第5讲 高斯光束
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高斯光束聚焦和准直ppt课件
l
F
l F F 2 l F 2 f
2
F
l F F 2
l
F
2
02
'02
F
02 F 2
l 2
f
2
02 F 2
F
l 2
02
2
五、高斯束的自再现变换与稳定球面腔
12
1、意义-获得腔稳定条件
02
2
q0= if f = w02/
qc lc l l q0
10
F
1 2
l 1
02 l
2
或 Rl 2F
物高斯束在透镜表表面上的等相面的曲率半径
四、球面反射镜对高斯光束的自再现变换
l f
(3) 取 l 0 ，并设法满足条件 f F 。
二、高斯光束的准直
1、核心问题：减小发散角，提高方向性。
01
e2
lim
z
2 z
z
2
0
途径：提高光束束腰半径
'02
F
02F 2
l
2
02
2
选择 0 F、l 取值
R 2B D A
B
4 1 A D2
4
公式讨论(见书上)
要存在真实的高斯模，必须ω为实数。则：
A
D
2
1
2
第三章--高斯光束及其特性
qM
AqM B 1 CqM D qM
D Ai 2B
1 (D A)2 4 B
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
2
0 (z)
z
R(z
)
1
1
2(z) R(z)
R(z) 2
2
(
z
)
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00
(
x
,
y
,
z
)
c00
0 (z
)
exp[
x2
2(
y2 z)
]exp{
i[k
(
z
x2 y2 ) arctg 2R(z)
1 11
q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
(l
F2 f F )2
l(l F ) f (l F )2 f
z f
]}
u00 ( x,
y, z) c00
0 exp{ik (z)
x2
激光原理：第5次课 第2.2-2.3节
2
uj
= 1− e−2α
=1−
1
γ
2
(2.3-5)
其中 γ = eα。δd为单程总损耗因子（包括几何和衍射损耗等）
3.单程相移:
δΦ
=
arg u j+1
−
arg u j
=
−β
=
arg
1
γ
(2.3-6)
§2.3 开腔模式的概念和理论分析方法
4.开腔自再现模的谐振条件:
单程相移为π的整数倍，即 δΦ = −β = qπ, (q=0, 1,2,…)
子波空间分布因子”。 k=2π/λ为波矢量的模。
§2.3 开腔模式的概念和理论分析方法
[推广]：光波经过j次传播后，产生的场uj+1(x,y)与源场uj(x′,y′) 之间的关系：Biblioteka ∫∫ uj+1(x,
y)
=
ik
4π
S
uj
(x′,
y′)
e−ikρ
ρ
(1+ cosθ )dS′
(2.3-2)
[说明]：对于对称性光腔（两个相同反射镜平行放置），将 坐标(x′,y′)与(x, y)互换，上式结果不变。
−1)φ
⎟ ⎠
(2.2-4)
其中
φ = arccos ( A + D) 2
。另外，坐标变化还可写作
⎧r
⎨⎩θ
(n) (n)
= =
An Cn
r1 r1
+ +
Bnθ1 Dnθ1
(2.2-5)
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
二. 共轴球面腔的稳定性条件
1. 稳定性条件：要求近轴光线往返传播n次不逸出腔外。
uj
= 1− e−2α
=1−
1
γ
2
(2.3-5)
其中 γ = eα。δd为单程总损耗因子（包括几何和衍射损耗等）
3.单程相移:
δΦ
=
arg u j+1
−
arg u j
=
−β
=
arg
1
γ
(2.3-6)
§2.3 开腔模式的概念和理论分析方法
4.开腔自再现模的谐振条件:
单程相移为π的整数倍，即 δΦ = −β = qπ, (q=0, 1,2,…)
子波空间分布因子”。 k=2π/λ为波矢量的模。
§2.3 开腔模式的概念和理论分析方法
[推广]：光波经过j次传播后，产生的场uj+1(x,y)与源场uj(x′,y′) 之间的关系：Biblioteka ∫∫ uj+1(x,
y)
=
ik
4π
S
uj
(x′,
y′)
e−ikρ
ρ
(1+ cosθ )dS′
(2.3-2)
[说明]：对于对称性光腔（两个相同反射镜平行放置），将 坐标(x′,y′)与(x, y)互换，上式结果不变。
−1)φ
⎟ ⎠
(2.2-4)
其中
φ = arccos ( A + D) 2
。另外，坐标变化还可写作
⎧r
⎨⎩θ
(n) (n)
= =
An Cn
r1 r1
+ +
Bnθ1 Dnθ1
(2.2-5)
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
二. 共轴球面腔的稳定性条件
1. 稳定性条件：要求近轴光线往返传播n次不逸出腔外。
【精品】课件---04-高斯光束
r2
w2 z
exp
i
kz
arctan( z w02
)
exp[i
r2 ] 2R(z)
2.基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
x,
y,
z
k
z
r2 2R(z)
arctan
z w02
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后
R(z) 符号意义为：如果R>0，则球面轴线上的半径方向为z正方向； 如果R<0，则为z负方向。
3
u0
x,
y, z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp i
kz
z arctan( w02
) exp[i
r2 ]
2R(z)
式中：
wz w0
1
z w02
2
w0
1
z z0
2
与轴线交于z点 的等相位面上 的光斑半径
11
二、高阶高斯光束
一）在直角坐标系下的场分布(方形孔径)
高阶高斯光束场的形式：由厄米多项式与高斯函数乘积描述
umn
x,
y,
z
Cmn
w0
wz
Hm
2x
w(
z)
Hn
2y
w(z)
exp
r2
w2
z
exp
i
kz
(1
m
n)
arctan
z w02
exp
i
r2 2R(z)
w0
2
1
z zR
4. 远场发散角
高斯光束的传播讲义
高斯光束的传播一、 高斯光束的传播规律为了比较起见，我们仍从一般均匀球面波的传播讨论开始。
如图1所示，一个静止点光源发出的球面波，垂直于等相面方向的距离为z 的任意两个等相面的z图1曲率半径，应满足21R R z =+（1）的方程，曲率半径的符号是这样规定的：从正无穷远处看到凸的波阵面R 为正；看到凹的波阵面R 为负。
若球面波通过焦距为f 的薄透镜，由物象关系得知，透镜前后曲率半径R 1，R 2满足21111R R f=- （2）这里规定凸透镜的0f >，凹透镜的0f <。
我们曾讨论过近轴光线通过光学元件的传播满足的矩阵关系2121x x AB CD θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭近轴球面波通过光学元件前后的曲率半径分别为121212,x x R R θθ==因此1211112121111x A Bx Ax B AR B R x C x D C R DCDθθθθθ+++====+++ （3）所以对于一般均匀球面波，只用一个参数——曲率半径R 就可完全描述其传播和变换的特性。
与普通球面波不同，高斯光束必须由两个量即R （z ）和w (z)来描写。
但下面将看到，对于高斯光束——非均匀的、曲率中心不断变化的球面波——也具有一个与一般球面波曲率半径R 的作用类似的复曲率半径q (z )，它可被用来描述高斯光束的传播行为。
在推导高斯光束表达式时，我们已经得出复曲率半径在均匀空间传播的表达式，具体过程可以参考伍长征编写的《激光原理》书中的（3.3-14）式，即21q q z=+ （4）这里21,q q 分别为传播方向上任意两点21,z z 处的复曲率半径，z 为两点间距离，21z z z =-，参见图2(a)。
再看高斯光束通过薄透镜的变换，如图2(b)。
令薄透镜焦距为f ，由于是近轴光线，波阵面是一球面，透镜前后曲率半径应满足21111R R f=-,000(,)q w R 111(,)q w R 222(,)qwR z 1z 2图2(a)f 20w 10w q 1q 2图2(b)又透镜足够薄，两侧光斑尺寸相等，即12w w =，与上式合并，可以变形为22222112121()i iR kwR kw f-=-- (5)由复曲率半径定义式2112()()()i q z R z kw z =-，可得21111q q f=-（6）比较（4）式和（6）式与（1）式和（2）式知道，利用复曲率半径q ，形式上完全可等价于球面波的曲率半径R 。
2-5高斯光束
q参数
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R 2 w 0 3.14 10 6 解 (1) w f f 1m
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
1 R 0 R FR R 1 R F R R 1 1 F F
或
Ru
1 1 1 u v F 1 1 1 R v R R F
R FR FR
R
R
o u
F
v
o
z
1 1 1 FR R R F FR
二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
2 m ( z ) (2m 1) 2 ( z ) 2 n ( z ) (2n 1) 2 ( z )
在x方向和y方向 的远场发散角
m lim
2 m ( z ) 2 2m 1 2m 1 0 z z 0
2 n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0 由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以 多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
2 lim
2 ( z ) z z
( z) 0
z 2 1 ( 2 ) 0
2 2
2 2 L 0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2 2 2 2 L q f(w0)
O
q f(w0) Z
O
l F l
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
6-高斯光束-聚焦
= 1m
z = 0.5m
q (= z + if ) =0.5 + i (m)
(2)
w(z)(= w0
1+
z2 f2
)
=
w0
1+
0.52 12
= 1.12mm
R(z)(= z + f 2 ) = 0.5 + 12 = 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处 z 的光斑半径为w= 1mm, 等相位面
曲率半径为R = 0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参数
焦距 F = 1m 的凸透镜置於其腰 右方 l = 2m处,求经透镜变换后
q q′
f(ω 0)
O
f′(ω ′0) Z
O′
的像光束的焦参数f ′、其腰距透
镜的距离l ′以及ω ′0 /ω 0 解 q=2+i
l F l′
q′ = Fq = 2+i = (2+i)(−1+i) = −2−i +2i −1 = −3+i
ω0' =
F
ω0 (l −F)2 + f 2
高斯光束的聚焦例子
例1：波长为3.14μm的高斯光束，腰半径 1mm，使用焦距F=0.1m的透镜对它
进行聚焦，分别将腰置于透镜处、距
离透镜２m处,求聚焦后的腰半径及其
位置。
F
ω0
ω ′0
Z
l l′
高斯光束的聚焦例子
这对应于F固定，变化l的情况
ω0'
ω0 １ F
f
′
=
(l
F2 −F)2
+
f2
f
f
高斯光束
f2 R(z) = z + z
1 z = 2 2 R z +f
讨论
腰处的q参数 腰处的 参数
q0=q(0)=if
λ z w(z) = (f + ) π f
2Leabharlann fz参数 fz参数q(z) = z + if
f R(z) = z + z
2
WR参数 参数
λ 1 1 = i 2 q(z) R(z) πw (z)
2 2
1 1 f2 ①当 F = 2 R(l) = 2 (l+ l ) 时,
F w0
w′0 ′ Z
证
l +f l(l )+ f 2 2 l(l F) + f 2 l +f2 2l ∴l′ = ( ) F= 2 2 2 2 l +f 2 2l (l F) + f 2 (l ) +f 2l
l
l′
z=1m f=1m
w0 = λf = π 3.14×106 ×1 =1m m 3.14
腰位置为在该处左方1m处 腰位置为在该处左方 处
(2)
1 1 1i 1 1 = = = i q 1+ i 2 2 2
1 1 = R 2
R = 2m
1 = 2 πW 2
λ
W=
2λ
2×3.14×106 = =1.414mm π 3.14
q f(w0)
O
q′ ′ f′(w′0) ′ ′
O′ ′
Z
l F l′
某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距 将焦距F=1m 例1 某高斯光束焦参数为 将焦距 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 的凸透镜置於其腰右方 处 求经透镜变换 后的像光束的焦参数f′及其腰距透镜的距离l′ 后的像光束的焦参数 ′及其腰距透镜的距离 ′ 解 q=2+i
3[1].3高斯光束的传播特性(新)
3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
厄米-高斯光束 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 高斯光束 1、推导方法 、 镜面上的场 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分公式 腔内、 腔内、外任一点的场
2、腔中的场分布——是由腔的一个镜面M1上的场产生，并沿 腔中的场分布——是由腔的一个镜面 上的场产生， —— 着腔的轴线而传播的行波场。 着腔的轴线而传播的行波场。
当 z0 = 0 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z0 → ∞ 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z 0 = ± f 时，R( z ) = L
0
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面， 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 且曲率半径最小。 ，且曲率半径最小。
2 z0 x2 + y 2 x2 + y 2 L ≈− =− 2 L L 2 2 z0 1+ 2 z0 1 + L 2 z0
R0 = z 0 [1 + (
L 2 ) ] 2 z0
腔中点或距腔中点无限 远处， 远处，等相面为平面
定义
ζ = 2z L
y⋅
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 得共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 ⋅ ⋅ umn ( x, y , z ) = Cmn H m x H n 1+ ζ 2 w 1+ ζ 2 w s s 2 x2 + y2 exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp (− iφ (x, y , z )) s
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
厄米-高斯光束 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 高斯光束 1、推导方法 、 镜面上的场 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分公式 腔内、 腔内、外任一点的场
2、腔中的场分布——是由腔的一个镜面M1上的场产生，并沿 腔中的场分布——是由腔的一个镜面 上的场产生， —— 着腔的轴线而传播的行波场。 着腔的轴线而传播的行波场。
当 z0 = 0 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z0 → ∞ 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z 0 = ± f 时，R( z ) = L
0
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面， 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 且曲率半径最小。 ，且曲率半径最小。
2 z0 x2 + y 2 x2 + y 2 L ≈− =− 2 L L 2 2 z0 1+ 2 z0 1 + L 2 z0
R0 = z 0 [1 + (
L 2 ) ] 2 z0
腔中点或距腔中点无限 远处， 远处，等相面为平面
定义
ζ = 2z L
y⋅
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 得共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 ⋅ ⋅ umn ( x, y , z ) = Cmn H m x H n 1+ ζ 2 w 1+ ζ 2 w s s 2 x2 + y2 exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp (− iφ (x, y , z )) s
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
高斯光束基本性质及特征参数PPT教案学习
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
(5) 远场发散角
x方向： m
lim
z
2m
z
z
y方向： n
lim
z
2n z
z
2
2m 1
0 2n 1 2
0
2m 10 0 2n 10 0
第10页/共24页
2、拉盖尔—高斯光束(由圆形镜共焦 腔或一 般稳定 腔产生)
高斯光束：可能有 l' 0 (如 l 0 时), 即可能成实像。
3、由(2)式可求得透镜后焦面上的光斑大小。
第22页/共24页
方法：令 lc F ，可推得此时有：
c
0
F
作业：P99: 14, 15
第23页/共24页
(1)沿z方向传播的拉盖尔—高斯光束
mn
x,
y,
z
cmn
1
z
2r
z
m
Lmn
2r 2
2 z
e
r
2
2
z
i
e
k
z
r2 2R
m 2 n 1arc tg
z f
c os m sin m
a、横向振幅分布
1
z
2r
z
m
Lmn
2r 2
2 z
e
r
2
2
z
cos m sin m
第11页/共24页
b、花样：沿辐角方向有m条节线直径 ，沿半 径方向 有n个 节线圆 。 (3)相移特征
—ABCD公式
第14页/共24页
二、高斯光束q参数的变换规律——AB CD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输 规律的 对应