人教版八年级数学 下册 第17章 勾股定理 同步练习
八年级数学下册第17章勾股定理同步练习
一、选择题
1．（3分）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）
A．3，5，9 B．4，6，8
C．1，3，2 D.3，5，6
2．如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．（a+c）2=b2
3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B．若A、B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）
A.北偏西30°
B.南偏西30° C．南偏东60° D.南偏西30°
4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A.90°
B.60°
C. 45°
D.30°
5．（3分）下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）
A．7，24，25 B．1.5，2，2.5
C．，1， D．40，50，60
7．在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的中线长是( )
A.34
B.26
C.8.5
D.6.5
8．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，判断△ABC的形状（）A.等腰三角形 B．直角三角形
C.等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
9．若长为5cm，12cm，a cm的三条线段首尾顺次连接恰好围成一个直角三角形，则a的值是．
10．若三角形三条边的长分别为7，24，25，则这个三角形的最大内角是度．11．将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是．
12．若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为．
14．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm ，则其面积为 ．
15．已知直角三角形斜边长为（263+）cm ，一直角边长为（623+）cm ，则这个直角三角形的面积是 cm 2
．
16．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
三、计算题
17．如图，在四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，∠B=90°．
求四边形ABCD 的面积．
18．如图，在正方形ABCD 中AC 与BD 交于点O ，形外有一点E ，使∠AED ＝90°，且DE=3，OE=24，则AE= ．
19．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为
1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？
20．已知ABC ∆中， 90=∠ACB ，8=AC ，6=BC ．在射线BC 上取一点D ，使得ABD
∆为等腰三角形，这样的三角形有几个？请你求ABD ∆的周长．
A
C
B
四、解答题
m =8n﹣n2﹣16，求三角形三边长21．已知m，n，d为一个直角三角形的三边长，且有5
分别为多少？
22．（本小题6分）如图，RA⊥AB，QB⊥AB，P是AB上的一点，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，求AB的长度．
23．三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km，BC=12km，AC=13km，要从B修一条公路直达AC，已知公路的造价为26000元/Km，求修这条公路的最低造价是多少?
24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别是边AC、BC上的动点．AB=，设AE=x，BF=y．
（1）AC的长是；
（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；
（3）当DE ⊥DF 时，试探索x 、y 的数量关系．
参考答案
1．C.
2．B ．
3．C
4．C
5．D
6．D
7．D
8．D ．
9．13或119
10．90
11．2cm ≤h ≤3cm
12．10或27
13．∠A,∠C
14．150cm ²．
15．36
332+．
16．1360
17．36cm 2．
18．5
19．0.5．
20．3个，32m 或()2045m +．或80
m 3．
21．3或41
22．h ．
23．120000元．
24．24．
25．（1）4；（2）5；（3）x+y=4．。
17.1.1 勾股定理 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。
人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理练习(含答案)
第十七章 勾股定理一、单选题1．若Rt △ABC 中，∠C =90°,c =13,a =5则b =（ ）A ．√194B ．12C ．11D ．102．下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.30.40.5,,BC ．6,8,10D ．1.5,2,2.5 3．在△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果△A ﹣△B ＝△C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且△C ＝90°C ．如果△A ：△B ：△C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形4．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）米．A ．5B ．7C ．8D ．126．一根长18cm 的牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是( )A ．5cm ＜h ≤6cmB ．6cm ＜h ≤7cmC ．5cm ≤h ≤6cmD ．5cm ≤h ＜6cm 7．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里 8．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．1B ．C ．2.8D ．19．已知a ，b ，c 是ABC V 的三条边长，且满足22(5)12261690a b c c -+-+-+=，则关于ABC V 的形状判断正确的是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形且△B=90°D ．直角三角形且△C=90°10．如图,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与平面直角坐标系的坐标原点O 重合，AC ，BC 分别在坐标轴上，AC =BC =1，△ABC 在x 轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C 第一次落在x 轴正半轴上时，点A 的对应点A 1的横坐标是( )A ．2B ．3C ．D ．二、填空题 11．在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，15AB =，:3:4AC BC =，则这个直角三角形的面积是____．12．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米.13．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）14．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50＝6a+8b+10c ，那么这个三角形一定是______．三、解答题15．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB 在静止位置时，下端B 离地面0.6m ，荡秋千到AB 的位置时，下端B 距静止位置的水平距离EB 等于2.4m ，距地面1.4m ，求秋千AB 的长．16．如图，在三角形纸片ABC 中，90513ACB BC AB ∠=︒==，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合． （1）AC 的长=________．（2）求CE 的长17．已知：如图，在△ABC 中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD△BC ，垂足为点D ，求BC 的长．18．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中△B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4m ，CD ＝12m ，AD ＝13m ，求这块草坪的面积．19．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长答案1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．A9．D10．D11．5412．1313．答案不唯一，如：AD 14．直角三角形15．4m16．（1）12；（2）103 CE17．2118．这块草坪的面积为36平方厘米．19．12，13或3，4。
人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3 2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA 5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等8．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD9．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:410．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 11．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 13．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 14．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．20．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．21．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．22．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．23．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．24．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题27．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．28．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B=∠C．30．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B 的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．。
人教新版八年级数学下册 第17章 勾股定理 同步单元练习题
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个2．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米3．在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，则AB的长是（）A．B．2C．1D．4．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（）A．3个B．4个C．6个D．8个5．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1B．C．﹣1D．6．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或97．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s8．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边上一动点（不与点A，B 重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF＝（）A．5B．8C．13D．4.89．如图△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC 的长是（）A．8B．9C．6D．1510．如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，CD＝2，AD＝4，∠A＝90°，则∠ADC的度数为（）A．120°B．105°C．135°D．125°二．填空题（共6小题）11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD＝．12．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别是（+7）cm和（7﹣）cm，则这个直角三角形的周长为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB交AB于点E．若BC＝5，AC＝12，则AE等于．14．如图，直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A在x轴上，∠B＝90°，OA＝5，OB＝3，现将△AOB绕原点O按顺时针方向旋转，得到△DOC，且点C在x轴上，则点D的坐标是．15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4+，BC＝4﹣，则CD的长．16．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝．三．解答题（共7小题）17．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于D．求AD的长．18．（1）如图1，在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；（2）在如，2所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．19．如图，A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）（1）点C到x轴的距离为．（2）△ABC的三边长为：AB＝，AC＝，BC＝．（3）当点P在y轴上，且△ABP的面积为6时，点P的坐标为：．20．如图，在6×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：（1）画出△ABC，使∠ABC＝45°，△ABC的面积为7.5，且点C在小正方形的顶点上；（2）画出以AC为一腰的等腰△ACD，且面积为10；（3）连接BD，直接写出BD的长．21．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理．22．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．23．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形．（2）探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．D．2．A．3．D．4．C．5．A．6．D．7．D．8．D．9．C．10．C．二．填空题（共6小题）11．2．12．（14+6）cm．13．10．14．（3，4）．15．．16．45°．三．解答题（共7小题）17．解：过D作DE⊥AC于点E．∵△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝＝8，∵DB⊥BC，DE⊥AC，CD平分∠ACB，∴DE＝DB，∵∠DBC＝∠DEC＝90°，CD＝CD，∴Rt△CBD≌Rt△CED（HL），∴BC＝EC＝6，∴AE＝4设AD＝x，则DE＝DB＝8﹣x，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，解得AD＝5．故AD的长是5．18．解：（1）如图1，正方形ABCD为所作；（2）如图2，点A为所作．19．解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，AC＝＝，BC＝＝；（3）∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，∴P到AB的距离为：6÷（×6）＝2，故点P的坐标为（0，1）或（0，5）．故答案为：3；6，，；（0，1）或（0，5）．20．解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，△ADC即为所求；（3）BD＝＝．21．解：方法一：证明：大正方形面积可表示为（a+b）2，大正方形面积也可表示为，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝c2+2ab，即a2+b2＝c2，（注：拼图（2分），证明（6分）．）方法二：证明：大正方形面积可表示为c2，又可表示为，∴，∴c2＝2ab+b2﹣2ab+a2，即c2＝a2+b2．（图形（2分），证明（6分），共8分）22．证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，∴AC＝15，又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．23．解：（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；②∵12+（）2＝8，2×22＝8，∴12+（）2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形，故答案为：是；（2）当c为斜边时，则b2＝c2﹣a2＝100﹣50＝50，则a2+b2≠2c2，a2+c2≠2b2，∴Rt△ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，b2＝a2+c2＝150，则有a2+b2＝50+150＝200＝2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形，答：当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．。
人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 习题练习(附答案)
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习（附答案）一、选择题1.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A． 13 cm B． 2√61cm C．√61cm D． 2√34cm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为()A． 13 B． 17 C． 18 D． 253.如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝√7AB，E是AB边上一点，连接CE，当CE＝AB时，AE∶EB的4值是()A． 1 B． 2 C． 3 D． 44.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为()A． 10 m B． 15 m C． 18 m D． 20 m5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为()A． 13 B． 13或√119 C． 13或15 D． 156.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A． 60海里B． 45海里C． 20√3海里D． 30√3海里7.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A． 1 3 4 B． 1.5 2 2.5 C． 4 5 6 D． 7 8 98.直角三角形三边的长分别为3,4，x，则x可能取的值为()A． 5 B．√7 C． 5或√7D．不能确定9.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是()A． 13,12,12 B． 12,12,8 C． 13,10,12 D． 5,8,410.在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC的面积为()A． 60 B． 80 C． 100 D． 12011.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋√b−8＋|c－10|＝0，则三角形的形状是()A．底与腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形12.直角三角形的三边为a－b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为() A． 61 B． 71 C． 81 D． 91二、填空题13.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．14.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．15.如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1)，则点B的坐标是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积为12，中线CD的长度为2，则BC 的长度为________．17.勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.18.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则△ADE的周长是________ cm.19.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．20.一直角三角形两直角边长的比是3∶4，斜边长是20，那么这个直角三角形的面积是________．三、解答题21.在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC 和A′B′C′，并把它们拼成如图形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．22.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3√2千米，AD＝12√3千米．(1)求小溪流AC的长．(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10.(1)求AB的长；(2)求EC的长．24.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 cm，CD＝1 m，求滑道AC的长．答案解析1.【答案】A【解析】如图：∵高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm 与饭粒相对的点A 处，∴A ′D ＝5 cm ，BD ＝12－3＋AE ＝12 cm ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′B ＝√(A′D 2+BD 2＝√52+122＝13(cm)．故选A.2.【答案】C【解析】∵∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝5，∴AB ＝√122+52＝13，根据题意可得EF 是AB 的垂直平分线，∴D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝6.5，CD ＝12AB ＝6.5， ∴△ACD 的周长为13＋5＝18，故选C.3.【答案】C【解析】设AB ＝x ，则AC ＝√74x ， ∵AB ＝EC ＝x ，∴AE ＝√x 2(√74)2＝34x ， ∴EB ＝x －34x ＝14x ，∴AE ∶EB ＝3∶1＝3.故选C.4.【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5 m，AB＝12 m，∴AC＝√AB2+BC2＝√125+52＝13 m，∴这棵树原来的高度＝BC＋AC＝5＋13＝18 m.即这棵大树在折断前的高度为18 m.故选C.5.【答案】B【解析】当12是斜边时，第三边是√122−52＝√119；当12是直角边时，第三边是√122−52＝13.故选B.6.【答案】D【解析】由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60(海里)，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝√AB2−AP2＝30√3(海里)故选D.7.【答案】B【解析】A.12＋32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B．1.52＋22＝2.52，能构成直角三角形，故正确；C．42＋52≠62，不能构成直角三角形，故错误；D．72＋82≠92，不能构成直角三角形，故错误．故选B.8.【答案】C【解析】当x为斜边时，x＝2+42＝5；当4为斜边时，x＝√42−32＝√7.∴x的值为5或√7；故选C.9.【答案】C【解析】A.132≠122＋62，错误；B．122≠82＋62，错误；C．132＝122＋52，正确；D．82≠52＋22，错误．故选C.10.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，∴BD＝1BC＝8，2∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝√172−82＝15，∴S△ABC＝1×15×16＝120，2故选：D.11.【答案】D【解析】∵(a－6)2≥0，√b−8≥0，|c－10|≥0，又∵(a－b)2＋√b−8＋|c－10|＝0，∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0，解得a＝6，b＝8，c＝10，∵62＋82＝36＋64＝100＝102，∴是直角三角形．故选D.12.【答案】C【解析】由题可知：(a－b)2＋a2＝(a＋b)2，解之得a＝4b所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.当b＝27时，3b＝81.故选C.13.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是12×20×48＝480.14.【答案】2.6【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是AB＋2个正方形的宽，∴长为2＋0.2×2＝2.4米；宽为1米．于是最短路径为√2.42+12＝2.6米．15.【答案】(√2，0)【解析】根据勾股定理，得OA＝√12+12＝√2，∴OB＝OA＝√2，∴点B的坐标是(√2，0)．16.【答案】2【解析】∵以AC为边的正方形面积为12，∴AC＝√12＝2√3，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝4，∴BC＝2−AC2＝2.17.【答案】10【解析】∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∠AEF＋∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，{∠A＝∠D，∠AFE＝∠DEH，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD－AE＝4－1＝3，在Rt△AEF中，EF＝2+AF2＝√10，故正方形EFGH的面积＝√10×√10＝10.18.【答案】27【解析】∵AB＝AC＝15 cm，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1BC＝9 cm，2∴∠ADB＝90°，∴AD＝√AB2−BD2＝√152−92＝12(cm)，∵E是AB的中点，∴DE＝1AB＝AE＝7.5 cm，2∴△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝7.5＋7.5＋12＝27(cm)．19.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.20.【答案】96【解析】根据题意设两直角边分别为3k,4k(k＞0)，由斜边为20，利用勾股定理，得9k2＋16k2＝400，即k2＝16，解得k＝4，则两直角边分别为12和16，×12×16＝96，所以这个直角三角形的面积＝1221.【答案】证明在直角三角形ABC中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°，又∵∠ACC′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，∴B、C(A′)、B′在同一条直线上，又∠B＝90°，∠B′＝90°，∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′，连接AC′，过点C′作C′D⊥AB交AB于点D，则四边形ABB ′C ′面积等于三个直角三角形面积，∴12(a －b )(a ＋b )＋(a ＋b )b ＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即12a 2－12b 2＋ab ＋b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.【解析】连接AC ′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．22.【答案】解 (1)∵∠B ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，∴AC ＝√AB 2+BC 2＝√152+152＝15√2千米；(2)∵AC 2＝(15√2)2＝450，CD 2＋AD 2＝(3√2)2＋(12√3)2＝450，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，则∠D ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×15×15＋12×3√2×12√3 ＝225+36√62. 【解析】(1)根据勾股定理即可得；(2)由勾股定理逆定理得∠D ＝90°，从而由S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD 可得答案．23.【答案】解 (1)在Rt △ACD 中，∵∠D ＝60°，CD ＝10，∴AC ＝10√3，∠DAC ＝30°，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝30°，∴在Rt △ACB 中，AB ＝12AC ＝102√6＝5√3.(2)在Rt △ABE 中，∠AEB ＝45°，∴BE ＝AB ＝5√3，由(1)可知，BC ＝√3AB ＝√3×5√3＝15， ∴EC ＝BC －BE ＝15－5√3.【解析】(1)在Rt△ACD中，根据三角函数可求AC＝10√3，∠DAC＝30°，根据平行线的性质得到∠ACB＝30°，在Rt△ACB中，根据三角函数可求AB的长；(2)在Rt△ABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC＝BC－BE即可求解．24.【答案】解设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝(x－1)米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴滑道AC的长为5米．【解析】设AC的长为x米，表示出AE＝(x－1)米，利用在Rt△ACE中AC2＝CE2＋AE2，列出方程求解即可．。
17 勾股定理同步练习(无答案)八年级数学下册人教版
17.1 勾股定理一、单选题1．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．1442．已知点M的坐标为(3,−4)，则下列说法正确的是（）A．点M在第二象限内B．点M到x轴的距离为3C．点M关于y轴对称的点的坐标为(3,4)D．点M到原点的距离为53．⊙O的半径为10cm，弦AB//CD．若AB=12cm,CD=16cm，则AB和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 4．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=0.8米．竹竿高出水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（）A．1.5米B．1.7米C．1.8米D．0.6米5．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A．20√5米B．20米C．40√5米D．100米36．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．(﹣1，0)B．(2−√5，0)C．(√13−3，0)D．(3−√13，0) 7．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（π取3）A．30B．28C．25D．228．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．89．如图，我们知道数轴上的点与实数一一对应，由图中的信息可知点P表示的数是（）A．−√13−2B．−√13+2C．√13−2D．−√1310．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．11．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（）△△ACE△△BCD；△△DAB＝△ACE；△AE+AC＝AD；△AE2+AD2＝2AC2A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为9，则BD2的值为（）2A．13B．12C．11D．10二、填空题BC 13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：△分别以点B和C为圆心，以大于12的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；△作直线MN交边AB于点E．若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为_________．14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___________丈．15．风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为(2,4)，B点的坐标为(6,1)．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．16．如图，Rt△ABC△Rt△FDE，△ABC＝△FDE＝90°，△BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．17．如图，Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=2，BC=4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE=__________.三、解答题18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：△测得水平距离BD的长为15米；△根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；△牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？19．小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知CD=√3，求AB的长．20．如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？21．如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．22．如图，在△ABC中，AD△BC,垂足为D，△B=60°，△C=45°．（1）求△BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．23．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m （即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.1勾股定理同步练习题(含答案)
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.1勾股定理同步练习题（含答案）1 / 617.1《勾股定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有（ ）A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组2．如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A. 90°B. 60°C. 30°D. 45°3．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m4．如图，一个圆桶，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）A. 50cmB. 40cmC. 30cmD. 20cm5．下列说法中正确的是（ ）A. 已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，所以a 2+b 2=c 2D. 在Rt △ABC 中，∠B=90°，所以a 2+b 2=c 26．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A. ∠A+∠C=∠BB. a=13，b=14，c=15C. （b+a ）（b-a ）=c 2D. ∠A ：∠B ：∠C=5：3：27．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( )A. 4米B. 8米C. 9米D. 7米二、填空题8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．如果设AC=x，可列出的方程为________________．9．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10．直角三角形纸片的两直角边AC＝8，BC＝6，现将△ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为__________．11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上中线，若AD△ABC周长为6＋△ABC的面积为____.12．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第7个直角三角形的斜边长为__________.人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.1勾股定理同步练习题（含答案）三、解答题13．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．14．如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？15．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.3 / 6人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.1勾股定理同步练习题（含答案）1 / 6参考答案1．C2．D3．C4．C5．C6．B7．D8．x 2+32=(10-x)29．4.810．11．412． 13．(1)∠BAD＝135°；（2）四边形ABCD 的面积 2+解析：（1）∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC= =2 ，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC 2+DA 2=8+1=9，CD 2=9，∴AC 2+DA 2=CD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故∠DAB 的度数为135°．（2）连接AC ，如图所示：在直角△ABC 中，AC 为斜边，且AB=BC=2，则AC=,∵AD=1，CD=3，∴AC 2+CD 2=AC 2，即△ACD 为直角三角形，且∠ADC=90°，四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD = AB×BC+AD×AC=2+ . 14．10 km.解：作点B 关于MN 的对称点点B '，连接AB '与MN 的交点即为P 点，过A 作AE ⊥BB '于点E ，AE＝A1B1＝8km，B'E＝B1E＋B'B1 =AA1+ BB1=2＋4＝6km，由勾股定理，得AB'＝＝10km，即AP＋BP＝AB'＝10km.∴出口P到A、B两村庄的最短距离之和是10 km.15．70cm.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝＝＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.。
【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)
微课堂第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作AD ⊥BC 于点D ， 设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时 勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图 第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图 第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】 直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图 第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】 如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图 第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )． 如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )． 如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元练习题(含答案)
第十七章勾股定理一、选择题1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为()A． 1.5米B． 2米C． 2.5米D． 1米2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于()A． 86B． 64C． 54D． 483.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC＝8 cm，AC＝17 cm，AB＝5 cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为()A． 5 mB． 4 mC． 3 mD． 2 m4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于()A．B． 2＋1C．D． 55.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为()A． 40 cmB． 60 cmC． 80 cmD． 100 cm6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为()A． 6B． 4.5C． 4.8D． 87.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′()A．小于1 mB．大于1 mC．等于1 mD．小于或等于1 m8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是()A． 5 mB． 12 mC． 13 mD． 18 m二、填空题9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角三角形．(填“是”或“不是”)12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积为__________．15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C 运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)，当x＝__________，△BPQ是直角三角形．三、解答题17.如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和3米．(1)求公益广告牌的高度AB；(2)求∠BDC的度数．21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”任务：(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．答案解析1.【答案】A【解析】设水深为h米，则红莲的高(h＋1)米，且水平距离为2米，则(h＋1)2＝22＋h2，解得h＝1.5.故选A.2.【答案】C【解析】如图1，S1＝AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，∵BC2＝AB2－AC2，∴S2－S1＝S3，如图2，S4＝S5＋S6，∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.故选C.3.【答案】D【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，∴OA＝＝＝15(m)，∴OB＝OA＋AB＝20 m，在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，∴OD＝＝＝10(m)，∴CD＝OD－OC＝2 m，故选D.4.【答案】A【解析】如图所示，由图可知，AB＝＝.故选A.5.【答案】D【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．在直角△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝＝100 cm.∴最短路线长为100 cm.故选D.6.【答案】C【解析】∵62＋82＝102，∴这个三角形是直角三角形，∴最长边上的高为6×8÷10＝4.8.故选C.7.【答案】A【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，由勾股定理，得AB＝，由题意可知AB＝A′B′＝，又OA′＝3，根据勾股定理得OB′＝，∴BB′＝7－＜1.故选A.8.【答案】D【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.故选D.9.【答案】6【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为＝4.该直角三角形的面积S＝×3×4＝6.10.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48＝480.11.【答案】是【解析】由分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得BC2＋AC2＝AB2，则△ABC是直角三角形．12.【答案】96【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝＝＝10，在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形；∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96.13.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.14.【答案】84＋96【解析】连接BD，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴BD＝24，∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，∴△CBD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×8×8＋×24×7＝96＋84.15.【答案】12【解析】∵△ABC直角三角形，∴BC2＋AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1＋S2＝12.16.【答案】2或【解析】根据题意，得BP＝t cm，CQ＝2t cm，BQ＝(8－2t) cm，若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，①当∠BPQ＝90°时，Q在A点，CQ＝CA＝4 cm，4÷2＝2(s)；②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，∴BQ＝BP，即8－2t＝t，解得t＝，故当t＝2或秒时，△BPQ是直角三角形．17.【答案】解连接AC，则在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.答：这块地的面积是216平方米．【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．18.【答案】解BM＝8×2＝16海里，BP＝15×2＝30海里，在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，BM2＋BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°－90°－60°＝30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．【解析】先根据路程＝速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP＝90°，进一步即可求解．19.【答案】解如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解之得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．20.【答案】解(1)在直角三角形ADC中，AC ＝＝＝4(m)，在直角三角形BDC中，BC ＝＝＝3(m)，故AB＝AC－BC＝1(米)，答：公益广告牌的高度AB的长度为1 m；(2)∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3 m，∴△DBC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°.【解析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．21.【答案】解(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；故答案是勾股；(2)如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长5×3＝15(尺)，因此葛藤长为＝25(尺)．答：问题中葛藤的最短长度是25尺．【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．。
初中数学同步训练必刷题(人教版八年级下册 第十七章 勾股定理 全章测试卷)(教师版)
初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册第十七章勾股定理全章测试卷）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022八下·邻水期末）一个直角三角形的两条边的长分别为8，10，则第三条边的长为（）A．6B．12C．2√41D．6或2√41【答案】D【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：当直角边为10和8时斜边长为√102+82=2√41；当10为斜边时另一条直角边为√102−82=6∴第三边长为6或2√41.故答案为：D.【分析】分情况讨论：当直角边为10和8时；当10为斜边时；分别利用勾股定理求出第三边的长. 2．（2022八下·韩城期末）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，√5，3B．0.3，0.4，0.6C．9，12，15D．5，6，7【答案】C【知识点】勾股数【解析】【解答】解：A、√5不是正整数，故此选项不合题意；B、0.3，0.4，0.6三个数不是正整数，故此选项不合题意；C、9，12，15都是正整数，且92+122=225=152，故此选项符合题意；D、5，6，7都是正整数，但52+62≠72，故此选项不合题意．故答案为：C．【分析】勾股数是正整数，可排除选项A，B；再利用各选项中较小两数的平方和等于较大数的平方，可得到是勾股数的选项.3．（2022八下·台江期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D、E在格点上，长度是√10的线段是（）A．AB B．AC C．AD D．AE【答案】B【知识点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：AB=√12+22=√5，AC=√12+32=√10，AD=√22+22=√8，AE=√22+32=√13，综上，只有B选项符合题意，故答案为：B.【分析】由网格图的特征和勾股定理可求得AB、AC、AD、AE的值，再结合各选项可求解. 4．（2022八下·交口期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB=40米，BC=30米，则走这条近路AC可以少走（）米路A．30B．20C．50D．40【答案】B【知识点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC=√AB2+BC2=√402+302=50（米），30+40-50=20（米），∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为：B．【分析】在Rt△ABC中，AB=40米，BC=30米，根据勾股定理可得AC=√AB2+BC2=√402+302=50（米），则30+40-50=20（米），即走这条近路AC可以少走20米路。