导数及其应用 PPT

考点二 利用导数研究函数的性质 (2014·高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)
x，其中 a＜0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间；
(2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8，求 a 的值．
[思路点拨] (1)先求导数，结合解不等式求解函数的单调 区间． (2)通过利用单调性与导数的关系求解函数的最值，从而求 解参数 a.
的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选 A.
考点一 导数的几何意义
(1)(2014·高考江西卷)若曲线 y＝＝0，则点 P 的坐标是__(_e，__e_)__．
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
二、辨明易错易混 1．求曲线的切线，分清是“在某点处的切线”，还是 “过某点的切线”． 2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极 值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不 是 极值点．
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
5．(2014·山西省第二次四校联考)已知 f(x)＝ln x－x＋a＋1.
(1)若存在 x∈(0，＋∞)使得 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围；
(2)求证:当 x>1 时,在(1)的条件下,12x2＋ax－a>xln x＋12成立． 解：f(x)＝ln x－x＋a＋1(x>0)． (1)原题即为存在 x 使得 ln x－x＋a＋1≥0， ∴a≥－ln x＋x－1，令 g(x)＝－ln x＋x－1， 则 g′(x)＝－1x＋1＝x－x 1.令 g′(x)＝0，解得 x＝1.
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思路点拨] (1)先求函数的导数,再利用导数的几何意义 确定切点的坐标． (2)先求函数的导数,写出切线方程,最后求三角形的面积.
[方法归纳] 利用导数几何意义解题的转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间的关系来转化． (2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数 的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导 数 联 系起来求解．
理T10 Ⅱ理T21、Ⅱ
文T12
全国卷文T13 全国卷理T21 全国卷文T21
Ⅰ理T21 Ⅰ文T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 全国卷理T21
理T21
全国卷文T21
Ⅱ文T21 Ⅱ理T21
2015考向预测
高考对该部分内容的考查 主要有三个方面：(1)导数 的概念、求导公式与法 则、导数的几何意义；(2) 导数的简单应用，包括求 函数极值、求函数的单调 区间、证明函数的单调性 等;(3)导数的综合考查, 包 括导数的应用题以及导数 与函数、不等式等的综合 题．从形式上看，考查试 题有选择题、填空题、解 答题，有时三种题型会同 时出现.
考点三 利用导数解决与不等式有关的问题 (2014·高 考 浙 江 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x3 ＋ 3|x －
a|(a>0)，若 f(x)在[－1,1]上的最小值记为 g(a)． (1)求 g(a)； (2)证明：当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4. [思路点拨] (1)先讨论函数的单调性,再利用它求解函数关系式. (2)利用导数与单调性的关系确定单调性，并讨论求解最大值.
2．本例条件不变,若 f(x)在区间[1,4]上单调递减,试求 a 的范围. 解：由本例(2)知 f′(x)＝20x2＋12ax＋a2，
2x 若 f(x)在[1,4]上单调递减，则 f′(x)≤0， 即 20x2＋12ax＋a2≤0， ∴2302＋0＋124a8＋ a＋a2a≤2≤00 ，解得－10≤a≤－8.
一、活用公式结论 1．导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：c′＝0(c 为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x；
(ax)′＝axln a(a>0 且 a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝xln1 a(a>0
且 a≠1)；(ln x)′＝1x.
4．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，
n∈[－1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最小值为( A )
A．－13
B．－15
C．10
D．15
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x
＝2 处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得 a＝3，所以 f′(x)
∴a 的范围为[－10，－8]．
3．(2014·云南省第一次统考)已知 f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数 m，使 f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果
存在，求 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解：(1)当 m＝－2 时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)的定义域为 (－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2) ＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex， ∴当 x∈(－∞，－3)或 x∈(0,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(－3,0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
导数及其应用
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
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4．在本例条件下，若 f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分
别记为 G(a)，g(a)，求 G(a)－g(a)．
解：因为 f(x)＝xx33－＋33xx＋－33aa，，xx≥ <aa，， 所以 f′(x)＝33xx22－＋33，，xx≥ <aa. ， 由于－1≤x≤1. ①当 0<a<1 时， 若 x∈(a,1)，f(x)＝x3＋3x－3a，在(a,1)上是增函数；
[即时练]
1．(2014·嘉兴二模)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f(π)＋f′(π2)
＝( C )
A．－π32
B．－π12
C．－π3
D．－π1
解析：∵f′(x)＝－x12cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′(π2)＝
－π1＋π2·(－1)＝－π3.
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－x22＋1x(x>0)，由 f′(x) ＝0 得 x＝2.当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈ (2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2 为 f(x)的极 小值点．
1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原
点，则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1x，设切点为
(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝x10，切线方程为 y－ln x0＝x10 (x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 故此切线的斜率为1e.
数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
ln 2)在直线 y＝12x＋b 上可得 b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.
＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知 f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)
＝－m3＋3m2－4.又 m，n∈[－1,1]，所以当 n＝－1 时，f′(n)
最小，为－9.又 f′(m)＝－3m2＋6m，令 f′(m)＝0 得 m＝0
或 m＝2，所以当 m＝0 时，f(m)最小，为－4.故 f(m)＋f′(n)