角,AB BD ⊥, 且,AB BD AC BC ==, P 为CD 上一点, 且BP ⊥平面ACD .,E F 分别为棱,DA DC 上的动点, 且DE DFDA DCλ==.(1) 证明: AC BC ⊥;(2) 若平面EFB 与平面ABC , 求λ的值.21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy 中, 设点11,0,,033P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 点G 与,P Q 两点的距离之和为4,3N 为一动点, 点N 满足向量关系式:0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r.(1) 求点N 的轨迹方程C ;(2) 设C 与x 轴交于点,A B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点 (且不与,A B 重合). 设直线,AM x 轴与直线4x =分别交于点,R S , 取(1,0)E , 连接ER , 证明: ER 为MES ∠的角平分线.22. (本小题满分 12 分) 设()e 21x f x a x =--, 其中a ∈R . (1) 讨论()f x 的单调性;(2) 令5()e ()(0)4x F x f x a a=+≠, 若()0F x …在R 上恒成立, 求a 的最小值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）∵1(24681012)76x =+++++=，624.84y =，24.844.146y ==， 61217.28i ii x y==∑，621364i i x ==∑，∴1221666217.2824.84743.4ˆ0.62364649706i ii ii x yx ybxx ==--⨯====-⨯-∑∑，………………………………（4分）∴ˆˆ 4.140.6270.2ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.620.2yx =-．………………………………………（6分） （2）令ˆ0.620.2 2.90yx =-=，解得5x =， ∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL 的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵A B C ，，成等差数列，∴2A C B +=，……………………………………………………………………………（1分）又πA C B ++=， ∴π3B =，2π3A C +=， 又π2A C -=， ∴1π2πππ7π2234312A ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，12πππππ2323412C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………………………………（3分）∴1ππ7πsin sin 24312:sin :sin πππsin sin 1234a c A C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎪⎝⎭======⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭2=+5分）（2）由题意可得，22a ab ac ab b ++=+，即22b a ac =+，………………………………………………………………………………………（6分） 由余弦定理结合（1）可得22221cos 2222a cbc ac c a B ac ac a +---====，∴2c a =，…………………………………………………………………………………（8分） ∴由正弦定理可得sin 2sin C A =，又2ππ3A B C C =--=-，∴2πsin 2sin sin 3C C C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，…………………………………………（10分） ∴cos 0C =，又(0π)C ∈，， ∴π2C =，ABC △为直角三角形. ……………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）由题意，当*n ∈N 时，13111(1)4224n n n n P P P P +=+-=+g g ， ………………………………………………………………………………………（2分） 则12111234643n n n P P P +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，………………………………………………………（4分）又121315P -=-， 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∴是首项为115-，公比为14的等比数列，12113154n n P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴，11121543n n P -⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴(*)n ∈N . ……………………………………………………（6分） （2）记i A 为第i 次射击击中目标，则由题意可得13()5P A =，213(|)4P A A =，211(|)2P A A =， X 可取到的值为024，，，且 12211121(0)()(|)()255P X P A A P A A P A ====⨯=，212121*********(2)()()(|)()(|)()254520P X P A A P A A P A A P A P A A P A ==+=+=⨯+⨯=， 12211339(4)()(|)()4520P X P A A P A A P A ====⨯=， 则X 的分布列为：……………………………………………………………………………………（10分）∴1795()024520202E X =⨯+⨯+⨯=. …………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面DAB ⊥平面ABC ，平面ABC I 平面ABD AB =，AB BD ⊥，且BD ⊂平面ABD ， BD ⊥∴平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ， ∴BD AC ⊥，又BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BP AC ⊥，且BP BD B =I ，BP BD ⊂，平面BCD ，AC ⊥∴平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，∴AC BC ⊥. ……………………………………………………………………………（4分）（2）解：法一（几何法）：DE DFDA DCλ==∵， EF AC ∥∴，如图3，过点B 作直线l 平行于AC ，则l AC EF ∥∥， 则l 同时在平面EFB 与平面ABC 内，是两平面的交线， 又由（1）AC ⊥平面BCD ，可得AC FB ⊥，AC BC ⊥， ∴BC l ⊥且FB l ⊥，∴由二面角的平面角的定义可得FBC ∠是平面EFB 与平面ABC 所成角，………………………………………………………………………………………（8分） 设2AB BD ==，则BC AC == 过点F 作FM BC ⊥于点M ， 则122FM FCFM BD CDλλ==-⇒=-，且BM DFBM BC DCλ==⇒=，cos FBC ∠=∵，tan FM FBC BM ∠===∴，解得12λ=. ……………………………………………………………………………（12分） 法二（向量法）：如图4，以点C 为原点，分别以CB ，CA ，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB BD ==，则AC BC ==∴(000)C ，，，(00)A，00)B ，，02)D ，，则(2)DA =-u u u r，(02)DC =-u u u r ，，(002)DB =-u u u r，，， ………………………………………………………………………………………（6分） 由DE DFDA DC λ==，可得(2)DE DA λλ==-u u u r u u u r ，，(02)DF DC λλ==-u u u r u u u r，，，图3图4(00)EF DF DE =-=u u u r u u u r u u u r ，，∴，22)EB DB DE λ=-=-u u u r u u u r u u u r ，，，………………………………………………………………………………………（8分） 设1111()n x y z =u u r ，，为平面EFB的法向量，则11110(22)0y x y z λ⎧=⎪+-=，，可得一组解为101n λλ⎫=⎪-⎭u u r ，，……………………………………………………（10分） 取平面ABC 的法向量2(001)n =u u r，，，则121212|||cos |||||n n n n n n λ<>===u u r u u ru u r u u r g uu r u u r ， ， 令01m λλ=>-=，化简得2232m m =+，即1m =，12λ=. ……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：设点()N x y ，，()G x y ''，，则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为42||33PQ ⎛⎫>=⎪⎝⎭， 可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆，其轨迹方程为229314x y ''+=． 由0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r ，可得33x yx y ''==，，代入点G 的轨迹方程，可得：22931433x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y C +=：．…………………………………………………（4分） （第一问也可以利用几何法：由条件可知G 为NPQ △的重心，延长PG ，QG ，必分别交NQ ，NP 的中点（分别设为H ，I ），取1(10)F -，，2(10)F ，，则12||||2||NF NF HP +=+ 12332||2||2||3(||||)4||22IQ GP GQ GP GQ F F ⎛⎫⎛⎫=+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆定义可得C 的方程．）（2）证明：设点00()M x y ，，则00(1)1y ME y x x =--：，即000(1)0y x x y y ---=， 00(2)2y MA y x x =++：，令4x =，得0062y y x =+，00642y R x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴，……………………………………………（6分） 过R 作直线ME 的垂线，垂足为点T ，则要证ER 为MES ∠的角平分线，只需证||||RT RS =，又||RT ===，006||||||2R y RS y x ==+，………………………………………………………………………（8分） 00y ≠∵，||||RT RS =∴2=，即222000(4)4[(1)]x y x -=+-时，又00()x y ，在C 上，则2200143x y +=，即22004123y x =-， 代入上式可得22200000168123484x x x x x -+=-+-+恒成立，ER ∴为MES ∠的角平分线得证．……………………………………………………（12分）（第（2）问也可利用二倍角公式，证明221REME REk k k =-） 22．（本小题满分12分）解：（1）()e 2x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；………………………………………………………………………………………（2分）②当0a >时，()f x '在R 上单调递增，且当()0f x '=时，2ln x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增.………………………………………………………………………………………（4分）（2）55()e ()e (e 21)044x x x F x f x a x a a=+=--+≤∵，∴若0a >，5(0)11104F a a =-+>≥，与()0F x ≤在R 上恒成立矛盾， ∴0a <，…………………………………………………………………………………（6分）则()e (e 21e 2)e (2e 23)x x x x x F x a x a a x '=--+-=--， 令()2e 23x h x a x =--，则由0a <可知()h x 在R 上单调递减， 又当0x <时，e 1x <，2e 2x a a >，232(23)302a h a a -⎛⎫>---= ⎪⎝⎭∴，又(0)230h a =-<，02302a x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得000()2e 230x h x a x =--=，………………………………（8分）0023e 02x x a+=>∴， 0a <∵，∴0032302x x +<<-，，且当0()x x ∈-∞，时，()0()0()h x F x F x '>>，，单调递增；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x F x F x '<<，，单调递减， 0000max 000232355()()e (e 21)214224x x x x F x F x a x a x a a a a++⎛⎫==--+=--+ ⎪⎝⎭∴ 220000011[(23)(42)(23)5](448)044x x x x x a a=+-+++=--+≤， ……………………………………………………………………………………（10分）又0a <，∴2004480x x --+≥，解得033[21]222x ⎛⎫⎡⎫∈--∞-=-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭I ，，，， 令23()2e xx m x +=，则22321()2e 2e x x x x m x ----'==在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上恒大于0， ()m x ∴在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上单调递增，2min21e (2)2e 2a m ---=-==∴．…………………………………………………………（12分）。
云南师大附中2021届高三适应性月考(二)理科数学试题 Word版含解析
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件由 可得 ，即 且 ，可得答案.
【详解】根据条件由
则 ，所以 且
所以
故选:C.
【点睛】本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题.
理科数学试卷
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A,再求交集.
【详解】由题意知 ， ，
所以 ，
故选:D.
【点睛】本题考查求分式不等式和集合求交集，属于基础题.
【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图中数据可分别计算求得平均数，根据数据分散程度可确定方差大小.
【详解】 ，
，
；
由茎叶图可知，甲年级的成绩集中在 多分，即集中在平均分附近，而乙年级的成绩比较分散，所以 .
故选： .
【点睛】本题考查根据茎叶图比较平均数和方差的大小关系问题；比较方差大小的关键是明确数据越集中，则方差越小，属于基础题.
A. B.
C. D.记原点为 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，代入 选项中进行整理可知 正确； ，知 错误.
【详解】设直线 ， ， ，
由 得： ，
， ， ，
，故 正确；
当 时，
，
当 时，经检验 亦成立，故 正确；
，故 正确；
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.
9．正四面体 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体 ，则正四面体 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，从而可求出球的半径，得出球的表面积.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式进行化简，即可求解.
【详解】
根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，
可得
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
4．已知双曲线的方程为 ，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（）
【详解】
解：（1）补充 的列联表如下：
更擅长理科
其他
合计
男生
22
33
55
女生
9
36
45
合计
31
69
100
所以 ，
所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.
（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，
所以 的可能取值为0，1，2，
故 ， ， ，
所以 的分布列为
0
1
2
所以
【点睛】
由 ，即 ，
所以 关于直线 对称，所以C是正确的；
由 ，
所以 关于点 对称，所以D是正确的；
由 ，
令 ， ，
令 ，
，
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考化学试题卷(七)(解析版)
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（七）可能用到的相对原子质量: H-1 C-12 N-14 O-16 Si-28 S- 32 Fe- 56一、选择题7.化学与生产生活息息相关，下列说法错误的是（）A.侯氏制碱法的工艺流程中应用了物质溶解度的差异B.高温结构陶瓷、压电陶瓷、透明陶瓷、超导陶瓷都是新型陶瓷，均属于硅酸盐产品C.我国在西周时期已发明了“酒曲”酿酒工艺，“酒曲”是一种酶D.塑料、合成橡胶和合成纤维三大合成材料主要是以石油、煤和天然气为原料生产的8.有机物CalebinA可用于治疗阿尔茨海默症，其结构如图1所示，下列有关该有机物的说法正确的是（）A.分子中含20个碳原子B.苯环上的一溴代物有3种(不考虑立体异构) .C.分子中含5种官能团D.既能与浓溴水发生反应，又能与NaHCO3溶液反应放出CO29.N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）A.90g SiO2所含分子数为1. 5N AB.标准状况下，22. 4L氯仿中共用电子对数为4N AC.1mol Na2O2与足量CO2充分反应，转移的电子数为2N AD.6g石墨中含碳碳单键的数目为0.75N A10.下列有关实验的说法正确的是（）A. H2还原CuO时应先加热后通H2B.石蜡油分解实验中，碎瓷片的作用是催化剂C. NO2与溴蒸汽均为红棕色气体，可用湿润的淀粉-KI试纸鉴别D.向Cu与过量浓硫酸反应后的试管中加水以观察CuSO4溶液的颜色11.下列离子方程式正确的是（）A.向次氯酸钠溶液中通人少量二氧化碳: Cl -+CO 2 +H 2O==HClO+HCO 3-B.向稀硝酸中滴加亚硫酸钠溶液: SO 32- +2H +=SO 2↑+H 2OC.酸性溶液中碘酸钾与碘化钾反应: IO 3-+I - +6H +==I 2+3H 2OD.用高锰酸钾标准溶液滴定草酸: 2MnO 4-+5C2O 42-+16H + =2Mn 2+ +10CO 2↑+8H 2O12.短周期元素W 、X 、Y 、Z 在周期表中的相对位置如下表所示。