《流体力学》第八章绕流运动解析
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流体力学第八章-39页PPT精品文档
vtx x vx 2v2 y 2vz2 2vzyvyz v tx2(vzyvyz)fx 1 p x x(v 2 2)
§ 8.3 理想流体的运动微分方程
二、兰姆运动微分方程式(续)
兰姆运动微 分方程式
vtx
fz
1
p z
v2 ()
z 2
x
(
pF
v2 2
)
2(vz y
vy z
)
y
(
pF
v2 2
)
2(vx z
fy
p
f
z
(x,
fx y,
z)
y
o
x
z
§8.3 理想流体的运动微分方程
一、欧拉运动微分方程式(续)
x轴方向的受力
左面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
右面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
质量力：
fx
p p dx x 2
fy p
fz fx
p p dx x 2
不可压缩流体的定 常或非定常流动：
vvxvyvz 0 x y z
§8.1 微分形式的连续方程
二、其它形式的连续方程（续）
二维可压缩流体 的定常流动：
x(vx)y(vy)0
二维不可压缩流 体的定常或非定 常流动：
vx vy 0 x y
§8.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
2 z x
v M y v y v y yy 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x
§ 8.3 理想流体的运动微分方程
二、兰姆运动微分方程式(续)
兰姆运动微 分方程式
vtx
fz
1
p z
v2 ()
z 2
x
(
pF
v2 2
)
2(vz y
vy z
)
y
(
pF
v2 2
)
2(vx z
fy
p
f
z
(x,
fx y,
z)
y
o
x
z
§8.3 理想流体的运动微分方程
一、欧拉运动微分方程式(续)
x轴方向的受力
左面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
右面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
质量力：
fx
p p dx x 2
fy p
fz fx
p p dx x 2
不可压缩流体的定 常或非定常流动：
vvxvyvz 0 x y z
§8.1 微分形式的连续方程
二、其它形式的连续方程（续）
二维可压缩流体 的定常流动：
x(vx)y(vy)0
二维不可压缩流 体的定常或非定 常流动：
vx vy 0 x y
§8.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
2 z x
v M y v y v y yy 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
vz z
z
vM xvx vxxx vyxy vzxz
v M x v x v x xx 1 2 v y xy 1 2 v y xy 1 2 v z xz 1 2 v z xz
1 vy y 1 vy y 1 v z z 1 v z
2 x 2 x 2 x 2 x
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
精选版课件ppt
vx
vx x
dx 2
dx x 2
6
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
vx y
单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值
精选版课件ppt
28
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
x
1 2
vz y
v y z
y
1 2
vx z
vz
x
z
1 vy
2
x
vx y
2 x
y2
z2
xiyjzk1 2v
精选版课件ppt
y
v y y
z
vz z
xyz
vx vy vz x y z
精选版课件ppt
23
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
xyz
vx vy vz x y z
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表 明流体微团在运动中体积不变。
流体力学第8章中文版课件
Chapter 8: External flows
14
8.3 绕淹没体的流动
分离前的湍流边 界层 分离前的层流 边界层
2013-11-25
Chapter 8: External flows
15
8.3 绕淹没体的流动
2013-11-25
Chapter 8: External flows
16
8.3 绕淹没体的流动
W FD
sphere volume CD V 2 A
4 3 1 S water R CD V 2R 2 3 2
1 2
8RS water V 3C D
2013-11-25
1/ 2
8 0.15 1.02 9800 3 1.20 CD
Re
VD
129 0.3 2.42 10 6 1.6 10 5
V 129 m/s
2013-11-25 Chapter 8: External flows 20
8.3 绕淹没体的流动
求解：(b) 对于球在水中的下落情况，则必须考虑施加在球体上的与阻力FD 同方向的浮力 B 的作用：
如果物体形状上有一 个突然的变化，分离 点将出现在形状突然 变化点或其附近。 另外，分离后流 体在某一个位臵 上又会重新附着 在物体上。
2013-11-25
Chapter 8: External flows
10
8.2 分离
在分离点的上游，壁面附 在分离点的下游，壁面附 近的 x方向上的速度分量 近的 x方向上的速度分量在 负 x 方向，因此在正 x 方向，因此 壁面上 壁面上的 的 u/y一定是负的。 u/y是正的。
绕流运动
d u y dx u x dy 0 dx dy ux u y
B dl u n n u dy C
dx
B C2
oA A C1 Nhomakorabea图6—2流函数与流量的关系
x
为流线方程。
2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。
16
证：考察通过任意一条曲线 AB（ z 方向为单位长度）的流量。 （图6—2）对于通过微元矢量 dl的流量
14
x, y, z
就称为不可压缩流体平面流动的流函数。
类似地可证，在极坐标中
1 ur , u r r
因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的 连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以
说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。
15
y
二、流函数的基本性质 1、等流函数线为流线 因为 即
P Q 如果 y x
，则有
d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy d ( x, y, z) P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
P Q y x
P R z x
Q R z y
无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三
条途径来确定。
3
高等数学定理：设开区域G是一个单连通域，函 数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数 (x，y) 的全微分的充要条件是等式
P Q y x
在G内恒成立。
1
第八章
§8–1 无旋流动
绕流运动
§8–2 平面无旋流动
B dl u n n u dy C
dx
B C2
oA A C1 Nhomakorabea图6—2流函数与流量的关系
x
为流线方程。
2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。
16
证：考察通过任意一条曲线 AB（ z 方向为单位长度）的流量。 （图6—2）对于通过微元矢量 dl的流量
14
x, y, z
就称为不可压缩流体平面流动的流函数。
类似地可证，在极坐标中
1 ur , u r r
因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的 连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以
说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。
15
y
二、流函数的基本性质 1、等流函数线为流线 因为 即
P Q 如果 y x
，则有
d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy d ( x, y, z) P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
P Q y x
P R z x
Q R z y
无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三
条途径来确定。
3
高等数学定理：设开区域G是一个单连通域，函 数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数 (x，y) 的全微分的充要条件是等式
P Q y x
在G内恒成立。
1
第八章
§8–1 无旋流动
绕流运动
§8–2 平面无旋流动
流体力学第八章
边界层内
流体力学
v << u
∂u ∂x << ∂u ∂y
普朗特边界层微分方程2
引入无量纲量
t ~1 t′ = l V∞
x x′ = ~ 1 l v ~ δ′ v′ = V∞
δ y y′ = ~ δ ′ = l l
p p′ = ~1 2 ρV∞
u u′ = ~1 V∞
∂u′ ∂v ′ + =0 ∂x ′ ∂y ′
流体力学
顺流平板层流边界层6
1 2 140 μ δ = x+C 2 13 ρV∞
边界条件
x = 0时， δ = 0
μ x δ = 4.641 ρV∞
ρ xV∞ 由 Re x = μ
流体力学
δ = 4.641
x Re x
顺流平板层流边界层7
μ x δ = 4.641 ρV∞ δ = 4.641
x Re x
∗ 0 ∞
U
δ =∫
*
∞ 0
u (1 − )dy U
δ*
μ=0 u=U
边界层内由粘性影响减少的流量＝理想流 体流过物面时表面向外移动 δ* 减少的流量
δ =∫
*
δ
0
u (1 − )dy U
流体力学
边界层内的厚度4
动量损失厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
θ
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，动量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
8.3 边界层动量积分方程
对控制体的动量方程－近似计算方法
假设 定常不可压 二元边界层 物面曲率很小
B x y U A
流体的圆柱绕流和球体绕流
流体的圆柱绕流和球体绕流流体力学是一门研究流体运动规律的学科，其中圆柱绕流和球体绕流是其中两个重要的研究领域。
本文将对这两个问题进行探讨和分析。
一、圆柱绕流圆柱绕流是指流体绕过圆柱体的运动情况。
这个问题的研究对于建筑物、桥梁等结构的设计以及风力发电、水力发电等领域的应用具有重要意义。
圆柱绕流问题的研究可分为二维和三维两种情况。
二维情况下，流体运动在一个平面内进行，圆柱绕流主要表现为流体分离和脱落现象。
三维情况考虑了流体运动的立体特性，圆柱绕流的现象更加复杂，例如涡脱落、涡欧拉现象等。
对于圆柱绕流问题，研究者发现了一些重要的现象和特点。
例如，在二维情况下，当雷诺数（Reynolds number）小于约50时，流体边界层分离现象较为明显；而在Reynolds数大于约50时，主要以卡门漩涡（von Kármán vortex）为特征。
此外，三维情况下，流体流动情况更为复杂，存在多种多样的涡流结构。
圆柱绕流问题的研究方法有很多，例如实验方法和数值模拟方法。
实验方法通常使用风洞试验或水洞试验，通过测量流场参数来获得流体运动规律。
数值模拟方法则通过计算流体的动力学方程，以及采用适当的网格划分和离散算法，模拟圆柱绕流的流体运动情况。
二、球体绕流球体绕流是指流体绕过球体的运动情况。
球体绕流问题的研究同样对于许多领域具有重要意义，如船舶设计、飞行器空气动力学、流体工程等。
和圆柱绕流相比，球体绕流的流动状态更加复杂。
在低雷诺数下，流体会产生分离现象，形成稳定的涡结构；而在高雷诺数下，流体的运动规律更加多样，可能出现流体脱离球体的现象。
球体绕流问题的研究同样采用实验方法和数值模拟方法。
实验方法中，可以通过在风洞中进行测量，如测量压力分布和速度分布，来获得流体运动的相关信息。
数值模拟方法则通过求解流体动力学方程，并应用适当的离散化算法计算球体绕流的流场。
综合来说，圆柱绕流和球体绕流是流体力学领域中的两个重要问题。
第8章 粘性流体绕物体的流动-复习
上式也称为广义牛顿定律。由上式可知切
应力与流体质点的角变形率大小成正比，而流
体的法向应力和流体的相当体积膨胀率 ，以及相应方向上的线变形率有关，因此在运
动的粘性流体中，和静止的状态不同，法向应
力在不同方向上大小可能不相等。
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
• 将式（8－10）代入式（8－9）可得： （ 8－11）
（8－9）
方程左端为单位质量流体的惯性力；右端第一项 为作用于单位质量流体上的质量力；第二项为作 用于单位质量流体上的表面力。
该方程是牛顿第二定律的一个严格的描述，在推 导过程中适用于各种流体。但是，方程中质量力 为已知，而表面应力各分量未知。？
二、本构方程
本构方程指确立应力和应变率之间关系的方程式。 例如弹性力学中的胡克定律。对于大多数流体应 力与应变变化率成正比，也就是说，应力与应变 变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流 体称为牛顿流体。 斯托克斯通过引入假设条件将牛顿内摩擦定律推
流体经过机翼翼型（或叶片叶型）的流动如图8-18所示， v p 以 和 表示无穷远处流体流动所具有的速度和压强。 流体绕过翼型前驻点后，沿上表面的流速先增加，直增 加到曲面上某一点M，然后降低。由伯努利方程可知， 相应的压强先降低（dp/dx<0），而后再升高(dp/dx>0)。 M点处边界层外边界上的速度最大，而压强最低。沿曲 面各点法向的速度剖面和压强变化曲线的示意如图8-19 所示。图中实线表示流线，虚线表示边界层的外边界。
●边界层的构成：
1.层流边界层，当 流边界层。
较小时，边界层内全为层流，称为层 Re
2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大 部分为紊流区，称为混合边界层。
流体力学第8章
u x x y 由 u y y x
y y x x
可以看出平面势流的流函数和势函数互为共轭函数。 在数学上表明：流函数和势函数是相互垂直的。 也就是说等势线与流线垂直。
即 0 y y x x
性质(3)的证明 dn为等势线间的网格长；dm为流线间的网格长。 证明dn/dm＝定值
dx dn cos dy dn sin u x u cos u y u sin
d ux dx uy dy udn(sin2 cos 2 ) udn
同理：dm的投影得：
3
(1) 流线与等势线正交 (2) 相邻两流线流函数数值之差是此两流线间的 单宽流量.(单位宽度的体积流量) (3) 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。
ux x y
2
1
13
§8－2 平面无旋流动
性质(2)的证明 取ab为流线 ψ1 与 ψ1+Δψ 之间的 过流断面，将ab分解为dx,dy，单 位宽度，则 ab 断面的流量分解为 dx,dy两个面上的流量和（由a到b， 末态减初态，dx为负）。
y (
无旋流动在数学上有个重要的特性，就是存在势函数，无旋→有势。
根据全微分的理论：如果上面这三个式子成立 ,那么在空间某位置上存在位置函数 φ（x,y,z）（标量函数）。即上面三式是存在位置函数的充分必要条件。
这个位置函数φ的全微分形式可写成：
d ( x, y, z ) ux dx u y dy uz dz
函数φ称为速度势函数。存在速度势函数的流动称为有势流动（或势流）， 所以无旋流动就是有势流动。
无旋必有势；有势必无旋。
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x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
将ux,uy求偏导后，代入无旋 条件可得到： 2 2 表明当流动无旋时，流函数也满足 2 2 0 x y 拉氏方程，也是调和函数。
以上讨论得到：流函数实际上是流线函数。由于 大多数流场是连续的，因此它就成为研究流场重 要工具。所以流函数是更有普遍意义的重要函数。 以上讨论还得到，平面无旋运动同时存在流函数 ψ(x,y)和势函数φ(x,y)，势函数积分得到为： φ(x,y)=C，不同的C对应着不同的等势线。因而 势函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
将速度势函数代入不可压缩 ux u y uz 0 流体连续性方程： x y z
ux 2 其中： 2 x x x x
同理：y y 2
2
u y
得出
拉普拉斯方程: x 2 y 2 z 2 0
存在势函数的前提是流场内部不存在旋转 角速度。 只有内部不存在摩擦力的理想流体，才会 既不能创造旋涡，又不能消灭旋涡。 摩擦力是产生和消除旋涡的根源，因而一 般只有理想流体流场才可能存在无旋流动 工程中所考虑的流体主要是水和空气，它 们的粘性很小，如果在流动过程中没有受 到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想 流体来考虑。
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
根据全微分理论，上面三个等式是某空间 位置函数φ存在的必要和充分条件，可表 示为：d ( x, y, z) ux dx u y dy uz dz 函数φ称为速度势函数。存在着速度势 函数的流动，称为有势流动，简称势流。 无旋流动必然是有势流动。
第一节
流动场中各点的旋转 角速度等于零的运动 称为无旋流动。在无 旋流动中：
无旋流动
1 uz u y x ( )0 2 y z
1 u x u z y ( )0 2 z x 1 u y ux Z ( )0 2 x y
因此，无旋流动的前提条件是：
d ( x, y) ux dy u y dx 因而： d ux dy u y dx 0
由于ψ(x,y)函数是由流线微分方程和连续性 方程所引出，故称ψ(x,y)为流函数。显然连 续性方程是ψ(x,y)存在的必要与充分条件。 由此得到，一切连续性流动流场一定存在流 函数。 d u dy u dx 0
2 2
在平面流动中，流线微分方程为：
dx dy ux u y
ux dy (uy dx) 0
ux (u y ) 由全微分理论，由于存在条件 x y
二元流动 ux u y (u y ) u x 0 连x) 必是某函数的全微分，即：
第三节
几种简单的平面无旋流动
一个流动存在势函数的条件是流动无旋， 只要无旋，不管是可压缩流体，还是不可 压缩流体，也不管是恒定流，还是非恒定 流，三元流还是二元流，都存在势函数。 对于不可压缩流体无旋流动，势函数满足 拉普拉斯方程。
流函数存在的条件则是不可压缩流体，以 及流动是平面问题，与流动是否无旋，是 否恒定和是否具有粘性无关。当流动又是 无旋时，则流函数也满足拉普拉斯方程。
2 2 2
u z 2 2 z z
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 不可压缩流体势流的速度势函数，是坐标 x,y,z的调和函数。 拉普拉斯方程本身，是不可压缩流体无旋流 动的连续性方程。
第二节
平面无旋流动
在流场中，某一方向(取作Z轴方向)流速 为零，而另两方向的流速与上述轴向坐标 Z无关的流动,称为平面流动。
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
将ux,uy求偏导后，代入无旋 条件可得到： 2 2 表明当流动无旋时，流函数也满足 2 2 0 x y 拉氏方程，也是调和函数。
以上讨论得到：流函数实际上是流线函数。由于 大多数流场是连续的，因此它就成为研究流场重 要工具。所以流函数是更有普遍意义的重要函数。 以上讨论还得到，平面无旋运动同时存在流函数 ψ(x,y)和势函数φ(x,y)，势函数积分得到为： φ(x,y)=C，不同的C对应着不同的等势线。因而 势函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
将速度势函数代入不可压缩 ux u y uz 0 流体连续性方程： x y z
ux 2 其中： 2 x x x x
同理：y y 2
2
u y
得出
拉普拉斯方程: x 2 y 2 z 2 0
存在势函数的前提是流场内部不存在旋转 角速度。 只有内部不存在摩擦力的理想流体，才会 既不能创造旋涡，又不能消灭旋涡。 摩擦力是产生和消除旋涡的根源，因而一 般只有理想流体流场才可能存在无旋流动 工程中所考虑的流体主要是水和空气，它 们的粘性很小，如果在流动过程中没有受 到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想 流体来考虑。
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
根据全微分理论，上面三个等式是某空间 位置函数φ存在的必要和充分条件，可表 示为：d ( x, y, z) ux dx u y dy uz dz 函数φ称为速度势函数。存在着速度势 函数的流动，称为有势流动，简称势流。 无旋流动必然是有势流动。
第一节
流动场中各点的旋转 角速度等于零的运动 称为无旋流动。在无 旋流动中：
无旋流动
1 uz u y x ( )0 2 y z
1 u x u z y ( )0 2 z x 1 u y ux Z ( )0 2 x y
因此，无旋流动的前提条件是：
d ( x, y) ux dy u y dx 因而： d ux dy u y dx 0
由于ψ(x,y)函数是由流线微分方程和连续性 方程所引出，故称ψ(x,y)为流函数。显然连 续性方程是ψ(x,y)存在的必要与充分条件。 由此得到，一切连续性流动流场一定存在流 函数。 d u dy u dx 0
2 2
在平面流动中，流线微分方程为：
dx dy ux u y
ux dy (uy dx) 0
ux (u y ) 由全微分理论，由于存在条件 x y
二元流动 ux u y (u y ) u x 0 连x) 必是某函数的全微分，即：
第三节
几种简单的平面无旋流动
一个流动存在势函数的条件是流动无旋， 只要无旋，不管是可压缩流体，还是不可 压缩流体，也不管是恒定流，还是非恒定 流，三元流还是二元流，都存在势函数。 对于不可压缩流体无旋流动，势函数满足 拉普拉斯方程。
流函数存在的条件则是不可压缩流体，以 及流动是平面问题，与流动是否无旋，是 否恒定和是否具有粘性无关。当流动又是 无旋时，则流函数也满足拉普拉斯方程。
2 2 2
u z 2 2 z z
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 不可压缩流体势流的速度势函数，是坐标 x,y,z的调和函数。 拉普拉斯方程本身，是不可压缩流体无旋流 动的连续性方程。
第二节
平面无旋流动
在流场中，某一方向(取作Z轴方向)流速 为零，而另两方向的流速与上述轴向坐标 Z无关的流动,称为平面流动。