八年级数学下：20.2矩形的判定同步练习华东师大版
八年级数学下：20.2矩形的判定同步练习华东师大版
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20.2 矩形的判定 同步练习
目标与方法
1．会证明矩形的判定定理．
2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
基础与巩固
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，•
④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3
个，能使四边形ABCD是矩形．
3．已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．
求证：ABCD是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N•分别
为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
5．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
拓展与延伸
B
A
C
D
O
B
A
C
D
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N
M
B
A
C
E
F
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6．已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为
直角．•
求证：•四边形ABCD是矩形．
后花园
智力操 如图，以△ABC的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD、
△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
参考答案:
1．C
B
A
C
E
D
O
B
A
C
E
D
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F
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2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②
④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．
又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．
又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=•∠B=90°，∴ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．
5．∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．•
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形．
6．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．
以AC为斜边的Rt△ACE中，OE•为斜边AC上的中线，∴OE=12AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=12BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
智力操 （1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：△ABD、△BCE•是等边三角形，•∠ABD=∠EBC=60°．
∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．
又∵DB=AB，EB=CB，•∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．
同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
八年级数学下册矩形菱形与正方形矩形矩形的判定练习新版华东师大版
课时作业(三十一)[19.1 2. 第1课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )图K－31－1A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )A．AD⊥CD B．AD＝CDC．AC⊥BD D．AC＝BDK－31－2K－31－34．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．A．①②B．①④C．①③④ D．②③④二、填空题5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．图K－31－4图K－31－56．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结图K－31－67．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.三、解答题8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图K－31－79.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结图K－31－810．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．图K－31－911．2020·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结图K－31－1012．·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．图K－31－11动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？图K－31－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 27．[答案] 68．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC.∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.同理FH ＝12BD.又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°， ∴∠CEF ＝90°.∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ， ∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°. ∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.又∵BO＝CO，∴四边形BECD是平行四边形．(2)10012．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∵∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝AF.(2)四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，∴四边形ACDF为矩形．[素养提升][解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.解：根据题意，当AP＝DQ时，由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。
20.2 矩形的判定(第1课时)
B
C
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A D
O
B
C
知识链：
有一个角是直角
平行四边形 四边形
矩形
有三个角是直角
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
B A D
O
C
课堂小结 这节课你有什么收获？
A D
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
B
O
四边形ABCD 是矩形
C
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH
AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、 ∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形 吗?为什么?
C F A D
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上,且
E
B
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形 2 矩形的判定练习1(新版)华东师大版
1 2.矩形的判定
【根底练习】
一、填空题：
1.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D , 那么四边形ABCD 是 ；
2.假设矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，那么该矩形的对角线长为 cm ；
3.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 那么斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高为 cm.
二、选择题：
1.以下命题是真命题的是〔 〕；
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是矩形
2.假设矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm 2, 那么其周长为〔 〕.
A. 15cm
B. 30cm
C. 45cm
D. 90cm
三、解答题：
1.如图， A BCD 中，∠DAC =∠ADB , 求证：四边形ABCD 是矩形.
2.如图3-13，P 是 ABCD 的边的中点，且PB = PC . 求证：四边形ABCD 是矩形.
【综合练习】
如图， ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H. 求证：EG = FH .
图3-12B A C D O P D C A B 图3-13图3-14H G F E B
A C D。
华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t=s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．30．如图，在▱ABCD中，AB=DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DFBE是矩形．31．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC 的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．32．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：平行四边形ADBE是矩形．33．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．34．已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形．35．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．36．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．37．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．38．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．39．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF 交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．40．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AC=FD，∠CEF=90°．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）求证：四边形BCEF是矩形．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠DFA=∠DAF，∴AD=DF=5，在Rt△ADE中，DE=，∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×8=32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，得t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16﹣6=10cm，则周长为4×10cm=40cm；面积为10cm×8cm=80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°∴∠ABE=∠EBC=45°∴∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN．∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°．∴四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC=∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE=OC，同理：OC=OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解答】解：（1）OE=OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠OEC=∠ACE，∴OE=OC，同理可得：OC=OF，∴OE=OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA=OC，OE=OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACG，∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∠ABO=∠CDO，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF，∠BAE=∠CDF，∴∠ABO﹣∠BAE=∠CDO﹣∠CDF，即∠EBO=∠DFO，∴BE∥DF，∴四边形EBDF是平行四边形，∵EF=BD，∴平行四边形EBDF是矩形．【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CDF．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．【解答】证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）．（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=AC，OB=OD=BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO=CO，BO=DO，∵∠1=∠2，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴▱ABCD为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【分析】由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD，再得出OA=OB，进而得出AC=BD，证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠BDC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定方法，由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．【分析】首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．【解答】证明：∵AE∥BO，BE∥AO，∴四边形OAEB是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB．∴∠AOB=90°，∴平行四边形OAEB是矩形．【点评】此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可推出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AE∥BD，DE∥AB∴四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE，AE=BD∵AB=AC∴DE=AC∵点D是BC的中点∴BD=CD AD⊥BC所以AE=DC，AE∥DC∴四边形ADCE是平行四边形∵∠ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】利用平行线的性质得出∠ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，进而得出答案．【解答】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°，又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EO=AC=BD，从而得到AC=BD，利用矩形的判定定理判定即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接EO，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴EO=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，难度不大．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA=90°，再利用三角形内角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠DEA=90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，∴∠HAB+∠HBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题利用了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定，关键是利用三个内角等于90°的四边形是矩形证明．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．又∵点E在DC的延长线上，∴AB∥CE．又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE．又BD=BE，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．【解答】解：（1）四边形ACFD为矩形，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BF，∴∠DAF=∠CFE，∵∠DAF=∠DCF，∴∠DCF=∠CFE，∴EF=EC，同理可求得DE=EA，∵E为CD的中点，∴CE=DE=AE=FE，∴四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，如图，在矩形ACFD和▱ABCD中，则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，∴CG=CF=2，BG=6，∵AE=EF，∴EG=AC=，∴Rt△EBG中，BE==．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和矩形的性质和判定，利用平行线的性质结合角相等求得EC=EF是解题的关键．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形的矩形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△OAB为等边三角形，∴OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】只要证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠DAB=90°即可．【解答】证明：∵AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，∴∠CAF=∠CAM，∠CAB=∠CAN，∴∠CAF+∠CAB=（∠CAM+∠CAN）=90°，即∠DAB=90°∵OD=OB，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查角平分线的定义，矩形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于直径基础题．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD即可；（2）由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE=BD；（2）证明：由（1）得：AE=BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∴AE=CD，∠ADC=90°，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．∴四边形ADCE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由EF=DB，可证得四边形DEBF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF=DB，∴四边形DEBF是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有对角线相等的平行四边形是矩形，首先证得四边形DEBF是平行四边形是关键．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．【分析】依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s 的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t= 6.5s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=8cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．【分析】（1）由AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26﹣2t，解此方程即可求得答案．（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；（3）由菱形的性质得出CD=CQ=PD，得出24﹣t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，则AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC﹣BM=2，在Rt△CDM 中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，∴DP=AD﹣AP=24﹣t（cm），BQ=26﹣3t（cm），∵AD∥BC，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，∴t=26﹣3t，解得：t=6.5，即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；故答案为：6.5；。
2.矩形的判定(修改后)
2.矩形的判定
华东师大版 八年级下册
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形
复习回顾
一个角是直角
矩形
边 矩 形 的 性 质 角
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的两条对角线相等且互相平分
思考
有一个角是直角的四边形是矩 形吗？
解：连结EC，BD，
易证△ABE≌△ACD. ∴EB＝DC.又∵ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四 边形．又易证△AEC≌△ADB， ∴EC＝DB.∴四边形BCDE是矩形
【综合运用】
17．(15分)如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点， 过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，∠ACB 的外角平分线于点F.
A
D
C
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平 行四边形是矩形）
矩形判定定理：有三个角是直角的四边 形是矩形
思考：
(1)对角线相等的四边形是 矩形吗? (2)需要添加什么条件才能 使对角线相等的四边形是矩 形吗? 归纳：对角线相等的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
是矩形 是矩形 是矩形 的四边形是矩形
矩形的判定方法
1．(3分)下列命题错误的是( C
)
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．(3分)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，
要使它变为矩形，需要添加的条件是( D A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD )
华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷
华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．17．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．（1）求证：OE＝OF；（2）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是矩形？请说明理由；（3）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．如图：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．22．如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形．（1）试判断四边形ADEF的形状并说明理由．（2）当△ABC满足，四边形ADEF是矩形（不需证明）．（3）当△ABC满足，四边形ADEF是菱形（不需证明）．（4）当△ABC满足，四边形ADEF不存在（不需证明）．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）填空：①当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是矩形；②当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是菱形．24．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s 的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？25．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，若∠ABE＝∠BAE＝60°，BC＝4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；（2）求四边形ABFC的周长和面积．26．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF ⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形PECF是矩形．（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值：．28．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．30．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．31．如图，平行四边形ABCD中，P是AD上一点，E为BP上一点，且AE＝BE＝EP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP＝BC，S△BEF＝5，CD＝4，求CF．32．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：（1）DA⊥AE；（2）AC＝DE．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，延长BC到点E，使得BC ＝CE，连结DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BD＝6，求CD的长．34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，（1）证明：△ADE≌△DCB；（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；（3）若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是多少？35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE．36．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ACD＝∠BDC，过点C作CE ⊥BD于点E，交AB于点H，过点A作AF∥BD，交CH的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BO，连接BG、OF，OF交AB于点M．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）四边形BOFG是什么特殊四边形？请说明理由；（3）若AF＝8，GF＝6，AM＝5，∠HCA＝∠HAC，求HF的长．37．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E、F是矩形内两点，BE＝DF＝3，AE ＝CF＝4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，（1）求证：四边形EHFG是矩形；（2）求EF的长．38．如图，沿△ABC的各边想同侧作正三角形ABD、BCF、ACE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEFD是矩形？（3）当△ABC的边满足什么条件时，四边形AEFD是菱形？39．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF（1）判断四边形ADEF的形状．并证明你的结论；（2）当∠BAC＝时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．40．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）当AB，BC满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？并给出证明．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；（2）由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而可得四边形ADCF是矩形；（3）根据∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，从而得到AD＝BC＝DC，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝BD．∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形．证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【分析】（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE＝DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB＝AC，BD＝CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．【解答】解：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE ＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，根据中点的定义求出DE＝AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND＝MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，四边形AMDN是矩形．∵AM＝1＝AD，∴∠ADM＝30°∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．【解答】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度，四边形ADCN是平行四边形，∴四边形ADCN是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．（3）AB＝AC，根据菱形的判定推出即可；（4）当∠BAC＝60°时四边形不存在．【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA．∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°，∵∠DAB＝∠F AC＝60°，∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠F AC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；（3）解：当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形，∴四边形AFED是菱形；（4）解：当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？【分析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE＝OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO＝CO，OE＝OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足AC＝BC时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．【分析】（1）求出∠EAD＝∠CFE，根据AAS证△AED≌△FEC，推出AD＝CF，根据AD ＝BD即可求出答案；（2）根据等腰三角形性质求出∠CDB＝90°，根据平行四边形的判定推出平行四边形BDCF，即可推出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠CFE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵在△AED和△FEC中，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AD＝CF，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF．（2）解：在△ABC中添加一个条件：AC＝BC，使四边形BDCF为矩形，理由是：∵BD＝CF，CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴平行四边形BDCF是矩形，故答案为：AC＝BC．【点评】本题考查了矩形、平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，主要考查学生能否熟练地运用性质进行推理，题型较好，难度适中．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB ＝EC，AB∥EC，即可证得四边形ABEC是平行四边形，继而证得结论；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出F A＝FE＝FB ＝FC，AE＝BC，得证．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝BC；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴F A＝FE，FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC，∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴F A＝FB，∴F A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．关键是利用平行四边形的性质，通过角的关系证矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案AB＝AC．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF 是菱形，此时AB＝AC．【解答】解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝DE，∵△ACF为等边三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证得△ACB≌△FCD，∴AB＝DF，而AB＝AE，∴AE＝DF，∴四边形DEAF是平行四边形；（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠F AC＝60°∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°∴四边形DEAF是矩形；（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，∴AE＝AF，∴四边形DEAF是菱形．故答案为：AB＝AC．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形、矩形的判定．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是150°．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是PB＝PC．【分析】（1）理由全等三角形的性质证明AD＝PE，AE＝PD即可解决问题；（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形；【解答】（1）证明：∵△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，∴BP＝EP，CD＝CP，AC＝CB，∠DCP＝∠BCA＝60°，∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB＝PE，同理可证：AE＝DP，∴四边形AEPD是平行四边形．（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；理由：∵∠EPB＝∠DPC＝60°，∴∠EPD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形AEPD是矩形．故答案为∠BPC＝150°．（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形．理由：∵PB＝PE，PD＝PC，PB＝PC，∴PE＝PD，∴四边形PEAD是菱形．故答案为PB＝PC．【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【解答】（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠A＝90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12＝15•AP．∴AP＝．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝4﹣t，得t＝2故当t＝2s时，四边形ABQP为矩形．。
八年级数学下册19.1矩形1矩形的性质练习华东师大版(1)
第十九章矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．52，则它的一条对角线的长是______．6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．2 B．2 C．c m2 D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）A．29° B．32° C．22° D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BC O的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（）A．4 C．12．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且A E=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC 边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．。
矩形的判定 ppt
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
课后作业: 课后作业:
课本96页习题20.2第1、2题
矩形的判定 矩形判定方法1 矩形判定方法1
定方法2 矩形判定方法2
对角线相等的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形判定方法3 矩形判定方法3
有三个角是直角的四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。
课堂小结 这节课你有什么收获？ 这节课你有什么收获？
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
A D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
B C
矩形判定1： 矩形判定 ：有三个角是直角的四边形是矩形
二.判断题 判断题 对角线相等的四边形是矩形。 对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
华东师大版数学教材八年级下
20.2 矩形的判定
王 颖
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 一个角是直角
华师版八年级下册数学19.1.2 矩形的判定2同步练习
2.矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．D ACF OEB第4题图 第6题图5．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？DACFPEB9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12.（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．。
八年级数学20.2 矩形的判定;20.3 菱形的判定;20.4 正方形的判定华东师大版知识精讲
初二数学20.2 矩形的判定；20.3 菱形的判定；20.4 正方形的判定华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：20.2 矩形的判定20.3 菱形的判定20.4 正方形的判定二. 重点、难点：1. 重点：⑴掌握矩形、菱形、正方形的判定方法；⑵探索矩形、菱形、正方形的判定条件；⑶熟练运用这些判定方法进行论证和计算；⑷感受基本图形间内在的联系和相互转化．2. 难点：⑴探索掌握矩形、菱形、正方形的判定方法；⑵熟练运用这些判定方法解决问题．三. 知识梳理：1. 矩形（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）性质定理矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．（3）判定定理有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．证明矩形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；也可以直接证明其中有三个角是直角．2. 菱形（1）矩形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）性质定理菱形四条边都相等；菱形对角线互相平分且垂直；每条对角线平分一组对角；（3）判定定理有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．证明菱形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；也可以直接证四条边都相等．3. 正方形（1）正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）性质定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．（3）判定定理有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形．4. 矩形、菱形、正方形相互间的关系及判定“梯形”图【典型例题】例1. 如图所示，延长等腰三角形ABC的腰BA至D，使AD＝BA，延长CA至E，使AE＝CA，连结CD、DE、EB．求证：四边形BCDE是矩形．分析：矩形的判定方法有多种，要结合具体条件，选择最简单的说明方法．本题可先说明四边形BCDE是平行四边形，然后由BD＝CE进一步得出四边形BCDE为矩形．通过对角线相等来判定矩形，必须有一个前提，就是所判别的四边形是平行四边形．证明：∵AD＝BA，AE＝CA∴四边形BCDE是平行四边形∴AB＝AC∴AB＋AD＝AC＋AE即BD＝CE∴平行四边形BCDE是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）例2. 如图□ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 是矩形．分析：本题应用了矩形的判定定理——有三个角是直角的四边形是矩形． 证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴∠FAB ＝12 ∠DAB ，∠ABF ＝12 ∠ABC ，∴∠FAB ＋∠ABF ＝12 （∠DAB ＋∠ABC ）＝12×1 80°＝90° ∴∠EFG ＝90°同理可证∠FGH ＝∠GHE ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形．（有三个角是直角的四边形是矩形）例3. 现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．（不写作法，保留作图痕迹或简要的文字说明）分析：把原图形分割成两个矩形的组合，分别取两矩形对角线的交点，过这两个交点作一直线即可．运用割补的方法构造规则图形是解决几何问题的常用方法．解答：如图（①、②、③）中的直线MN 即为所求作的直线．例4. 如图所示，已知在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝a ． 求：⑴∠ABC 的度数； ⑵对角线AC 的长； ⑶菱形ABCD 的面积．分析：DE 实际上是AB 的中垂线，可得DA ＝DB ，由此得△ABD 为正三角形，由△ABD 的性质可分别求出菱形的各角度数与对角线长，从而各个量均能求出．解答：⑴连结BD ∵ABCD 是菱形∴AD ＝AB （菱形的四条边都相等） ∵E 是AB 中点且DE ⊥AB∴AD ＝DB （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∴AD ＝AB ＝DB即△ABD 为等边三角形 同理△DBC 也为等边三角形 ∴∠ABC ＝120° ⑵∵四边形ABCD 为菱形∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO （菱形的对角线互相垂直平分） ∴△ABD 为等边三角形 ∵AB ＝a ∴ OB ＝a 21在Rt △ABO 中，OA ＝23a （勾股定理） ∴AC ＝2AO ＝3a ；⑶四边形ABCD 面积＝12 ×AC ×BD＝12 ×3a ×a ＝23a 2例5. 如图，等宽的两张纸条重叠，猜想重叠部分是什么图形，为什么？分析：纸条交叉重叠在一起易得：AB ∥CD ，AD ∥BC ． 只要找到一组邻边相等即可． 解答：因为纸条等宽，所以△ABC 以BC 为底的高和以AB 为底的高相等，•所以AB ＝BC ．纸条交叉重叠在一起可得：AB ∥CD ，AD ∥BC ． 所以四边形ABCD 是平行四边形．因此可得重合的四边形ABCD 是一个菱形．例6. 如图，已知在△ABC 中，AD 是角平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ．求证：四边形AEDF 是菱形．分析：由EF 垂直平分AD 可得AF ＝FD ，即有一组邻边相等，这样只需证明四边形AEDF 是平行四边形即可．此题也可通过证明四边都相等得证证明：∵EF 、垂直平分AD ∴AF ＝FD ∴∠DAF ＝∠ADF∵∠EAD ＝∠DAF ∴∠EAD ＝∠ADF ∴AE ∥DF 同理DE ∥AF∴四边形AEDF 是平行四边形 又∵AF ＝FD∴四边形AEDF 是菱形．例7. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，分别过A 、C 两点作1l ∥2l ，作BM ⊥1l 于M ， DN ⊥1l 于N ，直线MB 、ND 分别交2l 于Q 、P ．求证：四边形PQMN 是正方形． 分析：已知条件中的平行和垂直条件可直接得到PQMN 是矩形，这里只要证明MN ＝PN 即可．正方形的证明一般情况下可先证明它是矩形（或菱形）再证明它满足菱形（或矩形）的一个特殊条件即可．证明：∵PN ⊥1l ，QM ⊥1l∴PN ∥QM ，∠PNM ＝90° ∵PQ//MN∴PQMN 是矩形（有一个角是90°的平行四边形为矩形） ∵ABCD 是正方形∴∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝DC∵∠NAD ＋∠BAM ＝90°，而∠NAD ＋∠NDA ＝90° ∴∠BAM ＝∠NDA （同角的余角相等） 在Rt △ABM 与Rt △DAN 中∵∠BMA ＝∠AND ，∠BAM ＝∠NDA ，AB ＝AD ∴△ABM ≌△DAN （A.A.S ）∴AM＝DN（全等三角形对应边相等）同理可证AN＝DP∴AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN∴PQMN是正方形．例8. 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF＝45°，AG⊥EF 于G．求证：AG＝AB分析：欲证AG＝AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够．∠EAF＝45°怎么用呢？显然∠1＋∠2＝45°，若把它们拼在一起，问题就解决了．证明：把△AFD绕A点旋转90°至△AHB．∵∠EAF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°．∵∠2＝∠3，∴∠1＋∠3＝45°．又由旋转所得AH＝AF，AE＝AE．∴△AEF≌△AEH（S.A.S）∴AG＝AB例9. 画一个正方形，使它的对角线长为30cm，并说明画法的依据．分析：因为要求画出的正方形的对角线长为30cm，所以应从对角线的角度判定四边形是正方形，再画出图形．画法：1、画线段AC＝30cm，取AC的中点O．2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB＝OD＝15cm．3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA．则四边形ABCD就是所要画的正方形．证明：∵AO＝CO，BO＝DO四边形ABCD是平行四边形．又∵AC＝BD∴平行四边形ABCD是矩形．∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形．∴四边形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1.下列说法中错误的是（）A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C. 四个角都相等的四边形是矩形D. 邻边相等的四边形是正方形2. 用两块大小形状完全相同的含30°角的三角板拼成下列图形①矩形，②正方形，③平行四边形，④菱形一定能拼成的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 菱形、矩形或正方形4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F分别为垂足，且E是AD的中点，则∠EBF为（）A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°5. 下列条件不能判定四边形是正方形的是（）A. 有一组邻边相等的矩形B. 对角线相等的菱形C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形D. 有一个角是直角的平行四边形6. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（）A. 一组对边平形而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分7. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A. 矩形B. 三角形C. 梯形D. 菱形8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则在下列条件中①AB＝BC＝CD＝DA②OA＝OB＝OC＝OD；③AC⊥BD，能说明四边形ABCD是正方形的有几个？（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 如图，以等边三角形ABC的边BC向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°②∠ACD ＝150°③∠DAE＝30°，④∠DAC＝15°其中正确的结论是多少个？（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题1. 正方形的识别方法有：（1）的菱形是正方形；（2）的矩形是正方形．2. 要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是，再说明这个图形．（只需填一种方法）3. 工人师傅做销合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是；（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：.4. 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有个等边三角形（不包括△ABC），有个菱形．5. 菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，对角线AC＝4cm，则这个菱形的周长是．6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF分矩形面积的比是．7. 如图，在正方形ABCD中P为CD上任意一点，且PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，若AD＝10，则PE＋PF＝．三、解答题1. 如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO至点D，使DO＝BO，连结AD，CD，则四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．2. 已知：如图所示，在△ABC中BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BFDE是菱形．3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）判断四边形CFDE的形状（2）说明你的理由．4. 如图，在△ABC中，P是AC上的一个动点，PE∥BC交AB于点E，PF//AB交BC于F.（1）四边形BFPE一定是什么四边形？说明理由．（2）△ABC满足什么条件时，四边形BFPE一定是矩形？说明理由．（3）若△ABC是正三角形，则P在AC的什么位置时，四边形BFPE是菱形？（只需判断点P的位置即可）．【试题答案】一.选择题1. D；2. B；3. C；4. C；5. D；6. C；7. D；8. A；9. D.二. 填空题1. 有一个角是直角；有一组邻边相等．2. 平行四边形；对角线互相垂直．3. 平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形．4. 四；三．5. 16cm．6. 1：1．7.三. 解答题1. 是矩形．理由提示：先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得□ABCD是矩形．2. 先证△BOE≌△BOF，得EO＝FO，可得四边形BFDE是平行四边形，再由EF⊥BD 可得□EBFD是菱形.3. ⑴正方形；⑵先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形CFDE是矩形，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得DF＝DE，由一组邻边相等的矩形是正方形得矩形CFDE是正方形．4. ⑴平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．⑵∠B＝90°时，四边形BFPE是矩形；理由：有一个角是直角的平行四边形是矩形．⑶当点P是AC的中点时，四边形BFPE是菱形．。